陕西省延安市普通高中2026届高考模拟检测（一）数学试卷

延安市普通高中2026届高考模拟检测（一） 数 学 考生注意： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. A.1 B. C.4 D. 2. 已知集合，，则 A. B. C. D. 3. 在等差数列中，，，则 A.9 B.11 C.13 D.15 4. 已知，则“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 在一款保温杯中注入一定质量的温水，一段时间内杯中水的温度关于时间的函数的图象如图所示，在这段时间内任取三个时间点，，，其中，且，记为的导函数，则下列判断错误的是 A. B. C. D. 的解析式可能是 6. 从2，4，5，6，7这5个数字中任选3个不同的数字，这3个数字之和能被3整除的概率为 A. 　　　　 B. 　　　　 C. 　　　　 D. 7. 已知四面体满足，，均为等腰三角形，且，若，的夹角为，则二面角的大小为 A. 　　　 B. 　　　 C. 　　　 D. 8. 已知抛物线的焦点为，动点，在上，满足，若的最小值为，则 A. 　　　 B. 　　　 C. 　　　 D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则 A. B. 在上单调递增 C. 是偶函数 D. 函数有3个零点 10. 已知等比数列的公比，其前项和为，且，，则下列不等式可能成立的是 A. 　　 B. 　　 C. 　　 D. 11. 已知曲线，则下列说法正确的是 A. 曲线是中心对称图形 B. 曲线与直线仅有一个公共点 C. 曲线经过无数个整点（横坐标和纵坐标均为整数的点） D. 若点，在曲线上，且，分别在直线两侧，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 已知向量，，，若与共线，则实数的值为________。 13. 设，若函数在区间上单调递增，则的最大值为________。 14. 在一个盒子中装有4张卡片，卡片上的编号依次为1，2，3，4，现从中有放回地抽取次卡片，每次仅抽取1张，记这次抽取的卡片的最大编号为，则使得成立的最小的的值为________。 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分） 为研究中学生的专注力与阅读时长是否有关系，调查小组随机抽取了某城市部分中学生进行调查，所得数据统计如下表（单位：人）： 每日阅读时长分钟 每日阅读时长分钟 专注力达标 170 80 专注力不达标 100 150 （1）记“每日阅读时长分钟”为事件，“专注力达标”为事件，求和； （2）根据的独立性检验，能否认为中学生的专注力与阅读时长有关系？ 附：。 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 16.（15分） 已知椭圆的离心率为，顺次连接的四个顶点得到的四边形的面积为4。 （1）求的方程； （2）已知直线与交于，两点，的上顶点为，若直线，的斜率之和为4，求的值。 17.(15分) 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，. (1)若，，求面积的最大值； （2）若，，求. 18.(17分) 已知函数其中. （1）当时，求曲线在点处的切线方程. （2）若有3个不同的零点，，（）， （ⅰ）证明：； （ⅱ）若，，成等差数列，求该数列的公差. 19.(17分) 如图，已知四棱锥的底面为正方形，顶点为动点，满足平面平面，且. （1）求证：平面； （2）若平面与平面的夹角为，求的值； （3）以正方形为底面作正方体，求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 延安市普通高中2026届高考模拟检测（一） 数学·答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 答案D 命题透析 本题考查复数的模. 解析 . 2. 答案C 命题透析 本题考查集合的运算. 解析 由已知得，所以. 3. 答案B 命题透析 本题考查等差数列的性质. 解析 因为，，，所以. 4. 答案A 命题透析 本题考查充分必要条件的判定. 解析 ，所以充分性成立，反过来，，满足，但，故必要性不成立. 5. 答案C 命题透析 本题考查导数与函数的单调性. 解析 由图可知是减函数，故A正确；的下降幅度随增大而逐渐平缓，区间内温度下降的量比内温度下降的量更大，即，所以，故B正确；由曲线的切线斜率可知，故C错误；曲线的变化趋势符合指数型函数，故D正确. 6. 答案D 命题透析 本题考查排列组合、古典概型的概率. 解析 从5个数字中任选3个数字有种情况，和能够被3整除的数据组合有，，，，共4种，故所求的概率为. 7. 答案B 命题透析 本题考查空间线面位置关系和二面角的计算. 解析 将四面体补成如图所示的直三棱柱，可知，，故，又，所以，即二面角的大小为. 8. 答案C 命题透析 本题考查抛物线的定义、抛物线与直线的位置关系. 解析 如图，连接PQ，设PQ的中点为M，点P，Q，M在C的准线上的射影分别为 ，，，则 ，当 取最小值时， 也取最小值，作图可知当 轴时， 取最小值 ，此时 ，所以 . 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 答案BD 命题透析 本题考查函数的图象与性质. 解析 依题意， 对于A， ，故A错误； 对于B， 在 上单调递增，故B正确； 对于C，设 ，则 ，所以 是奇函数，故C错误； 对于D， 的零点个数即 与 的图象的交点个数，在同一直角坐标系中分别作出这两个函数的图象，如图，观察可知，两图象有3个交点，则 有3个零点，故D正确. 10. 答案ACD 命题透析 本题考查等比数列的通项公式、前项和公式. 解析 若，则，得，即，要使该式恒成立，则，此时，，即A，D成立； 若，则，可得，要使该式恒成立，则，此时，，即A，C成立. 11. 答案ABD 命题透析 本题考查曲线的方程与性质. 解析 对于A，方程可化为，则曲线可由函数的图象向右和向上各平移1个单位长度得到，而是奇函数，其图象关于原点中心对称，所以曲线关于点中心对称，故A正确； 对于B，将代入中，得，解得，则，故曲线与直线仅有一个公共点，故B正确； 对于C，在方程中，要使，均为整数，只有或，故曲线只经过2个横坐标和纵坐标均为整数的点，分别为，，故C错误； 对于D，设，，其中，当有最小值时，，关于点对称，则，令，则原式，当且仅当时等号成立，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 答案 -3 命题透析 本题考查平面向量的坐标运算、向量共线. 解析 因为，，且与共线，所以，解得. 13. 答案2 命题透析 本题考查三角函数的图象与性质. 解析 令，，可得，. 因为在区间 上单调递增，所以，解得，由，得，前面令，可得，故的最大值为. 14. 答案 命题透析 本题考查离散型随机变量的分布列及数学期望. 解析 因为，，，，，所以.由，得，又在时单调递减，，，，故的最小值为. 四、解答题：本题共小题，共分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 命题透析 本题考查用频率估计概率、独立性检验. 解析 （1）， （3分） （6分） （2）零假设：中学生的专注力与阅读时长没有关系. 由表中数据可得， （11分） 根据的独立性检验，推断零假设不成立，即认为中学生的专注力与阅读时长有关系. （13分） 16. 命题透析 本题考查椭圆的方程、直线与椭圆的综合问题. 解析 （1）依题意，得 （2分） 解得，， （4分） 故的方程为. （5分） （2）联立得得. （7分） 由，得. （8分） 设，，则，. （10分） 直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 。 由已知得 ， 即 ， 解得 。………………………………………………………………………………（15分） 17. 命题透析 本题考查平面向量与解三角形的应用。 解析 （1）当 时， 是 的中点，所以 ， …………………………………………（1分） 两边同时平方，得 ， 即 ，即 。 ……………………………………………………（3分） 又由基本不等式可得 ， 当且仅当 时等号成立，所以 。 ……………………………………………………（5分） 所以 ，即 面积的最大值为 。 …………………………………………（7分） （2）设 ，则 ，。 在 中，由正弦定理得 ，即 。① ………………………………（9分） 在 中，由正弦定理得 ，即 。② ……………………（11分） 当 时，，又 ，， 代入①②中，化简得 。 ……………………………………………………（13分） 所以 ，得 ， 即 。 …………………………………………………………………………（15分） 18. 命题透析 本题考查导数的几何意义与函数的零点。 解析 （1）当 时， 当 时，，所以 。 ……………………………………………………（2分） 又 ， 所以曲线在点处的切线方程为，即。（4分） （2）（ⅰ） 当时单调递增，且。（5分） 当时，， 若，因为，所以，即在上单调递增， 从而在上单调递增，不可能有3个零点，不符合题意。（6分） 若，令，可得， 当时，，单调递减，当时，，单调递增，（8分） 又在上单调递增，所以要使有3个零点，必须即 解得。（10分） （ⅱ） 由题可知，，， 所以， 则①，②。（12分） 设公差为，即， 由①可得，， 由②可得，，（14分） 则，化简得， 解得（负值舍去）， 即公差。（17分） 9. 命题透析 本题考查空间线面位置关系、向量法求空间角、基本不等式。 解析 （1） 记，交于点，连接，在平面内过点作，垂足为。 因为，所以垂足不与点重合。（1分） 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面。（2分） 又平面，所以。（3分） 在正方形中，，又，平面，平面， 所以平面。（4分） （2）以AB为x轴，AD为y轴，过点A的平面ABCD的垂线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系 （5分） 不妨设，则，，，. 设，则，. 因为SA=AB=1,所以a2+b2+c2=1.① (6分) 由(1)可知,SA⊥BD,所以AS→·BD→=-a+b=0,即a=b.② (7分) 设平面的法向量为，因为，， 所以{n⋅BC→=y=0,n⋅BS→=(a−1)x+by+cz=0, 取n=(c,0,1-a) （8分） 因为平面，所以平面的一个法向量为. 因为平面与平面的夹角为， 所以|cos⟨DB→，n⟩|=|DB→·n||DB→||n|=|c|2c2+(1-a)2=12.③ （10分） 由①②③，解得a=0，b=0，c=1，或a=23，b=23，c=13，即S(0,0,1)或S23,23,13. （11分） 当时，，此时； 当时，，此时. 综上所述,SCAB=33或3. (12分) （3）以正方形为底面作正方体，不妨取，则. ...（13分） 设平面的法向量为，因为，， 所以{m⋅AB→=p=0,m⋅AS→=ap+bq+cr=0, 取m=(0,-c,b). (14分) 设直线与平面所成的角为， 则sinθ=|cos⟨m，A1C→⟩|=|m·A1C→||m|·|A1C→|=|c+b|b2+c2·3， （15分） 平方得，又因为，所以， 当且仅当时等号成立，此时可取，符合题意， 故sinθ的最大值为63. (17分) 学科网（北京）股份有限公司 $