2026年高一数学寒假作业（二）一元二次函数、方程和不等式

《高一数学寒假作业（二）一元二次函数、方程和不等式》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B B A C A C B ACD ACD 题号 11 答案 BC 1．A 【分析】根据作差法比较大小即可. 【详解】因为， 所以，故. 故选：A. 2．B 【分析】利用二次不等式的解法求解即可. 【详解】因为， 所以，解得， 则不等式的解集为. 故选：B. 3．B 【分析】利用特值排除法可得. 【详解】当时， ，有，故A错误； ，故C错误； 令，则，故D错误； 选项B，由，又，所以，故B正确. 故选：B. 4．A 【分析】根据不等式的性质判断A，取特殊值判断BCD. 【详解】因为，所以，，所以，故A正确； 当时，，故B错误； 当时，，故C错误； 当时，，故D错误. 故选：A 5．C 【分析】根据一元二次方程与不等式的关系，结合韦达定理，即可求解. 【详解】由题不等式的解集为， 所以是方程的两不等实数根， 所以，得，， 所以. 故选：C. 6．A 【分析】根据“1”技巧，利用均值不等式求解. 【详解】，， ， ， ， ， 当且仅当，即，时等号成立， 故选：A 7．C 【分析】由其否定为真命题，通过一元二次不等式恒成立求解即可； 【详解】由命题“”为假命题， 可得“”为真命题， 所以， 解得：， 故选：C 8．B 【分析】按照，讨论求解，当时，原不等式可化为；按照， ， 讨论求解. 【详解】显然当时，不等式有无数个整数解，不符合题意； 当时，原不等式可化为； 当时，不等式的解集为，不符合题意； 当，即时，解不等式得， 则该不等式最多有2个整数解，不符合题意； 当，即时，解不等式得， 则满足题意的3个整数解为4，5，6，所以，所以. 故选：B. 9．ACD 【分析】A项，通过设出和的值，即可得出结论；B项，通过作差后与0比较，即可得出结论；C项，通过作差后与0比较，即可得出结论；D项，通过分析已知条件得出和与0的关系，讨论的取值，即可得出结论. 【详解】由题意， A项， 当，时，满足，但， ∴A错误， B项， ∵， ∴， ∴， ∴B正确， C项， ∵， ∴， ∴C错误， D项， ∵，， ∴，，， 当时，则， ∴D错误， 故选：ACD. 10．ACD 【分析】由题意判断出，继而结合不等式的性质一一判断各选项，即可得答案. 【详解】由实数a，b，c满足，且， 得，b的正负无法确定； 故，A正确； 由于，则，但b的正负不确定，故不能确定，B错误； 由于，，故，C正确； 由于，故，D正确， 故选：ACD 11．BC 【分析】由可得，由正数，解不等式可得，可得A错误，B正确，将等式变形利用基本不等式可得，解不等式可知C正确，将代入表达式，再利用基本不等式计算可得D错误. 【详解】对于A，由可得，又因为为正数，所以，解得，因此A错误； 对于B，由可得，解得，因此B正确； 对于C，将等式变形可得，又 所以可得，整理即可得， 解得或（舍）， 当且仅当，即时，等号成立,因此C正确； 对于D，由可得 ， 当且仅当，即时，等号成立,此时的最小值为13，即D错误. 故选：BC 12． 【分析】利用代换1法，即可转化为积为定值，和有最小值. 【详解】因为正数满足， 所以， 当且仅当时，取等号， 即的最小值为. 故答案为：. 13． 【分析】移项、通分，将分式不等式等价转化为一元二次不等式（组），解得即可. 【详解】不等式，即，即，即， 等价于，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 14．4 【分析】变换得到，计算，，考虑，，，四种情况，根据函数单调性分别函数最值得到答案. 【详解】， ，函数在上单调递减，在上单调递增，故， 设，，， 当，即时，函数在上单调递增，， 则， 当，即时等号成立，； 当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增. ，则； 当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，，则； 当，即时，函数在上单调递减，， 则； 综上可知 故答案为：4 【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，双勾函数性质，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中分类讨论求最值是解题的关键. 15．(1) (2) 【分析】（1）由公式法求绝对值不等式的解集； （2）分式不等式转化为整式不等式，利用二次不等式的解法求解. 【详解】（1）由可得， ， 解得， 所以不等式的解集为. （2）由可得， 化简得：， 即， 解得或， 所以不等式的解集为. 16．(1)， (2)16 【分析】（1）借助一元二次不等式的性质结合一元二次方程根与系数的关系计算即可得； （2）代入计算可得，再借助基本不等式“1”的妙用计算即可得. 【详解】（1）由题意知，和是方程的两根， 所以，，解得，； （2）当时，，则，即， 因为，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为16. 17．(1) (2)答案见详解 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集与其对应的方程的根之间的关系，结合韦达定理计算即可求解； （2）原不等式可变形为，分类讨论：、、、，解出对应不等式的解集即可. 【详解】（1）由题意知，，即. 因为不等式的解集为， 所以是方程的两个实根， 有，解得, 此时不等式为，符合题意， 所以； （2）由（1）知，， 则不等式可变形为， 若，则，解得， 此时原不等式的解集为； 若，则方程的解为或， 当即时，原不等式的解集为； 当即时，原不等式的解集为； 当即时，原不等式的解集为. 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 18．(1)； (2)当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为或， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为或； (3). 【分析】（1）代入得到二次函数解析式，由对称轴求出单调区间，从而求出值域； （2）对分类讨论，结合一次不等式或二次不等式的解法要求，得出对应解集； （3）由不等式化简后整理得到，求出的最小值即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 的图象的对称轴为，故在上单调递减， 当时，；当时，， 故在上的值域为； （2）当时，，由得：； 当时，， 当时，，由得：； 当时，即，由得：或； 当时，即，，由得：解得； 当时，即，由得：或； 综上：当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为或， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为或； （3）由得， 即，由于 得： 即，因，故， 故 ， 令，现求在上的最小值，即， 设，则，代入得： 由基本不等式， 当且仅当，即时取等号）. 此时对应，不等式可取等号， 故， 故，即的取值范围为. 19．(1) (2)或 (3) 【分析】（1）利用两个等式特征，可将可看作方程的两个异实数根，由韦达定理即可求出所求式的值； （2）由题设等式，可将可看作方程的两个实数根，求出两根，分情况讨论求解即得； （3）由题意，使，求得，利用韦达定理求得，将所求式整理化简得，结合题设条件，即可求得的所有取值. 【详解】（1）由，，， 可将可看作方程的两个不相等的实数根， 由韦达定理，， 所以； （2）由，， 可将可看作方程的两个实数根， 由解得或， 则有或， ① 当时，； ② 当时，． 所以的值为22或37． （3）由题意和韦达定理，可得，， 且，解得， 故 因，又，故必为的因数， 则的值可能为， 则实数k的值可能为，又， 故k的所有取值为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $高一数学寒假作业(二)一元二次函数、方程和不等式 一、单选题 1.已知,则( ) A. B. C. D.与的大小无法判断 2.不等式的解集为( ) A. B. C. D. 3.若,,则下列不等式正确的是( ) A. B. C. D. 4.若为实数,且,则下列命题中正确的是( ) A. B. C. D. 5.若关于的不等式的解集为,则的值是( ) A. B. C. D.2 6.已知,则的最小值为( ) A. B.0 C.1 D. 7.已知命题“”为假命题,则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 8.若关于的不等式恰有3个整数解,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 二、多选题 9.十六世纪中叶,英国数学家雷科德在《励智石》一书中首先把“=”作为等号使用,后来英国数学家哈里奥特首次使用“<”和“>”符号,并逐渐被数学界接受,不等号的引入对不等式的发展影响深远.若,则下列说法不成立的是( ) A.若且,则 B.若,则 C.若,则 D.若且,则 10.已知实数a,b,c满足,且,则( ) A. B. C. D. 11.已知正数,满足,下列结论正确的是( ) A. B. C.的最小值为12 D.的最小值为14 三、填空题 12.若正数满足,则的最小值为 . 13.不等式的解集为 . 14.函数,,最大值为,则的最小值是 四、解答题 15.求下列不等式的解集: (1); (2). 16.设函数. (1)若不等式的解集为,求,的值; (2)当时,,,,求的最小值. 17.已知关于x的不等式的解集为. (1)求实数a,b的值; (2)若,求关于x的不等式的解集. 18.设函数 (1)当时,求在上的值域; (2)求不等式的解集; (3)若对恒成立,求实数的取值范围. 19.法国数学家佛郎索瓦・韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系,由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间的这种关系,人们把这个关系称为韦达定理,它的内容为:“对于一元二次方程,它的两根、有如下关系:.” 韦达定理还有逆定理,它的内容为:“如果两数和满足如下关系:,那么这两个数和是方程的根.”通过韦达定理的逆定理,我们就可以利用两数的和与积的关系构造一元二次方程 例如:,那么和是方程的两根.请应用上述材料解决以下问题: (1)已知、是两个不相等的实数,且满足,,求的值; (2)已知实数、满足,,求的值; (3)已知,是二次函数的两个零点,且,求使的值为整数的所有的值. 答案第1页,共2页 试题第1页,共2页 学科网(北京)股份有限公司 $