寒假作业 一元二次函数、方程和不等式 巩固训练01-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

寒假作业一元二次函数、方程和不等式巩固训练01-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（25-26高一上·江苏扬州·期末）设为正实数，若，则的最小值是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（25-26高一上·宁夏银川·月考），，则，的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 3．（25-26高一上·四川成都·期末）若，则的最小值为（    ） A． B． C．20 D．40 4．（25-26高一上·广东·期中）对于任意实数a，b，c，d，以下四个命题中的真命题是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 5．（25-26高一上·浙江·期末）若正实数a，b满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·广东·月考）已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·浙江杭州·期末）对于实数，规定表示不小于的最小整数，例如：，，则不等式成立的一个必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·广东深圳·期末）若实数x，y满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2、 多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（25-26高一上·福建泉州·期末）下列不等式成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．（25-26高一上·福建厦门·期末）已知，且，则下列结论正确的有（    ） A．ab的最小值是 B．的最小值为8 C．的最小值为2 D．此方程有且仅有3组整数解 11．（25-26高一上·江西上饶·期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如：，高斯函数在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“高斯函数”进行计费，以下关于“高斯函数”的描述，正确的是（    ） A．不等式的解集为 B．若恒成立，则实数 C．不等式的解集为 D．若不等式的解集为，则 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（25-26高一上·江苏泰州·期中）不等式的解集为 . 13．（25-26高一上·广东深圳·期末）若满足且恒成立，则的取值范围是 . 14．（25-26高一上·湖南长沙·期末）在研究集合时，我们把含有限个元素的集合叫做有限集，用表示有限集合中元素的个数．设集合，若，则实数的取值集合用列举法表示为 ． 四、解答题(本大题共5小题，13+15+15+17+17共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（25-26高一上·重庆·月考）（1）比较与的大小； （2）设，比较与的大小. 16．（25-26高一上·宁夏中卫·月考）已知 (1)求的取值范围 (2)求的取值范围 (3)若，求的取值范围 17．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）物联网(Internet of Things，缩写:IOT)是基于互联网、传统电信网等信息承载体，让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络．其应用领域主要包括运输和物流、工业制造、健康医疗、智能环境(家庭、办公、工厂)等，具有十分广阔的市场前景．现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息:仓库每月土地占地费(单位：万元)，仓库到车站的距离(单位:千米，)，其中与成反比，每月库存货物费(单位：万元)与成正比；若在距离车站8千米处建仓库，则和分别为2万元和6.4万元． (1)求出与的解析式． (2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小?最小费用是多少? 18．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知函数. (1)若，且，，求的最小值； (2)若，且有两个大于1的不等实根，求a的取值范围. (3)若，解关于x的不等式. 19．（25-26高一上·四川眉山·月考）已知二次函数满足：且. (1)求函数在区间上的值域； (2)若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. (3)设，，求的最大值． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 寒假作业一元二次函数、方程和不等式巩固训练01-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（25-26高一上·江苏扬州·期末）设为正实数，若，则的最小值是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（25-26高一上·宁夏银川·月考），，则，的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 3．（25-26高一上·四川成都·期末）若，则的最小值为（    ） A． B． C．20 D．40 4．（25-26高一上·广东·期中）对于任意实数a，b，c，d，以下四个命题中的真命题是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 5．（25-26高一上·浙江·期末）若正实数a，b满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·广东·月考）已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·浙江杭州·期末）对于实数，规定表示不小于的最小整数，例如：，，则不等式成立的一个必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·广东深圳·期末）若实数x，y满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2、 多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（25-26高一上·福建泉州·期末）下列不等式成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．（25-26高一上·福建厦门·期末）已知，且，则下列结论正确的有（    ） A．ab的最小值是 B．的最小值为8 C．的最小值为2 D．此方程有且仅有3组整数解 11．（25-26高一上·江西上饶·期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如：，高斯函数在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“高斯函数”进行计费，以下关于“高斯函数”的描述，正确的是（    ） A．不等式的解集为 B．若恒成立，则实数 C．不等式的解集为 D．若不等式的解集为，则 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（25-26高一上·江苏泰州·期中）不等式的解集为 . 13．（25-26高一上·广东深圳·期末）若满足且恒成立，则的取值范围是 . 14．（25-26高一上·湖南长沙·期末）在研究集合时，我们把含有限个元素的集合叫做有限集，用表示有限集合中元素的个数．设集合，若，则实数的取值集合用列举法表示为 ． 四、解答题(本大题共5小题，13+15+15+17+17共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（25-26高一上·重庆·月考）（1）比较与的大小； （2）设，比较与的大小. 16．（25-26高一上·宁夏中卫·月考）已知 (1)求的取值范围 (2)求的取值范围 (3)若，求的取值范围 17．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）物联网(Internet of Things，缩写:IOT)是基于互联网、传统电信网等信息承载体，让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络．其应用领域主要包括运输和物流、工业制造、健康医疗、智能环境(家庭、办公、工厂)等，具有十分广阔的市场前景．现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息:仓库每月土地占地费(单位：万元)，仓库到车站的距离(单位:千米，)，其中与成反比，每月库存货物费(单位：万元)与成正比；若在距离车站8千米处建仓库，则和分别为2万元和6.4万元． (1)求出与的解析式． (2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小?最小费用是多少? 18．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知函数. (1)若，且，，求的最小值； (2)若，且有两个大于1的不等实根，求a的取值范围. (3)若，解关于x的不等式. 19．（25-26高一上·四川眉山·月考）已知二次函数满足：且. (1)求函数在区间上的值域； (2)若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. (3)设，，求的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C D A C D B BD BCD 题号 11 答案 ACD 1．B 【分析】利用基本不等式可求的最小值. 【详解】因为为正实数，故由基本不等式可得， 故，当且仅当时等号成立，故的最小值为. 故选：B. 2．B 【分析】利用作差法判断即可. 【详解】因为，， 所以 ， 所以. 故选：B. 3．C 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求解即可. 【详解】由，得同号，且， 则，即，当且仅当时取等号， 所以的最小值为20. 故选：C 4．D 【分析】举例说明判断ABC；利用不等式性质推理判断D. 【详解】对于A，取，满足，而，A错误； 对于B，取，满足，而，B错误； 对于C，取，满足，而，C错误； 对于D，由，得，则，，D正确. 故选：D 5．A 【分析】整理可得，结合基本不等式可得，，进而可得最小值. 【详解】因为正实数a，b满足，则， 又因为，即， 可得，即， 当且仅当，即时，等号成立， 则， 所以的最小值为. 故选：A. 6．C 【分析】先利用已知条件将等式变形为1的表达式，再通过“1的代换”将展开，最后应用基本不等式求出最小值，再根据不等式恒成立的条件，将问题转化为关于的不等式，从而确定的取值范围. 【详解】因为，则， 所以， 当且仅当，即时取等号， 若不等式恒成立，则， 所以，解得. 故选：C 7．D 【分析】解不等式，即可得出使不等式成立的一个必要不充分条件. 【详解】由不等式，得，解得， 又表示不小于的最小整数，所以或，即， 观察选项，D选项的包含，满足要求， 故选：D 8．B 【分析】将已知等式化为，令，把目标分式转化齐次式，，再用基本不等式求出最大值. 【详解】由可得， 令，则，， 所以，. 因为求最大值，所以，又， 所以， 当且仅当时取等号，结合可得， 进一步可得或， 所以的最大值为. 故选：B. 9．BD 【分析】根据特殊值判断A，根据不等式性质判断BD，利用作差法判断C. 【详解】当时，，故A错误； 因为，所以，所以，即，故B正确； 因为，又， 所以，即，故C错误； 因为，所以，，所以，故D正确. 故选：BD 10．BCD 【分析】对于ABC，由，得，再结合基本不等式逐个判断即可.对于D，结合，,分析整数解即可. 【详解】由，得，又， 所以，即，由得，由,故. 对于A由，令，得，解得， 即，当且仅当时，取等号，A错误； 对于B，，当且仅当时，等号成立，故B正确， 对于C，， 当且仅当时，取等号，故C正确； 对于D，由，,，故当时，；当时，；当时，，不满足整数解； 当时，；当时，，故不满足整数解； 综上，此方程有且仅有3组整数解，分别为，；，；，.故D正确. 故选：BCD 11．ACD 【分析】根据“高斯函数”的定义和性质，解不等式判断选项A；求出的取值，结合不等式恒成立求的取值范围，判断选项B；解不等式判断选项C；解不等式，利用解集求的取值范围，判断选项D． 【详解】满足不等式的整数为， 对应，对应，对应， 满足不等式的区间为，故A正确； 当时，的取值为，令，不等式对恒成立， 时：； 时：； 时：； 时：； 综上可得，，故B错误； ，解得， 是整数，故无满足条件的整数解， 解集为，故C正确； 不等式的解集为，则， 令，不等式化为， 当时，，，则， ， 当时，需满足，解得， 综上可得，故D正确 故选：ACD． 12． 【分析】分为和两种情况去绝对值符号，即可求解不等式. 【详解】因为，所以或， 即或，所以或， 所以不等式的解集为：. 故答案为： 13． 【分析】先结合题意得到，再利用基本不等式得到，进而求出的最小值为，最后得到，求解参数范围即可. 【详解】因为， 且由基本不等式得，当且仅当时等号成立， 所以， 即，得到，解得， 故的最小值为，要使恒成立， 即成立，解得.   故答案为：. 14． 【分析】求出集合，判断出的值，再根据根的个数讨论的取值即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以或． ， 当时，或； 当时，且， 关于的方程有3个不同的实数根， 且是方程的解，且， 若是方程的解，则， 此时方程的解集只有2个元素，与矛盾； 若是方程的解， 则有，即，无解， 若关于的方程只有一个解且不为和， 则，解得． 当时，的解为1，此时，符合题意； 当时，的解为，此时，不符合题意． 综上，实数的取值集合用列举法表示为． 故答案为： 15．（1）；（2）. 【分析】（1）利用作差法比较大小. （2）利用作商法比较大小. 【详解】（1）， 所以. （2）由，得，，， 因此， 所以. 16．(1) (2) (3) 【分析】（1）(2)（3）由不等式的性质即可求解； 【详解】（1）， （2） （3）由条件， ， 又 17．(1)，. (2)仓库建在距离车站千米处，才能使两项费用之和最小，最小费用是万元. 【分析】（1）由题意设，，其中，根据题目数据代入求出即可得到答案； （2）利用基本不等式即可求出答案. 【详解】（1）由题意设，，其中， 当时，，解得，，解得， 所以，. （2）由（1）知 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以仓库建在距离车站千米处，才能使两项费用之和最小，最小费用是万元. 18．(1) (2) (3)当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【分析】（1）根据题设可得，结合基本不等式即可求得；（2）分析一元二次方程根的分布情况，结合二次函数的对称轴与判别式公式即可求解；（3）将一元二次不等式进行因式分解后，对参数进行分类讨论即可求解. 【详解】（1）因为，所以，即； 所以，当且仅当时取等号； 所以的最小值是； （2）当时，，对称轴为； 因为有两个大于1的不等实根， 所以，解得， 所以的取值范围是； （3）当时，，因为， 即，即. 当时，原不等式可化为，解得； 当时，由，解得； 当时，由，解得. 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）通过待定系数法求得函数解析式，进而可求解； （2）由（1）结合判别式法即可求解； （3）通过和，确定单调性即可求解. 【详解】（1），， 此时，， 则， ，解得，. 则函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数取得最小值， 又，，则. 因此，函数在区间上的值域为； （2）由得，即， 由题意可知，不等式对任意的恒成立， 则，解得. 因此，实数的取值范围是. （3）， 对称轴为： ①当时，即：； 如图1，； ②当时，即：； 如图2. . 综上所述： 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $