第2章 一元二次方程（单元自测·基础卷）数学新教材浙教版八年级下册

2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第2章 一元二次方程·基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B B B A B C B C B C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．或 12． 13． 8 14． 5 15． / 16． 或 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分） 【详解】（1）解： 或 ，．（4分） （2） 或 ，．（8分） 18．（8分） 【详解】（1）解： 解得；（2分） （2）解： 或 解得，；（4分） （3）解： 或 解得，；（6分） （4）解： ，， 解得，．（8分） 19．（8分） 【详解】解：设这种水果黄瓜每个支干长出个小分支， 根据题意，得， 整理，得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：这种水果黄瓜每个支干长出个小分支．（8分） 20．（8分） 【详解】（1）证明：由可知： ， ∴一元二次方程总有两个不相等的实数根；（4分） （2）解：∵的一个实数根为2， ∴， 解得，； ∴m的值为或．（8分） 21．（8分） 【详解】解：设垂直于墙面的一边长为米，则墙对面的一边长为米，即米， 根据题意得，， 整理得， 解得，， 当时，，符合题意， 当时，，不符合题意，舍去． 答：鸡场的长和宽各为15米和10米．（8分） 22．（10分） 【详解】（1）解：对于关于x的一元二次方程， ，，， ，， ；（5分） （2）解：当时，， 此时菱形的面积为．（10分） 23．（10分） 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月均增长率为x， 依题意，得， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月均增长率为；（5分） （2）解：设该品牌头盔的销售价为y元，依题意得 ， 解得，． 尽可能让顾客得到实惠， 不合题意，舍去． 故， 答：该品牌头盔的销售价应定为50元．（10分） 24．（12分） 【详解】（1）解：由图可知，大正方形的边长为，则大正方形的面积为， ∵小长方形的面积为3，小正方形的边长为2， ∴大正方形的面积为， 由面积相等，可列方程． 故答案为：；．（4分） （2）解：对方程进行变形，得， 构造一个长为x，宽为的长方形，长比宽大1，且面积为1，如图3， 用四个这样的长方形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，如图4． 大正方形的边长为，其面积为， 可列方程， 两边开方，得， 解得，，（8分） （3）解：不可以，理由如下： 举例，如，等式右侧为负数，无法表示为长方形的面积．（12分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第2章 一元二次方程·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列关于x的方程中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．若是方程的一个解，则n的值为（   ） A．4 B． C．5 D． 3．将一元二次方程化成的形式，则等于（    ） A．40 B．13 C．7 D．4 4．已知，是关于的一元二次方程的两个根，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 6．方程的解是（　　） A． B． C． D． 7．智能汽车问界M9销售火爆．某4S店10月份销售100台，12月份销售144台．设该款汽车11月份、12月份销售量的月平均增长率为x，根据题意列出的方程是（    ） A． B． C． D． 8．若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．且 9．已知一元二次方程的两根分别为、1，则方程的两根分别为（    ）． A．、1 B．、3 C．、 D．无法确定 10．在欧几里得的《几何原本》中，形如的方程的图解法是如图（1），分别以和b为直角边作，，再在斜边上截取，则AD的长就是所求方程的正根．若关于x的一元二次方程，按照图（1）构造图（2），在中，，连接CD，若，则m的值为（   ） A．8 B．5 C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．方程的解是 ． 12．秦岭是全球野生大熊猫的重要分布区，大熊猫与朱鹮、林麝、金丝猴、羚牛、金钱豹并称“秦岭六宝”．某网店售卖的大熊猫玩偶原本标价为元/个，因市场波动，经过两次降价后标价变为元/个，设大熊猫玩偶两次降价的平均降价率为，则根据题意可列方程为 ． 13．已知等腰直角三角形斜边上的高的长度恰好是方程的根，那么这个直角三角形斜边的长是 ． 14．若实数x满足，则 ． 15．如图，一块长米、宽米的地毯，为了美观设计了两横、两纵的配色条纹图中阴影部分，已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的，则配色条纹的宽度为 米． 16．已知关于的一元二次方程有两个不相等的整数根和，且，如果是正整数，则的值为 ． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）解方程： (1)； (2)． 18．（8分）解方程 (1) (2) (3) (4) 19．（8分）某学校生物组为培养同学们观察、归纳的能力，组建了生物课外活动小组．在一次野外实践中，同学们发现一种水果黄瓜的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，这种水果黄瓜每个支干长出多少小分支？ 20．（8分）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的一个实数根为2，求的值． 21．（8分）如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，墙对面有一个2米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长33米．若墙长为18米，要围成鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各为多少米？ 22．（10分）已知关于x的一元二次方程：． (1)设，是方程的两个根，求（用含m的式子表示）； (2)当时，此方程的两个根分别是菱形两条对角线长，求菱形的面积． 23．（10分）市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，4月份售出150个，6月份售出216个． (1)求该品牌头盔月销售量的月平均增长率； (2)此种品牌头盔每个进货价为30元，调查发现，当销售价为40元时，月均销售量为600个，当销售价每上涨1元时，月均销售量将减少10个，为使月均销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔的销售价应定为多少元？ 24．（12分）数学史：我国古代数学家用几何法解一元二次方程：以 为例，大致过程如下： 第一步：将原方程变形为 即． 第二步：构造一个长为x，宽为的长方形，长比宽大2，且面积为3，如图1． 第三步：用四个这样的长方形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，如图2． 第四步：计算大正方形面积用x表示为 ．由观察可得，大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和，得方程 ，两边开方可求得： ，． (1)横线处填入 ； (2)请参考古人的思考过程，解方程； (3)用这种方法可以解所有的一元二次方程吗？请你举例说明． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第2章 一元二次方程·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列关于x的方程中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程）判断即可． 【详解】解：对于A：方程含未知数x和y，不符合题意； 对于B：只含x，最高次数为2，且为整式，满足所有条件，符合题意； 对于C：含分式，不是整式方程，不符合题意； 对于D：最高次数为1，不符合题意； 故选：B． 2．若是方程的一个解，则n的值为（   ） A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查根据方程的解求参数，将 代入方程，直接计算 n 的值即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴ 代入方程：， 即， ∴， ∴ ， ∴ 故选B． 3．将一元二次方程化成的形式，则等于（    ） A．40 B．13 C．7 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握配方法是解决一元二次方程化为完全平方形式的关键方法；通过配方法将方程化为完全平方形式，比较得出k的值． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ， ， ∴ ． 故选：B． 4．已知，是关于的一元二次方程的两个根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． 利用一元二次方程根与系数的关系，直接计算两根之和即可． 【详解】解：∵ 方程 中，，， ∴ ． 故选：A． 5．一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程为， ∴， ， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 6．方程的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 先移项，再根据因式分解法解一元二次方程求解即可． 【详解】解：， ， ， ∴或， ∴方程的解为． 故选：C． 7．智能汽车问界M9销售火爆．某4S店10月份销售100台，12月份销售144台．设该款汽车11月份、12月份销售量的月平均增长率为x，根据题意列出的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该款汽车月、月份销售量的月平均增长率为，根据题意列出方程即可，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设该款汽车月、月份销售量的月平均增长率为， 由题意得，， 故选：． 8．若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查了根的判别式，根据一元二次方程有实数根的条件，判别式非负且二次项系数不为零即可． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴， ∵方程有实数根， ∴判别式， 解得 综上，且， 故选：C． 9．已知一元二次方程的两根分别为、1，则方程的两根分别为（    ）． A．、1 B．、3 C．、 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，设在方程中，，根据题意可得关于t的一元二次方程的两根分别为、1，则或，据此求解即可． 【详解】解：设在方程中，， ∴方程可整理为，即变形为关于的方程， ∵关于x的一元二次方程的两根分别为、1， ∴关于t的一元二次方程的两根分别为、1， ∴或， 解得或， ∴方程的两根分别为、3， 故选：B． 10．在欧几里得的《几何原本》中，形如的方程的图解法是如图（1），分别以和b为直角边作，，再在斜边上截取，则AD的长就是所求方程的正根．若关于x的一元二次方程，按照图（1）构造图（2），在中，，连接CD，若，则m的值为（   ） A．8 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，一元二次方程等．根据题意可得的长，继而表示出，再利用面积比列出方程解出即可． 【详解】解：∵， 由题意知：，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 解得：或， 根据题意， ∴， 经检验，是原方程的解； 故选：C． 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．方程的解是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键．直接开方即可． 【详解】解：， ， 解得：或， 故答案为或． 12．秦岭是全球野生大熊猫的重要分布区，大熊猫与朱鹮、林麝、金丝猴、羚牛、金钱豹并称“秦岭六宝”．某网店售卖的大熊猫玩偶原本标价为元/个，因市场波动，经过两次降价后标价变为元/个，设大熊猫玩偶两次降价的平均降价率为，则根据题意可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用——平均变化率问题．对于“次平均变化率”问题，核心公式为：(“”对应增长率，“”对应降价率)．本题中，初始量是50元，最终量是40元，变化次数，变化类型是降价(用“”)，代入公式即可列出方程． 【详解】解：∵大熊猫玩偶的原价为50元/个，两次降价的平均降价率为， ∴第二次降价后，价格为元/个， ∴可列方程：． 故答案为：． 13．已知等腰直角三角形斜边上的高的长度恰好是方程的根，那么这个直角三角形斜边的长是 ． 【答案】8 【分析】本题考查用因式分解法解一元二次方程，得到高的长度，再利用等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半的性质求解即可． 【详解】解：由，因式分解得 ， 解得 或 （舍去负根）， ∴斜边上的高为4， 在等腰直角三角形中，斜边上的高也是斜边上的中线，且等于斜边的一半， ∴斜边长为 ， 故答案为 8． 14．若实数x满足，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使复杂问题简单化，变得容易处理． 通过换元法将原方程转化为关于新变量的二次方程，并利用完全平方公式求解． 【详解】解：设， 则原方程化为． 因式分解得， 解得． ∴， 即． 故答案为：5． 15．如图，一块长米、宽米的地毯，为了美观设计了两横、两纵的配色条纹图中阴影部分，已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的，则配色条纹的宽度为 米． 【答案】/ 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据图形的特点找到数量关系列方程。设条纹的宽度为米，根据等量关系：配色条纹所占面积是整个地毯面积的，列出方程求解即可． 【详解】解：设条纹的宽度为米， 依题意得 ， 解得：(不符合，舍去)，， 答：配色条纹宽度为米． 16．已知关于的一元二次方程有两个不相等的整数根和，且，如果是正整数，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，由一元二次方程根与系数的关系得出，，再根据整数，是正整数，可得出或，然后分情况求出c的值，再验证即可得出答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的整数根和， ∴， ∵， ∴， 即可得出：，， ∵整数，是正整数， ∴或， 根据题意可知：， 当时，则，， 把，代入， 解得：， 当时，，满足题意， 当时，则，， 把，代入， 解得：， 当时，，满足题意， 综上：或． 故答案为：或． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查一元二次方程的解法，运用因式分解思想，关键是通过提取公因式或平方差公式分解方程，易错点为因式分解时符号或公式应用错误； （1）提取公因式分解方程求解；（2）利用平方差公式分解方程求解． 【详解】（1）解： 或 ，． （2） 或 ，． 18．（8分）解方程 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可； （3）利用因式分解法解一元二次方程即可； （4）利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： 解得； （2）解： 或 解得，； （3）解： 或 解得，； （4）解： ，， 解得，． 19．（8分）某学校生物组为培养同学们观察、归纳的能力，组建了生物课外活动小组．在一次野外实践中，同学们发现一种水果黄瓜的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，这种水果黄瓜每个支干长出多少小分支？ 【答案】这种水果黄瓜每个支干长出个小分支． 【分析】本题考查的知识点是一元二次方程的应用，解题关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程． 设这种水果黄瓜每个支干长出个小分支，根据主干、支干和小分支的总数是，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出答案． 【详解】解：设这种水果黄瓜每个支干长出个小分支， 根据题意，得， 整理，得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：这种水果黄瓜每个支干长出个小分支． 20．（8分）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的一个实数根为2，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)的值为或 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程的解，解题的关键是掌握以上知识． （1）求出，然后问题可求证； （2）由的一个实数根为2，可得，进而求解即可． 【详解】（1）证明：由可知： ， ∴一元二次方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵的一个实数根为2， ∴， 解得，； ∴m的值为或． 21．（8分）如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，墙对面有一个2米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长33米．若墙长为18米，要围成鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各为多少米？ 【答案】鸡场的长和宽各为15米和10米． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一面靠墙的矩形面积求法以及判断方程是否有解问题，理清题意，正确列出方程并解方程是解题的关键． 设宽为米，然后用含有的式子表示出长，再根据矩形面积列出方程并解方程即可． 【详解】解：设垂直于墙面的一边长为米，则墙对面的一边长为米，即米， 根据题意得，， 整理得， 解得，， 当时，，符合题意， 当时，，不符合题意，舍去． 答：鸡场的长和宽各为15米和10米． 22．（10分）已知关于x的一元二次方程：． (1)设，是方程的两个根，求（用含m的式子表示）； (2)当时，此方程的两个根分别是菱形两条对角线长，求菱形的面积． 【答案】(1) (2)菱形的面积是3 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，求菱形的面积，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系及求菱形的面积的方法是解题的关键． （1）根据一元二次方程根与系数的关系， 可得，，再将变形为，即可求解； （2）当时，，即可代入菱形面积公式求解． 【详解】（1）解：对于关于x的一元二次方程， ，，， ，， ； （2）解：当时，， 此时菱形的面积为． 23．（10分）市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，4月份售出150个，6月份售出216个． (1)求该品牌头盔月销售量的月平均增长率； (2)此种品牌头盔每个进货价为30元，调查发现，当销售价为40元时，月均销售量为600个，当销售价每上涨1元时，月均销售量将减少10个，为使月均销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔的销售价应定为多少元？ 【答案】(1) (2)50元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用； （1）根据增长率问题列方程，解方程，即可求解； （2）根据等量关系式：涨价后每个头盔的利润涨价后的销售量元，据此列方程，即可求解． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月均增长率为x， 依题意，得， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月均增长率为； （2）解：设该品牌头盔的销售价为y元，依题意得 ， 解得，． 尽可能让顾客得到实惠， 不合题意，舍去． 故， 答：该品牌头盔的销售价应定为50元． 24．（12分）数学史：我国古代数学家用几何法解一元二次方程：以 为例，大致过程如下： 第一步：将原方程变形为 即． 第二步：构造一个长为x，宽为的长方形，长比宽大2，且面积为3，如图1． 第三步：用四个这样的长方形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，如图2． 第四步：计算大正方形面积用x表示为 ．由观察可得，大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和，得方程 ，两边开方可求得： ，． (1)横线处填入 ； (2)请参考古人的思考过程，解方程； (3)用这种方法可以解所有的一元二次方程吗？请你举例说明． 【答案】(1)； (2)， (3)不可以，反例为 【分析】本题考查几何法解一元二次方程，理解题意并运用数形结合思想是解题关键． （1）按照题干给的图，进行填空即可； （2）仿照题干，先对方程进行变形，再绘制长为x，宽为的长方形，用四个这样的长方形围成一个大正方形，列出方程并求解即可； （3）举一个等式右边是负数的例子即可． 【详解】（1）解：由图可知，大正方形的边长为，则大正方形的面积为， ∵小长方形的面积为3，小正方形的边长为2， ∴大正方形的面积为， 由面积相等，可列方程． 故答案为：；． （2）解：对方程进行变形，得， 构造一个长为x，宽为的长方形，长比宽大1，且面积为1，如图3， 用四个这样的长方形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，如图4． 大正方形的边长为，其面积为， 可列方程， 两边开方，得， 解得，， （3）解：不可以，理由如下： 举例，如，等式右侧为负数，无法表示为长方形的面积． 学科网（北京）股份有限公司2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第2章 一元二次方程·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列关于x的方程中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．若是方程的一个解，则n的值为（   ） A．4 B． C．5 D． 3．将一元二次方程化成的形式，则等于（    ） A．40 B．13 C．7 D．4 4．已知，是关于的一元二次方程的两个根，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 6．方程的解是（　　） A． B． C． D． 7．智能汽车问界M9销售火爆．某4S店10月份销售100台，12月份销售144台．设该款汽车11月份、12月份销售量的月平均增长率为x，根据题意列出的方程是（    ） A． B． C． D． 8．若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．且 9．已知一元二次方程的两根分别为、1，则方程的两根分别为（    ）． A．、1 B．、3 C．、 D．无法确定 10．在欧几里得的《几何原本》中，形如的方程的图解法是如图（1），分别以和b为直角边作，，再在斜边上截取，则AD的长就是所求方程的正根．若关于x的一元二次方程，按照图（1）构造图（2），在中，，连接CD，若，则m的值为（   ） A．8 B．5 C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．方程的解是 ． 12．秦岭是全球野生大熊猫的重要分布区，大熊猫与朱鹮、林麝、金丝猴、羚牛、金钱豹并称“秦岭六宝”．某网店售卖的大熊猫玩偶原本标价为元/个，因市场波动，经过两次降价后标价变为元/个，设大熊猫玩偶两次降价的平均降价率为，则根据题意可列方程为 ． 13．已知等腰直角三角形斜边上的高的长度恰好是方程的根，那么这个直角三角形斜边的长是 ． 14．若实数x满足，则 ． 15．如图，一块长米、宽米的地毯，为了美观设计了两横、两纵的配色条纹图中阴影部分，已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的，则配色条纹的宽度为 米． 16．已知关于的一元二次方程有两个不相等的整数根和，且，如果是正整数，则的值为 ． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）解方程： (1)； (2)． 18．（8分）解方程 (1) (2) (3) (4) 19．（8分）某学校生物组为培养同学们观察、归纳的能力，组建了生物课外活动小组．在一次野外实践中，同学们发现一种水果黄瓜的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，这种水果黄瓜每个支干长出多少小分支？ 20．（8分）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的一个实数根为2，求的值． 21．（8分）如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，墙对面有一个2米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长33米．若墙长为18米，要围成鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各为多少米？ 22．（10分）已知关于x的一元二次方程：． (1)设，是方程的两个根，求（用含m的式子表示）； (2)当时，此方程的两个根分别是菱形两条对角线长，求菱形的面积． 23．（10分）市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，4月份售出150个，6月份售出216个． (1)求该品牌头盔月销售量的月平均增长率； (2)此种品牌头盔每个进货价为30元，调查发现，当销售价为40元时，月均销售量为600个，当销售价每上涨1元时，月均销售量将减少10个，为使月均销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔的销售价应定为多少元？ 24．（12分）数学史：我国古代数学家用几何法解一元二次方程：以 为例，大致过程如下： 第一步：将原方程变形为 即． 第二步：构造一个长为x，宽为的长方形，长比宽大2，且面积为3，如图1． 第三步：用四个这样的长方形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，如图2． 第四步：计算大正方形面积用x表示为 ．由观察可得，大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和，得方程 ，两边开方可求得： ，． (1)横线处填入 ； (2)请参考古人的思考过程，解方程； (3)用这种方法可以解所有的一元二次方程吗？请你举例说明． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $