第1章 二次根式 期末复习高频考点核心知识清单-八年级数学下学期新教材浙教版

第1章 二次根式 知识清单 一、核心知识总结（必背・期末重点） 1. 二次根式基础定义 定义：形如的式子叫做二次根式。 双重非负性：①被开方数非负：；②二次根式的值非负： 有意义条件：被开方数≥0；分母含根式时，被开方数 > 0 且分母≠0。 2. 二次根式核心性质（期末必考） 性质 公式 限制条件 记忆口诀 开方再平方 先开方后平方，直接得原数 平方再开方 任意实数 先平方后开方，结果带绝对值 乘法性质 积开方 = 开方积 除法性质 商开方 = 开方商 3. 最简二次根式与同类二次根式 最简二次根式（两个条件）：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式。 同类二次根式：化为最简后，被开方数相同的二次根式，只有同类才能合并。 4. 二次根式运算规则 ①加减：先化最简→合并同类二次根式（系数相加减，根式不变）。 ②乘法：。 ③除法：。 ④分母有理化：；。 ⑤混合运算：先乘方→再乘除→最后加减；有括号先算括号内。 5. 拓展方法：分母有理化与复合二次根式化简 ①分母有理化：用平方差去根号，保证分母为有理数。 ②复合二次根式：利用完全平方公式（）。 6. 期末复习总结归纳（考前速记卡） ①一看被开方数，二看运算条件，三化最简，四合并。 千万别丢绝对值。 ③乘除看正负，加减看同类。 ④分母有根号，一定要有理化。 避坑红线： ①忽略有意义条件； 直接写成，漏绝对值； ③乘除时忽略被开方数非负； ④非同类二次根式错误合并； ⑤分母有理化不彻底。 二、高频考点 + 典例 考点 1：二次根式定义（基础必拿分） 典例：下面是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：二次根式需满足根指数为且被开方数是非负数， A选项：为分数，不是二次根式，故A选项不符合题意； B选项：的根指数为，不是二次根式，故B选项不符合题意； C选项：根指数为且被开方数是非负数，是二次根式，故C选项符合题意； D选项：被开方数为，在实数范围内无意义，不是二次根式，故D选项不符合题意． 故选：C． 考点 2：二次根式有意义条件（高频选择） 若式子有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵有意义，∴，∴，∴．因此，x的取值范围是．故选：D． 考点 3：最简二次根式判断（高频选择） 典例：在下列二次根式中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：、被开方数含分母，不是最简二次根式； 、被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式，是最简二次根式； 、被开方数含开得尽方的因式，不是最简二次根式； 、被开方数含开得尽方的因数，不是最简二次根式； 故选：． 考点 4：双重非负性应用（选填高频） 典例：已知，则的值为（ A． B． C．3 D． 【答案】A 【详解】∵ ，∴，，解得，， ∴ ，故选：A． 考点 5：利用二次根式性质化简（易错题） 典例：实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由图知，，，∴，， ∴．故选：A． 考点 6：二次根式加减运算（基础计算） 典例： ； ． 【答案】 【详解】解：，. 故答案为 ；. 考点 7：混合运算（期末必考） 典例：计算： (1)；(2)． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 考点 8：分母有理化及其应用（难点必考题） 典例：材料阅读：在二次根式的运算中，经常会出现诸如，的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”，例如：，．类似的，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：，． 根据上述知识，请你完成下列问题： (1)运用分母有理化，化简：； (2)运用分子有理化，比较与的大小，并说明理由； (3)计算：的值． 【详解】（1）解：； （2）解：， ， ，， ； （3）解： ． 三、期末高频易错点 易错点 1：忽略有意义条件 典例：有意义，求范围。 错解： 正解： 原因：被开方数可以等于 0。 易错点 2：漏绝对值 典例：化简。 错解： 正解： 原因：，必须带绝对值再判断符号。 易错点 3：乘除忽略非负条件 典例：。 错解：正确 正解：错误，被开方数必须非负。 易错点 4：非同类二次根式合并 典例：。 错解：正确 正解：错误，非同类不能合并。 易错点 5：分母有理化错误 典例：。 错解：正确 正解： 原因：分子分母要同乘。 易错点 6：混合运算顺序错误 典例：。 错解：先算减法 正解：先乘除后加减，。 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第1章二次根式知识清单 一、 核心知识总结（必背·期末重点) 1.二次根式基础定义 定义：形如va(a≥0)的式子叫做二次根式。 双重非负性：①被开方数非负：a≥0：②二次根式的值非负：√a≥0 有意义条件：被开方数≥0：分母含根式时，被开方数>0且分母0。 2.二次根式核心性质（期末必考) 性质 公式 限制条件 记忆口诀 开方再平方 (Va)2=a a≥0 先开方后平方，直接得原数 平方再开方 Vai-lal- (a≥0) 任意实数a 先平方后开方，结果带绝对值 (a<0) 乘法性质 Vab=√avb a≥0，b≥0 积开方=开方积 除法性质 a va a≥0，b>0 商开方=开方商 6厉 3.最简二次根式与同类二次根式 最简二次根式（两个条件）：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式。 同类二次根式：化为最简后，被开方数相同的二次根式，只有同类才能合并。 4.二次根式运算规则 ①加减：先化最简→合并同类二次根式（系数相加减，根式不变)。 ②乘法：VaVb=√ab(a≥0，b≥0)。 ®除法：浯-、 a≥0，b>0. ④分母有理化：后=9 1 a-b ⑤混合运算：先乘方→再乘除→最后加减；有括号先算括号内。 5.拓展方法：分母有理化与复合二次根式化简 ①分母有理化：用平方差去根号，保证分母为有理数。 ②复合二次根式：利用完全平方公式√a士2Vb=Vx士√(x+y=a,xy=b)。 6.期末复习总结归纳（考前速记卡） ①一看被开方数，二看运算条件，三化最简，四合并。②√a2=a千万别丢绝对值。 ③乘除看正负，加减看同类。 ④分母有根号，一定要有理化。 避坑红线： ①忽略Va有意义条件a≥0： ②Va2直接写成a,漏绝对值： ③乘除时忽略被开方数非负； ④非同类二次根式错误合并； ⑤分母有理化不彻底。 命学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 二、高频考点+典例 考点1：二次根式定义（基础必拿分） 典例：下面是二次根式的是() A B.2 C.5 D.4 考点2：二次根式有意义条件（高频选择） 若式子√2x-1有意义，则x的取值范围是() B月 c D.x22 、1 考点3：最简二次根式判断（高频选择) 典例：在下列二次根式中，最简二次根式是() A份 B.va+b2 C.√m2n D.48 考点4：双重非负性应用（选填高频） 典例：已知a-3+2-b=0,则2+5 a+污的值为( A.5 B.-2 C.3 D.√3+1 考点5：利用二次根式性质化简（易错题） 典例：实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简VB+V(a+b)-b-d的结果是() a 0 b A.2a+b B.-2a-b C.-b D.b 考点6：二次根式加减运算（基础计算） 典例：5√7+2√7=_；√20-√45= 考点7：混合运算（期末必考） 典例：计算： 56w5+25--. 考点8：分母有理化及其应用（难点必考题） 1 2 典例：材料阅读：在二次根式的运算中，经常会出现诸如万'5，的计算，需要运用分式的基本性 12√2 质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化，例如：万（了 2 2x(W5+V2) 25+2巨=25+25=25+2反.类似的，将分子转化为有理数 5-2(W3-√2)3+2)(3-(2) 3-2 就称灯分子有理化，例如：万V巨_2 12 学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 5-1(5-5+1(- 3-12 （3+5 3+53+5 根据上述知识，请你完成下列问题： 15 ①运用分母有理化，化简：5-25 (2)运用分子有理化，比较√2024-√2023与√2023-√2022的大小，并说明理由： (3)计算： 1 1 1 1++2+5+5++4+5++9+Vio的值. 三、期末高频易错点 易错点1：忽略有意义条件a≥0 典例：Vx-3有意义，求x范围。 错解：X>3 正解：x≥3 原因：被开方数可以等于0。 易错点2：Va2漏绝对值 典例：化简v(-3)2。 错解：-3 正解：3 原因：√a2=|a,必须带绝对值再判断符号。 易错点3：乘除忽略非负条件 典例：√(-4)×(-9)=V一4×V-9。 错解：正确 正解：错误，被开方数必须非负。 易错点4：非同类二次根式合并 典例：√2+3=V5。 错解：正确 正解：错误，非同类不能合并。 易错点5：分母有理化错误 典例：方=V2。 错解：正确 正解：号 原因：分子分母要同乘2。 易错点6：混合运算顺序错误 典例：√4×V9-V16。 错解：先算减法 正解：先乘除后加减，2×3-4=2。 第1章 二次根式 知识清单 一、核心知识总结（必背・期末重点） 1. 二次根式基础定义 定义：形如的式子叫做二次根式。 双重非负性：①被开方数非负：；②二次根式的值非负： 有意义条件：被开方数≥0；分母含根式时，被开方数 > 0 且分母≠0。 2. 二次根式核心性质（期末必考） 性质 公式 限制条件 记忆口诀 开方再平方 先开方后平方，直接得原数 平方再开方 任意实数 先平方后开方，结果带绝对值 乘法性质 积开方 = 开方积 除法性质 商开方 = 开方商 3. 最简二次根式与同类二次根式 最简二次根式（两个条件）：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式。 同类二次根式：化为最简后，被开方数相同的二次根式，只有同类才能合并。 4. 二次根式运算规则 ①加减：先化最简→合并同类二次根式（系数相加减，根式不变）。 ②乘法：。 ③除法：。 ④分母有理化：；。 ⑤混合运算：先乘方→再乘除→最后加减；有括号先算括号内。 5. 拓展方法：分母有理化与复合二次根式化简 ①分母有理化：用平方差去根号，保证分母为有理数。 ②复合二次根式：利用完全平方公式（）。 6. 期末复习总结归纳（考前速记卡） ①一看被开方数，二看运算条件，三化最简，四合并。千万别丢绝对值。 ③乘除看正负，加减看同类。 ④分母有根号，一定要有理化。 避坑红线： ①忽略有意义条件； 直接写成，漏绝对值； ③乘除时忽略被开方数非负； ④非同类二次根式错误合并； ⑤分母有理化不彻底。 二、高频考点 + 典例 考点 1：二次根式定义（基础必拿分） 典例：下面是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 考点 2：二次根式有意义条件（高频选择） 若式子有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 考点 3：最简二次根式判断（高频选择） 典例：在下列二次根式中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 考点 4：双重非负性应用（选填高频） 典例：已知，则的值为（ A． B． C．3 D． 考点 5：利用二次根式性质化简（易错题） 典例：实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（   ） A． B． C． D． 考点 6：二次根式加减运算（基础计算） 典例： ； ． 考点 7：混合运算（期末必考） 典例：计算： (1)；(2)． 考点 8：分母有理化及其应用（难点必考题） 典例：材料阅读：在二次根式的运算中，经常会出现诸如，的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”，例如：，．类似的，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：，． 根据上述知识，请你完成下列问题： (1)运用分母有理化，化简：； (2)运用分子有理化，比较与的大小，并说明理由； (3)计算：的值． 三、期末高频易错点 易错点 1：忽略有意义条件 典例：有意义，求范围。 错解： 正解： 原因：被开方数可以等于 0。 易错点 2：漏绝对值 典例：化简。 错解： 正解： 原因：，必须带绝对值再判断符号。 易错点 3：乘除忽略非负条件 典例：。 错解：正确 正解：错误，被开方数必须非负。 易错点 4：非同类二次根式合并 典例：。 错解：正确 正解：错误，非同类不能合并。 易错点 5：分母有理化错误 典例：。 错解：正确 正解： 原因：分子分母要同乘。 易错点 6：混合运算顺序错误 典例：。 错解：先算减法 正解：先乘除后加减，。 学科网（北京）股份有限公司 $