寒假作业02 一元二次函数、方程和不等式（巩固培优）高一数学人教A版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业02 一元二次函数、方程和不等式 1、 等式性质与不等式的性质 1.实数的大小顺序与运算性质的关系 (1)a>b⇔a－b>0； (2)a＝b⇔a－b＝0； (3)a<b⇔a－b<0. 2.不等式的性质 (1)对称性：a＞b⇔b＜a； (2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c； (3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d； (4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a>b，c<0⇒ac<bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd； (5)可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)； (6)可开方：a＞b＞0⇒＞ (n∈N，n≥2). 2、 二次函数与一元二次方程 1.二次函数解析式的三种形式 一般式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，图象的对称轴是x＝－，顶点坐标是 顶点式 f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，图象的对称轴是x＝m，顶点坐标是(m，n) 零点式 f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，图象的对称轴是x＝ 2.二次函数的图象与性质 函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 (抛物线) 定义域 R 值域 对称轴 x＝－ 顶点坐标 奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上是减函数； 在上是增函数 在上是增函数； 在上是减函数 常用结论： ①.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关. ②.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当时恒有f(x)>0，当时，恒有f(x)<0. 3.三个“二次”间的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两相异实根 x1，x2(x1＜x2) 有两相等实根 x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 R ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ 注意： 1.有关分数的性质 (1)若a>b>0，m>0，则；(b－m>0). (2)若ab>0，且a>b⇔. 2.对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记a＝0时的情形. 3.当Δ<0时，不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R还是，要注意区别. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 等式与不等式性质 一、单选题 1．在生活中大家都有到超市购物的情况，小明发现一个有趣的现象：爸爸和妈妈每次买大米的习惯有所不同.爸爸每次都买50块钱的，而妈妈则每次都买10斤.这个时候小明若有所思，如果爸爸､妈妈各买了两次大米，两次大米的价格是不一样的，我们规定谁的平均单价低谁就合算，则（    ）更合算. A．爸爸 B．妈妈 C．一样 D．不确定 2．下列命题是真命题的为（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，，则 3．已知实数，则以下不等关系正确的是（   ） A． B． C． D． 4．已知，，则的取值范围是 . 5．已知，. (1)若，证明：. (2)求的取值范围. 题型二 一元二次方程与不等式 一、单选题 1．当时，不等式恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 2．如图，二次函数的对称轴为，且与轴交于点，则（   ） A． B．， C．的解集为 D．的解集为 三、填空题 3．关于的不等式的解集为，则关于不等式的解集为 . 四、解答题 4．（1）若“，使得”是假命题，求实数m的取值范围； （2）设集合，若，求实数a的取值范围. 题型三 恒成立问题 1．若，，则实数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知且，则“关于的不等式在上恒成立”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．若不等式 对任意恒成立，则x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（1）已知关于x的不等式 对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围. （2）已知a为实数，解关于x的不等式:. 题型四 一元二次方程在某区间有解问题 1．若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知命题．若命题为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．若关于的不等式的解集为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．，使成立，求m的取值范围 ； 题型五 不等式的应用 1．汽车在行驶中，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故产生原因的一个重要因素．在一个限速为80km/h的桥梁上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事后现场勘查测得甲车的刹车距离小于，乙车的刹车距离略超过．又知甲、乙两种车型的刹车距离（单位：）与车速（单位：）之间分别有如下关系：．则（    ） A．甲、乙两车均超过规定限速 B．甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速 C．甲车超过规定限速，乙车未超过规定限速 D．甲、乙两车均未超过规定限速 2．完成下列各题： (1)如图（1），公园的管理员计划在一面墙的同侧，用彩带围成四个相同的长方形区域，若每个区域的面积为，要使围成四个区域的彩带总长最小，则每个区域的长和宽分别是多少米？并求彩带总长的最小值； (2)如图（2），某学校要在长为，宽为的一块矩形地面上进行绿化，计划四周种花卉，花卉带的宽度相同，均为，中间植草坪. ①写出草坪的面积S关于花卉带的宽度x的函数解析式； ②若要求草坪的面积大于总面积的一半，则花卉带的宽度x的取值范围是多少？ 3．如图，有一个小矩形公园，其中，现过点修建一条笔直的围墙（不计宽度）与和的延长线分别交于点，现将小矩形公园扩建为三角形公园. (1)当多长时，才能使扩建后的公园的面积最小？并求出的最小面积. (2)当扩建后的公园的面积最小时，要对其进行规划，要求中间为三角形绿地（图中阴影部分），周围是等宽的公园健步道，如图所示. 若要保证绿地面积不小于总面积的，求健步道宽度的最大值.（小数点后保留三位小数） 参考数据：. 参考公式：. 一、单选题 1．甲乙两位驾驶员采用不同的加油方式，甲不考虑油价升降，每次都将油箱加满.乙不考虑油价升降，每次加油所花的钱数一定，多次加油之后，甲乙两位驾驶员谁的加油方式比较经济？（   ） A．甲比较经济 B．甲和乙一样经济 C．乙比较经济 D．不能确定 2．若，则（   ） A． B． C． D． 3．若关于的不等式的正整数解只有1个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．若不等式的解集为，则（    ） A．3 B．1 C． D． 5．已知，则“在上恒成立”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 6．若，，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 7．下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．关于的不等式的解集，下列说法正确的是（    ） A．当时，解集为 B．当时，解集为 C．当时，解集为 D．当时，原不等式在上恒成立 三、填空题 9．已知函数，若对任意恒成立，则实数的取值范围是 ． 10．设为两两不同的实数，若，则 . 11．若关于x的不等式的解集为，则实数a的取值范围是 ． 12．若关于x的不等式 的解集中恰好有两个整数，则实数a的取值范围为 ． 四、解答题 13．已知二次函数满足：且. (1)求函数在区间上的值域； (2)若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. (3)设，，求的最大值． 一、单选题 1．在古希腊，人们把宽与长之比为的矩形称为“黄金矩形”，这个比例被称为黄金分割比例，黄金分割在设计和建筑领域有着广泛的应用．希腊的一古建筑的复原正面图如图所示，图中的矩形为黄金矩形．若黄金矩形的边的长度超过，但不超过，则该古建筑的地面宽度（即线段的长）可能为（    ）    A． B． C． D． 2．古希腊时期，人们把宽与长之比为的矩形称为黄金矩形，把这个比值称为黄金分割比例.如图为希腊的一座古建筑，其中图中的矩形ABCD，EBCF，FGHC，FGJI，LGJK，MNJK均为黄金矩形，若M与K间的距离超过1.5米，C与F间的距离小于11米，则该古建筑中A与B间的距离可能是（    ）（参考数据：，，，，，） A．30.3米 B．30.1米 C．29.2米 D．27.4米 3．A，B，C，D四名学生的年龄关系如下.A，C的年龄之和与B，D的年龄之和相同，C，D的年龄之和大于A，B的年龄之和，B的年龄大于A，D的年龄之和，则A，B，C，D的年龄关系是（    ） A． B． C． D． 4．《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短.引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，木长几何？”，意思是：用绳子去量一根长木，绳子还余尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺.问长木长多少尺 （    ） A．11尺 B．10尺 C．6.5尺 D．6尺 5．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如.那么不等式成立的必要不充分条件可能是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．17世纪，英国数学家哈利奥特在《使用分析学》一书中首先使用了“”和“”符号，但是直到他去世10年后，这本书才正式出版，所以一般认为“”和“”符号是1631年才开始使用的，当时这两个符号并未被数学界认可，直至多年后才被广泛接受，并沿用至今．若非零实数满足，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 7．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．已知为实数，且，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 8．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远对于实数，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 三、填空题 9．“双节”遇上亚运会，民宿成为潮流趋势．民宿的改造中，窗户面积与地板面积之比越大，采光效果越好．现有一所地板面积为180平方米的民宿需要同时增加窗户和地板的面积，已知地板增加的面积是窗户增加的面积的2倍，且民宿改造后的采光效果不逊于改造前，则改造前的窗户面积最大为 平方米． 10．程大位是我国明代著名数学家、珠算发明家．其杰作《算法统宗》里的一道题为：平地秋千未起，扳绳离地一尺，送行二步恰竿齐，五尺板高离地．仕女佳人争蹴，终朝语笑欢戏，良工高士请言知，借问索长有几？将其译成现代汉语，其大意是，一架秋千当它静止不动时，踏板离地一尺，将它向前推两步（古人将一步算作五尺）即10尺，此时踏板升高离地5尺，如果这时秋千的绳索拉得很直，则绳索的长为 尺． 11．如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东方向处的热带风暴中心正以的速度向正北方向移动，距风暴中心以内的地区都将受到影响，据以上预报估计，该码头将受到热带风暴的影响时长大约为 . 四、解答题 12．《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题､新结论的重要方法. 阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入：（4）整体求和等. 例如，，求证：.证明：原式. 请根据以上阅读材料解答下列问题： (1)已知，求的值. (2)若，解关于的方程. 13．法国数学家佛郎索瓦・韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间的这种关系，人们把这个关系称为韦达定理，它的内容为：“对于一元二次方程，它的两根、有如下关系：．” 韦达定理还有逆定理，它的内容为：“如果两数和满足如下关系：，那么这两个数和是方程的根．”通过韦达定理的逆定理，我们就可以利用两数的和与积的关系构造一元二次方程 例如：，那么和是方程的两根．请应用上述材料解决以下问题： (1)已知、是两个不相等的实数，且满足，，求的值； (2)已知实数、满足，，求的值； (3)已知，是二次函数的两个零点，且，求使的值为整数的所有的值． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业02 一元二次函数、方程和不等式 1、 等式性质与不等式的性质 1.实数的大小顺序与运算性质的关系 (1)a>b⇔a－b>0； (2)a＝b⇔a－b＝0； (3)a<b⇔a－b<0. 2.不等式的性质 (1)对称性：a＞b⇔b＜a； (2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c； (3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d； (4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a>b，c<0⇒ac<bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd； (5)可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)； (6)可开方：a＞b＞0⇒＞ (n∈N，n≥2). 2、 二次函数与一元二次方程 1.二次函数解析式的三种形式 一般式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，图象的对称轴是x＝－，顶点坐标是 顶点式 f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，图象的对称轴是x＝m，顶点坐标是(m，n) 零点式 f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，图象的对称轴是x＝ 2.二次函数的图象与性质 函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 (抛物线) 定义域 R 值域 对称轴 x＝－ 顶点坐标 奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上是减函数； 在上是增函数 在上是增函数； 在上是减函数 常用结论： ①.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关. ②.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当时恒有f(x)>0，当时，恒有f(x)<0. 3.三个“二次”间的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两相异实根 x1，x2(x1＜x2) 有两相等实根 x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 R ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ 注意： 1.有关分数的性质 (1)若a>b>0，m>0，则；(b－m>0). (2)若ab>0，且a>b⇔. 2.对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记a＝0时的情形. 3.当Δ<0时，不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R还是，要注意区别. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 等式与不等式性质 一、单选题 1．在生活中大家都有到超市购物的情况，小明发现一个有趣的现象：爸爸和妈妈每次买大米的习惯有所不同.爸爸每次都买50块钱的，而妈妈则每次都买10斤.这个时候小明若有所思，如果爸爸､妈妈各买了两次大米，两次大米的价格是不一样的，我们规定谁的平均单价低谁就合算，则（    ）更合算. A．爸爸 B．妈妈 C．一样 D．不确定 【答案】A 【详解】设第一次买的大米是元/斤，第二次买的大米是元/斤，依题意，， 则爸爸两次买的大米共斤，妈妈两次买的大米共用了元， 设爸爸两次买米的平均单价为元/斤，妈妈两次买米的平均单价为元/斤. 则，， 由，即， 所以爸爸买米的方式更合算. 故选：A. 2．下列命题是真命题的为（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】D 【详解】当，时，，故A错误； 当，，，时，，故B错误； 当时，可得，故C错误； 若，，则，故D正确. 故选：D. 3．已知实数，则以下不等关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由于实数，则， ，所以， ，所以， 所以. 故选：C 4．已知，，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为，，所以； 所以，所以的取值范围是 故答案为： 5．已知，. (1)若，证明：. (2)求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）由，得， 当且仅当时取等号，且满足题设， 所以. （2）由，得；由，得， 因此，所以的取值范围是. 题型二 一元二次方程与不等式 一、单选题 1．当时，不等式恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为当时，不等式恒成立， 所以恒成立，整理得恒成立， 令，则， 解得，则的取值范围为，故C正确. 故选：C 二、多选题 2．如图，二次函数的对称轴为，且与轴交于点，则（   ） A． B．， C．的解集为 D．的解集为 【答案】BD 【详解】对于A选项，由题意可知，函数的图象开口向下，则，A错； 对于B选项，因为二次函数的对称轴为，则该函数在处取得最大值， 即，，B对； 对于C选项，因为二次函数的对称轴方程为，即，可得， 由得，即，解得， 故的解集为，C错； 对于D选项，因为二次函数与轴交于点， 则，可得， 不等式即为，即，解得， 故不等式的解集为，D对. 故选：BD. 三、填空题 3．关于的不等式的解集为，则关于不等式的解集为 . 【答案】 【详解】由不等式的解集为，得且，即. 将代入不等式，得. 因，不等式等价于. 二次不等式的零点为和， 结合二次函数开口向上的性质，解得或. 所以不等式的解集为. 故答案为： 四、解答题 4．（1）若“，使得”是假命题，求实数m的取值范围； （2）设集合，若，求实数a的取值范围. 【答案】（1）；（2）或 【详解】（1）因为“，使得”是假命题， 所以其否定为“，使得”是真命题， 所以，解得， （2）若，当时，有，解得; 当时，如图， 或 有或， 解得或， 综上可得，或. 题型三 恒成立问题 1．若，，则实数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】因为对于任意正数，不等式恒成立，则， 而，所以要使其恒成立，则. 故选：D. 2．已知且，则“关于的不等式在上恒成立”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若关于的不等式在上恒成立， 则，，解得， 因为是的真子集， 所以“关于的不等式在上恒成立”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 3．若不等式 对任意恒成立，则x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】不等式整理为关于的一元一次不等式，恒成立， ，，得或， 所以的取值范围是. 故选：A 4．（1）已知关于x的不等式 对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围. （2）已知a为实数，解关于x的不等式:. 【答案】（1）；（2）答案见解析. 【详解】（1）不等式 对任意实数x恒成立， 当时，恒成立，则符合题意； 当时，，解得， 所以实数m的取值范围是. （2）不等式， 则， 当，即时，； 当，即时，解得； 当，即时，解得， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 题型四 一元二次方程在某区间有解问题 1．若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当，则，在上显然不成立， 当，则或，得或， 综上，实数的取值范围是. 故选：D 2．已知命题．若命题为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得命题的否定为真命题， 令函数，则函数对称轴， 当，即，函数最小值为， 由题意得，即.∴ 当，即，函数最小值为， 由题意得，即或，∴. ∴， 故选：A. 3．若关于的不等式的解集为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，不等式为，此时解集不为空集，不符合题意， 当时，若解集为空集，则，解得， 当时，此时不等式的解集一定不为空集，故不符合题意， 综上可得, 故选：C 4．，使成立，求m的取值范围 ； 【答案】 【详解】因为，使成立， 所以，解得得或． 故答案为： 题型五 不等式的应用 1．汽车在行驶中，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故产生原因的一个重要因素．在一个限速为80km/h的桥梁上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事后现场勘查测得甲车的刹车距离小于，乙车的刹车距离略超过．又知甲、乙两种车型的刹车距离（单位：）与车速（单位：）之间分别有如下关系：．则（    ） A．甲、乙两车均超过规定限速 B．甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速 C．甲车超过规定限速，乙车未超过规定限速 D．甲、乙两车均未超过规定限速 【答案】B 【详解】因为甲车的刹车距离小于且，所以，得到； 因为乙车的刹车距离略超过且，所以，得到； 所以甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速. 故选：B 2．完成下列各题： (1)如图（1），公园的管理员计划在一面墙的同侧，用彩带围成四个相同的长方形区域，若每个区域的面积为，要使围成四个区域的彩带总长最小，则每个区域的长和宽分别是多少米？并求彩带总长的最小值； (2)如图（2），某学校要在长为，宽为的一块矩形地面上进行绿化，计划四周种花卉，花卉带的宽度相同，均为，中间植草坪. ①写出草坪的面积S关于花卉带的宽度x的函数解析式； ②若要求草坪的面积大于总面积的一半，则花卉带的宽度x的取值范围是多少？ 【答案】(1)和时，彩带的总长最小值为 (2)①；② 【详解】（1）设每个区域的长与宽分别为米和米，由题意可得，， 则彩带总长，当且仅当，即，时，彩带的总长最小. 所以每个区域的长与宽分别为和时，彩带的总长最小，最小值为. （2）①由题意，（）； ②因为，即， 所以，解得或，又因为，所以， 所以的取值范围时，草坪的面积大于总面积的一半. 3．如图，有一个小矩形公园，其中，现过点修建一条笔直的围墙（不计宽度）与和的延长线分别交于点，现将小矩形公园扩建为三角形公园. (1)当多长时，才能使扩建后的公园的面积最小？并求出的最小面积. (2)当扩建后的公园的面积最小时，要对其进行规划，要求中间为三角形绿地（图中阴影部分），周围是等宽的公园健步道，如图所示. 若要保证绿地面积不小于总面积的，求健步道宽度的最大值.（小数点后保留三位小数） 参考数据：. 参考公式：. 【答案】(1)当时，公园的面积最小，为 (2) 【详解】（1）设，矩形中，，则，∴， ∴ ， 当且仅当时，等号成立. 故当时，公园的面积最小，为； （2）由题意得，，，，，中EF上的高为， 如图所示，三角形绿地为，过作交于，延长交于G，易得. 设健步道宽度为x，则， 设中上的高h2，则， 则中上的高， 由得，解得. 故健步道宽度的最大值为. 一、单选题 1．甲乙两位驾驶员采用不同的加油方式，甲不考虑油价升降，每次都将油箱加满.乙不考虑油价升降，每次加油所花的钱数一定，多次加油之后，甲乙两位驾驶员谁的加油方式比较经济？（   ） A．甲比较经济 B．甲和乙一样经济 C．乙比较经济 D．不能确定 【答案】C 【详解】设两次加油的油价分别为 ，甲每次都将油箱加满，设油箱容量为V，可得甲加油的平均单价为 . 设乙每次加油花费的钱数都为M，则第一次加油的油量 ，第二次加油的油量为，两次加油的花费为2M，总共加的油量为，可得乙加油的平均单价为 因为，所以 ，所以乙比较经济， 故选：C 2．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题知，所以，A错误； 因为，所以，B错误； 因为，所以，C错误； 因为，所以，D正确. 故选：D． 3．若关于的不等式的正整数解只有1个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得． 当时，该不等式的解集中有无数个正整数，不符合题意，舍去； 当时，该不等式的解集为，则，解得7． 故选：A 4．若不等式的解集为，则（    ） A．3 B．1 C． D． 【答案】A 【详解】因为的解集为， 故且和3为方程的解， 故，故，，故. 故选： 5．已知，则“在上恒成立”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】在R上恒成立时， 当时，原不等式为，成立，故符合题意； 当时，关于的不等式在R上恒成立， 综上所述，的取值范围为， 而⫋，所以在上恒成立是的必要不充分条件. 故选：B 二、多选题 6．若，，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】，， ， ，即，故A错误； ， ，， ，即，故B正确； ，， 当时，；当时，， 不一定成立，故C错误； ，，函数单调递增， ，， ，即，故D正确． 故选：BD． 7．下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【详解】若取时，有但是，选项A不对； 由不等式的同向可加性知，若，则，选项B正确； 因为，所以，，所以有，选项C正确； 因为，所以，所以，选项D正确. 故选：BCD 8．关于的不等式的解集，下列说法正确的是（    ） A．当时，解集为 B．当时，解集为 C．当时，解集为 D．当时，原不等式在上恒成立 【答案】ABD 【详解】将不等式变形为， 利用平方差公式分解可得， 即①. 当时，①式可化为，解得，所以不等式的解集为， 故A正确； 当时，，所以不等式的解集为，故B正确； 当时，若，则，所以不等式的解集为， 不是，故C错误； 令，其图象的对称轴方程为. 当时，. 当时，，，所以， 即不等式在上恒成立，故D正确. 故选：ABD 三、填空题 9．已知函数，若对任意恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】， ，当且仅当时，等号成立； 要使对任意恒成立，只需，即， 或，解得或， 实数的取值范围为． 故答案为：． 10．设为两两不同的实数，若，则 . 【答案】 【详解】因为，所以 ① 同理可得 ②， ③； 由①得到 ④ 由②得到 ⑤ 由④、⑤得到，即；同理得   所以，化简得到 因为为两两不同的实数，所以 ，所以，得到 ； 故答案为： 11．若关于x的不等式的解集为，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】表示数轴上点到点的距离，表示数轴上点到点的距离，那么表示数轴上点到点和点的距离之和， 当时，此时取得最小值，最小值为， 当时，此时取得最小值，最小值为， 综上所述，的最小值为. 不等式的解集为，这表示的最小值要大于等于，即， 当，解得；当，解得， 综上所述，实数a的取值范围. 故答案为： 12．若关于x的不等式 的解集中恰好有两个整数，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【详解】令函数，二次函数图象开口向上， 由，得是不等式的一个整数解， 又不等式的解集中恰好有两个整数，则或， 即或，解得或， 所以实数a的取值范围为. 故答案为： 四、解答题 13．已知二次函数满足：且. (1)求函数在区间上的值域； (2)若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. (3)设，，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1），， 此时，， 则， ，解得，. 则函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数取得最小值， 又，，则. 因此，函数在区间上的值域为； （2）由得，即， 由题意可知，不等式对任意的恒成立， 则，解得. 因此，实数的取值范围是. （3）， 对称轴为： ①当时，即：； 如图1，； ②当时，即：； 如图2. . 综上所述： 一、单选题 1．在古希腊，人们把宽与长之比为的矩形称为“黄金矩形”，这个比例被称为黄金分割比例，黄金分割在设计和建筑领域有着广泛的应用．希腊的一古建筑的复原正面图如图所示，图中的矩形为黄金矩形．若黄金矩形的边的长度超过，但不超过，则该古建筑的地面宽度（即线段的长）可能为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】    设圆半径为，所以， 因为， 所以， 由题意可得， 所以， 因为， 所以， 所以，只有B选项符合题意， 故选：B. 2．古希腊时期，人们把宽与长之比为的矩形称为黄金矩形，把这个比值称为黄金分割比例.如图为希腊的一座古建筑，其中图中的矩形ABCD，EBCF，FGHC，FGJI，LGJK，MNJK均为黄金矩形，若M与K间的距离超过1.5米，C与F间的距离小于11米，则该古建筑中A与B间的距离可能是（    ）（参考数据：，，，，，） A．30.3米 B．30.1米 C．29.2米 D．27.4米 【答案】D 【详解】设米，， 因为矩形ABCD，EBCF，FGHC，FGJI，LGJK，MNJK均为黄金矩形， 所以， ， 又因为M与K间的距离超过1.5米，C与F间的距离小于11米， 所以，解得， 比较各选项可知该古建筑中A与B间的距离可能是27.4米. 故选：D 3．A，B，C，D四名学生的年龄关系如下.A，C的年龄之和与B，D的年龄之和相同，C，D的年龄之和大于A，B的年龄之和，B的年龄大于A，D的年龄之和，则A，B，C，D的年龄关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】为简便起见，复用表示四个同学的年龄，则 则：①，②,③. ①+②得,①+③得，②+③得,由于,,故由③得,, 由①得，∵,∴，∴,∴, 综上. 故选：D. 4．《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短.引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，木长几何？”，意思是：用绳子去量一根长木，绳子还余尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺.问长木长多少尺 （    ） A．11尺 B．10尺 C．6.5尺 D．6尺 【答案】C 【详解】设长木长为x尺，绳子长为y尺，则 ，解得 故选：C. 5．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如.那么不等式成立的必要不充分条件可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】先令可得：， 所以，解得， 因为是整数，所以， 即时，，时，， 整理得：， 题目要求满足不等式成立的必要不充分条件，只有符合必要不充分条件. 故选：C 二、多选题 6．17世纪，英国数学家哈利奥特在《使用分析学》一书中首先使用了“”和“”符号，但是直到他去世10年后，这本书才正式出版，所以一般认为“”和“”符号是1631年才开始使用的，当时这两个符号并未被数学界认可，直至多年后才被广泛接受，并沿用至今．若非零实数满足，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】若，显然有，A项错误． 在不等式两边同时除以（），可得，B项正确． 若，由不等式的性质可得成立； 若，则， 由不等式的性质可得，即，所以成立； 若，则显然有． 综上，，C项正确． 由，可得，当时，显然有，D项错误． 故选：BC． 7．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．已知为实数，且，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】因为， 对于选项A：因为，可得，故A正确； 对于选项B：例如，则，故B错误； 对于选项C：由不等式性质可得，故C正确； 对于选项D：由不等式性质可得，故D正确； 故选：ACD. 8．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远对于实数，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【详解】对于A，因为，所以，，所以，故A正确； 对于B，因为，所以，，所以，故B正确； 对于C，因为，所以，所以，所以，故C错误； 对于D，因为，所以，因为，所以，故选项D正确， 故选：ABD. 三、填空题 9．“双节”遇上亚运会，民宿成为潮流趋势．民宿的改造中，窗户面积与地板面积之比越大，采光效果越好．现有一所地板面积为180平方米的民宿需要同时增加窗户和地板的面积，已知地板增加的面积是窗户增加的面积的2倍，且民宿改造后的采光效果不逊于改造前，则改造前的窗户面积最大为 平方米． 【答案】 【详解】设改造前的窗户面积为，窗户增加的面积为，， 依题意，即， 所以改造前的窗户面积最大为平方米. 故答案为： 10．程大位是我国明代著名数学家、珠算发明家．其杰作《算法统宗》里的一道题为：平地秋千未起，扳绳离地一尺，送行二步恰竿齐，五尺板高离地．仕女佳人争蹴，终朝语笑欢戏，良工高士请言知，借问索长有几？将其译成现代汉语，其大意是，一架秋千当它静止不动时，踏板离地一尺，将它向前推两步（古人将一步算作五尺）即10尺，此时踏板升高离地5尺，如果这时秋千的绳索拉得很直，则绳索的长为 尺． 【答案】14.5 【详解】根据题意，如图所示的几何图形，则，，， 设绳索长度为尺，则秋千被向前推10尺时，绳索顶端距踏板的竖直距离为尺， 此时，，刚好构成一直角三角形， 则根据勾股定理可列方程为，解得， 即绳索长度为14.5尺．    故答案为：14.5 11．如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东方向处的热带风暴中心正以的速度向正北方向移动，距风暴中心以内的地区都将受到影响，据以上预报估计，该码头将受到热带风暴的影响时长大约为 . 【答案】 【详解】解：记现在热带风暴中心的位置为点，小时后热带风暴中心到达点位置， 自向轴作垂线，垂足为由题意，， 则，， 若在点处受到热带风暴的影响，则， 即， 即， 上式两边平方并化简、整理得， 解得：， 所以该码头将受到热带风暴影响的时间为． 故答案为：． 四、解答题 12．《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题､新结论的重要方法. 阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入：（4）整体求和等. 例如，，求证：.证明：原式. 请根据以上阅读材料解答下列问题： (1)已知，求的值. (2)若，解关于的方程. 【答案】(1)1 (2) 【详解】（1）已知，则有. （2）由， 关于的方程， 可化为：， 即：， ∴，即，解得：. 13．法国数学家佛郎索瓦・韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间的这种关系，人们把这个关系称为韦达定理，它的内容为：“对于一元二次方程，它的两根、有如下关系：．” 韦达定理还有逆定理，它的内容为：“如果两数和满足如下关系：，那么这两个数和是方程的根．”通过韦达定理的逆定理，我们就可以利用两数的和与积的关系构造一元二次方程 例如：，那么和是方程的两根．请应用上述材料解决以下问题： (1)已知、是两个不相等的实数，且满足，，求的值； (2)已知实数、满足，，求的值； (3)已知，是二次函数的两个零点，且，求使的值为整数的所有的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【详解】（1）由，，， 可将可看作方程的两个不相等的实数根， 由韦达定理，， 所以； （2）由，， 可将可看作方程的两个实数根， 由解得或， 则有或， ① 当时，； ② 当时，． 所以的值为22或37． （3）由题意和韦达定理，可得，， 且，解得， 故 因，又，故必为的因数， 则的值可能为， 则实数k的值可能为，又， 故k的所有取值为． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $