精品解析：陕西省咸阳市2026届高三上学期高考模拟检测（一）数学试题

咸阳市2026年高考模拟检测（一） 数学试题 注意事项： 1.本试卷共4页，满分150分，时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.涂写在本试卷上无效. 4.作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效. 5.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试卷不回收. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数得除法公式直接计算. 【详解】由复数，得 故选：D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简集合，根据交集的概念求解. 【详解】因为集合， 所以， 故选：B. 3. 抛物线 的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】计算出的值，由此可知准线方程. 【详解】因为抛物线，所以 ， 因为准线方程为，所以准线方程为 ， 故选：D. 4. 为了得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的图象变换规则进行选择. 【详解】因为， 所以将的图象向左平移个单位，可得函数的图象. 故选：A 5. 的展开式中，的系数为（ ） A. B. 40 C. D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项可得答案. 【详解】设的展开式的通项为 ， 令，则 ， 所以， 则的系数为 . 故选：A. 6. 已知定义域为 的函数满足，且当 时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件可得的值，再结合对称性可得的值，进而可得结果. 【详解】当 时，，得. 再由，，所以. 故选：C. 7. 已知数列的前 项和为，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件构造等比数列，进而可求的值. 【详解】因为数列的前 项和为，，所以， 即，所以，. 所以数列是以公比为3，首项为4的等比数列，所以，即. 故选：B. 8. 若关于的不等式恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题设，结合一次函数、对数函数的性质可得，进而得到，再结合基本不等式分 ，两种情况讨论求解即可. 【详解】由于函数在上单调递增，且零点为， 函数在上单调递减，且零点为， 要使不等式恒成立， 则，即， 所以， 当 时，， 当且仅当，即 时等号成立； 当时，， 当且仅当，即时等号成立. 综上所述，的取值范围为. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在 中，角 ，， 所对的边分别为，，，已知 ，， ，则（ ） A. B. C. 的周长为 D. 的面积为 【答案】BD 【解析】 【分析】由正弦定理得到，再结合三角形面积公式逐项判断即可. 【详解】因为 ，， ，所以 由正弦定理可得：，即， 则，得，则， 所以， 所以 的周长， 所以 的面积为, 由上可知AC错误，BD正确， 故选：BD 10. 已知空间向量，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据向量坐标运算，验证向量的平行和垂直，求出向量的模，利用投影向量公式计算即可. 【详解】空间向量，， ， ，故A正确， ，， 而，所以和不平行，故B错误， ， ， ，故C正确， 因为， 在上的投影向量为，故D正确. 故选：ACD. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点是正方体的上底面内（不含边界）的动点，点是棱 的中点，则以下结论正确的是（ ） A. 三棱锥的体积是定值 B. 存在点，使得 平面 C. 直线与平面 所成角的正弦值的取值范围为 D. 若 平面，则点的轨迹长度为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由等体积法可判断A，建系，由向量法逐项判断BCD. 【详解】对于A，三棱锥的体积等于三棱锥的体积， 是定值，A正确； 以为坐标原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 对于B，设，则， 若存在点，使得 平面，则， 解得：不符合，故不存在点，使得 平面，故B错误， 对于C，，易知平面 的一个法向量为， 设直线与平面 所成角为 ，则， 因为，所以， 所以，所以， 即直线与平面 所成角的正弦值的取值范围为，故C正确； 对于D， ， 则， 所以，又平面， 所以 平面，若 平面，则 ， 即，即，则， 即 ，如下图：取正方体的上底面，建立平面直角坐标系， 设直线 与交于，线段（不包括端点）即为点的轨迹， 由直线方程为 ，直线方程为，可得，则 故D正确， 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某单位为了解日用电量 （单位：千瓦时）与当天平均温度（单位：摄氏度）之间的关系，随机统计了4天的日用电量与当天的平均温度，绘制了如下表格，由表中数据可得线性回归方程，则实数________. 5 15 24 60 40 20 【答案】4 【解析】 【分析】由线性回归方程必过样本中心点求解. 【详解】由表数据可得， 所以线性回归方程必过点， 所以，解得， 故答案为：. 13. 设椭圆的左、右焦点分别是、， 为椭圆上的一点，且，，则该椭圆的离心率为________. 【答案】## 【解析】 【分析】因为在焦点三角形中，，则，又因为，由即可求解. 【详解】， 因为。所以， 所以， 所以 故答案为： 14. 设表示有限集合 中元素的个数，已知函数，，若，其中为常数，且，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】利用求导分析函数的单调性，并作出函数图象，再利用数形结合可分析出参数的范围. 【详解】由，可得， 当时，，所以在时单调递增， 当 时，，所以在时单调递减， 当时，，所以在时单调递增， 由，且，作出函数的图象，如下： 因为，所以当时，， 由于必有一个解，且， 所以也必有一个解，且与的解不相同， 由图及题设：或. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，. （1）求函数的最大值及所对应的值； （2）若方程在上有两个不同的实根，求的取值范围及的值. 【答案】（1）当时，. （2），. 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变形，结合辅助角公式，即可求正弦型函数的最大值； （2）利用正弦函数图象，可研究方程根的个数及参数范围. 【小问1详解】 由， ，则， 当，即时，. 【小问2详解】 ，则， 由正弦函数在上的图象如下， 所以方程在上有两个不同实根，则， 由对称性知，，解得：. 16. 已知函数，曲线在点处的切线与 轴相交于点. （1）求函数的单调区间； （2）若函数有三个零点，求实数的取值范围. 【答案】（1）单调递增区间是和，单调递减区间是. （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数求出函数在处的切线方程后结合其过点可求实数的值，再利用导数求出极值即可； （2）转化为方程有三个实数根，利用函数的单调性和极值，从而可求实数的取值范围. 【小问1详解】 因为，故， 令，得，， 曲线在点处的切线方程为， 因为切线与 轴相交于点， 将代入切线方程得， 即，. 即，， ，令，得或， 当 或时，，故在，上单调递增； 当 时，，故在上单调递减. 所以函数的单调递增区间是和， 单调递减区间是； 【小问2详解】 由（1）知函数的单调递增区间是和，单调递减区间是， 故函数在处取得极大值，在处取得极小值， 因为函数有三个零点，即方程有三个实数根， 且当时，，当时，， 故，所以， 即实数的取值范围是. 17. 如图，已知平行六面体，底面 为菱形，，， ，点在底面 内的射影为 的中点. （1）求证： ； （2）求直线与平面 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：连结 ，因为底面 为菱形，所以 与 交于点，且 ， 因为点在底面 内的射影为 的中点，所以 底面 . 因为 底面 ，所以 ， 又因为 ， ， 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ， 又平面 ，所以 . 由平行六面体易知，所以 . （2） 【解析】 【分析】（1）连结 ，可得 ， 底面 ，进而得到 ，可得 平面 ，可得 ，进而求证即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，以 、、所在直线分别为轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系， 因为底面 为菱形，， ，易知 ，， 在 中，由勾股定理，得 ， 易知 ， ， ， ， ， ， ， 则 ， ， . 设平面 的法向量为 ， 则即 令 ，则， ，所以 ， 设直线与平面 所成角为 ， 则. 18. 已知双曲线 ：的实轴长为2，点在 上. （1）求双曲线 的标准方程； （2）过双曲线 右焦点的直线与双曲线 的左、右两支分别交于点 、，点 是线段 的中点，过点且与垂直的直线交直线于点，点满足，求四边形面积的最小值. 【答案】（1） （2）9 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的实轴长和双曲线上点的坐标求双曲线的标准方程. （2）设直线 ： ，代入双曲线方程，利用韦达定理表示 点坐标.利用三点共线和，表示出点坐标，然后弦长公式和点到直线的距离公式表示出四边形的面积，再结合换元法和导数分析函数的单调性，求四边形面积的最小值. 【小问1详解】 由已知得，解得. 所以双曲线 的标准方程为. 【小问2详解】 设，，，， 如图： 设直线 的方程为， 联立得， ，且， ，， 所以，所以. 由， ，三点共线得，① 由 得， 又，则，② 联立①②解得，，即， 由 是线段 的中点及可知，四边形是平行四边形， 设到直线 距离为， 则， 而， . 令（且），则， 则， 令，则， 所以在上 ，单调递增； 在上 ，单调递减； 在上 ，单调递增， 又因为 ，， 所以， 当即时，符合题意， 所以. 19. 某无人机执行飞行挑战任务，规则如下：挑战按阶段依次进行，若连续两个阶段任务都执行失败，则挑战结束；每一个阶段系统随机分配一个低空任务或高空任务，分配到低空任务的概率为，分配到高空任务的概率为.已知该无人机成功完成低空任务与高空任务的概率分别为和，且各阶段任务完成情况相互独立. （1）求该无人机在一个阶段中成功完成任务的概率； （2）记为该无人机在执行完第 个阶段任务后，整个挑战还未结束的概率. ①求，； ②证明：数列单调递减.若对系统分配任务进行设置，在执行完第 个阶段任务后，当时，系统停止分配任务，求该无人机最多能挑战多少个阶段的任务? 【答案】（1） （2）①； ②设事件“第 个阶段任务结束时挑战仍然未结束”， 当时，第 个阶段任务结束时挑战仍然未结束的情况有两种： （i）第 阶段成功，且第阶段结束时挑战未终止； （ii）第 阶段失败，且第阶段成功，且第 阶段结束时挑战未终止， 因此第 个阶段任务结束时挑战仍然未结束的事件可表示为， 而各阶段任务成功与否相互独立， 因此， 当时，， 当时，，要证数列单调递减，只需证， 即， 当时，，，， 当时，，由于，故. 因此，对于，都有，从而. 当时，, 为单调递减数列. 最多能挑战6个阶段的任务 【解析】 【分析】（1）根据全概率公式即可求解， （2）①根据相互独立事件的概率公式即可求解，②根据以及相互独立事件的概率公式，利用作差法即可证明，由即可求解无人机最多能挑战6次挑战. 【小问1详解】 设事件 “分配到低空任务”，则“分配到高空任务”， 事件“在一个阶段中成功完成任务”， 依题意，，，，， 因此， 所以该无人机在一个阶段任务中成功完成任务的概率为. 【小问2详解】 ①设事件“该无人机在第 个阶段中成功完成任务”，则， 当时，挑战显然不会终止，即， 又各阶段完成任务与否相互独立， 故当时，则第1、2阶段至少成功完成一次，， ， 同理. ②当时，，经计算，， 所以该无人机最多能挑战6个阶段的任务. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 咸阳市2026年高考模拟检测（一） 数学试题 注意事项： 1.本试卷共4页，满分150分，时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.涂写在本试卷上无效. 4.作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效. 5.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试卷不回收. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线 的准线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 为了得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 5. 的展开式中，的系数为（ ） A. B. 40 C. D. 10 6. 已知定义域为 的函数满足，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列的前项和为，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 若关于的不等式恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在中，角，，所对的边分别为，，，已知 ，， ，则（ ） A. B. C. 的周长为 D. 的面积为 10. 已知空间向量，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点是正方体的上底面内（不含边界）的动点，点 是棱 的中点，则以下结论正确的是（ ） A. 三棱锥的体积是定值 B. 存在点，使得 平面 C. 直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 D. 若 平面，则点的轨迹长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某单位为了解日用电量（单位：千瓦时）与当天平均温度（单位：摄氏度）之间的关系，随机统计了4天的日用电量与当天的平均温度，绘制了如下表格，由表中数据可得线性回归方程，则实数________. 5 15 24 60 40 20 13. 设椭圆的左、右焦点分别是、，为椭圆上的一点，且，，则该椭圆的离心率为________. 14. 设表示有限集合中元素的个数，已知函数，，若，其中为常数，且，则的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，. （1）求函数的最大值及所对应的值； （2）若方程在上有两个不同的实根，求的取值范围及的值. 16. 已知函数，曲线在点处的切线与轴相交于点. （1）求函数的单调区间； （2）若函数有三个零点，求实数的取值范围. 17. 如图，已知平行六面体，底面为菱形，，， ，点在底面内的射影为的中点. （1）求证： ； （2）求直线与平面 所成角的正弦值. 18. 已知双曲线：的实轴长为2，点在上. （1）求双曲线的标准方程； （2）过双曲线右焦点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点、，点是线段的中点，过点且与垂直的直线交直线于点，点 满足，求四边形面积的最小值. 19. 某无人机执行飞行挑战任务，规则如下：挑战按阶段依次进行，若连续两个阶段任务都执行失败，则挑战结束；每一个阶段系统随机分配一个低空任务或高空任务，分配到低空任务的概率为，分配到高空任务的概率为.已知该无人机成功完成低空任务与高空任务的概率分别为和，且各阶段任务完成情况相互独立. （1）求该无人机在一个阶段中成功完成任务的概率； （2）记为该无人机在执行完第个阶段任务后，整个挑战还未结束的概率. ①求，； ②证明：数列单调递减.若对系统分配任务进行设置，在执行完第个阶段任务后，当时，系统停止分配任务，求该无人机最多能挑战多少个阶段的任务? 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $