2026年中考一轮复习讲义 专题21平行四边形(核心考点+模拟真题突破)

专题21平行四边形中考一轮复习讲义 ●分值占比:平行四边形是中考几何的重要模块，总分值约 10–15 分，覆盖选择、填空、解答（多为中档题）三种题型，常与特殊平行四边形、三角形结合命题。 ●常考考点:聚焦平行四边形的性质与判定、与特殊平行四边形（矩形 / 菱形 / 正方形）的关联、与三角形（全等 / 相似 / 中位线）的综合、图形变换（折叠 / 旋转）与平行四边形结合、面积与周长计算五大方向。 ●命题趋势:基础题侧重定义与性质的直接应用，中档题强化判定定理的逻辑推理与方法迁移，难题多为平行四边形与特殊图形、函数的综合，且图形变换、实际场景类题型占比逐年提升。 考点01:平行四边形性质直接应用题 考点02:平行四边形判定题 考点03:特殊平行四边形判定与性质题 考点04:平行四边形与三角形中位线结合题 考点05:平行四边形与函数 考点06:平行四边形相关作图 考点07:平行四边形与买哪家.概率相关 考点08:平行四边形综合应用 知识点01:定义 两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义可直接作判定）。 知识点02:核心性质（边、角、对角线、对称性） 边：对边平行且相等 角：对角相等，邻角互补 对角线：互相平分 对称性：中心对称图形（非轴对称，特殊平行四边形除外） 拓展：一条对角线分两个全等三角形，两条对角线分四个等面积三角形 知识点03:判定定理（5 条，按维度记） 边：①两组对边分别平行 ②两组对边分别相等 ③一组对边平行且相等 角：两组对角分别相等 对角线：互相平分（关键：排除 “一组对边平行，另一组对边相等”，不唯一） 知识点04:核心计算 周长：C=2×（邻边和） 面积：S=底 × 高（底高必须对应，核心易错） 常考：结合勾股定理求边长 / 高，结合性质求角度 / 线段长 知识点05:关联考点 与三角形：平行四边形对角线分两个全等三角形；三角形中位线定理（平行且等于第三边一半）常结合判定出题 与特殊平行四边形：平行四边形是基础，矩形（一角直角）、菱形（邻边相等）、正方形（一角直角 + 邻边相等）是特例，继承其所有性质 知识点06:常用辅助线 连对角线（转三角形）、作高（构直角三角形）、作平行线（构新平行四边形） 知识点07:高频易错点 1.误用 “一组对边平行，另一组对边相等” 作判定 2.面积计算底高不对应 3.混淆对称性（误认是轴对称图形） 4.对角线计算忽略 “互相平分”，直接用全长计算 5.忽略 “平行线 + 角平分线 = 等腰三角形” 模型 【模拟01.平行四边形性质直接应用】 1．（2025·浙江丽水·二模）如图，四边形是平行四边形，其对角线相交于点O，下列结论不成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在平行四边形中，延长到点E，连接，使．若，则的度数为 3．（2025·山东潍坊·二模）已知中，∠A=55°，分别以点B，点C为圆心，以大于的长为半径画弧，分别交于点M，N，作直线交于点E，则的度数为（　　）    A．55° B．60° C．65° D．70° 4．（2025·北京西城·二模）我们知道：四边形具有不稳定性.如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB在x轴上，，，边AD长为5. 现固定边AB，“推”矩形使点D落在y轴的正半轴上（落点记为），相应地，点C的对应点的坐标为 . 5．（2025·广东珠海·一模）如图，点在的对角线上，过点作，．已知，，，则四边形的面积是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．（2025·海南海口·二模）如图，正方形的边长为3，E，F是对角线上的两个动点，且，连接，，则的长为________，周长的最小值为________． 7．（2025·甘肃嘉峪关·模拟预测）如图，是边长为1的等边三角形，取边中点E，作，得到四边形，它的周长记作；取中点，作，得到四边形，它的周长记作．照此规律作下去，则 ． 【模拟02.平行四边形判定】 8．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在四边形中，，添加下列一个条件后，能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 9．（2024·陕西西安·一模）如图，已知，增加下列条件可以使四边形成为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 10．（2025·湖北恩施·一模）如图，在四边形中，，点在边上，_____．请从“①；②，”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再求证：四边形为平行四边形． 11．（2025·山西晋城·一模）如图，在中，相交于点O，点E、F在上，，顺次连接A、F、C、E，添加一个条件使得四边形是矩形，则该条件可以是 .（填一个即可） 12．（2025·河北邯郸·一模）如图，平行四边形，根据图中尺规作图的痕迹，判断下列结论中不一定成立的是（   ） . A． B． C． D． 13．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，是锐角，M，N分别是射线，上的点，利用尺规作图找一点P，使得四边形是平行四边形，则可直接判定四边形是平行四边形的条件是（    ） A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 14．（2025·云南昆明·二模）如图，平行四边形的对角线，相交于点，平分，分别交，于点，，连接，，，则下列结论：①；②；③；④．正确的个数有（）． A．1 B．2 C．3 D．4 【模拟03.特殊平行四边形的判定与性质】 15．（2025·上海虹口·二模）已知四边形是平行四边形，对角线相交于点O，下列条件中，不能判定四边形是矩形的是（   ） A． B． C． D． 16．（2025·河北沧州·二模）综合实践课上，嘉嘉画出，通过折叠的方法找一点D，使得四边形为平行四边形，图1~图3是其操作过程． （1）折叠使得点A与点C重合，折痕与相交于点O （2）沿折叠，得到直线，点E是延长线上一点 （3）沿过点O的直线再次折叠，使点B的对应点D落在上，连接， 在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形为平行四边形的条件是（    ） A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 17．（2025·黑龙江鸡西·一模）如图，是的弦，半径于点，为直径，，，则线段的长为 ． 18．（2025·河北邯郸·三模）如图，，交于点，分别是的中点，选择图中的四个点为顶点画四边形，其中能画出的平行四边形有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 19．（2025·四川雅安·一模）如图正方形的边长为4，E为中点，四边形为矩形，连接，，取中点N，中点M，连接，则的长度为（    ） A． B． C． D． 20．（2025·江苏泰州·一模）中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用如图所示的个全等直角三角形拼成正方形，并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．如图，若“弦图”中小正方形表示为，是中点，延长交于点，且，则＝ ． 【模拟04.平行四边形与中位线结合】 21．（2025·甘肃兰州·中考真题）如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在外取一点C，然后步测出的中点D，E，并步测出的长约为，由此估测A，B之间的距离约为（    ） A． B． C． D． 22．（2025·贵州铜仁·二模）如图，把一张三角形纸片ABC沿中位线DE剪开后，在平面上将绕着点E顺时针旋转180°．点D到了点F的位置，则 ． 23．（2025·辽宁大连·一模）如图，在中，，，为的中位线，过点E作交于点F，则四边形的周长为（  ） A． B．7 C．9 D．12 24．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，等腰中，，、、分别是，，的中点，则的周长为 ． 25．（2025·浙江杭州·二模）如图，点，，分别在的各边上，且，，若：：，，则的长为（   ） A． B． C． D． 26．（2025·安徽淮南·二模）如图，在中，对角线，相交于点，为的中点，为的中点，连接交于点．若，则的长为（    ） A．8 B．7 C．6 D．4 .【模拟05.平行四边形与函数】 27．（2025·安徽淮南·二模）如图，已知的顶点A在反比例函数的图象上，点B，C，D在坐标轴上，连接交于点E．若，，则k的值为 ． 28．（2025·浙江温州·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A是函数图象上的点，过点A与轴垂直的直线交轴于点，点在轴上，且．若四边形的面积为3，则的值为（    ）    A．3 B．6 C． D．4 29．（2025·上海杨浦·二模）如图，已知中，，，，以A为圆心、2为半径作圆，点D是圆A上一点，连接，点E是的中点，连接，那么长度的取值范围是 ． 30．（2025·黑龙江佳木斯·一模）如图，在中，延长至点，使，过点作，且，连接交于点.若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 31．（2025·安徽安庆·二模）如图，在凸四边形中，为边的中点，，于点．若，设，，则关于的函数图象为（        ） A． B． C． D． 32．（2025·甘肃天水·二模）如图，抛物线经过两点，并交轴于另一点，点是抛物线的顶点，直线与轴交于点 (1)求该抛物线的表达式； (2)若点是轴上一动点，分别连接，求的最大值； (3)若点是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【模拟06.平行四边形相关作图】 33．（2025·吉林长春·模拟预测）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下列要求作图．要求： (1)在图①中作面积为4的四边形，所作四边形是轴对称图形，非中心对称图形，点C、D在格点上． (2)在图②中作面积为5的四边形，所作四边形是中心对称图形，非轴对称图形，点E、F在格点上． (3)在图③中作一个面积为3的，点G不在格点上． 34．（2025·山东德州·二模）四边形的部分数据如图所示（其中度数为对应角的大小，数字为对应边的边长），在①或②处添加恰当的数据，使得四边形是平行四边形，两同学给出了如下回答．嘉嘉：①处应添加数据3，②处无须添加；淇淇：②处应添加数据4，①处无须添加．对于两位同学的回答，下列判断正确的是（     ） A．只有嘉嘉的回答正确 B．只有淇淇的回答正确 C．两人的回答都正确 D．两人的回答都不正确 35．（2025·重庆渝中·三模）如图，网格中横线和竖线的交点叫做格点，如图，在的网格中，、、三点在格点上，在余下的格点中任意选择一点（不含、、），能使得、、、构成平行四边形的概率为 ．    36．（2025·河北邢台·三模）如图1是多媒体上展示的一道数学题，淇淇的部分作图过程如图2所示，接下来淇淇以点C为圆心，长为半径作弧交射线于点D，连接，则四边形即为所求．对于淇淇得到的四边形，下列说法正确的是（   ） A．四边形一定是平行四边形 B．当时，四边形一定是矩形 C．四边形一定不是平行四边形 D．当时，四边形是平行四边形 37．（2025·北京·三模）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C是网格线交点，则的面积与的面积的大小关系为： （填“”，“”或“”）． 38．（2025·江苏南京·一模）尺规作图：如图，已知和圆外一点P． 用两种不同的方法，过点P作一条直线l交于点A、B（点A离点P较远），使得． .【模拟07.平行四边形与面积.概率结合】 39．（2025·山东东营·三模）小江玩投掷飞镖的游戏，他设计了一个如图所示的靶子，点E，F分别是平行四边形的两边，上的点，，点M，N是上任意两点，则投掷一次，飞镖落在阴影部分的概率是（    ） A． B． C． D． 40．（2025·浙江·模拟预测）如图，是内一点，连接，过点作，过点作交于点．若的面积为24，则四边形的面积为（　　） A．6 B．8 C．12 D．16 41．（2025·天津和平·二模）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A，B，C，D四个点均在格点上，与相交于点E，连接，，则与的面积之比为（   ）    A． B． C． D． 42．（2025·湖南·模拟预测）如图，四边形中，，点，分别为边，的中点．若四边形的面积为，，则的长为（     ）      A． B． C． D． 43．（2025·上海奉贤·二模）如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度．如图2，主光轴l垂直于凸透镜，且经过凸透镜光心O，将长度为8厘米的发光物箭头进行移动，使物距为32厘米，光线、传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，此时测得像距为厘米． (1)像的长度为________； (2)如图3，光线平行于主光轴l，经过凸透镜折射后通过焦点F，求凸透镜焦距的长． 44．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，，，，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【模拟08.平行四边形综合应用】 45．（2025·吉林松原·模拟预测）小明按下列步骤作图：①如图，任取两点B、D；②分别以点B和点D为圆心，任意长为半径，分别在线段BD的两侧画弧；③再分别以点B和点D为圆心，适当的长为半径画弧，与前面所画的弧分别交于点A和点C；④顺次连结各点，得到四边形．下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 46．（2025·山西·一模）如图，取两根长度不等的细木棒，，将它们的中点重合固定（记为点）．转动木棒，在由锐角变成钝角的过程中，分析以木棒四个端点为顶点的四边形，下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 47．（2025·河南郑州·二模）如图，在中 ，，，，则 的长为 48．（2025·上海宝山·二模）如图，梯形中， ，分别是边上的点，且，，交的延长线于点，与交于点，如果，那么四边形与四边形周长的差是 ．（结果用含的代数式表示） 49．（2025·湖北省直辖县级单位·模拟预测）如图，在正三角形中，，，分别是，的中点，以为直径作，是边上的动点，连接，以为直径作半圆交于点，则线段长的最小值是（   ）      A．1 B． C． D．2 50．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在和中，，，在直线上运动．若，则的最小值为 ． 51．（2025·广东深圳·三模）如图，在中，对角线与相交于点，是延长线上的一点，连接交于点已知，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 52．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，在中，D，E分别是边，的中点．将沿折叠，使点A落在平面上的处．下列不一定正确的是（   ） A． B． C． D．是等腰三角形 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题21平行四边形中考一轮复习讲义 ●分值占比:平行四边形是中考几何的重要模块，总分值约 10–15 分，覆盖选择、填空、解答（多为中档题）三种题型，常与特殊平行四边形、三角形结合命题。 ●常考考点:聚焦平行四边形的性质与判定、与特殊平行四边形（矩形 / 菱形 / 正方形）的关联、与三角形（全等 / 相似 / 中位线）的综合、图形变换（折叠 / 旋转）与平行四边形结合、面积与周长计算五大方向。 ●命题趋势:基础题侧重定义与性质的直接应用，中档题强化判定定理的逻辑推理与方法迁移，难题多为平行四边形与特殊图形、函数的综合，且图形变换、实际场景类题型占比逐年提升。 考点01:平行四边形性质直接应用题 考点02:平行四边形判定题 考点03:特殊平行四边形判定与性质题 考点04:平行四边形与三角形中位线结合题 考点05:平行四边形与函数 考点06:平行四边形相关作图 考点07:平行四边形与买哪家.概率相关 考点08:平行四边形综合应用 知识点01:定义 两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义可直接作判定）。 知识点02:核心性质（边、角、对角线、对称性） 边：对边平行且相等 角：对角相等，邻角互补 对角线：互相平分 对称性：中心对称图形（非轴对称，特殊平行四边形除外） 拓展：一条对角线分两个全等三角形，两条对角线分四个等面积三角形 知识点03:判定定理（5 条，按维度记） 边：①两组对边分别平行 ②两组对边分别相等 ③一组对边平行且相等 角：两组对角分别相等 对角线：互相平分（关键：排除 “一组对边平行，另一组对边相等”，不唯一） 知识点04:核心计算 周长：C=2×（邻边和） 面积：S=底 × 高（底高必须对应，核心易错） 常考：结合勾股定理求边长 / 高，结合性质求角度 / 线段长 知识点05:关联考点 与三角形：平行四边形对角线分两个全等三角形；三角形中位线定理（平行且等于第三边一半）常结合判定出题 与特殊平行四边形：平行四边形是基础，矩形（一角直角）、菱形（邻边相等）、正方形（一角直角 + 邻边相等）是特例，继承其所有性质 知识点06:常用辅助线 连对角线（转三角形）、作高（构直角三角形）、作平行线（构新平行四边形） 知识点07:高频易错点 1.误用 “一组对边平行，另一组对边相等” 作判定 2.面积计算底高不对应 3.混淆对称性（误认是轴对称图形） 4.对角线计算忽略 “互相平分”，直接用全长计算 5.忽略 “平行线 + 角平分线 = 等腰三角形” 模型 【模拟01.平行四边形性质直接应用】 1．（2025·浙江丽水·二模）如图，四边形是平行四边形，其对角线相交于点O，下列结论不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，根据平行四边形的性质进行判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， 无法判断， 故选：D． 2．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在平行四边形中，延长到点E，连接，使．若，则的度数为 【答案】/40度 【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．先根据平行四边形的性质可得，再根据等腰三角形的性质求解即可得． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 3．（2025·山东潍坊·二模）已知中，∠A=55°，分别以点B，点C为圆心，以大于的长为半径画弧，分别交于点M，N，作直线交于点E，则的度数为（　　）    A．55° B．60° C．65° D．70° 【答案】D 【分析】由得，根据题意得是得垂直平分线，则，得，即求得的度数． 【详解】∵解：四边形是平行四边形， ∴，，则， ∵以点B，点C为圆心，以大于的长为半径画弧，分别交于点M，N，作直线交于点E， ∴是得垂直平分线，则， 所以， 那么， 故选：D． 4．（2025·北京西城·二模）我们知道：四边形具有不稳定性.如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB在x轴上，，，边AD长为5. 现固定边AB，“推”矩形使点D落在y轴的正半轴上（落点记为），相应地，点C的对应点的坐标为 . 【答案】 【详解】分析：根据勾股定理，可得 ,根据平行四边形的性质，可得答案. 详解：由勾股定理得：= ,即(0,4). 矩形ABCD的边AB在x轴上，∴四边形是平行四边形， A=B, =AB=4-(-3)=7, 与的纵坐标相等，∴（7,4），故答案为（7,4）. 点睛：本题考查了多边形，利用平行四边形的性质得出A=B,=AB=4-(-3)=7是解题的关键. 【点睛】本题主要考查的是平行四边形性质以及垂直平分线等知识内容，熟练掌握垂直平分线性质是解题的关键． 5．（2025·广东珠海·一模）如图，点在的对角线上，过点作，．已知，，，则四边形的面积是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定及性质，根据平行四边形的判定及性质解答即可． 【详解】解：如图，点P在平行四边形的对角线上，过点P作，， ∴四边形，四边形为平行四边形， 由条件可知，，， ∴，， ∴， 故选：B． 6．（2025·海南海口·二模）如图，正方形的边长为3，E，F是对角线上的两个动点，且，连接，，则的长为________，周长的最小值为________． 【答案】； 【分析】连接，，以，为邻边作平行四边形，即可推出，则当G，F，C在同一直线上时，的最小值等于的长，然后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，， 以，为邻边作平行四边形， 则，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当G，F，C在同一直线上时，的最小值等于的长， 在中，， 在中，， ∴的最小值等于， 又∵， ∴周长的最小值为， 故答案为：；． 【点睛】本题考查轴对称-最短问题，正方形的性质、勾股定理、平行四边形的判定和性质、全等三角形的性质与判定等知识，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 7．（2025·甘肃嘉峪关·模拟预测）如图，是边长为1的等边三角形，取边中点E，作，得到四边形，它的周长记作；取中点，作，得到四边形，它的周长记作．照此规律作下去，则 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的中位线，平行线的性质，找规律，找出计算周长的规律是解题的关键；根据三角形的中位线求解，找规律可得，据此规律可求解. 【详解】解：∵是边长为1的等边三角形， ∴， ∵E是边中点，， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， 同理：以此方法得到的四边形都为菱形，且边长为前一个菱形边长的， 即，，……，， ∴. 故答案为：. 【模拟02.平行四边形判定】 8．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在四边形中，，添加下列一个条件后，能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解答本题的关键． 根据平行四边形的判定方法解答即可． 【详解】解：A、由，证明不出四边形是平行四边形，故A选项不符合题意； B 、，， 四边形是平行四边形，故B选项符合题意； C、由，证明不出四边形是平行四边形，故C选项不符合题意； D、由，证明不出四边形是平行四边形，故D选项不符合题意； 故选：B． 9．（2024·陕西西安·一模）如图，已知，增加下列条件可以使四边形成为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知平行四边形的判定定理．根据平行四边形的判定定理即可求解． 【详解】解：A．∵， ∴， ∴不能判定四边形是平行四边形；     B．不能判定四边形是平行四边形； C．∵， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形；     D．不能判定四边形是平行四边形； 故选C． 10．（2025·湖北恩施·一模）如图，在四边形中，，点在边上，_____．请从“①；②，”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再求证：四边形为平行四边形． 【答案】①或② 【分析】任选一组，后根据平行四边形的判定证明即可． 本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】解：当选择时， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形． 当选择，时， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形． 故答案为：①或②． 11．（2025·山西晋城·一模）如图，在中，相交于点O，点E、F在上，，顺次连接A、F、C、E，添加一个条件使得四边形是矩形，则该条件可以是 .（填一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，由矩形的判定可得出答案，熟记矩形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：添加使得四边形是矩形． 四边形是平行四边形， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形． 故答案为：． 12．（2025·河北邯郸·一模）如图，平行四边形，根据图中尺规作图的痕迹，判断下列结论中不一定成立的是（   ） . A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了作图-基本作图：作已知角的角平分线．平行四边形的性质．利用基本作图可对A选项直接进行判断；再根据平行四边形的性质得到，，所以，则可对B选项进行判断；同时得到，所以，则可对C、D选项进行判断． 【详解】解：由作图得平分， ∴，所以A选项不符合题意， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴，即，所以B选项不符合题意， ∴， ∴， ∴，所以C选项不符合题意， 与不能确定相等，所以D选项符合题意． 故选：D． 13．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，是锐角，M，N分别是射线，上的点，利用尺规作图找一点P，使得四边形是平行四边形，则可直接判定四边形是平行四边形的条件是（    ） A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 【答案】A 【分析】本题主要考查平行四边形的判定定理．根据尺规作图找一点P使得四边形是平行四边形，结合各选项所涉及的判定定理进行分析． 【详解】解：A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形．由尺规作图可知，所作的四边形两组对边分别平行，根据此判定定理可直接判定其为平行四边形，故该选项符合题意； B、题干中未明确体现所作四边形两组对边分别相等这一判定条件，故该选项不符合题意； C、题干中未提及所作四边形的对角线情况，故该选项不符合题意； D、题干中未明确体现所作四边形一组对边平行且相等这一判定条件，故该选项不符合题意； 故选：A． 14．（2025·云南昆明·二模）如图，平行四边形的对角线，相交于点，平分，分别交，于点，，连接，，，则下列结论：①；②；③；④．正确的个数有（）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的运用，先根据角平分线和平行线的性质得，则，由有一个角是的等腰三角形是等边三角形得是等边三角形，由外角的性质和等腰三角形的性质得，最后由平行线的性质可作判断；求出，根据平行四边形的面积公式可作判断：先根据三角形中位线定理得，然后求出，即可判断；利用勾股定理分别求出和，即可求的长，即可判断． 【详解】解：平行四边形的对角线相交于点平分，， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故结论正确，符合题意； ， ，故结论正确，符合题意； ， ， ， ， ，故结论③正确，符合题意； 在中，，由勾股定理得：， ， 在中，，由勾股定理得：， ，故结论正确，符合题意； 综上所述，结论正确的是，共4个， 故选：． 【模拟03.特殊平行四边形的判定与性质】 15．（2025·上海虹口·二模）已知四边形是平行四边形，对角线相交于点O，下列条件中，不能判定四边形是矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了添加一个条件是矩形，添加一个条件是菱形，平行四边形的性质，解题关键是掌握上述判定与性质． 根据添加一个条件是矩形，添加一个条件是菱形，平行四边形的性质，对四个条件逐一分析，再作判断． 【详解】解：四边形是平行四边形， 添加，根据对角线相等的平行四边形是矩形， 可判定四边形是矩形，故A不符合； 添加，可得， 根据对角线相等的平行四边形是矩形， 可判定四边形是矩形，故B不符合； 添加，可得出四边形是菱形， 不能判定四边形是矩形，故C符合； ∵四边形是平行四边形， ∴， 添加，可得出， 根据一个角是直角的平行四边形是矩形， 可判定四边形是矩形，故D不符合， 故选：C． 16．（2025·河北沧州·二模）综合实践课上，嘉嘉画出，通过折叠的方法找一点D，使得四边形为平行四边形，图1~图3是其操作过程． （1）折叠使得点A与点C重合，折痕与相交于点O （2）沿折叠，得到直线，点E是延长线上一点 （3）沿过点O的直线再次折叠，使点B的对应点D落在上，连接， 在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形为平行四边形的条件是（    ） A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定及折叠的性质，解题的关键是掌握折叠的性质及平行四边形的判定定理．根据折叠步骤可知，得出了对角线互相平分，从而可以判断． 【详解】解：根据条件可知：使得对角线互相平分，从而得出四边形为平行四边形， 判定四边形为平行四边形的条件是：对角线互相平分， 故选：C． 17．（2025·黑龙江鸡西·一模）如图，是的弦，半径于点，为直径，，，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，三角形中位线的性质等，连接，可得，设的半径为，则，在中，利用勾股定理可得，即得，，进而根据三角形中位线的性质得到，再根据勾股定理解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接，如图所示， ∵，， ∴， 设的半径为，则， 在中，由勾股定理得，， 解得， ∴， ∵，， ∴， ∵是直径， ∴， ∵，， ∴是的中位线， ∴， ∴， 故答案为：． 18．（2025·河北邯郸·三模）如图，，交于点，分别是的中点，选择图中的四个点为顶点画四边形，其中能画出的平行四边形有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，三角形的中位线的性质，如图，连接，，，，证明，再进一步结合平行四边形的判定方法求解即可. 【详解】解：如图，连接，，，， ∵， ∴，， ∴， ∴，，， ∴四边形是平行四边形， ∵分别是的中点， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， 综上：能画出的平行四边形有4个； 故选C 19．（2025·四川雅安·一模）如图正方形的边长为4，E为中点，四边形为矩形，连接，，取中点N，中点M，连接，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，取中点H，连接，，构造和的中位线，再结合矩形、正方形和平行线的性质推出，求出，的长，最后勾股定理求出的长度． 【详解】解：如图，连接，取中点H，连接，， ∵正方形的边长为4， ∴，， ∵E为中点， ∴，， ∵四边形为矩形， ∴，， ∵中点N，中点M，中点H， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， 在中，． 故选： A． 【点睛】本题考查中位线的应用，平行线的性质，勾股定理，矩形的性质，正方形的性质，解题的关键在于利用多个中点构造中位线． 20．（2025·江苏泰州·一模）中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用如图所示的个全等直角三角形拼成正方形，并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．如图，若“弦图”中小正方形表示为，是中点，延长交于点，且，则＝ ． 【答案】 【分析】过点作垂足为点，并延长交的延长线于点，设，，则，根据点是的中点，且，利用平行线分线段成比例，结合相似三角形的判定和性质，得到，，进而推出，再根据正切的定义可求的值． 【详解】解：如下图所示，过点作垂足为点，并延长交的延长线于点， 则：， ∴， ∴， ∵是中点， ∴， ∴， ∴， ∵正方形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，，则，， ， 整理得：， 在中，． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质、三角形中位线的性质、三角函数，解决本题的关键是构造直角三角形，利用三角形中位线的性质找到三角形边之间的关系． 【模拟04.平行四边形与中位线结合】 21．（2025·甘肃兰州·中考真题）如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在外取一点C，然后步测出的中点D，E，并步测出的长约为，由此估测A，B之间的距离约为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的中位线的实际应用，由题意，易得为的中位线，根据三角形的中位线定理，即可得出结果． 【详解】解：∵点D，E，分别为的中点， ∴为的中位线， ∴； 故选：C． 22．（2025·贵州铜仁·二模）如图，把一张三角形纸片ABC沿中位线DE剪开后，在平面上将绕着点E顺时针旋转180°．点D到了点F的位置，则 ． 【答案】 【分析】根据中位线的性质得出和的面积之比，根据旋转图形的性质得和的面积相等，从而得出答案． 【详解】解：∵DE为的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质定理，中位线的性质，旋转的性质．解题的关键在于对知识的灵活运用． 23．（2025·辽宁大连·一模）如图，在中，，，为的中位线，过点E作交于点F，则四边形的周长为（  ） A． B．7 C．9 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，中位线定理．熟练掌握相关知识是解题的关键． 先利用中位线定理得到，，接着证明四边形是平行四边形，得到，然后利用四边形的周长公式即可求解． 【详解】解：为的中位线， ，， ， 四边形是平行四边形， ，， 为的中位线， 点是的中点， ， 四边形的周长为：． 故选：B． 24．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，等腰中，，、、分别是，，的中点，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质、平行四边形的判定与性质等知识点，掌握三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半成为解题的关键． 先根据三角形中位线的性质可得，，，，从可得四边形是平行四边形，易得、，然后再求得四边形的周长即可． 【详解】解：、、分别是、、的中点， ，，，， 四边形是平行四边形， ，， ∵， ，， 四边形的周长为：． 故答案为：． 25．（2025·浙江杭州·二模）如图，点，，分别在的各边上，且，，若：：，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断四边形为平行四边形得到，再利用平行线分线段成比例，由得到，然后利用比例性质得到，从而可得到的长． 【详解】∵，，， 四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴可得， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．正确构造出是解答本题关键． 26．（2025·安徽淮南·二模）如图，在中，对角线，相交于点，为的中点，为的中点，连接交于点．若，则的长为（    ） A．8 B．7 C．6 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，三角形中位线的性质，取的中点构建平行四边形是解题的关键．取的中点，则，连接，根据三角形中位线的性质可证得四边形是平行四边形，则，进而根据平行四边形的性质，即可求解． 【详解】解：如图，取的中点，则，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵为的中点，为的中点， ∴， ∴，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴． 故选：A． .【模拟05.平行四边形与函数】 27．（2025·安徽淮南·二模）如图，已知的顶点A在反比例函数的图象上，点B，C，D在坐标轴上，连接交于点E．若，，则k的值为 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了反比例函数k的几何意义，平行四边形的性质，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键． 根据平行四边形的性质，结合三角形及平行四边形面积公式可得，则设，得到方程，解得，再根据反比例函数k的几何意义得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 设， ∵若，， ∴， 解得， ∵顶点A在反比例函数的图象上， ， ， 故答案为：10． 28．（2025·浙江温州·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A是函数图象上的点，过点A与轴垂直的直线交轴于点，点在轴上，且．若四边形的面积为3，则的值为（    ）    A．3 B．6 C． D．4 【答案】C 【分析】过点A作轴于点E，根据已知条件得到四边形是平行四边形，于是得到四边形的面积，由于，得到四边形的面积，即可得到，再由，求得． 【详解】解：过点A作轴于点E，如图所示：    ∵轴， ∴轴， 即， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数系数k的几何意义． 29．（2025·上海杨浦·二模）如图，已知中，，，，以A为圆心、2为半径作圆，点D是圆A上一点，连接，点E是的中点，连接，那么长度的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系、三角形中位线定理和勾股定理．根据题意正确作出辅助线、懂得利用中位线定理确定点的运动轨迹是解题的关键． 先取的中点，点E是的中点，连接、，根据中位线定理确定点的运动轨迹是在以为圆心，半径为1的圆上，然后根据勾股定理求出的长度，最后确定的范围． 【详解】解：取的中点，连接、、，如图： 点E是的中点，点是的中点，， ，， 当点D在圆A上时，点始终在以为圆心，半径为1的圆上， 点是的中点， ， 在中，， ， ， 即． 故答案为：． 30．（2025·黑龙江佳木斯·一模）如图，在中，延长至点，使，过点作，且，连接交于点.若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，平行线等分线段定理，熟练掌握平行线等分线段定理是解题的关键． 由平行线的等分线段定理推出，由三角形中位线定理推出，得到，根据相似三角形的判定和性质推出，求出，即可得到的长． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 故选：C． 31．（2025·安徽安庆·二模）如图，在凸四边形中，为边的中点，，于点．若，设，，则关于的函数图象为（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，二次函数关系式，中位线定理，勾股定理的应用，由为边的中点，，则，从而得知点在以为圆心，长度为半径的圆上，由垂径定理得出，，则，，再由中位线性质得，然后由勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵为边的中点，， ∴， ∴点在以为圆心，长度为半径的圆上， 如图， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵为边的中点， ∴， ∴， 在和中， 由勾股定理得：，， ∴， ∴， 整理得：， ∴， ∵， ∴选项图象符合题意， 故选：． 32．（2025·甘肃天水·二模）如图，抛物线经过两点，并交轴于另一点，点是抛物线的顶点，直线与轴交于点 (1)求该抛物线的表达式； (2)若点是轴上一动点，分别连接，求的最大值； (3)若点是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出点M、D的坐标，再根据当H，M，H三点共线时，即H与A点重合，的值最大，最大值，由勾股定理，求出的长即可； （3）分，，分别为对角线，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过两点， ∴，解得：， ∴； （2）解：∵， ∴抛物线的顶点的坐标为， 设直线的解析式为， 把，代入，得， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴， ∵， ∴当H，M，D三点共线时，即H与A点重合，的值最大， 最大值． （3）解：存在； ∵， ∴对称轴为直线， 设，， 当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时： ①为对角线时：， ∴， 当时，， ∴， ∴； ②当为对角线时：， ∴， 当时，， ∴， ∴； ③当为对角线时：， ∴， 当时，， ∴， ∴； 综上：当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，是中考常见的压轴题．涉及二次函数图象性质，待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键． 【模拟06.平行四边形相关作图】 33．（2025·吉林长春·模拟预测）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下列要求作图．要求： (1)在图①中作面积为4的四边形，所作四边形是轴对称图形，非中心对称图形，点C、D在格点上． (2)在图②中作面积为5的四边形，所作四边形是中心对称图形，非轴对称图形，点E、F在格点上． (3)在图③中作一个面积为3的，点G不在格点上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图-旋转变换、作图-轴对称变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）结合轴对称图形和中心对称图形的定义作一个面积为4的等腰梯形即可； （2）结合轴对称图形和中心对称图形的定义作一个面积为5的平行四边形即可； （3）取格点H，使，过点H利用平移的性质作的平行线，在平行线上取不是格点的点G即可． 【详解】（1）解：如图①，四边形即为所求． （2）解：如图②，四边形即为所求． （3）解：如图③，取格点H，使，过点H作的平行线，在平行线上取不是格点的点G， 则点G即为所求（答案不唯一）． 34．（2025·山东德州·二模）四边形的部分数据如图所示（其中度数为对应角的大小，数字为对应边的边长），在①或②处添加恰当的数据，使得四边形是平行四边形，两同学给出了如下回答．嘉嘉：①处应添加数据3，②处无须添加；淇淇：②处应添加数据4，①处无须添加．对于两位同学的回答，下列判断正确的是（     ） A．只有嘉嘉的回答正确 B．只有淇淇的回答正确 C．两人的回答都正确 D．两人的回答都不正确 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 先找出图中相等的量，可得，再分别对嘉嘉和淇淇添加的条件进行逐一分析判定即可． 【详解】观察图形可得，，，， ∴， 嘉嘉：①处应添加数据3，②处无须添加时，有，不能得到四边形是平行四边形，因此嘉嘉的回答不正确； 淇淇：②处应添加数据4，①处无须添加．有，利用一组对边平行且相等，可得四边形是平行四边形，因此淇淇的回答是正确的． 故选：B. 35．（2025·重庆渝中·三模）如图，网格中横线和竖线的交点叫做格点，如图，在的网格中，、、三点在格点上，在余下的格点中任意选择一点（不含、、），能使得、、、构成平行四边形的概率为 ．    【答案】 【分析】由取定点、、三点，在余下的17个点中任取一点D，构成平行四边形的有4种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：取定点、、三点，在余下的17个点中任取一点D，构成平行四边形的有3种情况，如图，   能使得、、、构成平行四边形的概率为：． 故答案为：． 【点睛】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 36．（2025·河北邢台·三模）如图1是多媒体上展示的一道数学题，淇淇的部分作图过程如图2所示，接下来淇淇以点C为圆心，长为半径作弧交射线于点D，连接，则四边形即为所求．对于淇淇得到的四边形，下列说法正确的是（   ） A．四边形一定是平行四边形 B．当时，四边形一定是矩形 C．四边形一定不是平行四边形 D．当时，四边形是平行四边形 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定、矩形的判定、尺规作图、角平分线的性质、等腰三角形的性质．核心素养表现为推理能力和空间观念．先证明，，进而得出，按作图要求得出四边形可能是平行四边形，得出结论． 【详解】解：平分． ， ， ， ， ．以点为圆心，长为半径作弧交射线于点，点会有两个位置，右侧的点可以使四边形为平行四边形，左侧的点使四边形为梯形， 四边形可能是平行四边形． 当时，点仅会有一个位置，故四边形一定是矩形， 故选B． 37．（2025·北京·三模）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C是网格线交点，则的面积与的面积的大小关系为： （填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】连接交于，连接，判定四边形是平行四边形，得到的面积，因此的面积，求出的面积，得到的面积的面积，即可得到答案．本题考查三角形的面积，平行四边形的判定和性质，关键是求出的面积，得到的面积的面积． 【详解】解：连接交于，连接， ， ， ， 四边形是平行四边形， 平行四边形的面积， 的面积， 的面积， 的面积的面积， 的面积的面积， 的面积的面积． 故答案为：． 38．（2025·江苏南京·一模）尺规作图：如图，已知和圆外一点P． 用两种不同的方法，过点P作一条直线l交于点A、B（点A离点P较远），使得． 【答案】见解析 【分析】本题考查作图−复杂作图，三角形中位线定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】方法一：连接，作线段的垂直平分线，垂足为C，以C为圆心，的半径的一半作弧交于点B，连接，延长交于点A即可（利用三角形中位线定理可得结论）； 方法二：连接，延长到C，使得，以C为圆心，直径为半径作弧交于点A，连接交于点B即可（利用三角形中位线定理可得结论）． 解：如图如图1，2所示． .【模拟07.平行四边形与面积.概率结合】 39．（2025·山东东营·三模）小江玩投掷飞镖的游戏，他设计了一个如图所示的靶子，点E，F分别是平行四边形的两边，上的点，，点M，N是上任意两点，则投掷一次，飞镖落在阴影部分的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、几何概率的知识点，准确计算是解题的关键． 将平行四边形分成平行四边形和平行四边形两部分，可得四边形内阴影部分是四边形面积的一半，四边形内阴影部分是四边形面积的一半，从而可得飞镖落在阴影部分的概率； 【详解】∵平行四边形， ∴，， 又∵， ∴， ∴四边形和四边形都是平行四边形， ∵四边形内阴影部分面积四边形面积， 四边形内阴影部分面积四边形面积， ∴阴影部分的面积平行四边形的面积， ∴飞镖在阴影部分的概率是． 故选：B． 40．（2025·浙江·模拟预测）如图，是内一点，连接，过点作，过点作交于点．若的面积为24，则四边形的面积为（　　） A．6 B．8 C．12 D．16 【答案】C 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，先证明可得，再进一步结合平行四边形的性质求解即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ∵， ， ∴， ， 同理得， 在和中， ， ∴， ， ， 如图，过点作的垂线，分别交于点，， 在平行四边形中，，， ∴， ． 故选：C． 41．（2025·天津和平·二模）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A，B，C，D四个点均在格点上，与相交于点E，连接，，则与的面积之比为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握相关知识并正确计算是解题关键． 运用网格图中隐藏的条件证明四边形为平行四边形，接着证明，最后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出． 【详解】解：如图：    由题意可知，，， ，而， 四边形为平行四边形， ， ，， ， ． 故答案为：C． 42．（2025·湖南·模拟预测）如图，四边形中，，点，分别为边，的中点．若四边形的面积为，，则的长为（     ）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查中位线的性质以及勾股定理，准确添加辅助线是解题的关键． 取边的中点，连接，，根据已知数量关系求出、的长度，结合中位线的性质，得出，，，再利用勾股定理解得的长． 【详解】如图，取边的中点，连接，， 四边形面积为，， ， 又， ，， ，分别为，的中点， 是的中位线，是的中位线， ，． 又，，， ，，， 在直角中，由勾股定理，得， 即的长度是． 43．（2025·上海奉贤·二模）如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度．如图2，主光轴l垂直于凸透镜，且经过凸透镜光心O，将长度为8厘米的发光物箭头进行移动，使物距为32厘米，光线、传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，此时测得像距为厘米． (1)像的长度为________； (2)如图3，光线平行于主光轴l，经过凸透镜折射后通过焦点F，求凸透镜焦距的长． 【答案】(1)厘米 (2)厘米 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，理解题意，结合题意证明三角形相似是解题关键． （1）可证明得到，据此代值计算即可； （2）过点作交于点E，证明四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，得到．．证明，推出．证明，推出，则厘米． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， ∵， ∴， 又∵经过点O， ∴，即， ∴厘米； （2）解：过点作交于点E，如图， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴． 同理可得四边形为平行四边形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴厘米． 答：凸透镜焦距的长为厘米． 44．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，，，，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】此题考查平行四边形的判定和性质，平行线分线段成比例． 根据平行四边形的判定和性质得到，再平行线分线段成比例解答即可． 【详解】∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵， ∴， 即， ∴． 故选：C 【模拟08.平行四边形综合应用】 45．（2025·吉林松原·模拟预测）小明按下列步骤作图：①如图，任取两点B、D；②分别以点B和点D为圆心，任意长为半径，分别在线段BD的两侧画弧；③再分别以点B和点D为圆心，适当的长为半径画弧，与前面所画的弧分别交于点A和点C；④顺次连结各点，得到四边形．下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了尺规作图、平行四边形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由作图可得，，推出四边形是平行四边形，再利用平行四边形的性质即可得出答案． 【详解】解：由作图可得，，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 由题意无法说明， 结合选项可知，A、B、D选项结论正确，不符合题意；C选项结论错误，符合题意； 故选：C． 46．（2025·山西·一模）如图，取两根长度不等的细木棒，，将它们的中点重合固定（记为点）．转动木棒，在由锐角变成钝角的过程中，分析以木棒四个端点为顶点的四边形，下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定及性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形来判断，再利用平行四边形的性质来求解． 【详解】解：中点重合固定（记为点），故，相互平分，转动木棒，在由锐角变成钝角的过程中，四边形为平行四边形； A．不一定相等，选项错误，不符合题意； B．不一定相等，选项错误，不符合题意； C．不一定相等，选项错误，不符合题意； D．由平行四边形的性质知，选项正确，符合题意； 故选：D． 47．（2025·河南郑州·二模）如图，在中 ，，，，则 的长为 【答案】4 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，平行线分线段成比例定理等知识点，熟练掌握平行四边形的判定与性质及平行线分线段成比例定理是解题的关键． 由可得四边形是平行四边形，于是可得，由可得，由平行线分线段成比例定理可得，即，进而可得，然后由即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 即， ， ， 故答案为：4． 48．（2025·上海宝山·二模）如图，梯形中， ，分别是边上的点，且，，交的延长线于点，与交于点，如果，那么四边形与四边形周长的差是 ．（结果用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了梯形的性质，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握上述定理与性质是解题的关键．利用平行四边形的判定与性质得到，，利用相似三角形的判定与性质得到，，利用周长的公式运算，化简求值即． 【详解】解：，， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形与四边形周长的差 ， 故答案为：． 49．（2025·湖北省直辖县级单位·模拟预测）如图，在正三角形中，，，分别是，的中点，以为直径作，是边上的动点，连接，以为直径作半圆交于点，则线段长的最小值是（   ）      A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】作，由题意可知，是的中位线，那么，，由是直径，可知是直角，那么，那么当最短时，最小，根据垂线段最短，可知当时，最短，根据平行线之间距离处处相等，此时，，接着在中，算得，最后算得答案． 【详解】解：在正三角形中，， ， ，分别是，的中点， ，， 在上， ， 以为直径作半圆交于点， 那么当最短时，最小，根据垂线段最短，可知当时，最短， 作，如图所示：    当时，， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，三角形中位线，度角直角三角形的性质，垂线段最短，直径所对的圆周角是90度，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 50．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在和中，，，在直线上运动．若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形、轴对称的性质等知识点，找出的最小值的线段成为解题的关键． 先根据直角三角形的性质以及勾股定理可得，如图∶将沿平移到位置，使E与F重合，作C点关于的对称点L，连接 ，则，进而说明的最小值为的长；再根据平行四边形的性质以及轴对称的性质可得，，然后解直角三角形可得、；如图：过L作于G，再解直角三角形以及线段的和差得到、，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵在和中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图∶将沿平移到位置，使E与F重合，作C点关于的对称点L，连接 ，则， ∴，即的最小值为的长， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵C点关于的对称点L， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 如图：过L作于G， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 51．（2025·广东深圳·三模）如图，在中，对角线与相交于点，是延长线上的一点，连接交于点已知，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定及性质，此题难度适中，注意掌握辅助线的作法及数形结合思想的应用．取的中点，连接，证明，然后由相似三角形的对应边成比例，即可得出答案． 【详解】解：取的中点，连接， 四边形是平行四边形，对角线与相交于点，，， ，，， ，， 点在的延长线上，， ， ， ， ． 故选：C． 52．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，在中，D，E分别是边，的中点．将沿折叠，使点A落在平面上的处．下列不一定正确的是（   ） A． B． C． D．是等腰三角形 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质可得当时，，再根据轴对称的性质可得垂直平分，即可判断选项B；由三角形中位线定理判断选项C；再由折叠的性质和平行线的性质得，最后根据等腰三角形的判定即可判断． 【详解】解：选项A：如图，当时，∵D是边的中点， ∴，故符合题意， 选项B：由题意得，点A、关于对称， ∴垂直平分， ∴，故不符合题意； 选项C：∵D，E分别是边，的中点， ∴是的中位线， ∴，故不符合题意； 选项D：∵D，E分别是边，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴，， 由折叠的性质得，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，故不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质、折叠的性质、轴对称的性质、三角形中位线定理、平行线的性质，熟练掌握相关定理是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $