湖南湘西土家族苗族自治州2025-2026学年第一学期高三期末考试数学试题

高三数学 注意事项： 1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定 位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答策标号。回答非选择题时，将答案写在答题 卡上。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的， 1.已知集合A={xlx2-x-6<0},B={x2*≥1}，则A∩B= A.（-2,3) B.(-2,0] C.[0,3) D.[1,3) 2,在复平面内，2=1-2对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.若一个等差数列的第4项为5，前5项和为15，则该数列的首项为 A.-1 B.1 C.2 D.3 4.已知函数f(x)的定义域为R,设甲：f(x)=f(Ix),乙f(x)是偶函数，则甲是乙的 A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知抛物线E:y=4x的焦点为F,P是E上的动点，点A(2026,45),则1PA1+1PF1的最小 值为 A.841 B.2026 C.2027 D.4111 6.已知圆柱、圆锥的底面半径和球的半径相同，且圆柱的高等于球的直径，圆锥的体积等于圆 柱的体积，若三者的体积之和为144π，则圆锥的侧面积为 A.4√35m B.4√37m C.9√35m D.937m 7.已知函数f(x)=x°a(a∈N',a>1),记f(x)的非零极值点为t,则取最大值时，a= A.2 B.3 C.4 D.5 &.设A,B是两个随机事件，已知P()=号，P(B)=号，P(aB)=号，记C=AUB,则P(AG)= Ai c 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.在菱形ABCD中，店.而=应，点E,F满足心=2D成，花=3武，则 A.∠BAD=60° B.EF∥BD c亦--而 D.E.元=上 10.已知a>b>c>1,且log2a,log2b,log2c成等比数列，则 A.b2>ac B.b<a+c 2 C.1+log2a,1+log2b,1+log2c不可能成等比数列 D.lg2a,1+log2b,2+log2c可能成等比数列 11.已知f(x),g(x)均为奇函数，f(x+1)-1是奇函数，g(x+1)-x是偶函数，且当x∈[0,1] 时f(x)=g(x)=x2,则 a3)+f8)=4 B.对任意neN"f(n)=g(n)=n C.当且仅当x∈[4k-1,4k+1](k∈Z)时fx)=g(x) D.）-g1≤7 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知随机变量X服从正态分布N(2,02),且P(X<0)=号P(X>0),则P(2<X<4)= 粘兴给？而1计A而\ 13.已知w>0,函数f(x)=C0+尽sin在区间(0，）上单调递增，则u的最大值为 14,若对任意teR,点Acos:+),cos总在一个椭圆上运动，则该椭圆的离心率为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 某中学象棋社为了解学生对象棋的兴趣程度，对本校学生进行了随机问卷调查，调查结果 统计如下： 非常感兴趣 有一点兴趣 不感兴趣 男生 100 60 40 女生 50 50 100 (1)从参与问卷调查的学生中随机抽取1人，设事件“该学生是男生”为A,事件“该学生对 象棋不感兴趣”为B,求P(B)和P(BIA); (2)将“非常感兴趣”与“有一点兴趣”统称为“感兴趣”，兴趣程度按照“感兴趣”和“不感 兴趣”分类，根据小概率值α=0.01的独立性检验，能否认为该校男生和女生对象棋 的兴趣程度有差异？ n(ad-bc)2 P(X≥k) 0.050 0.010 0.001 附X-=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d西 3.841 6.635 10.828 16.(15分) 在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知c2-a2=bc. (1)证明：2C=A+T; (2)若△ABC的面积为2+25，A=石，求6. 数兴笙？而（比4而） 17.(15分) 如图，AC,BD为圆柱的母线，CD,AB分别为圆柱上、下底面的直径，点F在下底面圆周上 (不与A,B重合)，E为BF的中点. (I)证明：平面FAC⊥平面FBD; (2)若AB=AC=2AF=4,求平面ACE与平面CDF的夹角的余弦值. 18.(17分) 已知函数)-号+ese-r+a(eeR). (1)当f(x)为偶函数时，求曲线y=f(x)在点（π，f(π）)处的切线方程； (2)若a=-1,证明：f(x)≥x; (3)若实数a,b使得fx)≥x+6对任意xeR恒成立，当6取最大值时，求a 19.(17分) 已知双曲线E:。-1(0>0,6>0)的左右顶点分别为A(-2,0)和8(2,0)，过右焦点 F且垂直于x轴的直线与E交于M,N两点，其中点M在第一象限，IMNI=12. (1)求E的方程 (2)已知点P,Q在直线AM上，满足.Nd=22,记点P的横坐标为m. (i)求点Q的坐标（用m表示）； (ⅱ)若PQ的中点S在△ABN的外接圆内，求IPQI的取值范围，高三数学·答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1.答案C 命题透析本题考查集合的表示与运算 解析由已知得A={xl-2<x<3,B={xlx≥0，故A∩B=[0,3). 2.答案D 命题透析本题考查复数的运算与几何意义， 解析：=-2”。-2-i=2-i,由复数的几何意义可知其对应的，点位于第四象限， 3.答案A 命题透析本题考查等差数列的基本运算， 解析记数列为an},前n项和为Sn,则S=5a3=15,得a1=3,公差d=a4-a=2,所以a1=a3-4=-1. 4.答案A 命题透析本题考查充分条件与必要条件的判断： 解析对任意x∈R,若f(x)=f代Ix),则f代-x)=f(I-xl)=f八Ix)=f(x),所以f(x)是偶函数，即甲和乙是 等价的，即甲是乙的充要条件。 5.答案C 命题透析本题考查抛物线的定义的应用， 解析注意到452=2025<4×2026，故A在E内，过点P作E的准线的垂线，垂足为H,过点A作E的准线的 垂线，垂足为A',由抛物线的定义知IPA|+IPFI=IPAI+IPH≥IAA'I=2O27,当且仅当点P在线段AA'上时 等号成立 6.答案D 命题透析本题考查圆锥、圆柱、球的相关计算 解析不妨设三者半径均为r.由题意知圆柱的高为2r,故其体积为2π，故圆锥的体积为2π，而球的体积为 含，放14m=4+于-9，解得=3.记圆维的商为么，由2ar=号，得=6，放母线长1 √+=√37r,于是圆锥的侧面积S=πl=/37πr2=9√/37π. 7.答案B 命题透析本题考查利用导数研究函数的极值与最值， 解析f(x)=a-a+Cha=-a(a+ha),令f()=0,得x=n或x=0,可得1=n设g(a)） 1 2>,则g(a)三ha克，当aEc时，g(a)>0,g(a)单调递增，当ae(e,+o)时，g℃ 2 g(如)单调递减，则当a=2或3时，8(a)取得最大值又g(2)=n2=h4-g(4)<g(3),故1=3a=3 4 3 8.答案C 命题透析本题考查相互独立事件的概率与条件概率的计算 解析由已知得P(万=1-P(A)=子，注意到P(不)=P(不B),所以A,B相互独立，P(AB)=P(A)P(B) P(C)=PA+B)=PA)+P(B)-P(AB)=号所以PA1C)=1C-P-9 2 P(C)P(C=13 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的 得0分. 9.答案AC 命题透析本题考查平面向量的综合运算 解析对于A,由.A市=1cos∠BD=疗s∠BD=)在，知∠BAD=60,故A正确： 对于B,由题意得E是CD的中点，F是BC上靠近点C的三等分点，则两直线必不会平行，故B错误： 对于C,E=E武+C本=D心-号武=店-子心，故C正确： 对于D,成.花=(3成-动）·（店+动=之府-子市+名店.市=子密，故D错误 10.答案BCD 命题透析本题考查等比数列、指数对数运算、基本不等式的应用. 解析设x=log2a,y=log2b,z=log2c,则a=2,b=2',c=2,由题意知x>y>z>0,且y2=z. 对于A,由基本不等式得y=反<生，所以2y<x+,所以2产<2，即<ac,故A错误： 对于B,由A知6<Vc<“生，故B正确： 对于C,若1+x,1+y,1+z成等比数列，则(1+y)2=(1+x)(1+z),又y2=,可得2y=x+z,与2y<x+:矛 盾，故1+x,1+y,1+z不可能成等比数列，故C正确； 对于D,若1+y.2+:成等比数列则（1+y)2=(2+.可得2+1=2，取=y1=子符合条件. 故D正确. 11.答案ABD 命题透析本题考查抽象函数的对称性与周期性. 解析对于A,由f代x+1)-1是奇函数，可知曲线y=f八x)关于点(1,1)对称，而其自身关于点(0,0)对称，可 知对于任意整数k,曲线y=x)关于点(k,)对称，于是(）+()=(2-）+f(2+2）=2×2=4, 故A正确： 一2— 对于B,显然f八n)=n成立，构造G(x)=g(x)-x,由题意可知G(x)是奇函数，G(x+1)是偶函数，而G(1)= g(1)-1=0,G(2+x)=G(-x)=-G(x),于是G(2)=-G(0)=0,同理G(n)=g(n)-n=0,故B正确： 对于C,取x=4k+2(k∈Z)可得矛盾，故C错误： 对于D,分析可知f代x)-x,g(x)-x均为以4为周期的函数，且都是由曲线段y=x2-x(0≤x≤1)平移、翻转 得到的，而y=2-x(0≤x≤1)的最小值为-4，所以)-g()1≤？，故D正确。 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.答案号 命题透析本题考查正态分布的性质. 解析因为PX<0)=PX>0),而PX<0)+P(X>0)=1,所以PX<0)=右，P2<X<4)=方-P(X>4)= 之-P(X<0)=76=3 111 13.答案1 命题透析本题考查三角函数的图象与性质. 解析八x)=osur+5 sin=2ain(ar+若），由正弦函数的图象与性质可知等+石≤受，得@≤1l. 14答案号 命题透析本题考查椭圆的几何性质， 解析设=m(+）=m号m1-血号n4=分y-停n,则(-分)广=(-in=子1 )=子-子，得2-y+=子，注意到点(-，-)在该椭圆上，故椭圆关于原点对称记椭圆的长半 轴长为0则为V原+了的最大值因为-+-子≥+-生兰生兰，所以V原+了≤，当 2 且仅当=y=±时等号成立于是a=乡.2=6.此时长轴所在的直线为y=,放短轴所在的直线为y= y=-x. -x.联立得 -子.可得：号可得名=了女=分，放短轴长26个+-15- 4 反，6=号故该椭圆的半焦距c=V公-8=√？-子1，于是离心率为片= 6 3 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.命题透析本题考查独立性检验的应用. 解析(1)参与调查的总人数为100+60+40+50+50+100=400，…(1分) 所以P(B)=40+100_7 40020…………（3分 —3 40 P(B1A)=100+60+40=5 …(5分)》 (2)可得如下2×2列联表： 感兴趣 不感兴趣 合计 男生 160 40 200 女生 100 100 200 合计 260 140 400 小…(8分） 零假设H。:该校男生和女生对象棋的兴趣程度没有差异. …(9分)》 X400×160X100-40×100）-360039.56026.635.…分 200×200×260×140 91 根据小概率值α=0.01的独立性检验，推断H。不成立， 即该校男生与女生对象棋的兴趣程度有差异。… …(13分) 16.命题透析本题考查解三角形与三角恒等变换的综合应用. 解析(1)由余弦定理得c2=a2+b-2 abeos C, 又c2-a2=bc,所以b2-2 abeos C=bc,于是b-2 acos C=c,… (2分) 由正弦定理得sinB-2 sin Acos C=sinC, 再结合sinB=sin(A+C)=sin Acos C+sin Ccos A, (4分)】 可得sinC=sin Ccos A-sin Acos C=sin(C-A),…(5分)） 由A,Ce(0,r),知C+C-A=T,即2C=A+π. (7分) (2)方法-：当4=君时，2C=7爱.C=7得8=m-A-C=号 (8分) 如图，不妨作CD⊥AB,垂足为D. 设CD=x,则BD=x,AD=3x, 由2+25=分(5x+),得x=2,… …(12分)） 故b=CD+AD=2x=4.…(15分)】 方法二：当A=时，C=7四，B=丑 (8分) 6 12 4 由宁sim石=2+25，得c=8+85. (10分) 6 由正弦定理得 sin B=sin C 4 sin交 又mc=血侣=mn(骨+骨）-642所以c 4 6-5+山b,…(13分) T 2 sin 4 所以c=5,+6=8+85,解得6=4. …(15分） 2 17.命题透析本题考查空间位置关系的推理，空间向量的应用. 解析(1)因为AB是下底面圆的直径，点F在下底面圆周上，所以FA⊥FB.…(1分)》 由AC是母线，可知AC⊥平面FAB,所以FB⊥AC.…(2分）》 又FA门AC=A,所以FB⊥平面FAC.…(4分)） 因为FBC平面FBD,所以平面FAC⊥平面FBD.…(5分) (2)如图，以A为坐标原点，垂直于平面ABDC的直线为x轴，直线AB,AC分别为y轴、z轴建立空间直角坐 标系。…(6分） 已知得40.00，B04.0).C0.04).D0,4451.04(9各0 …(7分） 设平面4CE的法向量为m=(,因为花=(0.0,4).店=（气号.0 m·AC=4z=0, 所以 w正女专km5.6.0mm0分） 设平面CDF的法向量为n=(a,b,c),因为Ci=(0,4,0),C7=(5,1,-4), rn·Ci=4b=0, 所以 取n=(4,0,5). …(12分） ln.C=3a+b-4c=0. m·n 20 ==10/133 所以cs(m,n）=m,1n28×而 133 即平面ACE与平面CDF的夹角的余弦值为10③ …(15分)） 133 18.命题透析本题考查导数及其应用. 解析(1)若f(x)为偶函数，则a=0,… …(1分)） 此时到=号+m(s)=-血 5 所以)=号-1()=m, 做所球的切线方程为y三(-)土71，即三x二7…③分） 2)当a=1时x)三之+c0sx+x-1,要证/八x)>≥无 即证号+m-1≥0 设g(多+c0sx-1,则g(x)）三x-sm无 (4分) 继续求导得g”"(x)=1-cosx≥0，故g'(x)是增函数， 所以当x<0时，g'(x)<g(0)=0,当x>0时，g(x)>g'(0)=0, 所以g(x)在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增， (6分) 所以g(x)≥g(0)=0,得证.…(7分） (3)≥宁+6恒成立，即6≤)-宁恒成立则6≤[x)-宁] …(8分)） 设函数P(到=)-子，即F()=号+ms-(a+}+a, 则P(x)=x-simx-(a+）,由(2)可知F(x)是增函数，且易知其值域为R, 故存在0eR,使得F'(xo)=0,即a=-sin-2, …(10分)》 当x<x时，F(x)<0,F(x)单调递减，当x>x时，F'(x)>0,F(x)单调递增， 听以F)=P+es=(6-+一in为7 1 =-2+cos xo+xosin o+x-sin o. …(13分） 要使b最大，则取b=F(x),再分析F(x)的最大值， 设函数6()=-号+as水+inx+-i加-2之 1 则G'(x)=-x-sinx+sinx+xcos x+1-cosx=(x-1）(cosx-1),…(14分) 因为cosx-1≤0，且仅在x=2kπ(k∈Z)处等号成立， 所以当x<1时，G'(x)≥0，G(x)单调递增，当x>1时，G(x)≤0，G(x)单调递减， 所以6()=61)=-子+m1+1+1-sm1- 2 =0s1,…(16分） 即b的最大值为cos1,当b=cos1时，0=1， 19.命题透析本题考查双曲线的方程与性质，双曲线与直线、圆与直线的位置关系 解析(1)显然a=2,…(1分） 设F(c,0)(c>0), 一6 由S 后卡=1+号-名=1，得y=号则训名)》】 1MN1-2沙=12，得=12， …(3分） 故E的方程为号台1. …(4分） (2)(i)由(1)可得M(4,6),N(4,-6),所以直线AM:y=x+2,P(m,m+2),…(5分)》 设Q(n,n+2),则N币.Nd=(m-4)(n-4)+(m+8)(n+8)=2mn+4m+4n+80=22,…(6分) 2m+4 m+2,从而n+2:-25 所以n=二58-4=-2m+29 m+2 于是 2m+29-25 m+2,- m+2 (8分) (i)由Pma+2)和Q(-浮得中点S9m浮 2m+4·2m+4+2）, …(9分） 且IPQ1=2 m+2 …(10分）》 设△ABN的外接圆的圆心为T,由A(-2,0),B(2,0),可知点T在y轴上，设T(0,t), 再由1T41=1TN,得22+2=42+(t+6)2,解得1=-4，所以22+2=20，…(11分) 于是得△ABN的外接圆方程为x2+(y+4)2=20. 「y=x+2, 解得x=-2或x=-4,即为圆T与直线AM的两个交点的横坐标. lx2+(y+4)2=20, 因为点S在△ABN的外接圆内，所以-4<m-2 2m+4 <-2 (14分) 令Am+2则2-山-2-9数5)-2. 2m+4 2入 由-4<A-约-2<-2，得-4<1-2<0 所以P01=2A+-2√A-+10e(102,2v5). 因此，1PQ1的取值范围是(102,2√58). …(17分) 另解由-4翠<-2解得me(-4历-7)U(-4+西3). 所以m+2e(-2-√29，-5)U(-2+√29,5). 易知“对勾函数”y=x+25在(-2-√2四，-5)上单调递增，值域是(-2V2四，-10)，在(-2+√29,5)上单 调递减，值域是(10,2√29). 所以IPQ1=2 m+2+25 的取值范围为(102,258). m+2 7