2025-2026学年人教版数学八年级上册 寒假数学作业04 角的平分线

巩固作业04角的平分线 限时练习：60min 完成时间： 月 日 目录 题型一、角平分线的性质定理 1 题型二、角平分线的判定定理 2 题型三、作角平分线（尺规作图） 4 题型四、角平分线的性质的实际应用 6 题型一、角平分线的性质定理 1．如图，，和分别平分和，过点P，且与垂直，垂足为A，交于点D若，则点P到的距离是 ． 2．如图，在中，，按以下步骤作图：①利用尺规在上分别截取，使；②分别以点为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线交于点．若的面积为为上一动点，则的最小值为（　　）    A．4 B．3 C．2 D．1 3．如图，点P 在的平分线上，，  垂足分别为E 和 F，若，则的长为 ． 4．如图，在中，是角平分线，，，．设和的面积分别是，，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．如图，中，，平分，若，，则的面积为 ． 6．如图，在中，，平分，交于点D，E为上一点，连接，．    (1)求证：； (2)若，求的长． 题型二、角平分线的判定定理 7．如图，点D是的两外角平分线的交点，下列说法：①；②点D到、所在直线的距离相等；③点D到三边、、所在直线的距离相等；④点D在的平分线上．其中正确的是（　　） A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 8．如图，，点D在内，于点E，于点F，连接，若，则（    ） A． B． C． D． 9．如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点． (1)若，求的大小； (2)点在上，若平分，求证：点在的平分线上． 10．如图，△的和的外角平分线相交于点． (1)若，求的度数； (2)如图2，连接，求证：平分； 11．如图，中，于点． (1)求证：平分， (2)若，求的长． 12．如图，在和中，，，，分别交，于点，连接． (1)求证：； (2)求证：平分． 题型三、作角平分线（尺规作图） 13．如图，中，以为圆心，任意长为半径作弧，分别交延长线，于点，，再分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 14．如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点P，作射线交于点D．若，，则的长为（   ） A． B．7 C．8 D．14 15．作图题：如图，已知及定点、，在的内部求作点，使点到直线、的距离相等，且． 16．如图，在 中，，以点为圆心，任意长度为半径画弧，交、于点，，再分别以点，为圆心，大于为半径画弧．两弧在内交于点，作射线交边于点，若，，则的面积为 ． 17．两个城镇A、B与两条公路，位置如图所示，其中是东西方向公路．现电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路，的距离也必须相等，且在的内部，请在图中，用尺规作图找出符合条件的点C．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹） 18．阅读以下材料，并解决问题 定义：如图1，射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”． (1)如图2，，判断射线是不是的“巧分线”，并说明理由． (2)以下说法正确的是____________（请填出所有正确的序号） ①一个角的平分线是这个角的“巧分线”； ②一个角的“巧分线”是这个角的平分线； ③一个角的“巧分线”的个数不唯一． (3)如图3，已知，射线是的“巧分线”，且． 求作的一条巧分线（不与重合），并直接用含的代数式表示．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 题型四、角平分线的性质的实际应用 19．上海正建设一批精品口袋公园，如图所示，是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路、、的距离都相等，则凉亭是的（   ） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 20．某市政府为促进旅游发展，准备在三条公路围成的三角形平地上修建一个度假村，如图所示．要使度假村到三条公路的距离相等，这个度假村应修建在（   ） A．三条高线的交点处 B．三条角平分线的交点处 C．三条中线的交点处 D．以上都不对 21．如图，为了促进旅游业的发展，某地要在三条公路围成的一块三角形平地上修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，度假村应建在（ ） A．这个三角形任意两个内角平分线的交点处 B．这个三角形任意两条边垂直平分线的交点处 C．这个三角形任意两条高线的交点处 D．这个三角形任意两条中线的交点处 22．已知点和两条相交直线，，点不在这两条直线上．作一条经过点的直线，交直线于，交直线于．若，，这三点之中，有一点是另两点所连线段的中点，则称为关于这个中点的“好线”． (1)如图1，已知点在的平分线上，若为关于点的“好线”，则的度数是_____； (2)如图2，已知点不在的平分线上． ①怎样画出一条关于点的“好线”？小明的探究思路是：假设直线已作出，满足，如图2-1，那么可以在图中构造出一个以为顶点、且与全等的三角形．由此小明发现了画关于点的“好线”的一种方法． 请你参考小明的思路，或另寻思路，探究画关于点的“好线”的方法．写出画图步骤，再证明此时是的中点； ②在图2-2中画关于点的“好线”并写出画图步骤．结论不需证明． （注：本题允许使用三角板、量角器等工具画图，写画图步骤时，可参考第25题步骤1~步骤3的写法． 23．（1）“西气东输”是造福子孙后代的创世工程，现有两条高速公路和两个城镇A、B（如图），准备建一个燃气控制中心站P，使中心站到两条公路距离相等，并且到两个城镇的距离也相等，请你利用直尺和圆规作出中心站P的位置．（作出满足题意的一处位置即可） （2）如图②：在网格中，已知线段，以格点为端点画线段，使它与组成轴对称图形．（画出所有可能）    24．对于同一平面内的及内部的射线，给出如下定义：若组成的3个角：，，中，一个角的度数是另一个角度数的两倍时，则称射线是的“牛线”．    (1)图1中，平分，则射线________的一条“牛线”．（填“是”或“不是”） (2)当射线是的“牛线”时，请求出的值． (3)已知：如图，在平面内，，若射线绕点从射线的位置开始，以每秒的 速度逆时针方向旋转，同时射线绕点以每秒的速度逆时针方向旋转．当射线与射线碰撞后，射线的速度发生变化，以每秒的速度继续逆时针旋转，此时的射线则以每秒的速度继续逆时针旋转，当射线与射线的反向延长线重合时，所有旋转皆停止，若运动开始旋转的时间记为秒，当射线是的“牛线”时，直接写出所有满足条件的的值________． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 巩固作业04角的平分线 1．如图，，和分别平分和，过点P，且与垂直，垂足为A，交于点D若，则点P到的距离是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了角平分线的性质，利用角平分线的性质，得到点P到、、的距离相等，再结合的长度求出点P到的距离． 【详解】解：如图，过点P作于点E， ∵，， ∴， ∵和分别平分和， ∴，， ∴， ∵, ∴， ∴， 故答案为：8． 2．如图，在中，，按以下步骤作图：①利用尺规在上分别截取，使；②分别以点为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线交于点．若的面积为为上一动点，则的最小值为（　　）    A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的作图，垂线段最短和角平分线的性质．过G点作于H，利用基本作图得到平分，则根据角平分线的性质得到，再利用面积公式计算出，则，然后根据垂线段最短得到的最小值． 【详解】解：过G点作于H，如图，    由作法得平分， ， ， 的面积， ， ， 为上一动点， 点P与H点重合时，有最小值， 的最小值为1． 故选：D． 3．如图，点P 在的平分线上，，  垂足分别为E 和 F，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边距离相等，熟悉角平分线的性质是解题的关键． 根据角平分线的性质定理进行求解即可． 【详解】点P 在的平分线上，，垂足分别为E 和 F， ． 故答案为：． 4．如图，在中，是角平分线，，，．设和的面积分别是，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质定理． 过点D作于点E，根据角平分线的性质得到，然后利用三角形的面积公式求出的值，即可． 【详解】解：如图，过点作于， ，是角平分线， ， ，． ． 故选：A． 5．如图，中，，平分，若，，则的面积为 ． 【答案】10 【分析】 过D作，由角平分线的性质推出，于是得到三角形的面积． 本题考查角平分线的性质，三角形的面积，角平分线的性质是解题关键． 【详解】 解：过D作于H，如图， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 故答案为：10． 6．如图，在中，，平分，交于点D，E为上一点，连接，．    (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质定理，正确添加辅助线是解题的关键． （1）过点D作于点F，由角平分线得到，证明即可； （2）证明即可． 【详解】（1）证明：过点D作于点F，    ∵， ∴ ∵平分， ∴ 在和中 ∴ ∴； （2）解：由（1）可知： ∴ 在和中 ， ∴ ∴ ∴ ∴． 7．如图，点D是的两外角平分线的交点，下列说法：①；②点D到、所在直线的距离相等；③点D到三边、、所在直线的距离相等；④点D在的平分线上．其中正确的是（　　） A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质定理和判定定理，判定命题为假命题的方法，熟练掌握角平分线的性质定理和判定定理及举反例的方法是解题的关键．对于①，通过举反例判断即可；对于②③④，根据角平分线的性质定理和判定定理逐一判断即可． 【详解】解：对于①，举反例：如图， 若，， 则，， ，， 点D是的两外角平分线的交点， ，， ， ， 故①错误； 对于②③④， 点D是的两外角平分线的交点，   点D到、所在直线的距离相等，点D到、所在直线的距离相等， 点D到三边、、所在直线的距离相等； 故②③均正确； 点D到、所在直线的距离相等   点D在的平分线上， 故④正确．   故选C． 8．如图，，点D在内，于点E，于点F，连接，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的判定，注意：到角的两边距离相等的点在角平分线上． 根据角平分线的判定定理可得平分，再计算角度即可． 【详解】解：∵，，， ∴平分， 又∵， ∴， 故选：D． 9．如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点． (1)若，求的大小； (2)点在上，若平分，求证：点在的平分线上． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了三角形外角性质和角平分线的性质与判定定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先利用角平分线定义求出的度数，再结合三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，通过即可求解； （2）连接，过点作三条垂线段，先依据角平分线的性质得到垂线段相等的关系即，再利用角平分线的判定定理“到角两边距离相等的点在角的平分线上”，证明平分，进而得出点在的平分线上． 【详解】（1）解： 平分， ， 是的外角， ， 又 ， ； 答：； （2）证明：如图，连接，过点作于点于点于点， 平分， ， 平分， ， ， 又 ， 点在的平分线上． 10．如图，△的和的外角平分线相交于点． (1)若，求的度数； (2)如图2，连接，求证：平分； 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的判定和性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握角平分线的判定和性质，三角形内角和定理． （1）根据三角形内角和定理得出，求出，根据角平分线定义求出，最后根据三角形内角和定理求出结果即可； （2）过点作于点，过点作于点，过点作于点，根据角平分线的性质得出，，求出，即可证明平分； 【详解】（1）解：， ， ，， ， 平分，平分， ，， ， ； （2）证明：过点作于点，过点作于点，过点作于点，如图所示： 平分，平分， ，， ， 平分； 11．如图，中，于点． (1)求证：平分， (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)4 【分析】本题考查了角平分线的性质和全等三角形的性质和判定的应用，解题关键是推出，注意：全等三角形的对应边相等． （1）根据，可得，证明即可求证； （2）根据（1）可得，，推出，代入即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ∴ ∴， ∴， ∴平分， （2）解：由（1）中可得，， ∴， ∵， ∴． 12．如图，在和中，，，，分别交，于点，连接． (1)求证：； (2)求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定定理； （1）证明即可得到； （2）过点分别作于点，于点，根据得到，，利用三角形的面积公式得到，再利用角平分线的判定定理即可证明平分． 【详解】（1）证明：， ， 即， ， ， ． （2）证明：过点分别作于点，于点， 由（1）得，， ，， ， ， 又，， 平分． 13．如图，中，以为圆心，任意长为半径作弧，分别交延长线，于点，，再分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查尺规作一个角的平分线以及平行线的性质，根据题意可知平分，结合，即可求得答案． 【详解】根据题意可知平分． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 故选：D 14．如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点P，作射线交于点D．若，，则的长为（   ） A． B．7 C．8 D．14 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的尺规作图，角平分线的性质，准确添加辅助线是解题的关键． 过点作交于点，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：过点作交于点，如下图所示： 根据该作图方式，可判断为的角平分线， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故选B． 15．作图题：如图，已知及定点、，在的内部求作点，使点到直线、的距离相等，且． 【答案】作图见解析 【分析】本题主要考查了角平分线和垂直平分线的作图．解题的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图分解成基本作图； 作出的平分线；连接，作出的垂直平分线，角平分线与垂直平分线的交点即为所求的点P； 【详解】解：如图，点P即为所求． 16．如图，在 中，，以点为圆心，任意长度为半径画弧，交、于点，，再分别以点，为圆心，大于为半径画弧．两弧在内交于点，作射线交边于点，若，，则的面积为 ． 【答案】15 【分析】本题主要考查作图-基本作图、角平分线的性质等知识点，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．过点G作于点H，由作图可得，为的平分线，由角平分线的性质可得，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图：过点G作于点H， 由作图可得，为的平分线， ∵， ∴， ∴的面积为． 故答案为：15． 17．两个城镇A、B与两条公路，位置如图所示，其中是东西方向公路．现电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路，的距离也必须相等，且在的内部，请在图中，用尺规作图找出符合条件的点C．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的作法及角平分线的性质、线段垂直平分线的作法及线段垂直平分线的性质；作出的角平分线及线段的垂直平分线，根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质，即可求解． 【详解】解：如图： 故点C即为所求作的点． 18．阅读以下材料，并解决问题 定义：如图1，射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”． (1)如图2，，判断射线是不是的“巧分线”，并说明理由． (2)以下说法正确的是____________（请填出所有正确的序号） ①一个角的平分线是这个角的“巧分线”； ②一个角的“巧分线”是这个角的平分线； ③一个角的“巧分线”的个数不唯一． (3)如图3，已知，射线是的“巧分线”，且． 求作的一条巧分线（不与重合），并直接用含的代数式表示．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】(1)射线是的“巧分线”，理由如下见解析 (2)①③ (3)图见解析，理由见解析 【分析】本题考查角的”巧分线”的定义及应用，解题的关键是紧扣”巧分线”的定义（一个角的度数是另一个角的两倍）分析角之间的关系． ①根据”巧分线”的定义，计算相关角的度数并判断； ②结合”巧分线”和角平分线的定义，逐一分析选项； ③根据”巧分线”的定义画出射线，并推导的表达式． 【详解】（1）解：射线是的“巧分线”，理由如下： ， ． ，符合“巧分线”的定义， 射线是的“巧分线”； （2）解：①角的平分线会将角分成两个相等的角，此时“一个角（原角）是另一个角（平分后的角）的两倍”，符合“巧分线”定义，故①正确； ②“巧分线”只需满足一个角是另一个角的两倍，不一定平分角（如被分成和），故②错误； ③一个角的“巧分线”可能有多种分法（如的角可以分成和，或和），个数不唯一，故③正确． 故答案为：①③； （3）解：分两种情况： ①如图，是的一条巧分线，此时是的角平分线， ∵射线是的“巧分线”， ∴， ∴， ∴； ②如图，是的一条巧分线，此时是的角平分线， ∵射线是的“巧分线”， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上，或． 19．上海正建设一批精品口袋公园，如图所示，是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路、、的距离都相等，则凉亭是的（   ） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 【答案】C 【分析】此题主要考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题关键． 根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：∵是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路、、的距离都相等， ∴应建在三条角平分线的交点． 故选：C． 20．某市政府为促进旅游发展，准备在三条公路围成的三角形平地上修建一个度假村，如图所示．要使度假村到三条公路的距离相等，这个度假村应修建在（   ） A．三条高线的交点处 B．三条角平分线的交点处 C．三条中线的交点处 D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质解答． 【详解】解：∵度假村在三条公路围成的平地上且到三条公路的距离相等， ∴度假村应该在三条角平分线的交点处． 故选：B． 21．如图，为了促进旅游业的发展，某地要在三条公路围成的一块三角形平地上修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，度假村应建在（ ） A．这个三角形任意两个内角平分线的交点处 B．这个三角形任意两条边垂直平分线的交点处 C．这个三角形任意两条高线的交点处 D．这个三角形任意两条中线的交点处 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，正确理解和应用“角平分线上的点到角两边的距离相等”是解题的关键． 由三角形任意两个内角的平分线的交点到该三角形三边的距离相等，可知度假村应建在三条公路围成的三角形的任意两个内角平分线的交点处，于是得到问题的答案． 【详解】解：度假村到三条公路的距离相等，且三角形任意两个内角的平分线的交点到该三角形三边的距离相等， 度假村应建在三条公路围成的三角形的任意两个内角平分线的交点处， 故选：A． 22．已知点和两条相交直线，，点不在这两条直线上．作一条经过点的直线，交直线于，交直线于．若，，这三点之中，有一点是另两点所连线段的中点，则称为关于这个中点的“好线”． (1)如图1，已知点在的平分线上，若为关于点的“好线”，则的度数是_____； (2)如图2，已知点不在的平分线上． ①怎样画出一条关于点的“好线”？小明的探究思路是：假设直线已作出，满足，如图2-1，那么可以在图中构造出一个以为顶点、且与全等的三角形．由此小明发现了画关于点的“好线”的一种方法． 请你参考小明的思路，或另寻思路，探究画关于点的“好线”的方法．写出画图步骤，再证明此时是的中点； ②在图2-2中画关于点的“好线”并写出画图步骤．结论不需证明． （注：本题允许使用三角板、量角器等工具画图，写画图步骤时，可参考第25题步骤1~步骤3的写法． 【答案】(1) (2)①见解析；②见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，平行线的性质，结合平行线的性质构造全等三角形是解题的关键． （1）根据定义得出，过点分别作于点，于点，根据角平分线的性质得出，，根据全等三角形的判定和性质得出，，推得，即可求解； （2）①结合小明的思路，构造，使其与全等，结合平行线的性质和全等三角形的判定和性质即可证明； ②根据全等三角形的判定的定理可得出，，根据全等三角形的性质得出，，，推得，即点、、三点共线，即可证明． 【详解】（1）解：∵为关于点的“好线”， ∴点是的中点， 即， 过点分别作于点，于点，如图： ∵点在的平分线上，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． （2）①解： 画图步骤： 步骤一：过点作，交于点； 步骤二：以点为圆心，长为半径画弧，交于点； 步骤三：连接，交于点，线段即为所求的关于点的“好线”． 证明：∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 即点是的中点； ②解：如图：线段即为所求． 画图步骤： 步骤一：作点关于点的对称点，连接； 步骤二：过点作，交于点；过点作，交于点； 步骤三：连接，，线段即为所求的关于点的“好线”． 23．（1）“西气东输”是造福子孙后代的创世工程，现有两条高速公路和两个城镇A、B（如图），准备建一个燃气控制中心站P，使中心站到两条公路距离相等，并且到两个城镇的距离也相等，请你利用直尺和圆规作出中心站P的位置．（作出满足题意的一处位置即可） （2）如图②：在网格中，已知线段，以格点为端点画线段，使它与组成轴对称图形．（画出所有可能）    【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题主要考查了角平分线和线段垂直平分线的性质及其尺规作图，涉及轴对称图案： （1）中心站到两条公路距离相等，则中心站在直线夹角的角平分线上，中心站到两个城镇的距离也相等，则中心站在的垂直平分线上，据此分别作线段的垂直平分线和夹角的角平分线，二者的交点即为点P的位置； （2）如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，据此根据定义涉及轴对称图案即可． 【详解】解：（1）如图所示，分别作线段的垂直平分线和夹角的角平分线，二者的交点即为点P的位置； （2）如图所示，线段即为所求． 24．对于同一平面内的及内部的射线，给出如下定义：若组成的3个角：，，中，一个角的度数是另一个角度数的两倍时，则称射线是的“牛线”．    (1)图1中，平分，则射线________的一条“牛线”．（填“是”或“不是”） (2)当射线是的“牛线”时，请求出的值． (3)已知：如图，在平面内，，若射线绕点从射线的位置开始，以每秒的 速度逆时针方向旋转，同时射线绕点以每秒的速度逆时针方向旋转．当射线与射线碰撞后，射线的速度发生变化，以每秒的速度继续逆时针旋转，此时的射线则以每秒的速度继续逆时针旋转，当射线与射线的反向延长线重合时，所有旋转皆停止，若运动开始旋转的时间记为秒，当射线是的“牛线”时，直接写出所有满足条件的的值________． 【答案】(1)是 (2)，， (3)，，， 【分析】（1）由牛线的定义可得． （2）分三种情况讨论，由“牛线”的定义，可得出． （3）分三种情况讨论，由“牛线”的定义，分碰撞之前和碰撞之后列出方程可求出t的值． 【详解】（1）平分，则射线是的一条“牛线”； （2）当射线是的“牛线”时， 若，则； 若，则； 若，则． （3）若旋转的时间记为秒，当射线与射线碰撞时， ，解得， ∴当时，两条射线碰撞； 碰撞之前，则，， ，即，， ，即，； ，即，． 碰撞之后，旋转时间是， 则，， 当射线与射线的反向延长线重合时，，． 由（2）得： ，即，（舍）， ，即，； ，即，（舍）． 即的值是：.，，． 【点睛】本题考查了角的角平分线，角的和差倍分，熟练掌握“牛线”的定义是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $