第1章 二次根式（单元自测·基础卷）数学新教材浙教版八年级下册

2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第1章 二次根式·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的定义，能熟记二次根式的定义是解此题的关键，形如的式子叫二次根式．根据二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．的被开方数为，不是二次根式，故本选项不符合题意； B．的根指数是3，不是2，不是二次根式，故本选项不符合题意； C．若，无意义，不是二次根式，故本选项不符合题意； D．是二次根式，故本选项符合题意． 故选：D． 2．化简的结果是（    ） A． B．6 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，熟知二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据算术平方根的定义，，结果应为非负数． 【详解】解： ， 故选：B． 3．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的运算，掌握相关知识是解决问题的关键．根据二次根式的运算法则逐一判断即可． 【详解】解：A：∵ ， ∴ A错误； B：∵ ，故 ， ∴ B错误； C：∵ ， ∴ C错误； D：∵ ， ∴ D正确． 故选：D． 4．下列属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，如果二次根式的被开方式中都不含分母，并且也都不含有能开得尽方的因式或因数，像这样的二次根式叫做最简二次根式． 根据最简二次根式的定义逐一判断即可． 【详解】解：A．，可化简，不属于最简二次根式； B．被开方数3是质数，不含有能开得尽方的因式，属于最简二次根式； C．，被开方数含分母，不属于最简二次根式； D．被开方数含分母，不属于最简二次根式； 故选：B． 5．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】C 【分析】本题主要考查同类二次根式的定义，根据同类二次根式需化简后根号内的被开方数相同，将各选项化为最简二次根式后比较被开方数即可． 【详解】解：A、，被开方数为 ，与的被开方数不同，不符合题意； B、，被开方数为，与不同，不符合题意； C、，被开方数为，相同，符合题意； D、，被开方数为，与不同，不符合题意； 故选： C． 6．已知最简二次根式与可以进行加减运算，则m的值为（   ） A．2 B．3 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式加减运算，先化简，被开方数为2，然后根据二次根式能进行加减运算得出，即可得出． 【详解】解：∵， ∴其被开方数为2， ∵与可进行加减运算， ∴它们为同类二次根式，故 化简后被开方数也应为2， 又∵为最简二次根式， ∴， 解得：． 故选：B． 7．化简：的结果是（　　） A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式有意义的条件，二次根式的性质．根据二次根式有意义的条件可得，从而得到，再根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∴， ∴ 故选：A 8．清代数学家梅文鼎在《勾股举隅》一书中，用四个全等的直角三角形拼出正方形的方法证明了勾股定理．如图，四边形为正方形，若的斜边，则图中线段的长为（   ） A．6 B． C．8 D． 【答案】D 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，勾股定理，由勾股定理可求的长，由全等三角形的性质可求，，进一步可得答案． 【详解】解：如图，标注顶点， 在中，， ， ，， ， ． 故选：D． 9．估计的值应在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．将原表达式化简为，再根据，即可求解． 【详解】解： ， ∵，， ∴ ∴， ∴ 故选：B． 10．若的整数部分为，小数部分为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．也考查了二次根式的混合运算． 先根据算术平方根的定义得到，可得，然后把x、y的值代入，再进行二次根式的混合运算即可． 【详解】解：， ， 的整数部分为1，小数部分为， ， ． 故选：C． 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．若代数式有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于0，据此列式求解即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， 解得． 故答案为：． 12．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式加减，先将 化简为 ，再与 进行合并同类项即可． 【详解】解：． 故答案为 ． 13．如果一个长方形的面积是，它的长是，则它的宽是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的应用，根据长方形面积公式，面积等于长乘以宽，因此宽等于面积除以长． 【详解】解：宽， 故答案为：． 14．已知，则的值为 ． 【答案】2021 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，出现二次根式中有未知数的题，想到二次根式有意义是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件得到a的取值范围，根据a的取值范围去绝对值，化简即可得出答案． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件得：，即． ∴ ∴可化为， ∴ ∴ ∴． 故答案为：2021 15．一个数值转换器的原理如图所示当输入的的值为64，则输出的数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了与流程图有关的实数计算，计算出64的算术平方根，若结果为无理数，则输出，若结果为有理数，则把结果作为新数输入，继续求算术平方根，直至结果为无理数作为输出的结果，据此求解即可． 【详解】解：64的算术平方根是8，8是有理数， 8的算术平方根是， ∵是无理数， ∴输出的数是． 故答案为：． 16．若，，则代数式的值为 ． 【答案】31 【分析】本题考查了二次根式的运算，完全平方公式的逆用及整体代入法，由已知条件，先计算a与b的和与积，再利用代数恒等变形求值． 【详解】解：∵，， ∴，， 则， 代入得：． 故答案为：31． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）化简： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)7 (2) (3) (4)8 【分析】本题考查了二次根式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据二次根式的性质进行化简，即可作答． （2）根据二次根式的性质进行化简，即可作答． （3）根据二次根式的性质进行化简，即可作答． （4）根据二次根式的性质进行化简，即可作答． 【详解】（1）解：； （2）解： （3）解：； （4）解： 18．（8分）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则和乘法公式是解决问题的关键． （1）先根据二次根式的除法法则运算，然后化简二次根式后进行有理数的加减运算； （2）根据平方差公式和完全平方公式计算． 【详解】（1）解： （2）解： 19．（8分）先化简再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值， 先根据分式的加减法计算括号内的，再根据分式的乘除法计算，并化到最简，然后将数值代入计算即可． 【详解】解：， ． 当时，原式． 20．（8分）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了异分母分式减法运算，平方差公式，因式分解的应用，熟练掌握知识点是解题的关键.先计算，再将化为代入计算即可． 【详解】解：依题意，得 ， ∴． 21．（8分）如图，在四边形中，，求四边形的面积． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解答的关键． 连接，根据勾股定理的逆定理判断出为直角三角形，且，然后利用三角形的面积求解即可． 【详解】解：如图，连接． 在中，， ，则． ， ． 为直角三角形，且． ． 22．（10分）阅读并解答：已知，求代数式的值． 小熙根据二次根式的性质：，联想到了如下解法： 由得，则，即，， 把作为整体，得：．请运用上述方法解决下列问题： 已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了分母有理化、完全平方公式、求代数式的值，理解题意是解题的关键． 根据分母有理化得到，再仿照题目的方法解决问题即可． 【详解】解：， 得， 则， 即， ∴， ∴． 23．（10分）某学校有一块长方形的文化长廊区域（如图），该区域的长为米，宽为米，现计划在区域中间放置一个正方形展台（阴影部分），展台的边长为米． (1)求该长方形文化长廊区域的周长；（结果保留根号） (2)除去放置展台的区域，其余区域全部需要贴上装饰画，若所贴装饰画的售价为10元平方米，则购买装饰画需要花费多少元？（结果保留根号） 【答案】(1)该长方形的文化长廊区域的周长为米 (2)购买装饰画大约需要花费元 【分析】本题考查二次根式混合运算的实际应用，理解题意是解决本题的关键． （1）利用长方形周长公式及二次根式的运算法则计算即可； （2）长方形面积减去小正方形面积求出装饰画面积，乘以单价即为所求． 【详解】（1）解：由题得， （米）， 答：该长方形的文化长廊区域的周长为米； （2）解：由题意得，其余区域的面积为 平方米， ∴总花费为元， 答：购买装饰画大约需要花费元． 24．（12分）在当今时代，国家人才培养和筛选机制正经历重大转变，以往单纯依靠死记硬背和题海战术的学习方式，已难以适应新的人才需求，自学能力逐渐成为孩子成长过程中不可或缺的关键因素．小智在学校学完二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．如：，善于思考的小智进行了以下探索，若设，则有，，这样小智就找到一种把类似的式子化为平方式的方法．请你依照小智的方法探索，并解决下列问题． (1)若，当a，b，m，n均为正整数时，用含m，n的式子分别表示a，b，得________， ________； (2)若，当a，b，m，n均为正整数时，求a的值； (3)求出的值． 【答案】(1)， (2)64或16 (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，求代数式的值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）利用完全平方公式展开等式右边，比较系数得出和的结果； （2）利用完全平方公式展开等式右边，比较系数得出，，再结合m，n均为正整数得出或，分两种情况代入计算即可得出结果； （3）根据二次根式的性质并结合完全平方公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵， ∴（a，b，m，n均为正整数）， ∴，； （2）解：， ， ，， ， ，n为正整数， 或， 当，时，； 当，时，， 的值为64或16； （3）解：∵，， ∴． 学科网（北京）股份有限公司14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第1章 二次根式·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．化简的结果是（    ） A． B．6 C． D． 3．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．下列属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 5．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A．； B．； C．； D．． 6．已知最简二次根式与可以进行加减运算，则m的值为（   ） A．2 B．3 C．6 D．8 7．化简：的结果是（　　） A． B．5 C． D． 8．清代数学家梅文鼎在《勾股举隅》一书中，用四个全等的直角三角形拼出正方形的方法证明了勾股定理．如图，四边形为正方形，若的斜边，则图中线段的长为（   ） A．6 B． C．8 D． 9．估计的值应在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 10．若的整数部分为，小数部分为，则的值是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．若代数式有意义，则x的取值范围是 ． 12．计算： ． 13．如果一个长方形的面积是，它的长是，则它的宽是 ． 14．已知，则的值为 ． 15．一个数值转换器的原理如图所示当输入的的值为64，则输出的数是 ． 16．若，，则代数式的值为 ． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）化简： (1) (2) (3) (4) 18．（8分）计算： (1)； (2)． 19．（8分）先化简再求值：，其中． 20．（8分）已知，求的值． 21．（8分）如图，在四边形中，，求四边形的面积． 22．（10分）阅读并解答：已知，求代数式的值． 小熙根据二次根式的性质：，联想到了如下解法： 由得，则，即，， 把作为整体，得：．请运用上述方法解决下列问题： 已知，求代数式的值． 23．（10分）某学校有一块长方形的文化长廊区域（如图），该区域的长为米，宽为米，现计划在区域中间放置一个正方形展台（阴影部分），展台的边长为米． (1)求该长方形文化长廊区域的周长；（结果保留根号） (2)除去放置展台的区域，其余区域全部需要贴上装饰画，若所贴装饰画的售价为10元平方米，则购买装饰画需要花费多少元？（结果保留根号） 24．（12分）在当今时代，国家人才培养和筛选机制正经历重大转变，以往单纯依靠死记硬背和题海战术的学习方式，已难以适应新的人才需求，自学能力逐渐成为孩子成长过程中不可或缺的关键因素．小智在学校学完二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．如：，善于思考的小智进行了以下探索，若设，则有，，这样小智就找到一种把类似的式子化为平方式的方法．请你依照小智的方法探索，并解决下列问题． (1)若，当a，b，m，n均为正整数时，用含m，n的式子分别表示a，b，得________， ________； (2)若，当a，b，m，n均为正整数时，求a的值； (3)求出的值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第1章二次根式·基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 个 8 9 10 D B D B B A D B 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）》 11.x≥2025 12.5 13.10 2 14.2021 15.2W2 16.31 三、解答题（共8小题，共72分） 17.(8分) 【详解】(1)解：（'=7；(2分) (2)解： -V2.25}=-2.25(4分) (3)解： 5:(6分) (4)解：（-22=(22=8(8分) 18.(8分) 【详解】(1)解： 8+8-6 √2 22+3V2 √2 52-4 √2 =5-4 1/4 可学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 =1(4分) (2)解：（2+1(2-1+(5-2 =2-1+3+4-4V5 =8-4V5(8分) 19.(8分) 【详解】解： 1 (a- a+1a2-1 a+1 a-1 a-3）a+1 (a+1)(a-)( a+1a-D区2 a-1-a+3a+1 (a+1)(a-1)2 2 2(a-1 a-1·(4分) 1 当a=25+1时， 原式=，3 236 (8分) 20.(8分) 【详解】解：依题意，得 a+b=5+1+5-1=25,a-b=5+1-(V5-l=2,ab=(N5+1(5-=2, :b日-2-a-a+ba--25x2.-25.(8分) a b ab ab 2 21.(8分) 【详解】解：如图，连接AC. D :在Rt△ABC中，∠B=90,AB=3,BC=4, 2/4 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 AC2=AB2+BC2=9+16=25,则AC=5. :AD=5,CD=5V2, .AC2+AD2=25+25=50=CD2. :△ADC为直角三角形，且∠DAC=90°. n5n=Sc+Sac=×3x4+5×5x5=185.(8分) 1 2 2 22.(10分) 【详解】解：x= 1 √10+3 0-310-3i0+3 =0+3, 得x-3=V10, 则(x-32=10, 即x2-6x+9=10, .x2-6x=1,(5分) .-2x2+12x-8=-2x2-6x)-8=-2×1-8=-10.(10分) 23.(10分) 【详解】(1)解：由题得，26V3+√48 =2(63+45) =20V3（米)， 答：该长方形的文化长廊区域ABCD的周长为20√5米；(5分) (2)解：由题意得，其余区域的面积为63×√4-(23-1 =6V5x4V5-(12-45+1 =24×3-13-45) =72-13+45 =59+43)平方米， 总花费为10×59+45=590+405)元， 3/4 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 答：购买装饰画大约需要花费590+405)元.(10分) 24.(12分) 【详解】(1)解：a+b5=(m+n5, .a+b√5=m2+2mn√5+5n2(a,b,m,n均为正整数)， ∴.a=m2+5n2,b=2mn;(4分) (2)解：：a+6万=(m+n, .a+6√万=m2+7n2+2mn7, .a=m2+7n2,2mn=6, .mn=3, :m,n为正整数， m=1 .m=3 a-3或a-1 当m=1,n=3时，a=1+63=64; 当m=3,n=1时，a=m2+7n2=9+7=16, ∴.a的值为64或16；(8分) (3)解：(5-1=1-25+5=6-25，（5+1=1+25+5=6+25， ∴6-2w5+6+2w5=,5-+5+-5-1+5+1=25.（12分) 4/4………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第1章 二次根式·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．化简的结果是（    ） A． B．6 C． D． 3．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．下列属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 5．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A．； B．； C．； D．． 6．已知最简二次根式与可以进行加减运算，则m的值为（   ） A．2 B．3 C．6 D．8 7．化简：的结果是（　　） A． B．5 C． D． 8．清代数学家梅文鼎在《勾股举隅》一书中，用四个全等的直角三角形拼出正方形的方法证明了勾股定理．如图，四边形为正方形，若的斜边，则图中线段的长为（   ） A．6 B． C．8 D． 9．估计的值应在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 10．若的整数部分为，小数部分为，则的值是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．若代数式有意义，则x的取值范围是 ． 12．计算： ． 13．如果一个长方形的面积是，它的长是，则它的宽是 ． 14．已知，则的值为 ． 15．一个数值转换器的原理如图所示当输入的的值为64，则输出的数是 ． 16．若，，则代数式的值为 ． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）化简： (1) (2) (3) (4) 18．（8分）计算： (1)； (2)． 19．（8分）先化简再求值：，其中． 20．（8分）已知，求的值． 21．（8分）如图，在四边形中，，求四边形的面积． 22．（10分）阅读并解答：已知，求代数式的值． 小熙根据二次根式的性质：，联想到了如下解法： 由得，则，即，， 把作为整体，得：．请运用上述方法解决下列问题： 已知，求代数式的值． 23．（10分）某学校有一块长方形的文化长廊区域（如图），该区域的长为米，宽为米，现计划在区域中间放置一个正方形展台（阴影部分），展台的边长为米． (1)求该长方形文化长廊区域的周长；（结果保留根号） (2)除去放置展台的区域，其余区域全部需要贴上装饰画，若所贴装饰画的售价为10元平方米，则购买装饰画需要花费多少元？（结果保留根号） 24．（12分）在当今时代，国家人才培养和筛选机制正经历重大转变，以往单纯依靠死记硬背和题海战术的学习方式，已难以适应新的人才需求，自学能力逐渐成为孩子成长过程中不可或缺的关键因素．小智在学校学完二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．如：，善于思考的小智进行了以下探索，若设，则有，，这样小智就找到一种把类似的式子化为平方式的方法．请你依照小智的方法探索，并解决下列问题． (1)若，当a，b，m，n均为正整数时，用含m，n的式子分别表示a，b，得________， ________； (2)若，当a，b，m，n均为正整数时，求a的值； (3)求出的值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $