精品解析：浙江省金华市2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

2025年下学期期末样卷九年级（上） 数学试题卷 （温馨提示：本卷满分120分，考试时间120分钟；所有答案均写在答题纸上） 一、精心选一选：（本题共30分，每小题3分） 1. 在中，，若将各边长度都扩大为原来倍，则的正弦值（ ） A. 不变 B. 扩大2倍 C. 扩大4倍 D. 缩小2倍 2. 已知的半径是5，直线与相交，则圆心到直线的距离可能是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 3. 一个布袋里放着4个黑球和2个白球，它们除了颜色以外没有任何其他区别．把布袋中的球搅匀后，从中任取3个球，则下列事件中属于必然事件的是（　　） A. 3个都是黑球 B. 2个黑球1个白球 C. 2个白球1个黑球 D. 至少有1个黑球 4. 如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处走到B处这一过程中，他在地上影子（ ） A. 逐渐变短 B. 逐渐变长 C. 先变短后变长 D. 先变长后变短 5. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，以某点为位似中心，作出与的位似比为k的位似，则位似中心的坐标和k的值分别为（ ） A. B. C. D. 6. 如图是二次函数的图象，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点在上，点为外一点，，，则的度数可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，C都在格点上，点B是线段与网格线的交点，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数和的图象关于点P对称，则P的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在四边形中，，，，，点为边上的动点．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，，则下列结论错误的是（ ） A. 的最大值是 B. 的最小值是 C. 的最小值是 D. 的最大值是 二、用心填一填（本题共18分，每小题3分） 11. 请写出一个开口向下的二次函数的表达式__________． 12. 已知线段是线段，的比例中项，，，那么______ ． 13. 如图化学实验课上，化学教师要用扇形纸片制作一个漏斗滤纸（圆锥的侧面），已知滤纸底面半径为，母线长为，则需要的扇形纸片的面积为______． 14. 将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移m个单位长度后，得到的抛物线交y轴于点A，则m的值为______． 15. 如图，正五边形中，点分别是边中点，则______． 16. 如图，在中，对角线，相交于点，已知，点在的上方，且平分，平分，记，，则关于的函数表达式为______． 三、细心答一答（本题共72分） 17. 计算：． 18. 在古镇的休息区摆有圆形桌子，每张桌子配有个座位，如图所示，小聪和小慧在古镇游玩，玩累了想坐下休息，涂色的座位代表已有人． （1）现小聪随机选择个空座位坐下，选择号空座位的概率为______； （2）用画树状图或列表的方法，求小聪和小慧坐在相邻位置的概率． 19. 在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡，从点处抛出一个小球落在点（单位：）处．小球在空中所经过的路线是抛物线的一部分． （1）求抛物线的解析式． （2）斜坡上点处有一棵树，点的横坐标为，小球恰好擦过树的顶端，求这棵树的高度． 20. 已知：如图，在中，，分别以点A，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点P和点Q，过P，Q两点作直线分别交于点D，E． （1）根据作图过程判断：直线是线段的______． （2）当时，将绕点C旋转，使与重合得到，的对应边交于点F，补全图形，并求的度数． 21. 小聪为测量河对岸大楼高度，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1． 测量方法：如图2，人眼在P点观察所测物体最高点C，量角器零刻度线上A，B两点均在视线上，将铅锤悬挂在量角器的中心点O．当铅锤静止时，测得视线与铅垂线所夹的角为α，此时的仰角为β． 实践操作：如图3，小聪利用上述工具测量河对岸大楼的高度．他先站在水平地面的点H处，视线为，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为；然后他向前走12米站在点R处，视线为，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为． 问题解决： （1）请用含α的代数式表示仰角β． （2）如果，，在同一平面内，小聪的眼睛到水平地面的距离为米，求大楼的高度．（结果保留根号） 22. 如图，为的弦，为的切线，分别与，相交于点D，E，且． （1）求证：． （2）若，，求阴影部分面积． 23. 已知二次函数（为常数）． （1）求二次函数图象的对称轴； （2）对于二次函数图象上的两点，． ①若，，且，求点的坐标； ②当，时，均满足，求的取值范围． 24. 如图，的半径为，弦直径，垂足在半径上（不与点，重合），点在上，且，连交于点，连并延长交延长线于点． （1）求的度数． （2）当时 ①求的长． ②一动直线经过圆心，线段关于直线的对称线段交于点，的面积随直线位置的改变而改变，记的面积为，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下学期期末样卷九年级（上） 数学试题卷 （温馨提示：本卷满分120分，考试时间120分钟；所有答案均写在答题纸上） 一、精心选一选：（本题共30分，每小题3分） 1. 在中，，若将各边长度都扩大为原来的倍，则的正弦值（ ） A. 不变 B. 扩大2倍 C. 扩大4倍 D. 缩小2倍 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正弦的定义是对边与斜边的比值，涉及相似三角形判定与性质，熟记正弦的定义是解决问题的关键． 先得到原直角三角形的正弦值，再将各边长度扩大为原来的倍，由相似三角形的判定与性质可知，，再计算的正弦值，比较正弦值即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 令， 的正弦值； 若将各边长度都扩大为原来的倍，则扩大后的直角三角形三条边为， ， ， ， 的正弦值； 综上所述，， 故选：A． 2. 已知的半径是5，直线与相交，则圆心到直线的距离可能是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，根据直线和相交即，即可判断． 【详解】解：∵直线与相交， ∴圆心到直线的距离小于， 符合要求的为4， 故选：A． 3. 一个布袋里放着4个黑球和2个白球，它们除了颜色以外没有任何其他区别．把布袋中的球搅匀后，从中任取3个球，则下列事件中属于必然事件的是（　　） A. 3个都是黑球 B. 2个黑球1个白球 C. 2个白球1个黑球 D. 至少有1个黑球 【答案】D 【解析】 【分析】根据必然事件的定义进行判断即可． 【详解】解：A．从4个黑球和2个白球中任取3个球，3个都是黑球是随机事件，故A不符合题意； B．从4个黑球和2个白球中任取3个球，2个黑球1个白球是随机事件，故B不符合题意； C．从4个黑球和2个白球中任取3个球，2个白球1个黑球是随机事件，故C不符合题意； D．从4个黑球和2个白球中任取3个球，至少有1个黑球是必然事件，故D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了事件的分类，解题的关键是熟练掌握必然事件是一定会发生的事件． 4. 如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处走到B处这一过程中，他在地上的影子（ ） A. 逐渐变短 B. 逐渐变长 C. 先变短后变长 D. 先变长后变短 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．熟练掌握中心投影的特征是解题关键．根据中心投影的特征可得小亮在地上的影子先变短后变长． 【详解】解：因为小亮由A处走到B处这一过程中离光源是由远到近再到远的过程， 所以他在地上的影子先变短后变长． 故选：C． 5. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，以某点为位似中心，作出与的位似比为k的位似，则位似中心的坐标和k的值分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用位似图形的性质分别得出位似中心和位似比． 【详解】解：如图所示：位似中心F的坐标为：(2，2)， k的值为： 故选：B. 【点睛】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键． 6. 如图是二次函数的图象，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与性质，熟记抛物线图象与性质是解决问题的关键． 由抛物线与轴交点位置、对称轴位置得到，逐项分析即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 抛物线交于轴正半轴上， ， 满足条件的是AD； 抛物线的对称轴， ， 满足条件的是D； 故选：D． 7. 如图，点在上，点为外一点，，，则的度数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令交于点，连接、，如图所示，先判断是等腰直角三角形，得到，从而得到，再由圆周角定理得到，最后由外角性质确定，结合四个选项中的角度判断即可得到答案． 【详解】解：令交于点，连接、，如图所示： ，， ， 等腰直角三角形，则， ， ， ， ， 是的一个外角， ， 即， 综合四个选项中的角度，只有满足要求， 故选：D． 【点睛】本题考查圆中求角度，涉及圆的基本性质、勾股定理的逆定理、圆周角定理、三角形外角性质等知识，熟记相关几何性质是解决问题的关键． 8. 如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，C都在格点上，点B是线段与网格线的交点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质和判定；由勾股定理求出，再证明，根据相似三角形的性质即可得解． 【详解】解：由勾股定理可得， 由图可知， ， ， ， 故选：． 9. 已知函数和的图象关于点P对称，则P的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的变换，求出两个函数的顶点坐标，根据对称性，求出中点坐标即可． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为； ∵， ∴顶点坐标为， ∵函数和的图象关于点P对称， ∴和关于点对称， ∴，即； 故选B． 10. 如图，在四边形中，，，，，点为边上的动点．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，，则下列结论错误的是（ ） A. 的最大值是 B. 的最小值是 C. 的最小值是 D. 的最大值是 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要围绕四边形中的动点问题展开，解题思路是先通过旋转的性质得到相关线段和角的关系，再利用勾股定理建立线段之间的联系，最后根据点与点之间的位置关系以及几何性质来分别判断各个结论的正确性． 【详解】解：∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，． 又∵，，，， 过点作于点，在上取一点，使得延长交于点，则四边形是矩形， ∴． ∴， ∴（）， ∴ ∴，即点在上运动， ∴四边形和四边形是矩形， ∴，，， ∵，，，， ∴ ∴， ∴最大时，最大， 当点与点重合时，与重合时，最小此时，，故错误，符合题意；故B正确，不符合题意； 作点关于的对称点，连接则，，过作于点，此时当、、三点共线时，最小， ∵ ∴四边形矩形， ∴，， ∴的最小值故正确，不符合题意； 当与重合时， 当与重合时，过作，则四边形矩形，如下图， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∴， 综上，最大值为．故项正确，不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定及性质，勾股定理以及几何最值问题，熟练掌握旋转的性质和勾股定理，并能根据几何图形的特点准确分析线段之间的关系是解题的关键． 二、用心填一填（本题共18分，每小题3分） 11. 请写出一个开口向下的二次函数的表达式__________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据二次函数开口向下，二次项系数为负，可据此写出满足条件的函数解析式． 【详解】解：二次函数的图象开口向下， 则二次项系数为负，即， 满足条件的二次函数的表达式为． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，二次函数的图象开口向下，二次项系数为负，此题比较简单． 12. 已知线段是线段，的比例中项，，，那么______ ． 【答案】9 【解析】 【分析】根据比例中项的定义得到，然后把、的值代入计算即可． 本题考查了比例线段：正确理解比例中项的定义是解决问题的关键． 【详解】解：根据题意得， ∵，， ∴， 解得． 故答案为：． 13. 如图化学实验课上，化学教师要用扇形纸片制作一个漏斗滤纸（圆锥的侧面），已知滤纸底面半径为，母线长为，则需要的扇形纸片的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查扇形面积公式、圆周长公式等知识，熟记相关公式是解决问题的关键． 先求出底面圆周长，再由扇形面积公式代值计算即可得到答案． 【详解】解：滤纸底面半径为， 底面圆周长为（）， 母线长为， 需要的扇形纸片的面积为（）， 故答案为：． 14. 将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移m个单位长度后，得到的抛物线交y轴于点A，则m的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据抛物线平移规则，得出新抛物线方程，再代入点A坐标求解即可． 【详解】解：由题意，平移后的解析式为， 把代入，得， 解得； 故答案为：4． 15. 如图，正五边形中，点分别是边的中点，则______． 【答案】##36度 【解析】 【分析】先由正五边形的性质得到，，再由中点定义得到，判定是等腰三角形，即可得到，再由梯形中位线得到，进而由平行线的性质得到即可确定答案． 【详解】解：在正五边形中，，， 点分别是边的中点， ， 则， 在等腰中，，则， 连接，如图所示： 点分别是边的中点， ， ， 则， 故答案为：． 【点睛】本题考查正多边形中求角度，涉及正多边形性质、中点定义、等腰三角形的判定与性质、梯形中位线的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，熟记相关几何性质是解决问题的关键． 16. 如图，在中，对角线，相交于点，已知，点在的上方，且平分，平分，记，，则关于的函数表达式为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点分别作、、的垂线，垂足为、、，由角平分线的性质可证明，，，则，，，进而证明，则，．通过等量代换可得，，从而证明，则，求得关于的函数表达式． 【详解】解：如图，过点分别作、、的垂线，垂足为、、， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 同理可得，， ∴，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，角平分线的性质与定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识是解题关键． 三、细心答一答（本题共72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，把特殊角的三角函数值代入计算即可，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 18. 在古镇的休息区摆有圆形桌子，每张桌子配有个座位，如图所示，小聪和小慧在古镇游玩，玩累了想坐下休息，涂色的座位代表已有人． （1）现小聪随机选择个空座位坐下，选择号空座位的概率为______； （2）用画树状图或列表的方法，求小聪和小慧坐在相邻位置的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查一步概率问题、两步概率问题的解法，涉及简单概率公式、列举法求概率等知识，熟记列举法及简单概率公式是解决问题的关键． （1）根据题意，由一步概率问题求解方法，直接由简单概率公式代值计算即可得到答案； （2）根据题意，列表，得到总的等可能结果及满足题意的结果，再由简单概率公式代值计算即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意可知，圆形桌子还有个空座位，现小聪随机选择个空座位坐下，选择号空座位的概率为， 故答案为； 【小问2详解】 解：列表如下： ① ② ③ ④ ① — ①② ①③ ①④ ② ②① — ②③ ②④ ③ ③① ③② — ③④ ④ ④① ④② ④③ — 由表可知，总共有种等可能的结果，其中小聪和小慧坐在相邻位置的情况有种， 小聪和小慧坐在相邻位置的概率为． 19. 在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡，从点处抛出一个小球落在点（单位：）处．小球在空中所经过的路线是抛物线的一部分． （1）求抛物线的解析式． （2）斜坡上点处有一棵树，点的横坐标为，小球恰好擦过树的顶端，求这棵树的高度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求抛物线解析式、直线解析式、求两点之间距离等知识，熟记抛物线及直线解析式的求法是解决问题的关键． （1）由待定系数法将代入求出即可得到答案； （2）延长交轴于点，如图所示，得到的横坐标为，求出直线解析式，再由（1）中抛物线解析式，将代入抛物线及直线解析式得到、即可求出这棵树的高度． 【小问1详解】 解：抛物线过点， ， 解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：延长交轴于点，如图所示： 点的横坐标为， ， 当时，，即； 设直线， 将代入，得， 则直线解析式为， 当时，，即； ， 答：这棵树的高度． 20. 已知：如图，在中，，分别以点A，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点P和点Q，过P，Q两点作直线分别交于点D，E． （1）根据作图过程判断：直线是线段的______． （2）当时，将绕点C旋转，使与重合得到，的对应边交于点F，补全图形，并求的度数． 【答案】（1）垂直平分线 （2）见解析， 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图，线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，熟知线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据作图方法可得答案； （2）根据等边对等角得到的度数，由线段垂直平分线的性质得到，根据等边对等角和三角形外角的定义求出的度数，由旋转的性质得到的度数，据此由三角形外角的性质可得答案． 【小问1详解】 解：由作图方法可知直线是线段的垂直平分线； 【小问2详解】 解：补全图形如下： ∵， ∴， ∵直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， 由旋转的性质可得， ∴． 21. 小聪为测量河对岸大楼的高度，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1． 测量方法：如图2，人眼在P点观察所测物体最高点C，量角器零刻度线上A，B两点均在视线上，将铅锤悬挂在量角器的中心点O．当铅锤静止时，测得视线与铅垂线所夹的角为α，此时的仰角为β． 实践操作：如图3，小聪利用上述工具测量河对岸大楼高度．他先站在水平地面的点H处，视线为，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为；然后他向前走12米站在点R处，视线为，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为． 问题解决： （1）请用含α的代数式表示仰角β． （2）如果，，在同一平面内，小聪的眼睛到水平地面的距离为米，求大楼的高度．（结果保留根号） 【答案】（1） （2）米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形−仰角俯角问题，列代数式，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）延长交于L，根据题意可得：，从而可得：，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答； （2）延长交于点M，根据题意可得：米，米，然后设米，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：如图：延长交于L， 由题意得： ∴， ∵， ∴ ∴； 【小问2详解】 解：延长交于点M， 由题意得：， 设米， 在中，， ∴（米）， 在中，， ∴（米）， ∵， ∴ 解得： ∴米， ∴米， ∴大楼的高度为米． 22. 如图，为的弦，为的切线，分别与，相交于点D，E，且． （1）求证：． （2）若，，求阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，扇形的面积，解题的关键是熟练掌握以上知识点； （1）连接，根据切线性质可得，再根据等腰三角形的性质可证，即可得证； （2）设，则，根据勾股定理列方程，即可求得半径，再根据阴影部分的面积即可得解． 【小问1详解】 证明：连接， 为的切线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：设，则， ， ， 解得， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积． 23. 已知二次函数（为常数）． （1）求二次函数图象的对称轴； （2）对于二次函数图象上的两点，． ①若，，且，求点的坐标； ②当，时，均满足，求的取值范围． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的基本性质、代数式的变形与代入求值、不等式组的求解，熟练掌握二次函数的对称轴公式，以及利用代数式变形转化条件、建立不等式组的方法是解题的关键． （1）由二次函数对称轴公式代值计算即可得到答案； （2）①当时，，将点，代入表达式求出，再将代入解方程得到，求出即可得到答案； ②先分析函数在时性质，结合的条件，将问题转化为关于的不等式组，通过解不等式组得到的取值范围． 【小问1详解】 解：二次函数（为常数）， 二次函数图象的对称轴为； 【小问2详解】 解：①当时，， 点，在二次函数图象上， ， 则①②得， 即， ，， ， 则， ， 将代入得 解得，则， 点的坐标； ②设且， ∵当时，，当时，， ∴当时和当时的函数值差为， ∵当，时，均满足， ∴当，时，且满足， ∵二次函数的对称轴为， ∴当和时的函数值相等， ∵中， ∴抛物线开口向上， ∵当，时，均满足， ∴， 解得． 24. 如图，的半径为，弦直径，垂足在半径上（不与点，重合），点在上，且，连交于点，连并延长交延长线于点． （1）求的度数． （2）当时 ①求的长． ②一动直线经过圆心，线段关于直线的对称线段交于点，的面积随直线位置的改变而改变，记的面积为，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）①；②． 【解析】 【分析】（1）先利用直径所对的弧为半圆得到，结合已知，推出弧之间的等量关系；再由且为直径得到弧，进而推导出，最后根据圆周角定理求出的度数． （2）①连接、，过作于；由得，通过角的互余关系证明；结合推出为等腰直角三角形，设，利用勾股定理求出的值；再通过相似三角形得到，结合及勾股定理求出的长． ②根据圆的对称性，由与关于过圆心的直线对称，得的对称点为，进而求出和的长；过作，用面积公式表示；分析的最值：当在上方且垂直于时取最小值，当在下方且垂直于时取最大值，代入面积公式求出的取值范围． 【小问1详解】 解：∵是直径， ， ∵， ， ，是直径， ， ， ∴， ； 【小问2详解】 解：①连接，过作于， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ∵，， ∴， ， ， ， 设，则，， ，， ， ， ， ， 解得（负值舍去）， ，，， ∵， ， ， ， ， ，， ， ； ②与关于过圆心的直线对称， 的对称点为点，点的对称点是点，点的对称点是点， ∴，， ， 过作于则， 当在上方且垂直于时，取最小值，此时点在上，如图， ∵ ∴, ∴， ∴ ∴， 当在下方且垂直于时，取最大值，此时点在上，连接，如图， ∵ ∴， ∴， ∴ ∴， ∴的取值范围为． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、圆的对称性以及图形面积的最值问题，熟练掌握圆周角定理、全等与相似三角形的判定和性质，结合圆的对称性分析线段最值是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $