第1章 二次根式（复习讲义）数学新教材浙教版八年级下册

该初中数学二次根式复习讲义通过基础、进阶、拓展三级目标构建知识体系，用表格系统梳理二次根式的定义、性质、运算等常见结论及易错点，清晰呈现知识脉络与重难点分布，帮助学生建立完整认知框架。 讲义亮点在于分层练习设计，13类题型覆盖定义辨析、非负性应用、规律探究等，如通过“已知√a+√b=0求a+b值”培养推理意识，新定义运算题提升创新思维，支持不同层次学生巩固基础或拓展提升，助力教师实施精准复习教学。

第1章 二次根式（复习讲义） 一、基础目标 1. 能复述二次根式的定义，明确形如（a≥0）的式子是二次根式，能准确判断一个式子是否为二次根式。 2. 会背诵二次根式的双重非负性（≥0且a≥0），能直接应用该性质解决简单问题。 3. 能复述二次根式的三个基本性质：()²=a（a≥0）、=|a|、=（a≥0，b≥0），并能直接套用性质进行简单计算。 4. 会进行二次根式的化简，能将被开方数中含能开得尽方的因数或因式的二次根式化为最简二次根式。 5. 会进行二次根式的加减法运算，能先将二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式。 6. 会进行二次根式的乘法运算，能直接应用=（a≥0，b≥0）计算。 7. 会进行二次根式的除法运算。 二、进阶目标 1. 理解二次根式双重非负性的深层含义，能综合运用该性质解决较复杂问题。 2. 会推导二次根式的性质=|a|，并能根据a的取值范围正确化简含绝对值的二次根式。 3. 理解最简二次根式的标准（被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式），能对分母含二次根式的式子进行分母有理化。 4. 能熟练进行二次根式的混合运算，包括先算乘方、再算乘除、最后算加减，有括号先算括号内的运算。 5. 能运用二次根式的运算解决实际问题，如结合几何图形。 6. 会逆向运用二次根式的乘除性质。 三、拓展目标 1. 理解二次根式与平方、开平方运算的关系，能综合运用二次根式的性质和代数变形技巧解决含参数的问题。 2. 能运用分母有理化的方法解决较复杂的分式化简问题。 3. 能结合二次根式的运算探究数学规律，。 4. 能将二次根式与函数、方程等知识结合，解决综合性问题。 5. 理解二次根式运算的严谨性，能辨析运算中的常见错误。 6. 能运用二次根式的知识解决跨学科问题或复杂实际情境问题。 类别 内容 分析 常见结论 二次根式的双重非负性：对于二次根式，有a≥0且≥0 二次根式的定义要求被开方数必须是非负数，这是二次根式存在的前提；同时，二次根式的运算结果也是一个非负数，这一性质在解决与二次根式相关的求值、化简以及判断代数式取值范围等问题中应用广泛，例如在解方程或不等式时，若出现 + = 0的形式，则可直接得出a=0且b=0。 ()² = a（a≥0） 此结论表明，一个非负数先开平方再平方，结果仍为原数。这里需要特别注意a的取值范围必须是非负的，若a为负数，在实数范围内无意义，所以该等式仅在a≥0时成立，它是进行二次根式化简和运算的基础公式之一。 = · （a≥0，b≥0） 该结论是二次根式乘法法则的表达式，它表明两个非负数的积的算术平方根等于这两个数的算术平方根的积。使用此法则时，必须保证被开方数a和b都是非负数，否则法则不成立。 = （a≥0，b>0） 这是二次根式除法法则的表达式，即两个非负数的商的算术平方根等于这两个数的算术平方根的商。这里要注意分母b不能为0，且a必须是非负数，b必须是正数，若b为负数，在实数范围内无意义， 最简二次根式的两个条件：（1）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；（2）被开方数中不含分母 最简二次根式是二次根式运算和化简的最终目标形式。第一个条件要求将被开方数分解因数或因式后，每一个因数或因式的指数都小于根指数2；第二个条件要求被开方数不能是分数或分式，若有分母，需要通过分母有理化将其化为整数。 同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式 同类二次根式的概念是进行二次根式加减运算的基础，只有同类二次根式才能进行合并。。 易错点 忽略二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数 在涉及二次根式的问题中，常常需要先考虑被开方数的取值范围。。 混淆()²与的区别 ()²中的a必须满足a≥0，结果直接等于a；而中的a可以是任意实数，结果等于 在运用二次根式乘除法法则时，忽略被开方数的取值范围 二次根式乘法法则 = · 成立的条件是a≥0且b≥0，除法法则= 成立的条件是a≥0且b>0。若忽略这些条件。 二次根式化简不彻底，未化为最简二次根式 在进行二次根式化简时，容易出现没有将被开方数中能开得尽方的因数或因式全部开出来，或者被开方数中仍含有分母的情况。 错误地合并非同类二次根式 只有同类二次根式才能进行合并，非同类二次根式不能合并。 分母有理化时方法错误或不彻底 分母有理化是将分母中的根号去掉的过程， 在二次根式的混合运算中，运算顺序错误或符号出错 二次根式的混合运算顺序与实数的混合运算顺序相同，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的。学生容易出现运算顺序颠倒的错误。 类别 内容 分析 常见结论 二次根式的双重非负性：对于二次根式√a，有a≥0且√a≥0 二次根式的定义要求被开方数必须是非负数，这是二次根式存在的前提；同时，二次根式的运算结果也是一个非负数，这一性质在解决与二次根式相关的求值、化简以及判断代数式取值范围等问题中应用广泛，例如在解方程或不等式时，若出现√a + √b = 0的形式，则可直接得出a=0且b=0。 (√a)² = a（a≥0） 此结论表明，一个非负数先开平方再平方，结果仍为原数。这里需要特别注意a的取值范围必须是非负的，若a为负数，√a在实数范围内无意义，所以该等式仅在a≥0时成立，它是进行二次根式化简和运算的基础公式之一。 √(a²) = a √(ab) = √a · √b（a≥0，b≥0） 该结论是二次根式乘法法则的表达式，它表明两个非负数的积的算术平方根等于这两个数的算术平方根的积。使用此法则时，必须保证被开方数a和b都是非负数，否则法则不成立，例如√[(-2)×(-3)]=√6，而√(-2)·√(-3)在实数范围内无意义，不能直接应用该法则。 √(a/b) = √a / √b（a≥0，b>0） 这是二次根式除法法则的表达式，即两个非负数的商的算术平方根等于这两个数的算术平方根的商。这里要注意分母b不能为0，且a必须是非负数，b必须是正数，若b为负数，√b在实数范围内无意义，例如√(4/9)=√4/√9=2/3，符合该法则。 最简二次根式的两个条件：（1）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；（2）被开方数中不含分母 最简二次根式是二次根式运算和化简的最终目标形式。第一个条件要求将被开方数分解因数或因式后，每一个因数或因式的指数都小于根指数2；第二个条件要求被开方数不能是分数或分式，若有分母，需要通过分母有理化将其化为整数。例如√12不是最简二次根式，因为12=4×3，4是能开得尽方的因数，化简后为2√3才是最简二次根式。 同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式 同类二次根式的概念是进行二次根式加减运算的基础，只有同类二次根式才能进行合并。例如√8=2√2，√18=3√2，它们化成最简二次根式后被开方数都是2，所以是同类二次根式，可以合并为(2+3)√2=5√2；而√2与√3的被开方数不同，不是同类二次根式，不能合并。 易错点 忽略二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数 在涉及二次根式的问题中，常常需要先考虑被开方数的取值范围。例如，当题目中出现√(x-2)时，容易忘记x-2≥0，即x≥2这个条件，从而导致在求解过程中出现错误，比如求函数y=√(x-2)的定义域时，如果忽略x≥2，就会得到错误的定义域。 混淆(√a)²与√(a²)的区别 (√a)²中的a必须满足a≥0，结果直接等于a；而√(a²)中的a可以是任意实数，结果等于 在运用二次根式乘除法法则时，忽略被开方数的取值范围 二次根式乘法法则√(ab)=√a·√b成立的条件是a≥0且b≥0，除法法则√(a/b)=√a/√b成立的条件是a≥0且b>0。若忽略这些条件，例如计算√[(-4)×(-9)]时，错误地写成√(-4)×√(-9)，就会导致结果无意义，正确的做法是先计算(-4)×(-9)=36，再求√36=6。 二次根式化简不彻底，未化为最简二次根式 在进行二次根式化简时，容易出现没有将被开方数中能开得尽方的因数或因式全部开出来，或者被开方数中仍含有分母的情况。例如，将√20化简为2√5是正确的，但如果只化简为√20或√(4×5)而不进一步写成2√5，或者将√(1/2)直接保留而不化为√2/2，都是化简不彻底的表现。 错误地合并非同类二次根式 只有同类二次根式才能进行合并，非同类二次根式不能合并。例如，√2+√3不能合并为√5，而有些学生容易错误地将被开方数直接相加，得到√5这样的错误结果；又如3√2与2√3也不是同类二次根式，不能合并为5√5。 分母有理化时方法错误或不彻底 分母有理化是将分母中的根号去掉的过程，常见的错误有：对于1/√a，没有分子分母同乘√a化为√a/a；对于1/(√a+√b)，没有使用平方差公式分子分母同乘(√a-√b)进行有理化，或者在有理化过程中计算出错，导致分母中仍含有根号。 在二次根式的混合运算中，运算顺序错误或符号出错 二次根式的混合运算顺序与实数的混合运算顺序相同，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的。学生容易出现运算顺序颠倒的错误，例如先算加减后算乘除；同时，在进行乘法运算时，符号容易出错，比如(-√2)×(-√3)应等于√6，而错误地写成-√6。 题型一 二次根式的定义与有意义 【例1】下面是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，二次根式是指根指数为的根式，且被开方数非负数． 【详解】解：二次根式需满足根指数为且被开方数是非负数， A选项：为分数，不是二次根式，故A选项不符合题意； B选项：的根指数为，不是二次根式，故B选项不符合题意； C选项：根指数为且被开方数是非负数，是二次根式，故C选项符合题意； D选项：被开方数为，在实数范围内无意义，不是二次根式，故D选项不符合题意． 故选：C． 【变式1-1】若式子有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，形如的式子叫二次根式，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 根据被开方数是非负数列式求解即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴， ∴． 因此，x的取值范围是． 故选：D． 【变式1-2】函数中自变量x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查自变量的取值范围，熟练掌握二次根式和分式有意义的条件是解题的关键． 考虑函数分子中二次根式的被开方数大于等于零和分母不为零的条件，联立不等式求解即可． 【详解】解：对于函数， 则， 解得且， 因此自变量的取值范围是且， 故答案为：且． 题型二 同类二次根式与最简二次根式 【例2】下列式子中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义，逐一判断各选项即可． 【详解】解：A．，不是最简二次根式，不符合题意； B． ，不是最简二次根式，不符合题意； C． ，不是最简二次根式，不符合题意； D．是最简二次根式，符合题意． 故选：D． 【变式2-1】下列各组二次根式是同类二次根式的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式．根据同类二次根式的定义进行判断即可． 【详解】解：A、，与不是同类二次根式，故该选项不合题意； B、，与是同类二次根式，故该选项符合题意； C、，，与不是同类二次根式，故该选项不合题意； D、与不是同类二次根式，故该选项不合题意． 故选：B． 【变式2-2】已知最简二次根式与是同类二次根式，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，化简二次根式，先将化简为最简二次根式，再根据被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式可得关于a的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：， ∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， ∴， 故答案为：． 题型三 比较二次根式的大小 【例3】下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题目主要考查无理数的估算，不等式的性质，先对无理数进行估算，然后利用不等式的性质依次判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴，选项错误，不符合题意； B、∵， ∴, ∴，选项错误，不符合题意； C、，选项错误，不符合题意； D、∵， ∴， ∴， ∴，选项正确，符合题意； 故选：D． 【变式3-1】已知，则下列数中比m大的是（   ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次根式的大小比较．熟练掌握平方法比较二次根式的大小，是解题的关键． 把m平方，四个选项的数分别平方与m平方比较大小，即可得解． 【详解】∵， ∴． A. ，∵，∴； B. 4，∵，∴； C. ，∵，∴； D. ，∵，∴． 故选：D． 【变式3-2】比较大小： ．（选填“>”“<”或“=”） 【答案】 【分析】本题考查比较二次根式的大小．通过平方将无理数比较转化为有理数比较，根据平方后的结果判断原数大小即可． 【详解】解：∵，，又， ∴． 故答案为：． 题型四 二次根式的非负性 【例4】已知，则的值为（ A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的非负性求出a和b的值，然后代入代数式计算即可． 【详解】∵ ， ∴，， 解得，， ∴ ， 故选：A． 【变式4-1】已知，则的算术平方根是（   ） A． B．3 C．5 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，掌握二次根式中被开方数为非负数是解决问题的关键． 根据二次根式的被开方数非负，确定的值，进而求出b的值，再计算的算术平方根． 【详解】解：∵ 和都有意义， ∴ 且， ∴ 且， ∴ ． 当时，，， ∴ 方程左边 ， ∴ ， ∴ ． ∴ ， ∴的算术平方根为． 故选：C． 【变式4-2】已知，则 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于0，据此可求出x的值，进而求出y的值，再代入求解即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， 解得， ∴， ∴， 故答案为：8． 题型五 二次根式的估算 【例5】估算的结果在（   ） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，无理数的估算，先计算出的结果，再根据无理数的估算方法求解即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【变式5-1】估算的值应在（   ） A．0与1之间 B．1与2之间 C．2与3之间 D．3与4之间 【答案】B 【分析】本题主要考查对无理数的估算，二次根式的乘法．先化简后，再根据即可得到答案． 【详解】解： ， ∵ ， ， 故选：B． 【变式5-2】对于任意一个实数，它的整数部分是指不超过这个数的最大整数，它的小数部分是这个数减去整数部分剩下的数．如的整数部分为，小数部分为．如果的小数部分是，的整数部分是，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算，代数式求值，由夹逼法可得，即得，，进而求出的值，再代入代数式计算即可求解，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∵的小数部分是，的整数部分是， ∴，， ∴， 故答案为：． 题型六 二次根式的数轴化简 【例6】实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质，化简绝对值，正确掌握相关性质是解题的关键．先观察数轴得，，，则，，再化简，即可作答． 【详解】解：由图知，，， ∴，， ∴ ． 故选：A． 【变式6-1】实数，对应的点在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质与绝对值的化简，掌握二次根式化简，及根据数的符号化简绝对值是解题的关键． 先从数轴确定的符号及的正负，再利用二次根式的性质化简，最后结合绝对值的化简规则计算式子结果． 【详解】解：由数轴可知，，且，因此， 故， ∵， ∴ 原式 ． 故选：A． 【变式6-2】实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简代数式的值为 ． 【答案】 【分析】分析,的取值范围，进而根据二次根式的性质以及绝对值的性质判断即可． 本题考查的是实数与数轴的关系，熟练掌握二次根式的性质是解题关键． 【详解】解：由数轴可知，, 则,,, 故答案为：． 题型七 二次根式的新定义运算 【例7】对于任意的正数，定义运算为：，计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二次根式的乘法运算，根据新运算定义分别计算和，再求乘积即可求解，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 【变式7-1】定义运算“☆”的运算法则为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据题意列式后利用二次根式的性质即可求得答案． 【详解】解∶∵， ∴ ， 故答案为∶ ． 【变式7-2】对于任意两个非零实数a，b，定义运算如下：． 如：，． 根据上述定义，解决下列问题： （1） ， ； （2）如果，那么x ＝ ； （3）如果，求x的值． 【答案】（1），；（2）；（3）． 【分析】（1）根据新定义的运算进行计算即可求解； （2）根据得到，解分式方程即可求解； （3）根据-2＜0，得到=-2+x，对分大于0和小于0两种情况讨论，得到方程，解方程并对答案进行验证，问题得解． 【详解】解：（1）∵，， ∴，， 故答案为：，； （2）∵， ∴=， ∴ ， 解得， 经检验，是方程的解， 故答案为：-1； （3）∵-2＜0， ∴=-2+x． ①当时， ， 解得：， 经检验是原方程的解，但不符合， ∴舍去． ②当时， ， 解得：．     经检验是原方程的解，且符合． ∴． 【点睛】本题考查了新定义问题，二次根式的运算，解分式方程等知识，综合性较强，理解定义的新运算是解题关键，注意第（3）问要分类讨论． 题型八 二次根式的规律 【例8】观察下列按一定规律排列的二次根式：，，，，…根据你发现的规律猜想第n（n是正整数）个二次根式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数字变化的规律，二次根式的乘法运算，能根据所给的二次根式，找出被开方数的变化规律是解题的关键．先把前面给定的几个二次根式化为具有相同规律的形式，再总结归纳即可． 【详解】解：， ， ， ， ； 第个式子是． 故选：C． 【变式8-1】下面是小颖根据学习“数与式”积累的经验，通过“由特殊到一般”的方法探（第15题图）究二次根式的运算规律： ①；②；③；…… 如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式混合运算，数字的变化规律，解答的关键是由所给的式子总结出规律，分析所给的等式的形式进行总结即可． 【详解】解：， ， ， 用含的式子表示为：， 故答案为：． 【变式8-2】【观察思考】 观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； …… 【规律发现】 （1）根据上述规律，直接写出下列算式的值： ①_____； ②_____； （2）用含（为正整数）的代数式表示出第个等式：_____； 【规律应用】 （3）根据上述规律计算： ． 【答案】（1）①；②；（2）；（3） 【分析】本题考查了二次根式的性质、数字类规律探索，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据已知算式得出规律，即可得出答案； （2）根据已知算式得出规律，即可得出答案； （3）根据，计算即可得出答案． 【详解】解：（1）由题意得： ①， ②， 故答案为：， （2）第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； …… 出第个等式：， 故答案为：； （3） ． 题型九 二次根式的最值 【例9】已知是整数，则自然数的最小值是（    ） A．12 B．9 C．1 D．4 【答案】D 【分析】本题考查二次根式．由是整数，可设（为非负整数），则，且，故，枚举值进而求出的可能值，即可得出答案． 【详解】解：∵是整数， ∴设，其中为整数且， 则， ∴． 又∵是自然数， ∴，即， ∴， ∴可取0，1，2，3． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． ∴的可能值为13，12，9，4，最小值为4． 故选：D． 【变式9-1】阅读以下的材料： 如果两个正数a，b，即a0，b0，则有下面的不等式：当且仅当a=b时取到等号，我们把叫做正数a，b的算术平均数，把叫做正数a，b的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大(小)值问题的有力工具，下面举一例子： 例：已知x0，求函数的最小值． 解：令，则有，得，当且仅当时，即x=2时，函数有最小值，最小值为4． 根据上面回答下列问题 ①已知x0，则当x= 时，函数 取到最小值，最小值为 ； ②已知x0，则自变量x取何值时，函数最大值是 ． 【答案】【小题1】 ； 【小题2】 【分析】①把原函数化成，再利用题中的方法即可得到解答； ②由题意可得，从而得到y≤4，并得到x=3时，y有最大值 ． 【详解】解：①由题意得：， 当且仅当时，函数有最小值 ， 故答案为． ②， 由题意得：，即 ， 当且仅当时，函数有最大值． 【点睛】本题考查二次根式的应用，通过阅读题目材料掌握有关方法是解题关键． 【变式9-2】（1）问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，求代数式的最小值；小强同学发现可看作两直角边分别为和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和3的直角三角形的斜边长．于是构造出下图，将问题转化为求的斜边和的斜边的和的最小值，易得、、三点共线时，取得最小值，即线段的长，进而求得的最小值是_________． （2）类比迁移：根据上述方法画出示意图，解决以下问题 已知，均为正数，且，求的最小值． 【答案】（1）；（2）5 【分析】（1）先根据题意利用勾股定理求出，，要使的值最小，则的值最小，当，，三点共线时，的值最小，最小值为，过点作，交延长线于点，得矩形，根据两点间线段最短，得到线段就是所求代数式的最小值； （2）作线段，在的两侧作两个和，使得，，用类似（1）的方法求解即可． 【详解】解：（1）如图，，，，， 在中，， 在中，， ， 要使的值最小，则的值最小， 当，，三点共线时，的值最小，最小值为， 过点作，交延长线于点， 得矩形， ，， ， ， 代数式的最小值为13； 故答案为：13； （2）模仿（1）可知，当，，，， 在中，， 在中，， ， 要使的值最小，则的值最小， 当，，三点共线时，的值最小，最小值为， 过点作，交延长线于点， 得矩形， ，， ， ， 代数式的最小值为5． 故答案为：5． 【点睛】本题属于综合题，考查了轴对称最短路线问题，列代数式，勾股定理，三角形的面积，矩形的性质与判断，解决本题的关键是准确读懂题意，利用勾股定理． 题型十 复合二次根式 【例10】像，，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简． 如：； ． 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算、规律型：数字的变化类、完全平方式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据定义化成完全平方式的形式即可； （2）根据定义化成完全平方式的形式即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； 【变式10-1】阅读材料： 小颖在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小颖进行了以下探索： 设（其中x，y，m，n均为正整数），则有， ∴，．这样小颖就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照小颖的方法探索并解决下列问题： (1)当x，y，m，n均为正整数且时，请用含m，n的式子分别表示x，y： ______，______； (2)若，且x，m，n均为正整数，求x的值； (3)①填空：______； ②化简：． 【答案】(1)， (2)或 (3)① ② 【分析】本题主要考查了完全平方公式，解题的关键是掌握完全平方公式的灵活应用． （1）利用完全平方公式展开，一一对应相等即可； （2）根据完全平方公式进行展开，然后根据x，m，n的取值，分情况进行讨论即可； （3）①根据完全平方公式进行求解即可； ②根据完全平方公式进行求解即可． 【详解】（1）解：， ∴，； （2）解：， ∴，， ∴， ∵m，n均为正整数， ∴当时，， 此时，； 当时，； 此时，； ∴或； （3）解：①； ② ． 【变式10-2】我们已经学过完全平方公式，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如，，，，那么我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题． 例：求的算术平方根． 解：∵， ∴的算术平方根是． 根据以上材料，回答下列问题： (1)_____________； (2)化简：； (3)在中，，，，那么BC边的长为多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及完全平方公式，勾股定理，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）将变形为完全平方式的形式，然后开平方即可； （2）先利用（1）中得到的结论，把换成，然后将变形为完全平方式，最后开平方即可； （3）先利用勾股定理表示出，最后开平方即可． 【详解】（1）解： 故答案为： （2） ． （3）在中，由勾股定理，得 ， 即边的长度为． 题型十一二次根式的混合运算 【例11】计算： 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，掌握相关知识是解决问题的关键．先用平方差公式，完全平方公式，二次根式的性质进行计算，最后进行加减运算即可． 【详解】解： ． 【变式11-1】先化简，再求值：已知，求代数式的值． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，分母有理化，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式11-2】已知对，，求的值． 【答案】 3 【分析】根据异分母分式的加减先化简，再代入求值即可． 本题考查了二次根式的加减法和分式运算，掌握的取值范围是解题关键． 【详解】解：∵, ∴, ． 题型十二 根式有理化 【例12】阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简，可以将分母中含有二次根式的代数式化为分母是有理数的代数式这个过程称为分母有理化，例如： ；． (1)请根据以上方法进行分母有理化： ①_______；②_______；③_______； (2)计算： 【答案】(1)①；②；③ (2)2022 【分析】本题考查分母有理化； （1）①分子分母同时乘以即可；②分子分母同时乘以即可；③分子分母同时乘以即可； （2）先将括号内的式子分母有理化，找到互相抵消的项，即可算出结果. 【详解】（1）解：①， ②， ③. 故答案为：①；②；③. （2）解： . 【变式12-1】材料阅读：在二次根式的运算中，经常会出现诸如，的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”，例如：，．类似的，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：，． 根据上述知识，请你完成下列问题： (1)运用分母有理化，化简：； (2)运用分子有理化，比较与的大小，并说明理由； (3)计算：的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、分母有理化、分子有理化，解决本题的关键是根据题干中提供的思路，利用平方差公式把二次根式的分子或分母转化成有理数． （1）根据题干中提供的分母有理化的方法，把二次根式的分母转化为有理数，再进行计算； （2）根据题干中提供的分子有理化的方法，把两个二次根式转化为分子为的形式，再根据分子相同，分母越大的则分数的值越小比较两个无理数的大小； （3）首先把算式中各部分的分母有理化，再合并同类二次根式． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ， ， ； （3）解： ． 【变式12-2】小星在解决问题：已知，求的值，他是这样分析与解答的： ， ． ，即． ． 请你根据小星的分析过程，解决如下问题： (1)填空：_______；_______； (2)计算：； (3)若，求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查分母有理化，二次根式的混合运算，代数式求值，完全平方公式的应用. （1）根据分母有理化法则计算； （2）根据分母有理化法则把各个二次根式化简，根据裂项相消法计算即可； （3）仿照题干作答即可． 【详解】（1）解：； ． 故答案为：；． （2）解：∵， ∴ ； （3）解：∵， ∴， ∴，即， ， ． 题型十三 二次根式的新定义应用 【例13】【定义新知】我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角形．例如：某三角形三边长分别是5，6和8，因为，所以这个三角形是常态三角形． (1)【概念理解】若三边长分别是，和4，则此三角形________常态三角形；（填“是”或“不是”） (2)【初步应用】若是常态三角形，其三边长分别为、、，且，则的值为________； (3)【拓展思考】如图，在中，，，，在上，且，若是常态三角形，求线段的长． 【答案】(1)是 (2) (3)或 【分析】此题主要考查了勾股定理以及新定义． （1）直接利用常态三角形的定义判断即可； （2）利用勾股定理以及结合常态三角形的定义得出两直角边的关系，进而得出答案； （3）分两种情况利用直角三角形的性质结合常态三角形的定义得出的长，再根据勾股定理求得的长． 【详解】（1）解：∵， ∴此三角形是常态三角形， 故答案为：是； （2）解：∵Rt△ABC是常态三角形， ∴设两直角边长为a，b，斜边长为c， ∴， ， ∴， 设，则， ∴此三角形的三边长之比为， 故答案为：； （3）解：∵是常态三角形， ∴， ， ∴， ∴ (负值已舍)， ∴， ， 在中，由勾股定理得，． 当时， ∵， ，， 在中，根据勾股定理得：， ∴的长为或． 【变式13-1】阅读下面的情景对话，然后解答问题： 老师：我们将奇异三角形定义为两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形． 小华：等边三角形一定是奇异三角形！ 小明：那直角三角形是否存在奇异三角形呢？ 【感知】 （1）根据“奇异三角形”的定义，小红得出命题：“等边三角形一定是奇异三角形”，请判断小红提出的命题是否正确，并填空 （填“正确”或“不正确”）； （2）若某三角形的三边长分别是，则该三角形是奇异三角形吗？ （填“是”或“不是”）． 【思考】 （1）若是奇异三角形，且其两边长分别为，则第三边的边长为 ；且此直角三角形的三边之比为 （请按从小到大排列）； （2）如图，在中，，且，若是奇异三角形，求． 【运用】如图，中，以为斜边作等腰直角，点是下方的一点，且满足． （1）求证：是奇异三角形； （2）当是直角三角形时，记的面积为，四边形的面积为，则 ． 【答案】感知：（1）正确；（2）是；思考：（1），；（2）；运用：（1）证明见解析；（2） 【分析】本题主要考查了勾股定理，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，正确理解奇异三角形的定义是解题的关键． 感知：（1）设是等边三角形，则，由可得结论； （2）根据即可得到结论； 思考：（1）分当长为的边是斜边时，当长为的边是直角边时，利用勾股定理求出第三边的长，再利用奇异三角形的定义进行判断求解即可； （2）由勾股定理得，再由，推出，据此求出，，则； 运用：（1）由勾股定理得，，则，再由，可得，即可证明是奇异三角形； （2）分当时，当时，根据奇异三角形是直角三角形时三边的比例为，表示出线段的比值，再求出，即可得到答案． 【详解】解：感知：（1）设是等边三角形，则， ∵， ∴等边三角形一定是“奇异三角形”， 故答案为：正确； （2）解：∵，， ∴， ∴三边长为的三角形是“奇异三角形”， 故答案为：是； 思考（1）当长为的边是斜边时，则第三边长为， ∵， ∴， ∴此时该直角三角形是“奇异三角形”， ∴此时直角三角形的三边之比为 当长为的边是直角边时，则第三边长为， ∵这三个数中不存在两个数的平方和是另外一个数平方的2倍， ∴此时不能构成“奇异三角形”； 综上所述，第三边的边长为，此时直角三角形的三边之比为， 故答案为：，； （2）在中，由勾股定理得， ∵， ∴当是奇异三角形时，只存在这种情况， ∴， ∴，即 ∴，即， ∴； 运用：（1）在中，， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是奇异三角形； （2）如图所示，当时， ∵是奇异三角形， ∴由思考（2）可得， ∴， 设， ∴，， ∴， 如图所示，当时， ∵是奇异三角形， ∴由思考（2）可得， ∴ 设， ∴，， ∴， 综上所述，， 故答案为：． 【变式13-2】定义：如果三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“角差三角形”． 【理解概念】 （1）顶角为的等腰三角形 “角差三角形”（填“是”或“不是”）； 【解决问题】 （2）已知是“角差三角形”，其中，，求的度数； 【知识迁移】 （3）如图，在中，，，，点是边上一动点，且不与点，点重合，若是“角差三角形”，直接写出的长度． 【答案】（1）是；（2）或；（3）2或 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，求得三角形的内角，再根据“角差三角形”的定义即可求解； （2）分两种情况求解，或，分别求解即可； （3）是“角差三角形”，分三种情况，或，，分别求解即可． 【详解】解：（1）∵等腰三角形的顶角为， ∴等腰三角形的两个底角度数分别为，， ∵ ∴顶角为的等腰三角形是“角差三角形”； 故答案为：是； （2）∵是“角差三角形”， ，， ∴分两种情况： 当时， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述：的度数为或； （3）∵，，， ∴，， ∵是“角差三角形”， ∴分两种情况： 当时， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：或（舍去）， ∴； 当时， 过点D作，垂足为E，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 设， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴； 当时，则，此时点D与点A重合，不符合题意． 综上所述： 的长为或． 【点睛】此题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，含30度直角三角形的性质，勾股定理，二次根式，解题的关键是熟练掌握相关基本性质，利用分类讨论的思想求解问题． 基础巩固通关测 1．下列计算中，正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，立方根和实数的运算，，据此可判断A、D；根据实数的运算法则可判断B；根据可判断C． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、∵， ∴，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 2．计算的结果是（   ） A．2026 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，积的乘方，掌握二次根式的性质是解题的关键． 根据二次根式的性质即可求解． 【详解】解：∵ = × ， ∴ 结果为． 故选：A． 3．若一个正方形的面积是18，则它的边长为（　　） A． B． C．6 D．9 【答案】A 【分析】本题考查的是利用平方根的含义解方程，化为最简二次根式，根据正方形面积公式，面积等于边长的平方，因此边长等于面积的算术平方根，计算并化简即可． 【详解】解：设边长为a， ∴，而， ∴， 故选：A． 4．在下列二次根式中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式，根据被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式的二次根式是最简二次根式，逐一判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、被开方数含分母，不是最简二次根式； 、被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式，是最简二次根式； 、被开方数含开得尽方的因式，不是最简二次根式； 、被开方数含开得尽方的因数，不是最简二次根式； 故选：． 5．已知，，为的三条边的长，则化简的结果是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了三角形三边关系、二次根式以及绝对值的化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键． 先根据化简二次根式，然后利用三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）判断绝对值内的正负，从而化简表达式． 【详解】解：∵ 是 的三边， ∴ ，即 ， ∴ . 又 ∵，即， ∴. ∴ 原式   . 故选：D． 6．要使二次根式在实数范围内有意义，则符合条件的正整数x的值可以是 ．（写出一个即可） 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次根式有意义．根据二次根式有意义的条件，被开方数必须非负，即，解得，再结合为正整数，即可得出答案。 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴，解得， ∵为正整数， ∴的值可以是1， 故答案为：1（答案不唯一）， 7． ； ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加减，第一小题直接合并；第二小题先化简平方根再计算. 【详解】解：， . 故答案为 ；. 8．若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了绝对值的化简，算术平方根的性质， 根据的条件，确定的符号，从而化简平方根表达式，再代入绝对值中计算． 【详解】解：因为， 所以， 因此 ． 则． 由于，所以， 因此． 故答案为：． 9．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图 所示，则化简的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查化简绝对值，化简二次根式， 先根据数轴的定义得出，，再根据绝对值的意义，二次根式的性质进行化简，然后计算整式的加减即可得． 【详解】解：由数轴可得：，，， 故． 故答案为：． 10．阅读下列材料：我们知道，因此将的分子分母同时乘以“”，分母就变成了4，即，从而可以达到对根式化简的目的．根据上述阅读材料解决问题：若，则代数式的值是 ． 【答案】2026 【分析】本题考查二次根式化简、代数式求值；先对进行分母有理化，得到，进而得到，平方后得到，然后利用这个关系简化代数式． 【详解】解：， ∴， 两边平方得，即， ∴． ∴． 故答案为：2026． 11．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简计算，熟练掌握二次根式的性质是解决本题的关键． 根据二次根式的运算法则化简并计算即可． 【详解】解： ． 12．高空抛物严重威胁着人们的头顶安全，即便是常见小物件，一旦从高空落下，其威力也惊人，而且落地用时很短，行人常常来不及避让．据研究，从高度为（单位：）的高空抛出的物体下落的时间（单位：）和高度满足关系式（不考虑风速的影响，的值取），已知小杰家所住楼层的高度是，假如一个物品从小杰家抛出，求该物品落地的时间（结果保留根号）． 【答案】该物品落地的时间为秒． 【分析】本题考查二次根式的计算，代入求值，掌握相关知识是解决问题的关键．将已知条件代入所给公式进行计算，最终化为最简二次根式即可． 【详解】解：在中， 当时， ， 答：该物品落地的时间为． 13．计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）直接使用二次根式运算性质计算，化简结果即可； （2）综合运用平方差公式和二次根式性质计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 14．已知，求的值 【答案】3 【分析】本题考查了分母有理化，分式化简求值，二次根式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据，整理得，，，再把化简得，然后代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：依题意，， 则， ∵， ∴， ． 15．海伦公式最早见于古希腊数学家海伦的著作《测地术》，秦九韶公式由中国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中独立提出，它们都是古代数学的瑰宝．设三角形的三边长分别为a，b，c，，则有下列三角形的面积公式成立：（海伦公式），（秦九韶公式）．已知的三边长分别为5，6，7；的三边长分别为，，，请你选择恰当的方式分别计算和的面积． 【答案】的面积为，的面积为 【分析】本题主要考查二次根式的应用，解题的关键是理解题意；根据海伦公式求解的面积，然后利用秦九韶公式求解的面积，然后问题可求解． 【详解】解：∵的三边长分别为5，6，7， ∴， ∴； ∵的三边长分别为，，， ∴． 能力提升进阶练 1．下列计算中，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的加减、乘除运算，掌握同类二次根式才能合并、二次根式的乘除法则是解题的关键． 通过计算每个选项，判断其正确性即可． 【详解】解：A、，错误，不符合题意； B、，正确，符合题意； C、，错误，不符合题意； D、，错误，不符合题意； 故选：B． 2．已知为实数，且满足，下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方的非负性，算术平方根的非负性，正确掌握非负性的性质得到a、b的值是解题的关键． 先根据，得出，再逐项分析，即可作答． 【详解】解：∵，且， ∴， 解得， A．∵，∴，此时算式无意义，故不正确； B．∵，∴，，故不正确； C．∵，∴，故正确； D．∵，∴，∴无意义，故不正确； 故选：C． 3．如图，数轴上，，，四个点所表示的数中，与最接近的数对应的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是无理数的估算，实数和数轴，二次根式的混合运算，掌握相关知识是解决问题的关键． 先进行化简，再进行估算即可． 【详解】解：∵ 又∵ ∴ ∴ ∴数轴上最接近的是A． 故选：A． 4．化简后等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的性质：时，；时，；时，，二次根式有意义的条件．由题意得，得到，得到，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵被开方数非负， ∴， ∵， ∴，即， ∴且， ∴， 故选：C． 5．如图，在等腰三角形中，，为边上中点，过点作，交于，交于，若，则的长为（   ） A．3 B．6 C．9 D．18 【答案】B 【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定及性质、等腰三角形的性质和勾股定理，掌握面积代换是解题的关键． 连接，证明和全等，，然后根据三角形的面积即可求出和，最后利用勾股定理即可求出结论． 【详解】解：如图所示，连接， ∵在等腰三角形中，， ∴， ∵D为边上中点， ∴， ∴都是等腰直角三角形， ∴； ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴≌， ， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴或（舍去） 故选：B． 6．计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．利用完全平方公式展开即可求解． 【详解】解：． 故答案为： 7．已知，如图，在中，，点D在边上，，垂足为E，且，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次根式的运算，先证明，得到，勾股定理得到，根据，求出的长，进而求出的长即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 8．若整数满足，则能使为整数的的值是 ． 【答案】或3 【分析】根据绝对值不等式确定整数的取值范围，再根据算术平方根为整数的条件，逐一验证可能的值． 本题考查了二次根式的计算，熟练掌握二次根式的计算方法是解题的关键． 【详解】解：由整数满足 得可取． 计算 ： 当 时，，不是整数； 当 时，，是整数； 当 时，，不是整数； 当 时，，不是整数； 当 时，，不是整数； 当 时，，不是整数； 当 时，，是整数． ∴能使 为整数的 的值是和 ； 故答案为：或． 9．已知，，若都是实数，且，为正整数，且，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，无理数的估算，设，，根据完全平方公式可求出的值，进而求出的值，再根据条件确定、、、的值，最后计算的值即可． 【详解】解：设， ∴ ， ∵为正整数，且， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 设， ∴ ， ∵为正整数且， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴，． ∴． ∴ ， 故答案为：． 10．观察下列等式： ，，…，则前10个等式的和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了裂项相消法的应用，掌握将等式展开后，抵消中间重复的正负项来简化计算是解题的关键． 先写出前 10 个等式的具体展开形式，再通过裂项相消，计算最终的和． 【详解】解：​第1个等式： 第2个等式： …… 第9个等式： ​第10个等式： 故答案为：． 11．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和乘法公式是解决问题的关键．先利用平方差公式和完全平方公式计算，然后合并同类项即可解答． 【详解】解：原式 ． 12．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，分母有理化，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 先化简题目中的式子，再将x的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 13．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索：（其中均为整数）． 则有．，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当均为整数时，若，用含的式子分别表示，得：___________，___________． (2)利用所探索的结论，找一组正整数填空___________ （______）． (3)若，且均为正整数，求a的值？ 【答案】(1)， (2)4，2，1，1（答案不唯一） (3)的值为或 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用完全平方公式将展开，再对应相等即可得解； （2）令，，则，，由此即可得解； （3）由（1）可得：，，从而得出，且，为正整数，计算可得，或，，再分情况求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，； （2）解：令，，则，， ∴； （3）解：由（1）可得：，， ∵， ∴，且，为正整数， ∴，或，， ∴当，时，； 当，时，； 综上所述，的值为或． 14．阅读材料：用配方法求最值． 已知，为非负实数， ∵ ∴，当且仅当“”时，等号成立． 例：已知，求函数的最小值． 解∶令，则有， 得 当且仅当，即时，函数取到最小值，最小值为4． 根据以上信息回答下列问题． (1)已知，则函数取到最小值，最小值为______，已知，则的最小值是______； (2)已知，则自变量取何值时，函数取到最大值？最大值为多少？ (3)如图，四边形的对角线，交于点O，，，求四边形的面积的最小值． 【答案】(1)6，4 (2) (3)100 【分析】本题主要考查二次根式的计算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）根据材料提示得到，设，由此即可求解； （2）根据题意得到，则，此时有最大值，最大值为：，由此即可求解； （3）设，则，结合题意得到，所以此时，，由此即可求解． 【详解】（1）解：函数， 令， ∴， ∴当且仅当，即时，取得最小值，最小值为6， 设， 当且仅当，即时，的最小值是4， 故答案为：6，． （2）解：∵， 又∵， 当且仅当时，有最小值， ∵， ∴当时，有最小值，最小值为， ∴此时有最大值，最大值为：； ∴当时，函数取到最大值，最大值为． （3）解：设，则， ∵， ∴， ∴； 当且仅当时，； 此时，， 故． 15．如图1，是等腰直角三角形，，，点D是的中点，在外取一点E，使，连接． (1)求证：． (2)如图2，若点E在直线下方，且，求的长． (3)若点E在直线下方，，直接写出的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）可证明，则由等边对等角和三角形内角和定理可证明，即，据此可证明结论； （2）过点C作交于点F，设交于点J．可证明，得到，由勾股定理可得，，则可推出，，据此求出的长即可得到答案； （3）当点E在直线的下方时，过点C作于点G，交于点F，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，由三线合一定理和直角三角形的性质求出的长，再根据全等三角形的性质和三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵点D是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图2中，过点C作交于点F，设交于点J． ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， 在中，∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图3中，当点E在直线的下方时，过点C作于点G，交于点F． 由（2）可知，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴； ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，直角三角形的性质等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 2 / 64 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 二次根式（复习讲义） 一、基础目标 1. 能复述二次根式的定义，明确形如（a≥0）的式子是二次根式，能准确判断一个式子是否为二次根式。 2. 会背诵二次根式的双重非负性（≥0且a≥0），能直接应用该性质解决简单问题。 3. 能复述二次根式的三个基本性质：()²=a（a≥0）、=|a|、=（a≥0，b≥0），并能直接套用性质进行简单计算。 4. 会进行二次根式的化简，能将被开方数中含能开得尽方的因数或因式的二次根式化为最简二次根式。 5. 会进行二次根式的加减法运算，能先将二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式。 6. 会进行二次根式的乘法运算，能直接应用=（a≥0，b≥0）计算。 7. 会进行二次根式的除法运算。 二、进阶目标 1. 理解二次根式双重非负性的深层含义，能综合运用该性质解决较复杂问题。 2. 会推导二次根式的性质=|a|，并能根据a的取值范围正确化简含绝对值的二次根式。 3. 理解最简二次根式的标准（被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式），能对分母含二次根式的式子进行分母有理化。 4. 能熟练进行二次根式的混合运算，包括先算乘方、再算乘除、最后算加减，有括号先算括号内的运算。 5. 能运用二次根式的运算解决实际问题，如结合几何图形。 6. 会逆向运用二次根式的乘除性质。 三、拓展目标 1. 理解二次根式与平方、开平方运算的关系，能综合运用二次根式的性质和代数变形技巧解决含参数的问题。 2. 能运用分母有理化的方法解决较复杂的分式化简问题。 3. 能结合二次根式的运算探究数学规律，。 4. 能将二次根式与函数、方程等知识结合，解决综合性问题。 5. 理解二次根式运算的严谨性，能辨析运算中的常见错误。 6. 能运用二次根式的知识解决跨学科问题或复杂实际情境问题。 类别 内容 分析 常见结论 二次根式的双重非负性：对于二次根式，有a≥0且≥0 二次根式的定义要求被开方数必须是非负数，这是二次根式存在的前提；同时，二次根式的运算结果也是一个非负数，这一性质在解决与二次根式相关的求值、化简以及判断代数式取值范围等问题中应用广泛，例如在解方程或不等式时，若出现 + = 0的形式，则可直接得出a=0且b=0。 ()² = a（a≥0） 此结论表明，一个非负数先开平方再平方，结果仍为原数。这里需要特别注意a的取值范围必须是非负的，若a为负数，在实数范围内无意义，所以该等式仅在a≥0时成立，它是进行二次根式化简和运算的基础公式之一。 = · （a≥0，b≥0） 该结论是二次根式乘法法则的表达式，它表明两个非负数的积的算术平方根等于这两个数的算术平方根的积。使用此法则时，必须保证被开方数a和b都是非负数，否则法则不成立。 = （a≥0，b>0） 这是二次根式除法法则的表达式，即两个非负数的商的算术平方根等于这两个数的算术平方根的商。这里要注意分母b不能为0，且a必须是非负数，b必须是正数，若b为负数，在实数范围内无意义， 最简二次根式的两个条件：（1）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；（2）被开方数中不含分母 最简二次根式是二次根式运算和化简的最终目标形式。第一个条件要求将被开方数分解因数或因式后，每一个因数或因式的指数都小于根指数2；第二个条件要求被开方数不能是分数或分式，若有分母，需要通过分母有理化将其化为整数。 同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式 同类二次根式的概念是进行二次根式加减运算的基础，只有同类二次根式才能进行合并。。 易错点 忽略二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数 在涉及二次根式的问题中，常常需要先考虑被开方数的取值范围。。 混淆()²与的区别 ()²中的a必须满足a≥0，结果直接等于a；而中的a可以是任意实数，结果等于 在运用二次根式乘除法法则时，忽略被开方数的取值范围 二次根式乘法法则 = · 成立的条件是a≥0且b≥0，除法法则= 成立的条件是a≥0且b>0。若忽略这些条件。 二次根式化简不彻底，未化为最简二次根式 在进行二次根式化简时，容易出现没有将被开方数中能开得尽方的因数或因式全部开出来，或者被开方数中仍含有分母的情况。 错误地合并非同类二次根式 只有同类二次根式才能进行合并，非同类二次根式不能合并。 分母有理化时方法错误或不彻底 分母有理化是将分母中的根号去掉的过程， 在二次根式的混合运算中，运算顺序错误或符号出错 二次根式的混合运算顺序与实数的混合运算顺序相同，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的。学生容易出现运算顺序颠倒的错误。 题型一 二次根式的定义与有意义 【例1】下面是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】若式子有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】函数中自变量x的取值范围是 ． 题型二 同类二次根式与最简二次根式 【例2】下列式子中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】下列各组二次根式是同类二次根式的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式2-2】已知最简二次根式与是同类二次根式，则a的值为 ． 题型三 比较二次根式的大小 【例3】下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知，则下列数中比m大的是（   ） A． B．4 C． D． 【变式3-2】比较大小： ．（选填“>”“<”或“=”） 题型四 二次根式的非负性 【例4】已知，则的值为（ A． B． C．3 D． 【变式4-1】已知，则的算术平方根是（   ） A． B．3 C．5 D． 【变式4-2】已知，则 ． 题型五 二次根式的估算 【例5】估算的结果在（   ） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 【变式5-1】估算的值应在（   ） A．0与1之间 B．1与2之间 C．2与3之间 D．3与4之间 【变式5-2】对于任意一个实数，它的整数部分是指不超过这个数的最大整数，它的小数部分是这个数减去整数部分剩下的数．如的整数部分为，小数部分为．如果的小数部分是，的整数部分是，那么的值为 ． 题型六 二次根式的数轴化简 【例6】实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】实数，对应的点在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简代数式的值为 ． 题型七 二次根式的新定义运算 【例7】对于任意的正数，定义运算为：，计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】定义运算“☆”的运算法则为，则 ． 【变式7-2】对于任意两个非零实数a，b，定义运算如下：． 如：，． 根据上述定义，解决下列问题： （1） ， ； （2）如果，那么x ＝ ； （3）如果，求x的值． 题型八 二次根式的规律 【例8】观察下列按一定规律排列的二次根式：，，，，…根据你发现的规律猜想第n（n是正整数）个二次根式是（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】下面是小颖根据学习“数与式”积累的经验，通过“由特殊到一般”的方法探（第15题图）究二次根式的运算规律： ①；②；③；…… 如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律为 ． 【变式8-2】【观察思考】 观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； …… 【规律发现】 （1）根据上述规律，直接写出下列算式的值： ①_____； ②_____； （2）用含（为正整数）的代数式表示出第个等式：_____； 【规律应用】 （3）根据上述规律计算： ． 题型九 二次根式的最值 【例9】已知是整数，则自然数的最小值是（    ） A．12 B．9 C．1 D．4 【变式9-1】阅读以下的材料： 如果两个正数a，b，即a0，b0，则有下面的不等式：当且仅当a=b时取到等号，我们把叫做正数a，b的算术平均数，把叫做正数a，b的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大(小)值问题的有力工具，下面举一例子： 例：已知x0，求函数的最小值． 解：令，则有，得，当且仅当时，即x=2时，函数有最小值，最小值为4． 根据上面回答下列问题 ①已知x0，则当x= 时，函数 取到最小值，最小值为 ； ②已知x0，则自变量x取何值时，函数最大值是 ． 【变式9-2】（1）问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，求代数式的最小值；小强同学发现可看作两直角边分别为和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和3的直角三角形的斜边长．于是构造出下图，将问题转化为求的斜边和的斜边的和的最小值，易得、、三点共线时，取得最小值，即线段的长，进而求得的最小值是_________． （2）类比迁移：根据上述方法画出示意图，解决以下问题 已知，均为正数，且，求的最小值． 题型十 复合二次根式 【例10】像，，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简． 如：； ． 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：． 【变式10-1】阅读材料： 小颖在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小颖进行了以下探索： 设（其中x，y，m，n均为正整数），则有， ∴，．这样小颖就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照小颖的方法探索并解决下列问题： (1)当x，y，m，n均为正整数且时，请用含m，n的式子分别表示x，y： ______，______； (2)若，且x，m，n均为正整数，求x的值； (3)①填空：______； ②化简：． 【变式10-2】我们已经学过完全平方公式，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如，，，，那么我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题． 例：求的算术平方根． 解：∵， ∴的算术平方根是． 根据以上材料，回答下列问题： (1)_____________； (2)化简：； (3)在中，，，，那么BC边的长为多少？ 题型十一二次根式的混合运算 【例11】计算： 【变式11-1】先化简，再求值：已知，求代数式的值． 【变式11-2】已知对，，求的值． 题型十二 根式有理化 【例12】阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简，可以将分母中含有二次根式的代数式化为分母是有理数的代数式这个过程称为分母有理化，例如： ；． (1)请根据以上方法进行分母有理化： ①_______；②_______；③_______； (2)计算： 【变式12-1】材料阅读：在二次根式的运算中，经常会出现诸如，的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”，例如：，．类似的，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：，． 根据上述知识，请你完成下列问题： (1)运用分母有理化，化简：； (2)运用分子有理化，比较与的大小，并说明理由； (3)计算：的值． 【变式12-2】小星在解决问题：已知，求的值，他是这样分析与解答的： ， ． ，即． ． 请你根据小星的分析过程，解决如下问题： (1)填空：_______；_______； (2)计算：； (3)若，求的值． 题型十三 二次根式的新定义应用 【例13】【定义新知】我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角形．例如：某三角形三边长分别是5，6和8，因为，所以这个三角形是常态三角形． (1)【概念理解】若三边长分别是，和4，则此三角形________常态三角形；（填“是”或“不是”） (2)【初步应用】若是常态三角形，其三边长分别为、、，且，则的值为________； (3)【拓展思考】如图，在中，，，，在上，且，若是常态三角形，求线段的长． 【变式13-1】阅读下面的情景对话，然后解答问题： 老师：我们将奇异三角形定义为两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形． 小华：等边三角形一定是奇异三角形！ 小明：那直角三角形是否存在奇异三角形呢？ 【感知】 （1）根据“奇异三角形”的定义，小红得出命题：“等边三角形一定是奇异三角形”，请判断小红提出的命题是否正确，并填空 （填“正确”或“不正确”）； （2）若某三角形的三边长分别是，则该三角形是奇异三角形吗？ （填“是”或“不是”）． 【思考】 （1）若是奇异三角形，且其两边长分别为，则第三边的边长为 ；且此直角三角形的三边之比为 （请按从小到大排列）； （2）如图，在中，，且，若是奇异三角形，求． 【运用】如图，中，以为斜边作等腰直角，点是下方的一点，且满足． （1）求证：是奇异三角形； （2）当是直角三角形时，记的面积为，四边形的面积为，则 ． 【变式13-2】定义：如果三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“角差三角形”． 【理解概念】 （1）顶角为的等腰三角形 “角差三角形”（填“是”或“不是”）； 【解决问题】 （2）已知是“角差三角形”，其中，，求的度数； 【知识迁移】 （3）如图，在中，，，，点是边上一动点，且不与点，点重合，若是“角差三角形”，直接写出的长度． 基础巩固通关测 1．下列计算中，正确的是（  ） A． B． C． D． 2．计算的结果是（   ） A．2026 B． C． D． 3．若一个正方形的面积是18，则它的边长为（　　） A． B． C．6 D．9 4．在下列二次根式中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 5．已知，，为的三条边的长，则化简的结果是（    ） A． B．0 C． D． 6．要使二次根式在实数范围内有意义，则符合条件的正整数x的值可以是 ．（写出一个即可） 7． ； ． 8．若，则 ． 9．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图 所示，则化简的结果是 ． 10．阅读下列材料：我们知道，因此将的分子分母同时乘以“”，分母就变成了4，即，从而可以达到对根式化简的目的．根据上述阅读材料解决问题：若，则代数式的值是 ． 11．计算：． 12．高空抛物严重威胁着人们的头顶安全，即便是常见小物件，一旦从高空落下，其威力也惊人，而且落地用时很短，行人常常来不及避让．据研究，从高度为（单位：）的高空抛出的物体下落的时间（单位：）和高度满足关系式（不考虑风速的影响，的值取），已知小杰家所住楼层的高度是，假如一个物品从小杰家抛出，求该物品落地的时间（结果保留根号）． 13．计算： (1) (2)． 14．已知，求的值 15．海伦公式最早见于古希腊数学家海伦的著作《测地术》，秦九韶公式由中国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中独立提出，它们都是古代数学的瑰宝．设三角形的三边长分别为a，b，c，，则有下列三角形的面积公式成立：（海伦公式），（秦九韶公式）．已知的三边长分别为5，6，7；的三边长分别为，，，请你选择恰当的方式分别计算和的面积． 能力提升进阶练 1．下列计算中，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知为实数，且满足，下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，数轴上，，，四个点所表示的数中，与最接近的数对应的点是（   ） A． B． C． D． 4．化简后等于（   ） A． B． C． D． 5．如图，在等腰三角形中，，为边上中点，过点作，交于，交于，若，则的长为（   ） A．3 B．6 C．9 D．18 6．计算： ． 7．已知，如图，在中，，点D在边上，，垂足为E，且，，则 ． 8．若整数满足，则能使为整数的的值是 ． 9．已知，，若都是实数，且，为正整数，且，，则 ． 10．观察下列等式： ，，…，则前10个等式的和是 ． 11．计算：． 12．先化简，再求值：，其中． 13．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索：（其中均为整数）． 则有．，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当均为整数时，若，用含的式子分别表示，得：___________，___________． (2)利用所探索的结论，找一组正整数填空___________ （______）． (3)若，且均为正整数，求a的值？ 14．阅读材料：用配方法求最值． 已知，为非负实数， ∵ ∴，当且仅当“”时，等号成立． 例：已知，求函数的最小值． 解∶令，则有， 得 当且仅当，即时，函数取到最小值，最小值为4． 根据以上信息回答下列问题． (1)已知，则函数取到最小值，最小值为______，已知，则的最小值是______； (2)已知，则自变量取何值时，函数取到最大值？最大值为多少？ (3)如图，四边形的对角线，交于点O，，，求四边形的面积的最小值． 15．如图1，是等腰直角三角形，，，点D是的中点，在外取一点E，使，连接． (1)求证：． (2)如图2，若点E在直线下方，且，求的长． (3)若点E在直线下方，，直接写出的面积． 2 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $