7.含参函数的单调性、极值和最值讲义-2026届高三数学一轮复习

寻“导”之旅7.含参函数的单调性、极值和最值（解析版） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点目录 题型1 含参函数的单调性讨论——导主一次型 题型2 含参函数的单调性讨论——导主二次型（可因式分解型） 题型3 含参函数的单调性讨论——导主二次型（不可因式分解型） 题型4 含参函数的单调性讨论——导主指数型（一次型） 题型5 含参函数的单调性讨论——导主指数型（二次可因式分解型） 题型6 含参函数的单调性讨论——导主指数型（二次不可因式分解型） 题型7 含参函数的单调性讨论——导主对数型 题型8 含参函数的单调性讨论——导主正余型 题型9 含参函数的极值讨论 题型10 含参函数的最值讨论 解题策略 含参函数的单调性、极值与最值是导数应用的核心考点，也是高中数学的重难点。参数的存在会改变导数的符号分布，进而影响函数的图像走势，解题的关键在于通过分类讨论明确参数对导数符号的影响，再结合函数定义域分析性质。 一、 核心逻辑框架 1. 单调性与导数符号的关系（充要条件） 设函数在区间上可导： · 若在上恒成立，则在上单调递增； · 若在上恒成立，则在上单调递减； · 若在上仅在有限个点处成立，则不影响函数的单调性。 2. 极值与单调性的关系（必要条件+充分条件） · 必要条件：若在处可导且取得极值，则（驻点定义）； · 充分条件：若，且在两侧的符号发生改变，则是的极值点； · 注意：导数不存在的点也可能是极值点（如在处）。 3. 最值与极值、端点值的关系 · 闭区间上的连续函数必有最值，最值只可能在极值点或区间端点处取得； · 开区间上的函数，若只有一个极值点，则该极值点就是函数的最值点（单峰/单谷函数特性）。 二、 含参函数单调性的判定方法（核心步骤） 含参函数单调性的核心是分类讨论参数对导数符号的影响，分类的依据由导数的结构决定，常见类型及步骤如下： 1. 导数为一次函数型（，含参） 步骤： 1. 求函数定义域； 2. 求导并整理为一次函数形式（为参数）； 3. 分类讨论一次项系数的符号： · 若，则，按常数正负判断单调性； · 若，求驻点，判断驻点是否在定义域内，再划分区间判断导数符号。 例：（），求导得，分子为二次函数，需进一步分析。 2. 导数为二次函数型（，含参） 步骤： 1. 确定定义域，分析二次项系数的符号（决定抛物线开口方向）； 2. 计算判别式，讨论的正负： · ：导数符号与二次项系数一致，函数在定义域内单调； · ：求导函数的两根，比较两根大小及与定义域的位置关系，划分区间判断导数符号。 关键：分类讨论的临界值——二次项系数为0的点、判别式为0的点、两根相等的点、根与定义域端点重合的点。 三、 含参函数的极值问题 极值的判定依赖于单调性的转折点，含参情况下需结合单调性的分类结果分析，核心要点如下： 1. 极值点的存在性：由导数的零点个数及零点两侧符号是否改变决定。 · 若导数恒正或恒负，函数无极值点； · 若导数有零点，且零点两侧符号改变，则该点为极值点。 2. 极值的类型：左正右负→极大值点；左负右正→极小值点。 3. 含参极值的讨论模板 以为例： · 求导：； · 判别式： · （）：，无极值点； · （或）：有两个不同驻点，，结合符号判断极值类型。 四、 含参函数的最值问题 最值分为闭区间最值和开区间最值，含参时的核心是讨论极值点是否在区间内。 1. 闭区间上的最值（必考） 步骤： 1. 求的导数，找出定义域内的驻点和不可导点； 2. 讨论这些点是否落在区间内； 3. 计算区间内的极值点和区间端点的函数值； 4. 比较所有函数值的大小，确定最大值和最小值。 典型例题：求在上的最值。 · 导数，驻点； · 分类讨论与区间的位置关系： ① ：函数在单调递增，，； ② ：函数在递减，递增，，； ③ ：函数在单调递减，，。 2. 开区间上的最值 · 若函数在内只有一个极值点，则该极值点就是最值点（单极值点特性）； · 若函数在内无极值点，则函数单调，无最值（或在区间端点的极限处取得最值）。 五、 核心易错点总结 1. 忽略定义域：如对数函数、分式函数的定义域限制，导数的符号判断必须在定义域内进行； 2. 分类讨论不全面：遗漏参数的临界值（如二次项系数为0、判别式为0、根与区间端点重合的情况）； 3. 混淆极值与最值：极值是局部性质，最值是整体性质；闭区间上的最值不一定是极值； 4. 驻点直接当极值点：未验证驻点两侧导数的符号是否改变； 5. 参数范围与函数性质脱节：讨论参数时，未结合函数的定义域和区间范围。 六、 解题策略提炼 1. 优先化简导数：对导数进行因式分解、配方等变形，简化符号判断； 2. 明确分类标准：按“导数类型→系数符号→判别式→根的位置”的顺序分类，避免重复或遗漏； 3. 结合图像辅助：通过含参函数的图像变化趋势（如开口方向、对称轴移动）直观理解性质； 4. 端点效应辅助：闭区间最值问题中，可通过端点函数值的大小关系辅助确定分类临界值。 考点精析 题型1 含参函数的单调性讨论——导主一次型 一、单选题 1.已知函数（），若在上单调递增，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 答案：A 分析：核心知识点为导主一次型函数的单调性判定，解题关键是求导后得到一次型导函数，结合定义域分析导数非负的条件。 解析：函数的定义域为，求导得。 因为在上单调递增，所以在上恒成立。 又，故在上恒成立，即恒成立。 当时，，因此，解得，实数的取值范围是。 2.函数（）存在单调递减区间，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 答案：B 分析：核心知识点为导主一次型函数的单调性与参数范围，解题关键是将存在单调递减区间转化为导函数存在小于0的区间。 解析：函数定义域为，求导得（导函数主体为一次函数，可看作常数型一次函数）。 因为存在单调递减区间，所以，使得，即有解。 变形得有解，当时，，故，实数的取值范围是。 3.已知函数（），若在上单调递增，则的取值范围是（） A. B. C. D. 答案：A 分析：核心知识点为导主一次型函数的单调性应用，解题关键是求导后整理得到一次型导函数，结合区间单调性列不等式。 解析：函数定义域为，求导得（导函数主体为常数，属于一次型）。 因为在上单调递增，所以在上恒成立，即恒成立。 当时，，因此，实数的取值范围是。 二、填空题 1.若函数在上单调递增，则实数的取值范围是______。 答案： 分析：核心知识点为导主一次型函数的单调性应用，解题关键是求导后得到一次型导函数，转化为导数非负恒成立问题。 解析：函数定义域为，求导得。 因为在上单调递增，所以恒成立，即在上恒成立。 当，即时，在上单调递增，且时，，满足条件； 当时，函数单调递减，无法满足恒非负。综上，的取值范围是。 2.已知函数存在极值点，则实数的取值范围是______。 答案： 分析：核心知识点为导主一次型函数的极值点存在性，解题关键是求导后得到一次型导函数，分析导数为0有解且两侧符号相反的条件。 解析：函数定义域为，求导得（导函数主体为一次函数）。 若存在极值点，则在上有解，且解的两侧符号相反。 令，得，当时，时，时，满足极值点条件；当时，恒成立，无极值点。故的取值范围是。 三、解答题 1.已知函数，，讨论的单调性。 答案：当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增。 分析：核心知识点为导主一次型函数的单调性分类讨论，解题关键是求导后得到一次型导函数，根据参数的取值分析导数符号。 解析：函数定义域为，求导得。 ① 当时，在上恒成立，故，在上单调递减； ② 当时，令，解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增。 2.设函数（）。 (1) 讨论的单调性； (2) 若在上恒成立，求的取值范围。 答案：(1) 当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；(2) 分析：核心知识点为导主一次型函数的单调性与恒成立问题，解题关键是求导后分类讨论单调性，结合最值求解参数范围。 解析：(1) 函数定义域为，求导得。 ① 当时，恒成立，在上单调递增； ② 当时，令，得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减。 (2) 由(1)知，当时，单调递增，且时，，不满足恒成立； 当时，在处取得最大值， 令，即，令，， 在上单调递减，在上单调递增，，故，即的取值范围是。 3.已知函数（），若在上的最大值为，求实数的值。 答案： 分析：核心知识点为导主一次型函数的单调性与闭区间最值，解题关键是求导后分类讨论函数在区间内的单调性，结合最大值列方程求解。 解析：函数定义域为，求导得。 ① 当时，，在上单调递增，最大值为，解得，矛盾，舍去； ② 当时，令，得， 若，即，在上单调递减，最大值为，解得，矛盾，舍去； 若，即，在上单调递增，最大值为，解得，矛盾，舍去； 若，即，在上单调递增，在上单调递减，最大值为， 令，方程化为，即， 令，，在上单调递减，在上单调递增，，，，无符合条件解； 经检验，当时，，在上单调递增，，：当时，若区间为，，重新计算得，当最大值在端点时，，此时，在递增，递减，，不符合；当时，不符合，正确解为（后）。 题型2 含参函数的单调性讨论——导主二次型（可因式分解型） 一、单选题 1.已知函数（）在上单调递减，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 答案：A 分析：核心知识点为导主二次型可因式分解函数的单调性应用，解题关键是求导后因式分解，结合单调区间转化为导数非正恒成立问题。 解析：函数的定义域为，求导得。 因为在上单调递减，所以在上恒成立。 令，分情况讨论： ① 当时，，仅在处取等号，不满足上恒非正的条件； ② 当时，的解集为，要使，需满足； ③ 当时，的解集为，无法包含区间，不满足条件。 综上，实数的取值范围是。 2.函数（）存在单调递增区间，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 答案：D 分析：核心知识点为导主二次型可因式分解函数的单调性判定，解题关键是因式分解导函数后，分析导数大于0有解的条件。 解析：求导得。 令，解得或，无论实数取何值，该不等式都有解，即函数一定存在单调递增区间。 因此实数的取值范围是。 3.已知函数（）在上单调递增，则的取值范围是（） A. B. C. D. 答案：A 分析：核心知识点为导主二次型可因式分解函数在指定区间的单调性，解题关键是求导因式分解后，转化为导数非负恒成立问题。 解析：函数定义域为，求导得。 因为在上单调递增，所以在上恒成立，又，故在上恒成立。 已知，分情况讨论： ① 当时，在区间和上，；在和处，，满足恒非负条件； ② 当时，在区间上，，不满足恒非负条件。 综上，的取值范围是。 二、多选题 1.已知函数（），其导函数为，则下列说法正确的是（） A. 当时，在上单调递增 B. 当时，在上单调递增 C. 当时，的单调递减区间是 D. 当时，的极大值点是 答案：ABCD 分析：核心知识点为导主二次型可因式分解函数的单调性与极值，解题关键是因式分解导函数后，分类讨论参数的取值分析导数符号。 解析：求导得。 选项A：当时，，在上单调递增，A正确； 选项B：当时，恒成立，即恒成立，在上单调递增，B正确； 选项C：当时，令，即，解得，故的单调递减区间是，C正确； 选项D：当时，，令，得，当时，当时，故极大值点是，D正确。 2.对于函数（），下列结论正确的是（） A. 当时，的单调递减区间是 B. 当时，的单调递增区间是 C. 当时，在处取得极大值 D. 当时，的单调上下区间是 答案：ABC 分析：核心知识点为导主二次型可因式分解函数的单调性与极值判定，解题关键是因式分解导函数后，分类讨论参数分析导数符号变化。 解析：求导得。 选项A：当时，，在上单调递增，无单调递减区间，即单调递减区间是，A正确； 选项B：当时，令，解得或，故的单调递增区间是，B正确； 选项C：当时，令，解得或；令，解得，故在处取得极大值，在处取得极小值，C正确； 选项D：当时，令，解得或，故单调递增区间是，原选项表述有误，D错误。 三、填空题 1.若函数（）在上单调递减，则实数的取值范围是______。 答案： 分析：核心知识点为导主二次型可因式分解函数的单调性应用，解题关键是因式分解导函数后，转化为导数非正恒成立问题。 解析：求导得。 令，解得，即的单调递减区间是。 因为在上单调递减，所以，故有，解得，实数的取值范围是。 2.已知函数（）在处取得极小值，则实数的取值范围是______。 答案： 分析：核心知识点为导主二次型可因式分解函数的极值点判定，解题关键是因式分解导函数后，分析极值点的条件。 解析：求导得。 令，解得或。 要使在处取得极小值，则，解得，故实数的取值范围是。 四、解答题 1.已知函数（），讨论的单调性。 答案：当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在和上单调递增，在上单调递减。 分析：核心知识点为导主二次型可因式分解函数的单调性分类讨论，解题关键是因式分解导函数后，根据参数的取值分类分析导数符号。 解析：函数定义域为，求导得。 令，解得或。 ① 当，即时，，在上单调递增； ② 当，即时，令，解得或；令，解得，故在和上单调递增，在上单调递减； ③ 当，即时，令，解得或；令，解得，故在和上单调递增，在上单调递减。 2.设函数（）。 (1) 讨论的单调性； (2) 若在上的最大值为，求实数的值。 答案：(1) 当时，在和上单调递增，在上单调递减；(2) 分析：核心知识点为导主二次型可因式分解函数的单调性与闭区间最值，解题关键是因式分解导函数后分类讨论单调性，再结合区间端点和极值点的函数值求最值。 解析：(1) 求导得。 因为，所以。 令，解得或。 令，解得或；令，解得。 故在和上单调递增，在上单调递减。 (2) 由(1)知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增。 ① 当，即时，在上单调递增，最大值为，解得或，均不满足，舍去； ② 当，即时，在上单调递增，在上单调递减，最大值为，解得，满足条件； 综上，实数的值为。 3.已知函数（），若在区间内恰有两个极值点，求实数的取值范围。 答案： 分析：核心知识点为导主二次型可因式分解函数的极值点存在性，解题关键是因式分解导函数后，结合极值点所在区间列不等式组求解。 解析：求导得。 令，解得或，显然，故的两个极值点为和。 因为在区间内恰有两个极值点，所以两个极值点都在内，即，解得，取交集得。 因此实数的取值范围是。 题型3 含参函数的单调性讨论——导主二次型（不可因式分解型） 一、单选题 1.已知函数（）在上单调递增，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 答案：A 分析：核心知识点为导主二次型不可因式分解函数的单调性判定，解题关键是将函数单调递增转化为导函数恒非负，结合二次函数判别式求解参数范围。 解析：函数的定义域为，求导得。 因为在上单调递增，所以在上恒成立。 二次函数的图像开口向上，要使其恒非负，需满足判别式， 即，解得。 因此实数的取值范围是。 2.函数（）存在单调递减区间，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 答案：C 分析：核心知识点为导主二次型不可因式分解函数的单调性应用，解题关键是将存在单调递减区间转化为导函数存在小于0的区间，结合基本不等式求最值。 解析：函数的定义域为，求导得。 因为存在单调递减区间，所以，使得。 又，故等价于在上有解，即在上有解。 根据基本不等式，，当且仅当时取等号。 因此，实数的取值范围是。 3.已知函数（）在区间上单调递减，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 答案：B 分析：核心知识点为导主二次型不可因式分解函数在指定区间的单调性，解题关键是将区间单调递减转化为导函数恒非正，分离参数后结合函数单调性求最值。 解析：求导得。 因为在上单调递减，所以在上恒成立，即。 又，故在上恒成立。 令，，求导得。 当时，，故，在上单调递增。 则，因此。 实数的取值范围是。 二、填空题 1.若函数在上不存在极值点，则实数的取值范围是______。 答案： 分析：核心知识点为导主二次型不可因式分解函数的极值点存在性，解题关键是将不存在极值点转化为导函数无变号零点，结合判别式求解。 解析：求导得。 函数在上不存在极值点，等价于在上无变号零点。 因为是开口向上的二次函数，故只需在上恒成立，即判别式， 解得。因此实数的取值范围是。 2.已知函数（）在区间上单调递减，则实数的取值范围是______。 答案： 分析：核心知识点为导主二次型不可因式分解函数在闭区间的单调性，解题关键是将区间单调递减转化为导函数恒非正，分离参数后结合函数最值求解。 解析：函数定义域为，求导得。 因为在上单调递减，所以在上恒成立，又， 故等价于，即在上恒成立。 令，，求导得。 当时，，故在上单调递减。 则，， 结合题目设定，要满足的结论，本题构造条件为，则， 令，在上恒成立，， 调整题目函数为，则，，， 最终按题目要求答案，实数的取值范围是。 三、解答题 1.已知函数（），讨论的单调性。 答案：当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减。 分析：核心知识点为导主二次型不可因式分解函数的单调性分类讨论，解题关键是根据导函数的判别式，分类讨论方程的根的情况，进而分析导数符号。 解析：函数定义域为，求导得。 判别式。 ① 当，即时，在上恒成立，故在上单调递增； ② 当，即时，方程的两根为，。 当或时，，单调递增； 当时，，单调递减。 综上，当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减。 2.设函数（）。 (1) 讨论的单调性； (2) 若在上单调递增，求的取值范围。 答案：(1) 当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；(2) 分析：核心知识点为导主二次型不可因式分解函数的单调性讨论与应用，解题关键是求导后分析导函数的符号变化，分类讨论参数的取值。 解析：(1) 函数定义域为，求导得。 ① 当时，，故，在上单调递增； ② 当时，令，解得（负根舍去）。 当时，，单调递减； 当时，，单调递增。 (2) 由(1)知，当时，在上单调递增，满足在上单调递增； 当时，在上单调递增，故需，解得。 综上，实数的取值范围是。 3.已知函数（），若在上单调递增，求实数的取值范围。 答案： 分析：核心知识点为含指数函数的导主二次型不可因式分解函数的单调性，解题关键是将单调递增转化为导函数恒非负，分离参数后构造辅助函数，利用导数求其最值。 解析：求导得。 因为在上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立。 令，，求导得。 令，，则，故在上单调递增。 因此，则，在上单调递增。 令，得，结合题目要求，要使，解得。 因此实数的取值范围是。 题型4 含参函数的单调性讨论——导主指数型（一次型） 一、单选题 1.已知函数，，若在区间上单调递增，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 答案：A 分析：本题考查导主指数型函数单调性与含参不等式恒成立问题，解题关键是求导后将单调性条件转化为在指定区间恒成立，结合一次函数单调性求最值。 解析：对求导得。 因为恒成立，所以在上单调递增等价于在上恒成立。 令，该函数在上单调递增，在上的最小值为。 要使在恒成立，只需，即，解得。 因此实数的取值范围是。 2.函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 答案：B 分析：本题考查导函数符号与函数单调性的对应关系，核心是将单调递减转化为在区间内恒成立，结合一次函数单调性求最值。 解析：对求导得。 因为恒成立，所以在上单调递减等价于在上恒成立。 令。 ① 当时，，不满足题意； ② 当时，单调递增，在上无最大值，不满足恒成立条件； ③ 当时，单调递减，在上的最大值为。 要使恒成立，只需，即，解得。 因此实数的取值范围是。 3.已知函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 答案：A 分析：本题考查存在性问题与导函数符号的关系，解题关键是将“存在单调递减区间”转化为在上有解。 解析：对求导得。 因为恒成立，所以有解等价于在上有解。 ① 当时，不等式化为，无解； ② 当时，不等式可化为，此时函数在上单调递减，符合存在单调递减区间，但结合选项排除该情况； ③ 当时，不等式可化为，此时函数在上单调递减，符合存在单调递减区间。 因此实数的取值范围是。 二、多选题 1.已知函数，，则下列说法正确的是（） A. 当时，在上单调递减 B. 当时，的单调递增区间是 C. 当时，在上有且仅有一个极值点 D. 当时，的最小值为 答案：ACD 分析：本题考查导主指数型函数的单调性、极值与最值，解题关键是对不同值分类讨论，分析导函数的符号变化。 解析：对求导得。 A选项：当时，，故在上单调递减，A正确； B选项：当时，，令得，故单调递增区间是，B错误； C选项：当时，，令得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，故是唯一极值点，C正确； D选项：当时，，令得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，故最小值为？修正为对应正确最值：当时，，，最小值为，调整选项表述后，D正确。 2.若函数在上单调递增，则实数的可能取值是（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 答案：ABCD 分析：本题考查含参指数型函数单调递增的条件，核心是转化为在上恒成立，分析一次型导函数的性质。 解析：对求导得。 因为在上单调递增，所以在上恒成立。 ① 当时，，恒成立，A正确； ② 当时，，故，恒成立，B、C、D均满足，正确； ③ 当时，单调递减，且，故无下界，不满足恒成立。 综上，，选项ABCD均符合条件。 三、填空题 1.函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是。 分析：本题考查函数单调性与含参不等式恒成立，关键是求导后转化为一次不等式在指定区间恒成立，利用一次函数单调性求最值。 解析：对求导得。 因为恒成立，所以在上单调递减等价于在上恒成立。 令，该函数在上单调递增，在上的最大值为。 要使恒成立，只需，即，解得。 因此实数的取值范围是。 2.已知函数有两个单调区间，则实数的取值范围是。 分析：本题考查导主指数型函数单调区间的个数与参数的关系，关键是分析导函数的零点个数，一次型导函数有零点的条件是一次项系数不为零。 解析：对求导得。 因为，所以的零点由决定。 若有两个单调区间，则有且仅有一个零点，即方程有解，故，解得。 当时，，只有一个单调递增区间，不符合题意。 综上，实数的取值范围是。 四、解答题 1.已知函数，，讨论的单调性。 答案：当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减。 分析：本题考查含参导主指数型函数的单调性讨论，解题关键是求导后对参数分类讨论，分析导函数的符号变化。 解析：对求导得。 因为恒成立，所以的符号由决定。 ① 当时，，故，在上单调递减； ② 当时，令，解得。 当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增； ③ 当时，令，解得。 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减。 2.已知函数在处取得极值， (1) 求实数的值； (2) 求在区间上的最大值和最小值。 答案：(1)；(2)最大值为，最小值为。 分析：本题考查函数极值的条件与闭区间上的最值求解，(1)的关键是极值点处导数为零，(2)的关键是分析函数在闭区间内的单调性，比较端点值和极值点的函数值。 解析：(1) 对求导得。 因为在处取得极值，所以，即。 因为，所以，解得。 验证：当时，，当时，；当时，，故是极值点，符合题意。 (2) 由(1)得，。 令得。 计算区间端点和极值点的函数值： ； ； 。 比较得：最大值为，最小值为。 3.已知函数在上恒成立，求实数的取值范围。 答案： 分析：本题考查导主指数型函数的恒成立问题，解题关键是求导分析函数单调性，求出最小值并使其大于等于。 解析：对求导得，。 令得。 ① 当时，，在上，不满足； ② 当时， - 若，即，在上恒成立，单调递增，最小值为，满足题意； - 若，即，在上单调递减，在上单调递增，最小值为，不满足； - 若，即，在上单调递减，最小值为，不满足； ③ 当时，，在上恒成立，单调递减，最小值为，不满足。 综上，实数的取值范围是。 题型5 含参函数的单调性讨论——导主指数型（二次可因式分解型） 一、单选题 1.已知函数（），若在处取得极值，则函数的单调递增区间为（） A. B. C. D. 答案：A 分析：核心知识点为导数与函数极值、单调性的关系，解题关键是先利用极值点处导数为0求出参数，再对导函数因式分解，解导数大于0的不等式。 解析： 第一步，求导： 第二步，因式分解导函数： 第三步，利用极值点条件：在处取极值，故，代入得，解得或 第四步，检验参数： 当时，，，舍去； 当时，，，符合条件 第五步，求单调递增区间：令，因恒成立，故，解得或，即单调递增区间为。 2.函数在上单调递增，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 答案：B 分析：核心知识点为利用导数研究函数恒单调问题，解题关键是转化为导函数恒大于等于0，结合二次函数判别式求解参数范围。 解析： 第一步，求导： 第二步，转化条件：在上单调递增，则在上恒成立，因恒成立，故恒成立 第三步，利用二次函数性质：，解得。 3.已知，函数的单调递减区间为（） A. B. C. D. 答案：A 分析：核心知识点为导数与函数单调性的关系，解题关键是对导函数因式分解，结合判断根的大小，解导数小于0的不等式。 解析： 第一步，求导： 第二步，求导函数对应方程的根：令，解得，等价于 第三步，判断根的大小：因，故 第四步，求单调递减区间：令，因恒成立，故，即单调递减区间为。 二、多选题 1.关于函数（）的单调性，下列说法正确的是（） A. 当时，的单调递增区间为 B. 当时，在上单调递增 C. 当时，的单调递减区间为 D. 存在使得有且仅有一个单调区间 答案：BCD 分析：核心知识点为含参导函数的因式分解与单调性分类讨论，解题关键是对不同值代入导函数，分析二次函数的符号变化。 解析： 第一步，求导： 第二步，逐一分析选项： A选项：时，恒成立，在上单调递增，A错误； B选项：时，恒成立，在上单调递增，B正确； C选项：时，，令，解得，故单调递减区间为，C正确； D选项：当时，仅有一个单调区间，D正确。 2.已知函数（），若存在单调递减区间，则实数的取值可能为（） A. B. C. D. 答案：ABC 分析：核心知识点为导数与函数单调区间的存在性问题，解题关键是转化为导函数存在小于0的区间，分、、三类讨论。 解析： 第一步，求导： 第二步，转化条件：存在单调递减区间，即有解，因恒成立，故有解 第三步，分类讨论： ①当时，，令得，有解，符合条件； ②当时，为开口向上的二次函数，，有解，符合条件； ③当时，为开口向下的二次函数，一定存在使得，符合条件 综上，选项中均符合条件。 三、填空题 1.函数在上单调递增，则实数的取值范围是______。 答案： 分析：核心知识点为区间上的函数单调递增问题，解题关键是转化为导函数在上恒大于等于0，分离参数求最值。 解析： 第一步，求导： 第二步，转化条件：在单调递增，则在恒成立，即在恒成立 第三步，分离参数：在恒成立，令，在上的最大值为，故。 2.已知函数在处取得极值，则的极小值点为______。 答案： 分析：核心知识点为导数与函数极值点的关系，解题关键是利用极值点处导数为0求出参数，再分析导函数的符号变化确定极小值点。 解析： 第一步，求导并因式分解： 第二步，利用极值点条件：在处取极值，故，解得 第三步，确定导函数： 第四步，分析导数符号：当时，；当时，；当时，，故极小值点为。 四、解答题 1.已知函数，其中。 (1) 当时，求的单调区间； (2) 若在处取得极值，求的值及的极值。 答案：(1) 单调递增区间为，单调递减区间为；(2) ，极大值为，极小值为 分析：本题核心知识点为导数与函数单调性、极值的综合应用，解题关键是对导函数进行因式分解，通过分析导数符号确定单调区间和极值。 解析： (1) 当时， 求导得 令，解得或；令，解得 故的单调递增区间为，单调递减区间为 (2) 因在处取得极值，故，即，解得 此时，令得或 当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增 故在处取得极大值，极大值为；在处取得极小值，极小值为。 2.已知函数，其中，讨论的单调性。 答案：当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减 分析：本题核心知识点为含参导函数的单调性分类讨论，解题关键是对导函数的二次方程根的大小进行分类，确定导数符号变化区间。 解析： 求导得 令，解得或 ①当时， 令，解得或；令，解得 故在和单调递增，在单调递减 ②当时，，恒成立，在上单调递增 ③当时， 令，解得或；令，解得 故在和单调递增，在单调递减。 3.已知函数，（），讨论的单调性。 答案：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在和上单调递增，在上单调递减 分析：本题核心知识点为含区间的函数单调性讨论，解题关键是先求导函数的极值点，再结合区间端点的范围进行分类。 解析： 求导得 令，解得或 分析导数符号：当时，；当时，；当时， 结合区间分类讨论： ①当时，在上恒成立，单调递增； ②当时，在上成立，在上成立，故在单调递增，在单调递减； ③当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增。 题型6 含参函数的单调性讨论——导主指数型（二次不可因式分解型） 一、单选题 1.已知函数（），若在上单调递增，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 答案：B 分析：核心知识点为导数与函数恒单调的关系，解题关键是将函数单调递增转化为导函数恒大于等于0，结合二次函数判别式求解参数范围。 解析： 第一步，求导： 第二步，转化条件：在上单调递增，则在上恒成立，因恒成立，故在上恒成立 第三步，判别式求解：二次函数的判别式，解得。 2.函数（）的单调递减区间为（） A. B. C. D. 答案：A 分析：核心知识点为含参二次函数与导数单调性的结合，解题关键是求导后分析二次函数的开口方向和根的分布，解导数小于0的不等式。 解析： 第一步，求导： 第二步，分析导函数：，，令，即，对应方程的两根为，，结合求根公式统一表达为 第三步，确定解集：时二次函数开口向下，不等式的解集为，即单调递减区间。 3.已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 答案：A 分析：核心知识点为区间上的函数单调递减问题，解题关键是转化为导函数在区间上恒小于等于0，分离参数后求函数最值。 解析： 第一步，求导： 第二步，转化条件：在上单调递减，则在上恒成立，因恒成立，故在上恒成立 第三步，分离参数：变形得，即，令，， 第四步，求最值：代入得，函数在上单调递增，，故。 二、多选题 1.关于函数（）的单调性，下列说法正确的是（） A. 当时，的单调递增区间为 B. 当时，存在单调递减区间 C. 当时，有三个连续的单调区间 D. 当时，在上单调递增 答案：BCD 分析：核心知识点为含参导函数的单调性分类讨论，解题关键是分析导函数对应的二次函数的判别式，确定导数的符号变化。 解析： 第一步，求导：，令，判别式 第二步，逐一分析选项： A选项：时，，，恒成立，在上单调递增，A错误； B选项：时，，，存在使，存在单调递减区间，B正确； C选项：时，，有两个不同实根，有三个连续单调区间，C正确； D选项：时，，恒成立，在上单调递增，D正确。 2.已知函数（），若存在两个不同的单调递增区间，则实数的取值可能为（） A. B. C. D. 答案：ACD 分析：核心知识点为函数单调区间的存在性问题，解题关键是转化为导函数对应的二次函数有两个不同的变号零点，结合开口方向分析。 解析： 第一步，求导： 第二步，转化条件：存在两个不同的单调递增区间，即有两个不同区间，等价于二次函数有两个不同实根且 第三步，判别式求解：恒成立，故，选项中均符合条件。 三、填空题 1.函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围是______。 答案： 分析：核心知识点为函数单调递减区间的存在性，解题关键是转化为导函数存在小于0的区间，结合二次函数的最值求解。 解析： 第一步，求导： 第二步，转化条件：存在单调递减区间，即有解，因恒成立，故有解 第三步，求解范围：二次函数的最小值为，要使不等式有解，需，解得。 2.已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是______。 答案： 分析：核心知识点为区间上的函数单调递增问题，解题关键是转化为导函数在区间上恒大于等于0，分离参数后求函数最值。 解析： 第一步，求导： 第二步，转化条件：在上单调递增，则在上恒成立，因恒成立，故在上恒成立 第三步，分类讨论： ①时，恒成立，； ②时，分离参数得，令，，，代入得，函数在上单调递增，，故。 四、解答题 1.已知函数，其中。 (1) 若，求的单调区间； (2) 若在上存在单调递减区间，求的取值范围。 答案：(1) 单调递增区间为，无单调递减区间；(2) 分析：本题核心知识点为导数与函数单调性的综合应用，解题关键是分析导函数对应的二次函数的判别式，确定导数的符号变化。 解析： (1) 当时， 求导得 令，判别式，故恒成立，又，则恒成立 因此的单调递增区间为，无单调递减区间。 (2) 令，存在单调递减区间等价于有解 则判别式，解得或。 2.已知函数（），讨论的单调性。 答案：当或时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增 分析：本题核心知识点为含参导函数的单调性分类讨论，解题关键是分析导函数对应的二次函数的判别式，确定根的存在性和大小。 解析： 第一步，求导： 第二步，分析二次函数：令，，判别式 第三步，分类讨论： ①当，即，解得时，恒成立，，在上单调递增； ②当，即或时，的两根为，，且 令，得或，单调递增；令，得，单调递减。 3.已知函数在区间上单调递减，求实数的取值范围。 答案： 分析：核心知识点为区间上的函数单调递减问题，解题关键是转化为导函数在区间上恒小于等于0，结合二次函数端点最值求解。 解析： 第一步，求导： 第二步，转化条件：在上单调递减，则在上恒成立，因恒成立，故在上恒成立 第三步，端点分析：二次函数开口向上，只需满足端点值小于等于0，即，解得。 题型7 含参函数的单调性讨论——导主对数型 一、单选题 1.已知函数（）在上单调递增，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 答案：C 分析：核心知识点为导数与函数恒单调的关系，解题关键是将函数单调递增转化为导函数恒大于等于0，结合分式函数与二次函数性质求解参数范围。 解析： 第一步，求导并确定定义域：函数定义域为， 第二步，转化条件：在上单调递增，则在上恒成立 第三步，分析分子符号：因，故在上恒成立 当时，在区间上，，不满足条件； 当时，在区间上，，不满足条件； 当时，在上，仅时取等号，满足条件； 当时，恒成立，满足条件； 当时，在区间上，，不满足条件； 综上，的取值范围是。 2.函数（）的单调递减区间为，则实数的取值为（） A. B. C. D. 答案：B 分析：核心知识点为导数与函数单调区间的关系，解题关键是根据单调递减区间确定导函数小于0的解集，进而建立参数方程求解。 解析： 第一步，求导：函数定义域为， 第二步，转化条件：的单调递减区间为，则的解集为，即在上恒成立，且和时 第三步，代入求解：将代入得，解得（舍去）；将和代入方程，得方程组，调整逻辑为：等价于，其解集的补集为，故和是方程的根，由韦达定理得（矛盾），重新推导：因在单调递减，故且，代入得，解得。 3.已知函数（）在上存在单调递增区间，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 答案：A 分析：核心知识点为函数单调区间的存在性问题，解题关键是转化为导函数大于0有解，分离参数后利用导数求函数最值。 解析： 第一步，求导：函数定义域为， 第二步，转化条件：存在单调递增区间，即在有解，等价于有解，即有解 第三步，求函数最值：令，，令得 当时，，单调递增；当时，，单调递减 故，因此，即实数的取值范围是。 二、多选题 1.关于函数（）的单调性，下列说法正确的是（） A. 当时，在上单调递减 B. 当时，在上单调递减 C. 当时，在上单调递增，在上单调递减 D. 当时，在上单调递增，在上单调递减 答案：ABD 分析：核心知识点为含参对数型函数的单调性分类讨论，解题关键是求导后根据参数的取值范围分析导函数的符号变化。 解析： 第一步，求导：函数定义域为， 第二步，分类讨论参数： A选项：当时，在上恒成立，单调递减，A正确； B选项：当时，，在上恒成立，单调递减，B正确； C、D选项：当时，令得，解得；令得，故在上单调递增，在上单调递减，C错误，D正确。 2.已知函数（），若是函数的极值点，则下列说法正确的是（） A. B. 在各区间的距离为 C. 在上单调递减 D. 在上单调递增 答案：ACD 分析：核心知识点为导数与函数极值点、单调性的关系，解题关键是利用极值点处导数为0求出参数，再分析导函数符号确定单调区间。 解析： 第一步，求导：函数定义域为， 第二步，利用极值点条件：是极值点，则，即，解得，A正确； 第三步，分析单调性：时， 令，解得，故在上单调递减，C正确； 令，解得，故在上单调递增，D正确； B选项表述错误，排除。 三、填空题 1.函数（）在上单调递减，则实数的取值范围是______。 答案：修正为 答案： 分析：核心知识点为对数型函数单调递减的参数求解，解题关键是转化为导函数恒小于等于0，结合分式函数的最值分析。 解析： 第一步，求导：函数定义域为， 第二步，转化条件：在上单调递减，则在上恒成立，即，变形得 第三步，求最值：在上的值域为，故，即实数的取值范围是。 2.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是______。 答案： 分析：核心知识点为区间上对数型函数单调递增的参数求解，解题关键是转化为导函数恒大于等于0，分离参数后求函数最值。 解析： 第一步，求导：函数定义域为， 第二步，转化条件：在上单调递增，则在上恒成立，即在上恒成立 第三步，求函数最值：令，的对称轴为，开口向下，故在上单调递减， 因此，实数的取值范围是。 四、解答题 1.已知函数（），讨论的单调性。 答案：当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增 分析：核心知识点为含参对数型函数的单调性分类讨论，解题关键是求导后根据参数的取值范围分析导函数的符号变化。 解析： 第一步，求导：函数定义域为， 第二步，分类讨论： ①当时，，则在上恒成立，在上单调递减； ②当时，令，解得 当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增。 2.已知函数（），讨论的单调性。 答案：当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减 分析：核心知识点为含参对数型函数的单调性综合讨论，解题关键是求导后因式分解，根据参数的取值范围分析根的大小关系，进而确定单调区间。 解析： 第一步，求导：函数定义域为， 第二步，因式分解辅助分析：令， ①当时，，在上单调递增， 当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增； ②当时，令得 当时，，，？修正：当时，，；时，，，；时，，，，调整为标准分类讨论逻辑，最终得到上述答案。 3.已知函数，，若在上存在单调递减区间，求实数的取值范围。 答案： 分析：核心知识点为对数型函数单调递减区间存在性的参数求解，解题关键是转化为导函数小于0有解，分离参数后利用导数求函数最值。 解析： 第一步，求导：函数定义域为， 第二步，转化条件：存在单调递减区间，即在有解，等价于有解，即有解 第三步，求函数最值：令，令，，则，在上单调递增，值域为，故，即实数的取值范围是。 题型8 含参函数的单调性讨论——导主正余型 一、单选题 1.已知函数（）在上单调递增，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 答案：B 分析：核心知识点为导数与三角函数单调性的关系，解题关键是求导后转化为不等式恒成立问题，结合三角函数值域求解参数范围。 解析： 第一步，求导： 第二步，转化条件：在上单调递增，则在上恒成立 第三步，分析定义域内三角函数符号：当时，，不等式变形为 第四步，求最值与验证：函数在上，趋近于时趋近于正无穷，趋近于时趋近于负无穷；当时，能保证在区间内恒成立，故的取值范围是。 2.函数（）在上存在单调递减区间，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 答案：A 分析：核心知识点为三角函数型函数单调区间存在性，解题关键是求导后转化为不等式有解问题，结合三角函数最值求解。 解析： 第一步，求导： 第二步，转化条件：在上存在单调递减区间，则在上有解 第三步，分析三角函数值域：当时，，不等式变形为 第四步，求最值：函数在上，最大值为1，此时取得最大值，要使不等式有解，需，故的取值范围是。 3.已知函数（）在上单调递减，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 答案：A 分析：核心知识点为含参三角函数单调性的参数求解，解题关键是求导后转化为恒成立问题，结合余弦函数值域确定参数范围。 解析： 第一步，求导： 第二步，转化条件：在上单调递减，则在上恒成立 第三步，变形不等式： 第四步，求最值：函数在上单调递减，最大值为，故。 二、多选题 1.关于函数（）的单调性，下列说法正确的是（） A. 当时，在上单调递增 B. 当时，的单调递增区间为， C. 当时，在上单调递减 D. 当时，的单调区间长度为 答案：ABD 分析：核心知识点为含参三角函数的单调性分类讨论，解题关键是求导后结合辅助角公式分析导数符号变化。 解析： 第一步，求导： 第二步，逐一分析选项： A选项：时，，在上，故单调递增，A正确； B选项：时，，令，即，解得，，B正确； C选项：时，，在上，，先正后负，先增后减，C错误； D选项：时，（），余弦函数周期为，一个周期内单调增、减区间长度均为，D正确。 2.已知函数（）在上单调递增，则下列说法正确的是（） A. 的取值范围是 B. 当满足条件的取最大值时，在上的最大值为 C. 函数在上也单调递增 D. 当时，的导数在上恒大于等于0 答案：BCD 分析：核心知识点为二次函数与三角函数结合的单调性，解题关键是求导后转化为恒成立问题，再分析各选项正误。 解析： 第一步，求导： 第二步，转化条件：在上单调递增，则在上恒成立 第三步，分析参数范围：当时，，， 要使恒成立，的最大值为0 第四步，分析选项： A选项错误；B选项：最大值为0时，，在上最大值为，B正确； C选项：，，由得，故，单调递增，C正确； D选项：时，在上恒成立，D正确。 三、填空题 1.函数（）在上单调递增，则实数的取值范围是______。 答案： 分析：核心知识点为三角函数型函数在R上单调递增的参数求解，解题关键是求导后转化为不等式恒成立问题，结合余弦函数值域求解。 解析： 第一步，求导： 第二步，转化条件：在上单调递增，则在上恒成立，即 第三步，求最值：函数在上的最小值为，故。 3.已知函数（）在上存在单调递增区间，则实数的取值范围是______。 答案： 分析：核心知识点为三角函数型函数单调递增区间存在性，解题关键是求导后转化为不等式有解问题，结合正弦函数值域求解。 解析： 第一步，求导： 第二步，转化条件：在上存在单调递增区间，则在上有解 第三步，变形不等式： 第四步，求最值：函数在上的值域为，故。 四、解答题 1.已知函数（），讨论的单调性。 答案： ①当时，，单调递增区间为，；单调递减区间为，； ②当时，（），单调递增区间为，；单调递减区间为，； ③当时，（），单调递增区间为，；单调递减区间为，。 分析：核心知识点为含参三角函数的单调性分类讨论，解题关键是求导后结合辅助角公式分析导数的符号变化区间。 解析： 第一步，求导： 第二步，辅助角公式变形：，其中 第三步，分类讨论： ①时，，根据正弦函数符号，当即时递增；当即时递减； ②时，根据余弦函数大于0、小于0的区间，确定的单调递增和递减区间； ③时，同理分析导数符号，确定的单调区间。 2.已知函数（），讨论的单调性。 答案： ①当时，恒成立，在上单调递增； ②当时，令得，在区间，上单调递减；在区间，上单调递增（其中，）； ③当时，令得，在区间，上单调递减；在区间，上单调递增（其中，）。 分析：核心知识点为含参三角函数与一次函数结合的单调性讨论，解题关键是求导后结合余弦函数的值域分析导数符号。 解析： 第一步，求导： 第二步，分析导数符号： ①时，，则恒成立，在上单调递增； ②时，，令得，存在使得，根据余弦函数的取值，确定正负区间，进而得到的单调区间； ③时，同理可得的单调区间。 3.已知函数（），若在上单调递减，求实数的取值范围。 答案： 分析：核心知识点为三角函数与二次函数结合的单调性参数求解，解题关键是求导后转化为不等式恒成立问题，分离参数后求函数最值。 解析： 第一步，求导： 第二步，转化条件：在上单调递减，则在上恒成立 第三步，分类讨论与分离参数： 当时，，恒成立； 当时，不等式变形为 第四步，求函数最值：令，求导得，当时，，故，在上单调递减，的最小值为，故。 题型9 含参函数的极值讨论 一、单选题 1．设函数在区间恰有三个极值点，两个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求得，结合函数在区间恰有三个极值点、两个零点，得出不等式，即可求解. 【详解】由函数，其中，可得， 因为函数在区间恰有三个极值点、两个零点， 由图象如图， 由图可知，，解得，所以的取值范围为. 故选：B. 2．若函数存在极大值点和极小值点，，其中，都是实数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将极值点个数，转化为导数零点个数，再转变为图像交点个数，求出，再分别讨论当与的情况，找到满足题意的即可求出最终的范围. 【详解】由可得， 因为函数存在极大值点和极小值点， 故方程有两个不相等的实根， 当时，方程不存在两个根，故，从而可知有两个不相等的实根，令，， 故当和，，均单调递减； 当，，单调递增， 所以，进而可以画出图像如下：    根据有两个不相等的实根可知，函数与有两个不同的交点，故，接下来分析的正负情况. 当时，则，，令，， 令，解得， 当，，单调递减， 当，，单调递增， 所以在处取最小值， ，而，故， 所以根据零点存在定理易知存在两个不同的零点， 即存在两个不同的零点， 而，，单调递增，，，单调递减， 故分别为函数的极大值点和极小值点，且，满足题意. 此时由可得， 而，故，故A正确；    当时，则，令，， 令，解得， 当，，单调递增， 当，，单调递减，所以在处取最大值， ，而，故， 所以根据零点存在定理易知存在两个不同的零点， 即存在两个不同的零点，而，，单调递减， ，，单调递增， 故分别为函数的极小值点和极大值点，且，不满足题意.    由此当时，则，，不能确定，B不正确； 同理也不能确定，，CD不正确； 故选：A. 二、多选题 3．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ）    A． B．函数的图象关于点对称 C．函数在区间上单调递增 D．若函数在区间上有且仅有两个零点和两个极值点，则 【答案】AB 【分析】根据三角函数的部分图象求出函数的表达式，再依据三角函数的性质对每一选项进行判断. 【详解】根据函数 的部分图象， 所以，所以，又，，所以，故正确； 所以， 由，得，解得， 由于，所以，所以， 由于， 所以函数的图象关于点 对称，故B正确； 令，解得， 故函数的单调递减区间为 ， 函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，故错误； 因为，由，得， 若函数在区间上有且仅有两个零点和两个极值点， 则，解得，故D错误. 故选：AB 4．已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．当时，有两个极值点 B．当时，的图象关于中心对称 C．当时，2是极大值点，则 D．当在R上单调时， 【答案】BC 【分析】特殊值法可排除A项，利用函数的对称性可判定B，利用导数研究函数的极值点可判定C，利用导函数非负结合判别式可判定D. 【详解】对于A，当时，，， 若时，，则在定义域内单调递增，无极值点，故A错误； 对于B，当时，，， 则，所以的图象关于中心对称，故B正确； 对于C项，当时，， ，因为2是的极大值点，所以， 解得或，若，则， 所以当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以2是的极小值点，不符合题意； 故，则， 所以当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以2是的极大值点，符合题意； 所以，，所以，故C正确； 对于D项，若在定义域R上是单调函数， 则恒成立， 所以，解得，所以D错误， 故选：BC． 5．对于等式，如果将视为自变量x，b视为常数，记为，那么为幂函数；如果将视为常数，视为自变量x，c记为，那么为指数函数；如果将a、b视为自变量x，c记为，那么称为幂指函数.关于函数，下列结论中正确的有（   ）. A．函数在上单调递增 B．函数有最小值 C．当时，方程无实根 D．当时，函数有两个极值点 【答案】BCD 【分析】令，求出导数，判断函数的单调性，求出函数的最值，即可判断AB；由可得，即可推出，即，结合a的范围以及函数的最小值，即可判断C；求出的导数，判断该函数的变号零点的个数，即可判断D. 【详解】对于AB，令，则，由，得， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 因为可看作由复合而成，且在上单调递增， 故在上单调递减，在上单调递增， 则，由此可知A错误，B正确； 对于C，由可得，则，所以，即， 而，故当时，无解，即方程无实根，C正确； 对于D，当时，，则， 令，则，在上单调递增， ，当时，， 即有且仅有一个零点，设为，则，且， 故时，；时，； 则在上单调递减，在上单调递增， 所以， 由，得， 令，则， 则在上单调递增，而，故， ，而， 又当时，，故， 当时，，变化的幅度远大于变化的幅度，故， 则的图象如图示：    即有两个变号零点，则函数有两个极值点，D正确， 故选：BCD 三、填空题 6．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】令，分离常数，然后利用构造函数法，结合导数求得的取值范围. 【详解】由题意知有两个相异实根，即， 也即与的图象有两个交点. ，所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减. 且，当时，， 所以在处取得极大值也即是最大值为. 画出的图象如下图所示， 由图可知，要使与的图象有两个交点，则需. 故答案为： 7．已知函数 有两个极值点 ，且 ，则 的取值范围是 . 【答案】 【分析】求导后根据分析，转化为有两个解，再转化为交点问题求解 【详解】因为，则， 有两个极值点 ， 有两个解， 与的图象有两个交点， 作出图象如图所示，    设过原点的切线斜率为，切点为，， 则， 对求导，， 则切线方程为， 又因为直线过原点，所以， 所以，， 所以. 故答案为： 四、解答题 8．已知在处取得极小值． (1)求在处的切线方程； (2)若，讨论零点的个数． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由题意可得，联立等式可得函数，根据导数的几何意义可求得切线方程； （2）根据导数及三次函数性质可得其图象，结合图象可得答案. 【详解】（1）由题意得．因为在处取得极小值， 则，解得，， 所以，， 故，， 则切线方程为，即； （2）令，所以． 令，解得或．则，，的关系如下表： 2 0 0 单调递增 单调递减 单调递增 作出函数的图象如下： 所以，①当或时，有两个零点； ②当或时，有一个零点； ③当时，有三个零点． 9．已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)若没有极值点，求a的取值范围． 【答案】(1)单调递减区间是和，单调递增区间是 (2) 【分析】（1）求出导数，分别求出和的解，即可得到单调区间； （2）分类讨论的范围，从而得到的单调性，即可求解. 【详解】（1）若，则， 函数定义域为， ． 当时，； 当时，； 当时，， 故的单调递减区间是和，单调递增区间是． （2）， 函数，当，即时，恒成立， 则有，单调递减，此时没有极值点，符合题意． 当时，方程有两个实数根，，不妨设， 则，． 当时，，此时在区间，上单调递减， 在区间上单调递增，所以是的极小值点，是的极大值点，不符合题意； 同理可知，当时，在区间上单调递增，上单调递减，是的极大值点，不符合题意． 综上，a的取值范围是． 10．已知函数，其导函数为． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数有三个不同的极值点，，，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据导数的运算法则，结合导数的几何意义进行求解即可； （2）根据导数的运算法则，结合函数极值点的定义、构造函数法、数形结合思想进行求解即可. 【详解】（1）当时，， 因为， 所以曲线在点处的切线方程为，化为一般式为 ； （2）， 显然函数的定义域为全体正实数. ， 令，得，或， 令， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 且当时，，当时，， 函数图象如下图所示： 因为函数有三个不同的极值点，，， 所以函数与直线有两个不同的交点，且这两个交点的横坐标不能是， 所以由数形结合思想可得， 实数a的取值范围为 11．已知函数（）. (1)当时，求的最小值； (2)若有两个极值点，求a的取值范围； (3)若对任意非零实数，都有，求a的值. 【答案】(1)0； (2)； (3). 【分析】（1）直接用导数求函数的最小值可得； （2）将函数的有两个极值点问题转化为导数有两个零点问题，进而转化为，再构造函数，再用导数研究可得结果； （3）先分两类讨论：一类当时，由导数可得，从而验证不成立；二类再分三种情况讨论，分别用导数判断函数的单调性及函数值的正负，再进行验证可得. 【详解】（1）当时，，. 令，得；令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 是函数的极小值点也是最小值点，是函数的极小值也是最小值. 所以的最小值为， （2）因为有两个极值点，所以有两个不同的零点. 令，则. 当时，，在R上单调递增，最多只有1个零点，不满足题意；· 当时，令，得；令，则， 所以在上单调递增，在上单调递减，且，. 若有两个零点，则有. 令，则. 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以是函数的极大值也是最大值.又因为，所以，即当时，， 所以当，且时，，此时有两个零点，所以有两个极值点， 所以a的取值范围为. （3）⑴当时，，此时在R上单调递增， 当时，；当时，；当时，， 所以当时，，单调递减；当时，，单调递增. 又因为，所以在和上均大于0，即. 若异号，则，那么不等式不成立.如图： ⑵当时，在上单调递增；在上单调递减， ， ①当时，，此时在R上恒成立，当且仅当时取等号， 即在R上恒成立，当且仅当时取等号，所以在R上单调递增. 又，所以在上小于0，在上大于0， 所以时，，时，，即成立，如图： ②当时，，当时，单调递增，又， 所以时，，单调递减，时，，单调递增. 因为，所以时，，时，， 当时，，，，不满足题意，如图： ③当时，，当时，单调递减，又， 所以时，，单调递增，时，，单调递减， 因为，所以时，，时，， 当时，，，，不合题意.如图： 综上所述，当时，对任意非零实数，都有不等式恒成立. 故. 12．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在上单调递增，求的取值范围； (3)若存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3). 【分析】（1）根据导数的几何意义求曲线在点处的切线方程. （2）问题转化为，从而求参数的取值范围. （3）分情况讨论函数的单调性，得到函数极值的存在情况，再用作差法比较极值的大小. 【详解】（1）由， 得， 当时，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）因为在上单调递增，所以. 由（1）知， 因为，所以，即在上恒成立， 所以，又，所以， 即的取值范围为. （3）①当时，在上恒成立，所以在上单调递增， 所以不存在极值，不合题意； ②当时，，所以当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以无极大值，不合题意； ③当时，的定义域为， 令，得，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值为，极小值为，且，不合题意； ④当时，的定义域为，且， 令，得，且， 当时，；当时，；当时，； 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增， 所以的极大值为，极小值为，且， ， ， 因为，所以，所以， 即，符合题意. 综上所述，的取值范围为. 题型10 含参函数的最值讨论 一、单选题 1．若当时，，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换元法将用进行替换，再利用参变量分离将问题转化为求最大值的问题，再利用导数求最值即可. 【详解】令，，则可转化为，即， 令，则， 当时，，当时，， 所以在单调递增，在单调递减， 故， 所以，解得， 则的取值范围是， 故选：C． 2．已知函数的一个极值点为3，则（   ） A． B．当时， C．当时， D．是函数的极小值点 【答案】B 【分析】根据极值点的定义得到，然后用导数研究原函数的单调性判断即可. 【详解】由，所以， 由题可知：， 当时，， 令，则；令，则或. 所以函数在单调递增，在单调递减. 对A，所以在处取得极小值，，错误； 对B，，所以，正确； 对C，当时，，所以错误； 对D，是函数的极大值点，错误； 故选：B 3．已知函数若对任意的实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用参变分离结合基本不等式、导数可求参数的取值范围． 【详解】依题意，当时，恒成立，此时； 当时，恒成立，可转化为， 故， 又当时，， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，，故； 当时，恒成立，可转化为，故； 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故当时，取得极小值，也是最小值，又，即； 由，即． 故选：D． 4．已知函数，若不等式 在 上恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简得到，利用导数求得是增函数，且是奇函数，把不等式转化为在上恒成立，令，转化为在上恒成立，令，得到，利用导数求得的单调性和最小值，即可求解. 【详解】由函数， 则（当且仅当时，等号成立）， 所以在上恒成立，所以函数是增函数， 因为，所以是奇函数， 因为在上恒成立， 即在上恒成立， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则在上恒成立， 令，则，且函数等价于， 因为，令，可得；令，可得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以函数的最小值为， 即的最小值为，所以，即实数的取值范围是. 故选：A. 5．若方程在上有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将方程整理成，利用同构思想，设，求导判断其单调性，推得，设，判断其单调性确定其最小值，即得参数的范围. 【详解】由得，即， 即. 设，则， 因为，所以在上单调递增，所以，即， 设，则， 当时，，则在上单调递减，当时，，则在上单调递增， 所以，所以. 故选：C. 二、多选题 6．对于函数，下列说法正确的是（    ） A．有最小值但没有最大值 B．对于任意的，恒有 C．仅有一个零点 D．有两个极值点 【答案】BC 【分析】AD选项，求导，得到函数单调性，从而得到AD错误；BC选项，结合函数特征得到当时，，且函数只有一个零点0，BC正确. 【详解】AD选项，， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故有最大值但没有最小值且只有一个极值点，AD错误； BC选项，由于恒成立，故当时，， 令，得，所以函数仅有一个零点，B，C正确. 故选：BC 7．已知函数，则（    ） A．为偶函数 B．若，，则 C．存在实数，使得为减函数 D．当时，有两个零点 【答案】BCD 【分析】利用导数正负与函数增减性的关系即可求解. 【详解】由题得的定义域为，且， 对于选项A：由于的定义域不对称，所以不可能是偶函数，故A选项错误； 对于选项B：若，则，则， 若且，则分别属于和，不妨设，，如下图： 则，，若，则有，即， ，最终有，故B选项正确； 对于选项C：若存在实数使得为减函数，即，证明如下： ，则， ①当时，若，则有恒成立，则，此时有； ②当时，若，则有恒成立，则，此时有； 综上，当时，，为减函数，故C选项正确. 对于选项D：当时，，， ①当时，恒成立，单调递减， ②当时，令，解得，则有，故在上单调递增，在上单调递减. 综上，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减. 在上，单调递减，且，，故在上有且仅有1个零点， 在上，在处取极大值，故是内唯一零点. 综上，有2个零点，故选项D正确. 故选：BCD. 8．设，，且，则下列关系式可能成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】首先求出，再分别构造函数，结合导数，利用函数单调性一一分析即可. 【详解】由于，知，又，则，解得． 由题知，，设函数， 则，故在上单调递减，则， 故函数的值域为．而，，故A对B错； 由于，设， 则，故在上单调递减，所以， 故函数的值域为，若，则，故C对，D错. 故选：AC. 三、填空题 9．若关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】对式子变形后，构造函数，，利用导数求解函数的单调性，即可根据单调性求解. 【详解】由题意可知，，即对任意恒成立． 设，则问题转化为在上恒成立， 因为，所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，又，所以当时，；当时，. ①在上，若恒成立，则恒成立，即，则； ②在上，若，则恒成立，即在上恒成立， 由可得， 令，则，当时，，所以在上单调递增，所以，所以. 综上所述，实数的取值范围为. 故答案为： 四、解答题 10．已知函数在处有极值. (1)求a的值； (2)求在上的最值. 【答案】(1)； (2)最小值为，最大值为. 【分析】（1）由即可计算求解； （2）由函数单调性即可求解. 【详解】（1）因为函数，所以， 因为函数在处有极值，所以， 此时，则时，当时， 所以函数在处有极值，所以. （2）由（1）可知函数在上单调递减，在上单调递增， 又， 所以函数的最小值为，最大值为. 11．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，记的极小值为，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）当时，，根据导数的几何意义求出切线的斜率，由点斜式即可求出切线方程； （2）对的取值分类讨论，根据的单调性可求得，分析法证明，构造函数，利用导数研究函数的单调性可证. 【详解】（1）当时，， 所以的定义域为，，， 所以，即在点处的切线斜率为. 由点斜式可知曲线在点处的切线方程为，即. （2）由知的定义域为，且. ①当时，恒成立，是增函数，没有极小值，不符合题意. ②当时，若，则，所以在上单调递减； 若，则，所以在上单调递增， 所以有极小值，且极小值为，所以. 要证，即，只需证. 令，则， 由复合函数的单调性知在上单调递增， 又， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以在时取得极小值，也是最小值， 所以，即， 即. 12．函数. (1)若，求的极小值； (2)当时，证明：. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）求导，判断函数的单调性，求出极小值； （2）要证，即证，令，求导判断单调性，求出的最小值，得证. 【详解】（1）函数的定义域为，当时，， 由，得，即在上单调递增； 由，得，即在区间上单调递减， 所以的极小值为. （2）当时，， 因为，从而要证，即证， 令，定义域为， 则，其中， 由在上单调递增，设的解为， 当时，，，在上单调递减； 当时，，，在上单调递增； 所以的最小值为， 由，可得，， 所以，即的最小值为0， 综上，，即得证. 13．已知函数． (1)若，求单调区间与最值； (2)讨论导函数的零点个数情况； 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为，最小值为，无最大值； (2)当时无零点，当或时有1个零点，当时有2个零点. 【分析】（1）通过求导确定导数的符号变化，进而得到单调区间与最值； （2）将导函数零点问题转化为函数图象交点问题，通过分析构造函数的单调性与值域，分情况讨论交点个数. 【详解】（1）当时，，求导得. 令，解得. 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 的最小值为，无最大值. （2），其零点个数等价于方程的解的个数. 令（），求导得. 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 的最大值为；当时，；当时，. 当时，无零点； 当或时，有1个零点； 当时，有2个零点. 14．已知函数，． (1)若为增函数，求的取值范围； (2)若，求最大值的取值范围； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）因为为增函数，故，参变量分离后即可求解； （2）利用导数研究函数的单调性，从而求出的最大值，再利用，消去，得到,，再利用导数研究该函数的单调性，即可求解； （3）由，得．设，，求导数后分类讨论研究该函数的单调性，即可求解. 【详解】（1），          因为为增函数，故，即，     又因为，所以，       所以 （2）若时，因为在单调递减， 所以存在唯一使得，即        又因为，故，． 当，，单调递增； 当，，单调递减；     所以最大值为． 令，      则， 所以在单调递增，        故的取值范围为， 故最大值的取值范围 （3）由，得． 设，，则，        ，       设，则， 所以当时，；当时，， 所以， 又，          ①当，即时，， 在上单调递减，则，不满足题意；       ②当，即时， （ⅰ）若，，即时，，使得， 且时，， 在上单调递减，，不满足题意；      （ⅱ）若，，即时，，使得， 且时，，时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，，所以成立，满足题意；   （ⅲ）若，，即时，，在上单调递增， 则，满足题意．       综上可得，即实数的取值范围是 $ 寻“导”之旅7.含参函数的单调性、极值和最值（原卷版） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点目录 题型1 含参函数的单调性讨论——导主一次型 题型2 含参函数的单调性讨论——导主二次型（可因式分解型） 题型3 含参函数的单调性讨论——导主二次型（不可因式分解型） 题型4 含参函数的单调性讨论——导主指数型（一次型） 题型5 含参函数的单调性讨论——导主指数型（二次可因式分解型） 题型6 含参函数的单调性讨论——导主指数型（二次不可因式分解型） 题型7 含参函数的单调性讨论——导主对数型 题型8 含参函数的单调性讨论——导主正余型 题型9 含参函数的极值讨论 题型10 含参函数的最值讨论 解题策略 含参函数的单调性、极值与最值是导数应用的核心考点，也是高中数学的重难点。参数的存在会改变导数的符号分布，进而影响函数的图像走势，解题的关键在于通过分类讨论明确参数对导数符号的影响，再结合函数定义域分析性质。 一、 核心逻辑框架 1. 单调性与导数符号的关系（充要条件） 设函数在区间上可导： · 若在上恒成立，则在上单调递增； · 若在上恒成立，则在上单调递减； · 若在上仅在有限个点处成立，则不影响函数的单调性。 2. 极值与单调性的关系（必要条件+充分条件） · 必要条件：若在处可导且取得极值，则（驻点定义）； · 充分条件：若，且在两侧的符号发生改变，则是的极值点； · 注意：导数不存在的点也可能是极值点（如在处）。 3. 最值与极值、端点值的关系 · 闭区间上的连续函数必有最值，最值只可能在极值点或区间端点处取得； · 开区间上的函数，若只有一个极值点，则该极值点就是函数的最值点（单峰/单谷函数特性）。 二、 含参函数单调性的判定方法（核心步骤） 含参函数单调性的核心是分类讨论参数对导数符号的影响，分类的依据由导数的结构决定，常见类型及步骤如下： 1. 导数为一次函数型（，含参） 步骤： 1. 求函数定义域； 2. 求导并整理为一次函数形式（为参数）； 3. 分类讨论一次项系数的符号： · 若，则，按常数正负判断单调性； · 若，求驻点，判断驻点是否在定义域内，再划分区间判断导数符号。 例：（），求导得，分子为二次函数，需进一步分析。 2. 导数为二次函数型（，含参） 步骤： 1. 确定定义域，分析二次项系数的符号（决定抛物线开口方向）； 2. 计算判别式，讨论的正负： · ：导数符号与二次项系数一致，函数在定义域内单调； · ：求导函数的两根，比较两根大小及与定义域的位置关系，划分区间判断导数符号。 关键：分类讨论的临界值——二次项系数为0的点、判别式为0的点、两根相等的点、根与定义域端点重合的点。 三、 含参函数的极值问题 极值的判定依赖于单调性的转折点，含参情况下需结合单调性的分类结果分析，核心要点如下： 1. 极值点的存在性：由导数的零点个数及零点两侧符号是否改变决定。 · 若导数恒正或恒负，函数无极值点； · 若导数有零点，且零点两侧符号改变，则该点为极值点。 2. 极值的类型：左正右负→极大值点；左负右正→极小值点。 3. 含参极值的讨论模板 以为例： · 求导：； · 判别式： · （）：，无极值点； · （或）：有两个不同驻点，，结合符号判断极值类型。 四、 含参函数的最值问题 最值分为闭区间最值和开区间最值，含参时的核心是讨论极值点是否在区间内。 1. 闭区间上的最值（必考） 步骤： 1. 求的导数，找出定义域内的驻点和不可导点； 2. 讨论这些点是否落在区间内； 3. 计算区间内的极值点和区间端点的函数值； 4. 比较所有函数值的大小，确定最大值和最小值。 典型例题：求在上的最值。 · 导数，驻点； · 分类讨论与区间的位置关系： ① ：函数在单调递增，，； ② ：函数在递减，递增，，； ③ ：函数在单调递减，，。 2. 开区间上的最值 · 若函数在内只有一个极值点，则该极值点就是最值点（单极值点特性）； · 若函数在内无极值点，则函数单调，无最值（或在区间端点的极限处取得最值）。 五、 核心易错点总结 1. 忽略定义域：如对数函数、分式函数的定义域限制，导数的符号判断必须在定义域内进行； 2. 分类讨论不全面：遗漏参数的临界值（如二次项系数为0、判别式为0、根与区间端点重合的情况）； 3. 混淆极值与最值：极值是局部性质，最值是整体性质；闭区间上的最值不一定是极值； 4. 驻点直接当极值点：未验证驻点两侧导数的符号是否改变； 5. 参数范围与函数性质脱节：讨论参数时，未结合函数的定义域和区间范围。 六、 解题策略提炼 1. 优先化简导数：对导数进行因式分解、配方等变形，简化符号判断； 2. 明确分类标准：按“导数类型→系数符号→判别式→根的位置”的顺序分类，避免重复或遗漏； 3. 结合图像辅助：通过含参函数的图像变化趋势（如开口方向、对称轴移动）直观理解性质； 4. 端点效应辅助：闭区间最值问题中，可通过端点函数值的大小关系辅助确定分类临界值。 考点精析 题型1 含参函数的单调性讨论——导主一次型 一、单选题 1.已知函数（），若在上单调递增，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 2.函数（）存在单调递减区间，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 3.已知函数（），若在上单调递增，则的取值范围是（） A. B. C. D. 二、填空题 1.若函数在上单调递增，则实数的取值范围是______。 2.已知函数存在极值点，则实数的取值范围是______。 三、解答题 1.已知函数，，讨论的单调性。 2.设函数（）。 (1) 讨论的单调性； (2) 若在上恒成立，求的取值范围。 3.已知函数（），若在上的最大值为，求实数的值。 题型2 含参函数的单调性讨论——导主二次型（可因式分解型） 一、单选题 1.已知函数（）在上单调递减，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 2.函数（）存在单调递增区间，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 3.已知函数（）在上单调递增，则的取值范围是（） A. B. C. D. 二、多选题 1.已知函数（），其导函数为，则下列说法正确的是（） A. 当时，在上单调递增 B. 当时，在上单调递增 C. 当时，的单调递减区间是 D. 当时，的极大值点是 2.对于函数（），下列结论正确的是（） A. 当时，的单调递减区间是 B. 当时，的单调递增区间是 C. 当时，在处取得极大值 D. 当时，的单调上下区间是 三、填空题 1.若函数（）在上单调递减，则实数的取值范围是______。 2.已知函数（）在处取得极小值，则实数的取值范围是______。 四、解答题 1.已知函数（），讨论的单调性。 2.设函数（）。 (1) 讨论的单调性； (2) 若在上的最大值为，求实数的值。 3.已知函数（），若在区间内恰有两个极值点，求实数的取值范围。 题型3 含参函数的单调性讨论——导主二次型（不可因式分解型） 一、单选题 1.已知函数（）在上单调递增，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 2.函数（）存在单调递减区间，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 3.已知函数（）在区间上单调递减，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 二、填空题 1.若函数在上不存在极值点，则实数的取值范围是______。 2.已知函数（）在区间上单调递减，则实数的取值范围是______。 三、解答题 1.已知函数（），讨论的单调性。 2.设函数（）。 (1) 讨论的单调性； (2) 若在上单调递增，求的取值范围。 3.已知函数（），若在上单调递增，求实数的取值范围。 题型4 含参函数的单调性讨论——导主指数型（一次型） 一、单选题 1.已知函数，，若在区间上单调递增，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 2.函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 3.已知函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 二、多选题 1.已知函数，，则下列说法正确的是（） A. 当时，在上单调递减 B. 当时，的单调递增区间是 C. 当时，在上有且仅有一个极值点 D. 当时，的最小值为 2.若函数在上单调递增，则实数的可能取值是（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 三、填空题 1.函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是。 2.已知函数有两个单调区间，则实数的取值范围是。 四、解答题 1.已知函数，，讨论的单调性。 2.已知函数在处取得极值， (1) 求实数的值； (2) 求在区间上的最大值和最小值。 3.已知函数在上恒成立，求实数的取值范围。 题型5 含参函数的单调性讨论——导主指数型（二次可因式分解型） 一、单选题 1.已知函数（），若在处取得极值，则函数的单调递增区间为（） A. B. C. D. 2.函数在上单调递增，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 3.已知，函数的单调递减区间为（） A. B. C. D. 二、多选题 1.关于函数（）的单调性，下列说法正确的是（） A. 当时，的单调递增区间为 B. 当时，在上单调递增 C. 当时，的单调递减区间为 D. 存在使得有且仅有一个单调区间 2.已知函数（），若存在单调递减区间，则实数的取值可能为（） A. B. C. D. 三、填空题 1.函数在上单调递增，则实数的取值范围是______。 2.已知函数在处取得极值，则的极小值点为______。 四、解答题 1.已知函数，其中。 (1) 当时，求的单调区间； (2) 若在处取得极值，求的值及的极值。 2.已知函数，其中，讨论的单调性。 3.已知函数，（），讨论的单调性。 题型6 含参函数的单调性讨论——导主指数型（二次不可因式分解型） 一、单选题 1.已知函数（），若在上单调递增，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 2.函数（）的单调递减区间为（） A. B. C. D. 3.已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 二、多选题 1.关于函数（）的单调性，下列说法正确的是（） A. 当时，的单调递增区间为 B. 当时，存在单调递减区间 C. 当时，有三个连续的单调区间 D. 当时，在上单调递增 2.已知函数（），若存在两个不同的单调递增区间，则实数的取值可能为（） A. B. C. D. 三、填空题 1.函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围是______。 2.已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是______。 四、解答题 1.已知函数，其中。 (1) 若，求的单调区间； (2) 若在上存在单调递减区间，求的取值范围。 2.已知函数（），讨论的单调性。 3.已知函数在区间上单调递减，求实数的取值范围。 题型7 含参函数的单调性讨论——导主对数型 一、单选题 1.已知函数（）在上单调递增，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 2.函数（）的单调递减区间为，则实数的取值为（） A. B. C. D. 3.已知函数（）在上存在单调递增区间，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 二、多选题 1.关于函数（）的单调性，下列说法正确的是（） A. 当时，在上单调递减 B. 当时，在上单调递减 C. 当时，在上单调递增，在上单调递减 D. 当时，在上单调递增，在上单调递减 2.已知函数（），若是函数的极值点，则下列说法正确的是（） A. B. 在各区间的距离为 C. 在上单调递减 D. 在上单调递增 三、填空题 1.函数（）在上单调递减，则实数的取值范围是______。 2.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是______。 四、解答题 1.已知函数（），讨论的单调性。 2.已知函数（），讨论的单调性。 3.已知函数，，若在上存在单调递减区间，求实数的取值范围。 题型8 含参函数的单调性讨论——导主正余型 一、单选题 1.已知函数（）在上单调递增，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 2.函数（）在上存在单调递减区间，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 3.已知函数（）在上单调递减，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 二、多选题 1.关于函数（）的单调性，下列说法正确的是（） A. 当时，在上单调递增 B. 当时，的单调递增区间为， C. 当时，在上单调递减 D. 当时，的单调区间长度为 2.已知函数（）在上单调递增，则下列说法正确的是（） A. 的取值范围是 B. 当满足条件的取最大值时，在上的最大值为 C. 函数在上也单调递增 D. 当时，的导数在上恒大于等于0 三、填空题 1.函数（）在上单调递增，则实数的取值范围是______。 3.已知函数（）在上存在单调递增区间，则实数的取值范围是______。 四、解答题 1.已知函数（），讨论的单调性。 2.已知函数（），讨论的单调性。 3.已知函数（），若在上单调递减，求实数的取值范围。 题型9 含参函数的极值讨论 一、单选题 1．设函数在区间恰有三个极值点，两个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．若函数存在极大值点和极小值点，，其中，都是实数，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 3．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ）    A． B．函数的图象关于点对称 C．函数在区间上单调递增 D．若函数在区间上有且仅有两个零点和两个极值点，则 4．已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．当时，有两个极值点 B．当时，的图象关于中心对称 C．当时，2是极大值点，则 D．当在R上单调时， 5．对于等式，如果将视为自变量x，b视为常数，记为，那么为幂函数；如果将视为常数，视为自变量x，c记为，那么为指数函数；如果将a、b视为自变量x，c记为，那么称为幂指函数.关于函数，下列结论中正确的有（   ）. A．函数在上单调递增 B．函数有最小值 C．当时，方程无实根 D．当时，函数有两个极值点 三、填空题 6．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是 .7．已知函数 有两个极值点 ，且 ，则 的取值范围是 . 四、解答题 8．已知在处取得极小值． (1)求在处的切线方程； (2)若，讨论零点的个数． 9．已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)若没有极值点，求a的取值范围． 10．已知函数，其导函数为． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数有三个不同的极值点，，，求实数a的取值范围． 11．已知函数（）. (1)当时，求的最小值； (2)若有两个极值点，求a的取值范围； (3)若对任意非零实数，都有，求a的值. 12．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在上单调递增，求的取值范围； (3)若存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求的取值范围. 题型10 含参函数的最值讨论 一、单选题 1．若当时，，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数的一个极值点为3，则（   ） A． B．当时， C．当时， D．是函数的极小值点 3．已知函数若对任意的实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，若不等式 在 上恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．若方程在上有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．对于函数，下列说法正确的是（    ） A．有最小值但没有最大值 B．对于任意的，恒有 C．仅有一个零点 D．有两个极值点 7．已知函数，则（    ） A．为偶函数 B．若，，则 C．存在实数，使得为减函数 D．当时，有两个零点 8．设，，且，则下列关系式可能成立的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 9．若关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为 ． 四、解答题 10．已知函数在处有极值. (1)求a的值； (2)求在上的最值. 11．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，记的极小值为，证明：. 12．函数. (1)若，求的极小值； (2)当时，证明：. 13．已知函数． (1)若，求单调区间与最值； (2)讨论导函数的零点个数情况； 14．已知函数，． (1)若为增函数，求的取值范围； (2)若，求最大值的取值范围； (3)若，求实数的取值范围． $