精品解析：山东省济南市市中区2025--2026学年上学期七年级1月期末数学试卷

2026年七年级期末学情调研 数学试题 第I卷（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 的相反数等于（ ） A. B. C. D. 2. “鸣雨既过渐细微，映空摇飏如丝飞”是唐代诗人杜甫作品《雨不绝》中的诗句，意为喧哗的雨已经过去，逐渐变得细微，映着天空摇飏如丝的细雨飘飞．诗中描写雨滴下来形成雨丝，用数学语言解释这一现象为（ ） A. 点动成线 B. 线动成面 C. 面动成体 D. 以上都不正确 3. 2025年10月1日，国庆假期第一天，天下第一泉（济南趵突泉）风景区接待游客超过391200人次．将数字391200用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 4. 下列调查中，适宜采用抽样调查的是（ ） A. 中央电视台春节联欢晚会的收视率 B. 手术前检查各项医疗器械是否准备妥当 C. 神舟十八号载人飞船发射前对零部件的检查 D. 进入高铁站对旅客携带的物品进行安检 5. 农民插秧时，为使插种的秧苗更整齐，先在水田的对边各固定一根木桩，中间拉紧一条细线，然后沿着细线插秧，这里所运用的数学原理是（　　） A. 两点之间线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 线段可以比较大小 D. 线段有两个端点 6. 若与是同类项，则的值是（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 7. 如图所示，小华借助直尺和三角板，根据“一重合、二紧靠、三移动、四画线”的步骤完成了“过直线外一点画直线”，其中依据的数学原理是（ ） A. 内错角相等，两直线平行 B. 同位角相等，两直线平行 C. 两直线平行，同位角相等 D. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 8. 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“庭前孩童闹如簇，不知人数不知梨，每人四梨多十二，每人六梨恰齐足．”其大意为：孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨，每人分4个梨，多12个梨；每人分6个梨，恰好分完．设孩童有x人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，延长线段至C使，延长线段至D使，点E是线段的中点，点F是线段的中点，若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 10. 有一列数，将这列数的每个数求其相反数得到，再分别求与1的和的倒数，得到，将此变换过程称为一次操作，并将得到的结果记为；第二次操作是将再进行上述操作，得到；第三次将重复上述操作，得到以此类推．下列说法中：①；②；③，正确的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 第II卷（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．直接填写答案． 11. 中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若向前走8步记作步，则向后退3步可记作_____步． 12. 下面几个几何体的截面可能为圆的是________． ①圆柱； ②圆锥； ③棱柱． 13. 一副角三角板如图所示放置，点E在的延长线上．，则的度数为_____． 14. 关于的一元一次方程与一元一次方程有相同的解，则的值为_____． 15. 将一张长方形的纸对折，如图1所示，对折1次后纸片上有1条折痕．再次对折，对折时折痕与上次的折痕保持平行，如图2所示，对折2次后纸片上有3条折痕．按照上述方法连续对折10次，则纸面上一共有_____条折痕． 三、解答题：本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 如图所示的几何体是由若干个相同的小正方体组成的． （1）这个几何体由_____个小正方体组成； （2）请按要求在方格内分别画出这个几何体从左面和上面看到的形状图． 17. 计算： （1） （2） 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 解方程： （1） （2） 20. 如图，直线，交于点，，平分．若，求的度数． 21. 阳光中学有一块长为，宽为的长方形空地，现在打算利用这块空地打造一个学生自主菜园．如图，空地有两边靠墙，在不靠墙的两边均需留出宽为的小路，余下的长方形部分作为学生自主菜园，种植各种瓜果蔬菜． （1）学生自主菜园的长为 ，宽为 ；（用含的代数式表示） （2）现要给学生自主菜园周围围上护栏（靠墙的边不用围），请用含，的代数式表示护栏的总长度．若每米护栏的价格为80元，求当时购买护栏所需的总费用． 22. 为了弘扬航天精神，某校开展了航天知识竞答活动，学校随机抽取了部分学生的成绩进行整理，将成绩（单位：分）分成五组：A．；B．；C．；D．；E．．根据以上数据，绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查随机抽取了_____名学生，并补全频数分布直方图； （2）在扇形统计图中，A组所对应扇形的圆心角为_____度； （3）该校要对成绩在E组（）的学生进行奖励，请估计该校2000名学生中获奖的学生人数． 23. 某水果店用元从某水果产地购进甲、乙两种不同品种的苹果，其中甲品种苹果重量比乙品种苹果多千克，甲、乙两种苹果的进价和售价如下表： （注：获利=售价-进价） 甲 乙 进价（元/千克） 售价（元/千克） （1）该水果店第一次购进的甲、乙两种苹果各多少千克？ （2）该水果店将这些苹果全部售完后，将获利多少元? 24. 问题解决策略——归纳 “低多边形风格”是一种数字艺术设计风格．它将整个区域分割成若干个三角形，通过把相邻三角形涂上不同颜色，产生立体及光影的效果，随着三角形数量的增加，效果更为斑斓绚丽（如图）． 【数学问题】某数学兴趣小组受此启发提出了如下问题：一个边形，内部有个点，可把原多边形分割成多少个互不重叠的小三角形?（分割方法：在多边形内取一定数量的点，连同多边形的顶点，逐步连接这些点，连线不相交，使多边形内部都变成三角形．） 图形：三角形 … 三角形内点的个数 1 2 3 4 … 互不重叠的小三角形个数 3 5 7 … 【问题探究】 （1）为了解决上面的问题，我们先从简单和具体的情形入手： ①当三角形内点的个数为4时，请补全表格中的图，并填空：_____； ②变化规律是：三角形内的点每增加1个，小三角形增加_____个； ③当三角形内点的个数为时，分割得到的小三角形有_____个； 【类比应用】 （2）四边形有4个顶点，若内部有1个点，连线后可以把四边形分割成_____个小三角形；四边形内部每增加1个点，分割得到的小三角形增加_____个；当四边形内点的个数为时，分割得到_____个小三角形； 【问题解决】 （3）结论：边形内有个点时，可以分割得_____个小三角．形，请仿照（2）写出此结论的探索过程． 25. 光遇到镜面等许多物体的表面都会发生反射，如图1，在反射现象中，过入射点垂直于反射面的直线叫做法线．入射光线，反射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧，入射光线与法线的夹角叫做入射角（），反射光线与法线的夹角叫做反射角（）；入射角等于反射角，这就是光的反射定律．请你利用反射定律解决以下问题： （1）如图2，入射光线经镜面反射后的光线与墙相交于点，若，则_____； （2）如图3，将支架平面镜（可调节角度）放置在水平地面上，激光笔发出的光束经过镜面反射后与天花板形成的点记为，激光笔与水平天花板所成的锐角为，支架平面镜与地面的夹角． ①若，求反射光束与天花板所形成的角的度数； ②调节支架平面镜与地面的夹角的角度，保证点不与点重合（足够长）．请直接写出反射光束与天花板所形成的角的度数（用含的式子表示）和的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年七年级期末学情调研 数学试题 第I卷（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 的相反数等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相反数，解题的关键是掌握相反数的定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．据此解答即可． 【详解】解：的相反数等于． 故选：C． 2. “鸣雨既过渐细微，映空摇飏如丝飞”是唐代诗人杜甫作品《雨不绝》中的诗句，意为喧哗的雨已经过去，逐渐变得细微，映着天空摇飏如丝的细雨飘飞．诗中描写雨滴下来形成雨丝，用数学语言解释这一现象为（ ） A. 点动成线 B. 线动成面 C. 面动成体 D. 以上都不正确 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查点、线、面、体的关系，雨滴下落形成雨丝属于点动成线． 【详解】解：∵雨滴可视为点，雨丝是线， ∴用数学语言解释这一现象为：点动成线， 故选：A． 3. 2025年10月1日，国庆假期第一天，天下第一泉（济南趵突泉）风景区接待游客超过391200人次．将数字391200用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数，据此解答即可． 【详解】解：． 故选：C． 4. 下列调查中，适宜采用抽样调查的是（ ） A. 中央电视台春节联欢晚会的收视率 B. 手术前检查各项医疗器械是否准备妥当 C. 神舟十八号载人飞船发射前对零部件的检查 D. 进入高铁站对旅客携带的物品进行安检 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查抽样调查，抽样调查适用于总体较大或无法全面调查的情况，通过样本推断总体，据此解答即可． 【详解】解：A、收视率调查总体庞大，无法全面调查，适宜抽样； B、手术器械检查需全面确保安全，均需全面调查，不适宜抽样； C、飞船零部件检查需全面避免风险，均需全面调查，不适宜抽样； D选项高铁安检需全面保障安全，均需全面调查，不适宜抽样． 故选：A． 5. 农民插秧时，为使插种的秧苗更整齐，先在水田的对边各固定一根木桩，中间拉紧一条细线，然后沿着细线插秧，这里所运用的数学原理是（　　） A. 两点之间线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 线段可以比较大小 D. 线段有两个端点 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了两点确定一条直线，根据经过两点有一条直线，并且只有一条直线解答即可． 【详解】解：∵两个木桩代表两个点，拉紧的细线代表一条直线， ∴运用了“两点确定一条直线”的原理． 故选：B． 6. 若与是同类项，则的值是（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查同类项，根据同类项的定义，相同字母的指数必须相等，因此可列出方程求解m和n的值代入计算即可． 【详解】解：∵与是同类项， ∴，， ∴． 故选：D． 7. 如图所示，小华借助直尺和三角板，根据“一重合、二紧靠、三移动、四画线”的步骤完成了“过直线外一点画直线”，其中依据的数学原理是（ ） A. 内错角相等，两直线平行 B. 同位角相等，两直线平行 C. 两直线平行，同位角相等 D. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了作图复杂作图、平行线的判定，根据平行线的判定方法：同位角相等，两直线平行，即可写出这样画图的依据，解决本题的关键是掌握平行线的判定． 【详解】解：根据作图过程可知： 画图的依据是：同位角相等，两直线平行． 故选：B． 8. 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“庭前孩童闹如簇，不知人数不知梨，每人四梨多十二，每人六梨恰齐足．”其大意为：孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨，每人分4个梨，多12个梨；每人分6个梨，恰好分完．设孩童有x人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，理解题意，找到等量关系是解题关键． 根据梨的总数不变列方程即可． 【详解】解：由题意可列方程． 故选：D． 9. 如图，延长线段至C使，延长线段至D使，点E是线段的中点，点F是线段的中点，若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了线段中点的定义，线段的和差计算，先根据题意得出，，再根据线段中点的定义得到，，进而求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∵点E是线段的中点，点F是线段的中点， ∴， ∴． 故选：A． 10. 有一列数，将这列数的每个数求其相反数得到，再分别求与1的和的倒数，得到，将此变换过程称为一次操作，并将得到的结果记为；第二次操作是将再进行上述操作，得到；第三次将重复上述操作，得到以此类推．下列说法中：①；②；③，正确的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查数字的变化规律，根据所给的操作方式，求出前面的数，再分析存在的规律，从而可求解． 【详解】∵ 初始序列为 ， 一次操作：求相反数得 ，再求与1的和的倒数得 ，即 ． 二次操作：对 操作， 求相反数得 ， 再求与1的和的倒数： ，倒数为 ， ，倒数为 ， ，倒数为 ， ，倒数为 ， ∴ ，故①正确． 继续计算得 ， ，序列每12个数循环一次． ② ，余数10对应 ，故 ，正确． ③ 一个周期和： 至 和 = ， 个周期，总和为 ，正确． ∴ 三个说法均正确， 故选：D． 第II卷（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．直接填写答案． 11. 中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若向前走8步记作步，则向后退3步可记作_____步． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正负数的意义，根据正负数表示具有相反意义的量的规则，向前走记为正，则向后退记为负，据此解答即可． 【详解】解：由题意，向前走步记作步，因此向后退步可记作步． 故答案为：． 12. 下面几个几何体的截面可能为圆的是________． ①圆柱； ②圆锥； ③棱柱． 【答案】①②##②① 【解析】 【分析】本题考查截一个几何体．根据常见几何体的截面特点逐个判断即可得． 【详解】解：①对于圆柱，如果截面与上、下底面平行，那么截面就是圆； ②对于圆锥，如果截面与底面平行，那么截面就是圆； ③对于棱柱，用平面无论怎么去截，截面都不可能是圆； 故答案为：①②． 13. 一副角三角板如图所示放置，点E在的延长线上．，则的度数为_____． 【答案】##15度 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据平行线的性质可以得到，再根据角的和差计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14. 关于的一元一次方程与一元一次方程有相同的解，则的值为_____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查同解方程，先解一元一次方程得到x的值，再将其代入方程中求解m即可． 【详解】解：解方程， 移项得， 系数化为1得． 将代入，得， 即， 移项得， 即， 系数化为1得． 故答案为：5． 15. 将一张长方形的纸对折，如图1所示，对折1次后纸片上有1条折痕．再次对折，对折时折痕与上次的折痕保持平行，如图2所示，对折2次后纸片上有3条折痕．按照上述方法连续对折10次，则纸面上一共有_____条折痕． 【答案】1023 【解析】 【分析】本题是对图形变化规律的考查，观察图形并结合折痕的条数可得，折痕的条数加上1后成2的指数次幂变化，根据此规律找出第n次对折后的折痕的条数表达式，然后把代入进行计算即可得解． 【详解】解：对折1次时，有条折痕，因为纸被分成了份； 对折2次时，有条折痕，因为纸被分成了份； 对折3次时，有条折痕，因为纸被分成了份； 对折4次时，有条折痕，因为纸被分成了份； …… 同样，对折10次时，有条折痕，因为纸被分成了份； 故答案为：1023 三、解答题：本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 如图所示的几何体是由若干个相同的小正方体组成的． （1）这个几何体由_____个小正方体组成； （2）请按要求在方格内分别画出这个几何体从左面和上面看到的形状图． 【答案】（1）6 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查从不同方向看，理解题意是解答本题的关键． （1）根据几何体数出小立方体的个数即可； （2）画出从左面看到的和从上面看到的图形即可． 【小问1详解】 解：这个几何体由6个小正方体组成； 故答案为：6； 【小问2详解】 解：如图所示． 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1）10 （2）15 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）先将减法转化为加法，再根据加法交换律和结合律进行简便计算； （2）根据乘方运算、绝对值的性质以及有理数的乘除运算规则逐步计算． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减，化简求值，绝对值的非负性，偶次方的非负性，根据整式的加减运算顺序，先去括号，再合并同类项，再利用绝对值的非负性和偶次方的非负性求出的值，最后代入的值求解即可． 【详解】解： ， ， ， ， 原式． 19. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次方程，熟练掌握解方程的方法与步骤是解答本题的关键． （1）根据移项、合并同类项、系数化为1的方法求出未知数的值即可； （2）方程去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的方法求出未知数的值即可． 【小问1详解】 解：， ， ； 【小问2详解】 解： ． 20. 如图，直线，交于点，，平分．若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查角平分线的定义，垂直，对顶角，根据角平分线的定义得出，根据垂直得出，进而根据平角得出答案 【详解】 解：平分 ， 21. 阳光中学有一块长为，宽为的长方形空地，现在打算利用这块空地打造一个学生自主菜园．如图，空地有两边靠墙，在不靠墙的两边均需留出宽为的小路，余下的长方形部分作为学生自主菜园，种植各种瓜果蔬菜． （1）学生自主菜园的长为 ，宽为 ；（用含的代数式表示） （2）现要给学生自主菜园周围围上护栏（靠墙的边不用围），请用含，的代数式表示护栏的总长度．若每米护栏的价格为80元，求当时购买护栏所需的总费用． 【答案】（1），； （2），2000元． 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式、代数式求值、整式加减的应用等知识点，正确列出代数式是解题的关键． （1）根据图形列代数式即可； （2）先列代数式表示出围栏的长度，进而表示出总费用，最后将代入计算即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：学生自主菜园的长为，宽为． 故答案为：，． 【小问2详解】 解：由题意可得：护栏的总长度为：； 购买护栏所需的总费用为； 当时购买护栏所需的总费用为元． 答：含，的代数式表示护栏的总长度为；当时购买护栏所需的总费用2000元． 22. 为了弘扬航天精神，某校开展了航天知识竞答活动，学校随机抽取了部分学生的成绩进行整理，将成绩（单位：分）分成五组：A．；B．；C．；D．；E．．根据以上数据，绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查随机抽取了_____名学生，并补全频数分布直方图； （2）在扇形统计图中，A组所对应扇形的圆心角为_____度； （3）该校要对成绩在E组（）的学生进行奖励，请估计该校2000名学生中获奖的学生人数． 【答案】（1）50，作图见详解 （2）36 （3）320人 【解析】 【分析】本题考查了频数分布直方图与扇形统计图的综合应用及用样本估计总体． （1）用D组的人数除以其人数占比即可求出调查随机抽取的学生总人数；再用总人数减去A，C，D，E四个组的人数得到B组的人数，即可补全频数分布直方图； （2）用乘以A组所占的百分比即可； （3）根据E组的人数占抽取样本的比例求出该校成绩为E组的人数即可． 【小问1详解】 解：由成绩在D组的人数和占比可知， 本次调查随机抽取的学生人数为：（人）， 故答案为：50． B组的人数为：（人）， 补全条形统计图如图所示， 【小问2详解】 解：A组所对应扇形的圆心角为：， 故答案为：36． 【小问3详解】 解：（人） 即估计该校2000名学生中获奖的学生人数为320人． 23. 某水果店用元从某水果产地购进甲、乙两种不同品种的苹果，其中甲品种苹果重量比乙品种苹果多千克，甲、乙两种苹果的进价和售价如下表： （注：获利=售价-进价） 甲 乙 进价（元/千克） 售价（元/千克） （1）该水果店第一次购进的甲、乙两种苹果各多少千克？ （2）该水果店将这些苹果全部售完后，将获利多少元? 【答案】（1）该水果店第一次购进的甲、乙两种苹果分别为千克，千克 （2）元 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，熟练根据题中等量关系列方程求解是解题的关键． （1）设第一次购进乙种苹果千克，则购进甲种苹果千克根据题意列方程可得，再求解即可； （2）分别算出甲、乙每千克获利（售价进价）对应的千克数，求出两种苹果的总获利，最后相加得总获利． 【小问1详解】 解：设第一次购进乙种苹果千克，则购进甲种苹果千克 根据题意列方程得， 解得 ． 答：该水果店第一次购进的甲、乙两种苹果分别为千克，千克． 【小问2详解】 解： （元）． 答：该水果店将这些苹果全部售完后，将获利元． 24. 问题解决策略——归纳 “低多边形风格”是一种数字艺术设计风格．它将整个区域分割成若干个三角形，通过把相邻三角形涂上不同颜色，产生立体及光影的效果，随着三角形数量的增加，效果更为斑斓绚丽（如图）． 【数学问题】某数学兴趣小组受此启发提出了如下问题：一个边形，内部有个点，可把原多边形分割成多少个互不重叠的小三角形?（分割方法：在多边形内取一定数量的点，连同多边形的顶点，逐步连接这些点，连线不相交，使多边形内部都变成三角形．） 图形：三角形 … 三角形内点的个数 1 2 3 4 … 互不重叠的小三角形个数 3 5 7 … 【问题探究】 （1）为了解决上面的问题，我们先从简单和具体的情形入手： ①当三角形内点的个数为4时，请补全表格中的图，并填空：_____； ②变化规律是：三角形内的点每增加1个，小三角形增加_____个； ③当三角形内点的个数为时，分割得到的小三角形有_____个； 【类比应用】 （2）四边形有4个顶点，若内部有1个点，连线后可以把四边形分割成_____个小三角形；四边形内部每增加1个点，分割得到的小三角形增加_____个；当四边形内点的个数为时，分割得到_____个小三角形； 【问题解决】 （3）结论：边形内有个点时，可以分割得_____个小三角．形，请仿照（2）写出此结论的探索过程． 【答案】（1）①见解析，；②；③；（2）；（3），过程见解析 【解析】 【分析】本题考查的是图形的变化规律问题，正确找出三角形个数与m边形内点的个数的关系是解题的关键． （1）由表格中的三角形个数的关系总结规律，根据规律解答即可； （2）根据四边形内点的个数的关系总结规律，根据规律解答即可； （3）由五边形为例总结规律，由此即可解答． 【详解】解：（1）①当三角形内点的个数为4时，补全表格中的图如下， 此时， ②变化规律是：三角形内的点每增加1个，小三角形增加2个； ③当三角形内点的个数为时，分割得到的小三角形有个； 故答案为：①9；②2；③ （2）由图1可知：当四边形内有1个点，则三角形个数为4个， 四边形内部每增加1个点，分割得到的小三角形增加2个；当四边形内点的个数为时，分割得到个， 故答案为：； （3）由上可得：边形内有个点时， 当m边形内有1个点，则三角形个数为m个， 当m边形内有2个点时，可分成的三角形个数为：； 当m边形内有3个点时，可分成的三角形个数为：； …； 当m边形内有n个点时，可分成的三角形个数为：个； 故答案为：． 25. 光遇到镜面等许多物体的表面都会发生反射，如图1，在反射现象中，过入射点垂直于反射面的直线叫做法线．入射光线，反射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧，入射光线与法线的夹角叫做入射角（），反射光线与法线的夹角叫做反射角（）；入射角等于反射角，这就是光的反射定律．请你利用反射定律解决以下问题： （1）如图2，入射光线经镜面反射后的光线与墙相交于点，若，则_____； （2）如图3，将支架平面镜（可调节角度）放置在水平地面上，激光笔发出的光束经过镜面反射后与天花板形成的点记为，激光笔与水平天花板所成的锐角为，支架平面镜与地面的夹角． ①若，求反射光束与天花板所形成的角的度数； ②调节支架平面镜与地面的夹角的角度，保证点不与点重合（足够长）．请直接写出反射光束与天花板所形成的角的度数（用含的式子表示）和的取值范围． 【答案】（1） （2）①；②当时，的度数为；当时，的度数为 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和、平角的定义、入射角和反射角等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据入射角等于反射角得，再由是直角可得结论； （2）①延长，交于点G，作，求出，由三角形内角和定理可得结论； ②当时，的度数为；当时，的度数为 【小问1详解】 解：∵入射角等于反射角， ∴， ∵， ∴, 故答案为： 【小问2详解】 解：①延长，交于点G，作 ∴， ∵， ∴, 又， ∴， ∴, ∴ ②当时，， ∴，此时，与重合， 当时，， ∴ ∴， ∴， 即的度数为； 当时，如图， 同理可得， ∴ ∵， ∴， 即的度数为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $