第1章 二次根式（单元自测·提升卷）数学新教材浙教版八年级下册

2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第1章 二次根式·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．要使二次根式有意义，则x应满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，被开方数必须非负，即，解此不等式即可确定的取值范围． 【详解】解：要使二次根式有意义， ∴， ∴． 故选：D． 2．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的运算性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据二次根式的乘除和加减法则，需逐一验证各选项的正确性． 【详解】解：∵，∴ A错误； ∵，∴ B错误； ∵，∴ C错误； ∵，∴ D正确； 故选：D． 3．若最简二次根式与能合并，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式、同类二次根式、二次根式的化简，熟练掌握同类二次根式的定义是解题关键．先化简二次根式可得，再得出最简二次根式与是同类二次根式，则可得，由此即可得． 【详解】解：， ∵最简二次根式与能合并， ∴最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得， 故选：A． 4．的一个有理化因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，有理化因式需使乘积为有理式，利用平方差公式消除根号即可求解． 【详解】解：选项A、B和原式相乘后含，选项C相乘后仍含根号，均不是有理式； ∵，结果为有理式． 故选：D． 5．估计的值应在（    ） A．4与5之间 B．5与6之间 C．6与7之间 D．7与8之间 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式混合运算、无理数估算及不等式性质，熟练掌握二次根式混合运算和无理数估算方法是解决问题的关键．先将表达式化简为，然后通过估计 的值范围，确定整个表达式的取值范围即可． 【详解】解：∵ ， 又∵， ∴， ∴， ∴原式的值在5与6之间； 故选：B． 6．当时，代数式的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二次根式的运算，完全平方公式，代数式求值，熟练掌握完全平方公式，二次根式的运算法则是解题的关键．先把化成，再把代入计算即可． 【详解】解：， 当时，原式． 故选：C． 7．某数学兴趣小组学完勾股定理后，类比“赵爽弦图”将八个全等的直角三角形拼接构造成如图所示的“弦图”，图中正方形，正方形，正方形的面积分别记为．若，则的长是（    ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的应用，整式的混合运算，利用二次根式的性质化简等，掌握勾股定理是解题的关键．利用勾股定理结合正方形的面积公式以及面积关系列出等式，即可求解． 【详解】解：设直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，斜边长为c，则：， 由题意，得：，，， ， ， ， ， ， 即， ， 故选：A． 8．设，，则用含有，的式子可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的化简，掌握将被开方数分解为含已知二次根式的因数，再用字母替换对应二次根式是解题的关键． 将分解为，简化后得到，再代入和表示和． 【详解】解：， ∵， ∴． 故选：D． 9．若3，4，n为三角形的三边长，则化简的结果为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形三条边的数量关系以及根式的化简，掌握三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键． 由三角形三边关系可以确定的取值范围为，再利用绝对值的性质化简表达式． 【详解】∵ 3，4，为三角形的三边长， ∴ ,即， ∴ ，， ∴ 原式， 故选：A． 10．如图，在中，，，，是上一动点，过点作于于，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理，化为最简二次根式等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．连接．利用勾股定理求出，再证明，即可解决问题． 【详解】解：连接， ， 设， ， ， ， ， 解得：（负值已舍）， ， ， ， 故选：A． 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．化简：（1） （2） 【答案】 4 2 【分析】本题考查二次根式的性质与化简，正确运用二次根式乘法法则是解题关键． （1）根据算术平方根的定义直接计算； （2）根据二次根式的除法法则，将除法转化为被开方数的除法后再开方． 【详解】解：（1）； （2）． 故答案为：（1）4 （2）2 12．最简根式与是同类二次根式，则 ． 【答案】10 【分析】本题考查同类二次根式，同类二次根式要求被开方数相同，据此列方程求解，并验证被开方数的非负性． 【详解】解：∵最简根式与是同类二次根式， ∴， 解得 或 检验：当 时，，；当 时，，不符合二次根式定义， 故 ． 故答案为：10． 13．当时，化简 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，根据题意可知，然后化简即可． 【详解】解：根据题意可知：， 又， ∴， ∴， ∴， 故答案为 ：． 14．若正实数满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的运算，灵活应用完全平方公式是解题的关键．结合已知利用完全平方公式进行变形求得，进而得到的值，然后再次利用完全平方公式进行变形，求得，即可得解． 【详解】解：，， ， ， 为正实数， ， ． 故答案为：． 15．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查与二次根式有关的代入求值，先有理化分母化简得到，整理得，最后代入已知条件计算得出结果。 【详解】解：， ∴， ∴， 整理得， ∴ ， 故答案为：． 16．如图，在中，，，分别以，为边向外作正和正，连接，在的边变化过程中，当取最长时，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理．根据等边三角形的性质证明，可得，再根据当点A，B，D共线时，最大，即最大，然后作出图形，并作，根据勾股定理可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵都是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴． ∵， ∴当点A，B，D共线时，最大，即最大． 过点C作于点F， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 在中，根据勾股定理，得． 在中，根据勾股定理得． 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简以及二次根式的加减运算，注意计算的准确性即可； （1）利用二次根式的加减运算法则即可求解； （2）利用二次根式的性质化简后再计算即可； 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 18．（8分）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运用二次根式的性质进行化简，再计算加减即可； （2）先运用二次根式的性质进行化简和应用平方差公式，再计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 19．（8分）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化，熟练运用分式的运算法则及运算顺序正确化简是解决问题的关键． 根据分式的混合运算法则把所给的分式化为最简分式，再代入求值即可． 【详解】解： 当时，原式 20．（8分）海伦—秦九韶公式：海伦（约公元50年），古希腊几何学家，在数学史上以解决几何测量问题闻名，在他的著作《度量》一书中证明了一个利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式．即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积． 如图，在中，，，．求的面积． 【答案】 【分析】本题考查了“海伦公式”的应用，二次根式，代数式求值，掌握知识点是解题的关键． 将，，代入公式计算得出，然后再代入计算即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ． 21．（8分）如图，在中，为锐角，作交的延长线于点． (1)若，则的度数为_____． (2)求证：． (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据题意求出的度数，再根据，得出即可求出； （2）设，根据题意表示出的度数，再根据，表示出，即可求出； （3）过C作于E，可证明为等腰直角三角形，则可求出和，再利用勾股定理计算即可． 【详解】（1）解： ∵， ∴， 又∵     ，   ∴， ∴； （2）证明：设， ∵， ∴， 又∵，   ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，过C作于E， ∵， ∴由（2）得， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴，     又∵ ，     ∴， 又∵ ，           ∴， ∴． 22．（10分）【观察发现】 ∵． ∴； ∵， ∴． 【初步探索】 （1）化简： ； ； （2）形如可以化简为，即，且，，，均为正整数，用含，的式子分别表示，，得 ， ； 【解决问题】 （3）若，且，均为正整数，求的值； 【答案】（1），；（2），；（3） 【分析】本题主要考查二次根式的化简与应用，完全平方公式，掌握知识点是解题的关键． （1）根据题目所给的方法将根号下的数变成完全平方的形式进行计算； （2）根据题目给出的，与，的关系式，列式算出结果即可； （3）将所给式子两边平方求解即可． 【详解】解：（1）， ， 故答案为：，． （2）由题意可知： ， ∵，，，均为正整数， ∴，， 故答案为：，． （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 23．（10分）为了探索代数式的最小值，小明巧妙的运用了“数形结合”思想．具体方法是这样的：如图，为线段上一动点，分别过点、作，，连接、．已知，，，设．则，则问题即转化成求的最小值． (1)我们知道当、、在同一直线上时，的值最小，于是可求得，的最小值等于________； (2)请你根据上述方法，试构图求出代数式的最小值． (3)若，为正实数，且．求的最小值． 【答案】(1)10 (2) (3) 【分析】本题主要考查了最短路线问题以及勾股定理应用，二次根式的混合运算，利用了数形结合的思想，通过构造直角三角形，利用勾股定理求解是解题关键． （1）连接，根据两点之间线段最短，得到的最小值为的长，作，在中，利用勾股定理进行求解即可； （2）仿照题干方法，将代数式的最小值转化为两条线段和最小的问题，利用勾股定理进行求解即可； （3）根据，得到，进而将转化为，类比题干方法进行求解即可． 【详解】（1）解：连接，作，由题意，得， ∴， 在中，由勾股定理，得； 故的最小值为10； （2）解：如图，为线段上一动点，分别过点、作，，连接、．已知，，，设．则，． 连接，作，则，， ∴， 在中，由勾股定理，得； 故的最小值为； （3）解：∵， ∴， ∴， 如图，为线段上一动点，分别过点、作，，连接、．已知，，，设．则，． 连接，作，则，， ∴， 在中，由勾股定理，得； 故的最小值为． 24．（12分）阅读下面问题：， ， ， 【问题探究】 （1）根据以上信息，化简：______________________________． 【应用结论】 （2）利用以上规律，计算： 【拓展应用】 （3）如果有理数a，b满足，试求： 的值． 【答案】（1）；（2）2025；（3） 【分析】本题考查了分母有理化，平方差公式，二次根式的混合运算，熟练掌握分母有理化是解题的关键． （1）根据所给等式解答即可； （2）根据规律，化简计算即可． （3）根据，得，再求出，然后化简计算即可． 【详解】解：（1） ． 故答案为：； （2） ． （3）∵， ∴且， 解得， 故， 解得． ∴原式． ∵ ∴原式 ． 学科网（北京）股份有限公司2 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第1章 二次根式·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．要使二次根式有意义，则x应满足的条件是（    ） A． B． C． D． 2．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．若最简二次根式与能合并，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．的一个有理化因式是（    ） A． B． C． D． 5．估计的值应在（    ） A．4与5之间 B．5与6之间 C．6与7之间 D．7与8之间 6．当时，代数式的值为（   ） A．2 B． C． D． 7．某数学兴趣小组学完勾股定理后，类比“赵爽弦图”将八个全等的直角三角形拼接构造成如图所示的“弦图”，图中正方形，正方形，正方形的面积分别记为．若，则的长是（    ） A． B．5 C． D． 8．设，，则用含有，的式子可以表示为（   ） A． B． C． D． 9．若3，4，n为三角形的三边长，则化简的结果为（  ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，，，是上一动点，过点作于于，则的长是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．化简：（1） （2） 12．最简根式与是同类二次根式，则 ． 13．当时，化简 ． 14．若正实数满足，则 ． 15．若，则 ． 16．如图，在中，，，分别以，为边向外作正和正，连接，在的边变化过程中，当取最长时，则的长为 ． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）计算： (1)； (2)． 18．（8分）计算： (1)； (2)． 19．（8分）先化简，再求值：，其中． 20．（8分）海伦—秦九韶公式：海伦（约公元50年），古希腊几何学家，在数学史上以解决几何测量问题闻名，在他的著作《度量》一书中证明了一个利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式．即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积． 如图，在中，，，．求的面积． 21．（8分）如图，在中，为锐角，作交的延长线于点． (1)若，则的度数为_____． (2)求证：． (3)已知，求的值． 22．（10分）【观察发现】 ∵． ∴； ∵， ∴． 【初步探索】 （1）化简： ； ； （2）形如可以化简为，即，且，，，均为正整数，用含，的式子分别表示，，得 ， ； 【解决问题】 （3）若，且，均为正整数，求的值； 23．（10分）为了探索代数式的最小值，小明巧妙的运用了“数形结合”思想．具体方法是这样的：如图，为线段上一动点，分别过点、作，，连接、．已知，，，设．则，则问题即转化成求的最小值． (1)我们知道当、、在同一直线上时，的值最小，于是可求得，的最小值等于________； (2)请你根据上述方法，试构图求出代数式的最小值． (3)若，为正实数，且．求的最小值． 24．（12分）阅读下面问题：， ， ， 【问题探究】 （1）根据以上信息，化简：______________________________． 【应用结论】 （2）利用以上规律，计算： 【拓展应用】 （3）如果有理数a，b满足，试求： 的值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第1章二次根式能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 个 8 9 10 D D A D B c A D A A 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.4,2 12.10 13.-b-ab a 14.6 15.4050 16.2V万 三、解答题（共8小题，共72分） 17.(8分) 【详都】1解：反式子-3 :(4分) (2)解：原式=上3--5+9 =3-5+9 =7(8分) 18.(8分) 【详解】(1)解：8-2⑧-V2] =3V2-2(2V2-2] =3√2-2√2 =2;(4分) 2解：5+而-（5+川2- 1/6 西学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 =1+√2-(2-1) =1+V2-1 =√2.(8分) 19.(8分) 1 2a+4 【详解】解： 、a2-4a-2a2+4a+4 a-a+2) x[a+2)2 (a+2)(a-22a+2 -2 (a+22 (a+2)(a-2)2(a+2) 、1 (4分) a-2 1 当a=√5+2时，原式=- 3 √5+2-23 (8分) 20.(8分) 【详解】解：，a=8,b=4,c=6, p=a+b+c=9. :.S.4Bc=p(p-a)(p-b)(p-c) =V9×(9-8)×(9-4)x9-6 =315.(8分) 21.(8分) 【详解】(1)解：AD⊥AB,∠D=20°， .∠ABD=90°-∠D=90°-20°=70°， 又，AB=AC ∴.∠ACB=∠ABD=70°， .∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-70°-70°=40°；(2分) (2)证明：设∠D=x, AD⊥AB, ∴.∠ABD=90°-∠D=90°-x, 2/6 西学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 又AB=AC, ∴.∠ACB=∠B=90°-x, ∴.∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-(90°-x-(90°-x=2x, .LBAC=2LD;(5分) (3)解：如图所示，过C作CE⊥AB于E, E B C ∠D=22.5°， .由(2)得LBAC=2LD=45°， ∴.△AEC为等腰直角三角形， .AE CE, ∴.AC=VAE2+CE2=√2AE, 又AC=√2， ∴.AE=EC=I, 又，AB=AC=√2， .BE=√2-1， ∴BC2=-BE2+CE2=(W2-1+1P=4-22.(8分) 22.(10分) 【详解】解：(1)0+2万=万+=万+5， 9-62=VW6-V5=6-5, 故答案为：√万+5，√6-5.(3分) (2)由题意可知： m-2√n=a+b-2√ab, ,a,b,m,n均为正整数， ∴.m=a+b,n=ab, 故答案为：a+b,ab.(6分) 3/6 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 (3):Vx+45=1+yW5, ∴.x+4V5=(1+yV5)2=1+5y2+2yV5, .2y=4, .y=2, .x=1+5y2=1+5×22=21.(10分) 23.(10分) 【详解】(I)解：连接AE,作EF⊥AB,由题意，得EF=BD=8,BF=DE=5, D .AF AB BF=6, 在Rt△AFE中，由勾股定理，得AE=√AF2+EF2=I0; 故+1+V8-+25的最小值为10：(3分) (2)解：如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD,ED⊥BD,连接AC、EC,已知 AB=2,DE=3,BD=10,设BC=x.则AC=√2+4，CE=V10-x)+9, 连接AE,作EF⊥AB,则EF=BD=I0,BF=DE=3, .AF=AB+BF=2+3=5, D E 在RIAAFE中，由勾股定理，得AE=√AF2+EF2=5√5； 故Vx2+4+V10-x)2+9的最小值为5W5;(6分) (3)解：：x+y=V2, .y=√2-x, 4/6 画学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 ∴+3+V2+2=2+3+2-x+2, 如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD,ED⊥BD,连接AC、EC,己知AB=√5， DE=2,BD=2,设BC=x.则4C=+3,CE=反-x+2. 连接AE,作EF⊥AB,则EF=BD=√2，BF=DE=√2， ∴.AF=AB+BF=√5+√2， A B D E 在RtAAFE中，由勾股定理，得AE=√AF2+EF2=1+√6； 故+3+2+2=+3+反-x+2的最小值为1+6.(10分) 24.(12分) 1 √n+1-√n 【详解】解：(1)n+n+中(n+n+可n+1-同 n+i-n=n+i-n. n+1-n 故答案为：√n+1-√n;(4分) 1 (2) 1 1 1+2++5+5+N4++N2025+V226 1+√2026) =(V2-1+V3-2+V4-V3++V2026-V2025×1+V2026 =(2026-1×1+2026） =2026-1 =2025.(8分) (3).ab-2=b-1+1-b, .b-1≥0且1-b≥0， 解得b=1, 5/6 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 故a-2=0, 解得a=2. 原式 1 1 2N+N2+3W2+2W5+4W5+3W4++2026N2025+2025√2026 :na+1+(n+)后an+n+1+同 (n+i-/n yn(n+1)(n+i+)(n+1-n) (n+i-n) √n(n+l 11 √nVn+l Vn√n+l nn+1 原式=1-2+55,54,2025V2026 22334 +…+ 2025 2026 =1-2026 (12分) 2026 6/6………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第1章 二次根式·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．要使二次根式有意义，则x应满足的条件是（    ） A． B． C． D． 2．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．若最简二次根式与能合并，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．的一个有理化因式是（    ） A． B． C． D． 5．估计的值应在（    ） A．4与5之间 B．5与6之间 C．6与7之间 D．7与8之间 6．当时，代数式的值为（   ） A．2 B． C． D． 7．某数学兴趣小组学完勾股定理后，类比“赵爽弦图”将八个全等的直角三角形拼接构造成如图所示的“弦图”，图中正方形，正方形，正方形的面积分别记为．若，则的长是（    ） A． B．5 C． D． 8．设，，则用含有，的式子可以表示为（   ） A． B． C． D． 9．若3，4，n为三角形的三边长，则化简的结果为（  ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，，，是上一动点，过点作于于，则的长是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．化简：（1） （2） 12．最简根式与是同类二次根式，则 ． 13．当时，化简 ． 14．若正实数满足，则 ． 15．若，则 ． 16．如图，在中，，，分别以，为边向外作正和正，连接，在的边变化过程中，当取最长时，则的长为 ． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）计算： (1)； (2)． 18．（8分）计算： (1)； (2)． 19．（8分）先化简，再求值：，其中． 20．（8分）海伦—秦九韶公式：海伦（约公元50年），古希腊几何学家，在数学史上以解决几何测量问题闻名，在他的著作《度量》一书中证明了一个利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式．即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积． 如图，在中，，，．求的面积． 21．（8分）如图，在中，为锐角，作交的延长线于点． (1)若，则的度数为_____． (2)求证：． (3)已知，求的值． 22．（10分）【观察发现】 ∵． ∴； ∵， ∴． 【初步探索】 （1）化简： ； ； （2）形如可以化简为，即，且，，，均为正整数，用含，的式子分别表示，，得 ， ； 【解决问题】 （3）若，且，均为正整数，求的值； 23．（10分）为了探索代数式的最小值，小明巧妙的运用了“数形结合”思想．具体方法是这样的：如图，为线段上一动点，分别过点、作，，连接、．已知，，，设．则，则问题即转化成求的最小值． (1)我们知道当、、在同一直线上时，的值最小，于是可求得，的最小值等于________； (2)请你根据上述方法，试构图求出代数式的最小值． (3)若，为正实数，且．求的最小值． 24．（12分）阅读下面问题：， ， ， 【问题探究】 （1）根据以上信息，化简：______________________________． 【应用结论】 （2）利用以上规律，计算： 【拓展应用】 （3）如果有理数a，b满足，试求： 的值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $