专题3.3 导数之函数的极值和最值讲义-2026届高考数学一轮复习

专题3.3 导数之函数的极值和最值 3.3.1 函数的极值 知识点梳理 1.函数极值的概念 （1）极小值与极小值点：若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，就把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． （2）极大值点与极大值：若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，就把b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． （3）极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值． 2.求函数y＝f(x)的极值的一般步骤： （1）确定函数的定义域； （2）求导数f′(x)； （3）解出方程f′(x)＝0的根（可能不止一个）； （4）确定极值点，用函数的导数值为0的点，顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格，检验f′(x)在方程根左右两侧的值的符号. ①如果在x0的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值； ②如果在x0的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值． ③如果在x0的两侧f′(x)符号相同，则x0不是极值点. 典型例题 例1.已知函数f（x）＝xex（e为自然对数的底），求函数f（x）的极值； 例2.若函数f（x）＝alnx（a≠0）既有极大值也有极小值，则（　　） A．bc＞0 B．ab＞0 C．b2+8ac＞0 D．ac＜0 例3.设函数 满足, , 则时,则函数 ( ) A.有极大值,无极小值 B.有极小值,无极大值 C.既有极大值又有极小值 D.既无极大值也无极小值 例4.设函数的定义域为，是的极大值点，以下结论一定正确的是( ) A. B.是的极小值点 C.是的极小值点 D. 是的极小值点 随堂演练 1.设函数，则( ) A. 为的极大值点 B. 为的极小值点 C. 为的极大值点 D. 为的极小值点 2.下列函数中，既是定义域上的奇函数又存在极小值的是( ) A. B. C. D. 3.若函数()既有极大值也有极小值,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 4.设,若函数有大于零的极值点,则( ) A. B. C. D. 5.设函数,则( ) A. 是的极小值点 B.当时, C.当时, D.当时, 6.已知e为自然对数的底数,设函数,则（  ） A．当k=1时,f(x)在x=1处取到极小值 B．当k=1时,f(x)在x=1处取到极大值 C．当k=2时,f(x)在x=1处取到极小值 D．当k=2时,f(x)在x=1处取到极大值 7.若是函数的极值点，则的极小值为( ) A. B. C. D. 8.已知函数在处取得极小值, 则的值为 . 9.若，且函数在处有极值，则的最大值为 . 10.已知函数.若有极小值，且极小值小于0,求的取值范围. 11.已知函数（a＜0），求函数f（x）的极值. 3.3.2 函数的最大值与最小值 知识点梳理 函数的最大值与最小值 （1）一般地，如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必 有最大值与最小值，并且函数的最值必在极值点或区间端点处取得. 当f(x)的图象连续不断且在[a,b]上单调时，其最大值和最小值分别在两个端点处取得. （2）函数的极值与最值的区别 ①极值是对某一点附近(即局部) 而言的，最值是对函数的整个定义区间而言的. ②在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个(或者没有)，但最大(小)值最多有一个. ③函数f(x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点. （3）求函数的最大值与最小值的步骤 ①求函数f(x)在区间(a，b)上的极值； ②将函数f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 典型例题 例1.已知函数，当a＝1时，则f（x）的最大值为 . 例2.函数在内有最小值,则实数的取值范围为 . 例3.设函数，①若，则的最大值为 ；②若无最大值，则实数的取值范围是 . 随堂演练 1.函数在闭区间上的最大值、最小值分别是( ) A. B. C. D. 2.函数在区间上的最大值是( ) A. B. C. D. 3.函数在区间的最小值、最大值分别为 ( ) A. B. C. D. 4.已知函数的最小值为, 则的取值范围为 . 5.已知函数的最小值为，则实数的取值范围为 . 6.已知函数在区间上有最小值，则整数的一个取值可以是 . 7.已知函数.当时, 则的最大值为 . 8.函数的最大值为 . 9.已知函数的最小值为，则的值为 . 10.已知函数. 若在处取得极值, 求的单调区间, 以及其最大值与最小值. 11.已知函数和有相同的最小值.求. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.3 导数之函数的极值和最值 3.3.1 函数的极值 知识点梳理 1.函数极值的概念 （1）极小值与极小值点：若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，就把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． （2）极大值点与极大值：若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，就把b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． （3）极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值． 2.求函数y＝f(x)的极值的一般步骤： （1）确定函数的定义域； （2）求导数f′(x)； （3）解出方程f′(x)＝0的根（可能不止一个）； （4）确定极值点，用函数的导数值为0的点，顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格，检验f′(x)在方程根左右两侧的值的符号. ①如果在x0的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值； ②如果在x0的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值． ③如果在x0的两侧f′(x)符号相同，则x0不是极值点. 典型例题 例1.已知函数f（x）＝xex（e为自然对数的底），求函数f（x）的极值； 解：函数f（x）的定义域为R，f′（x）＝ex+xex＝（x+1）ex． 令f′（x）＞0，得x＞﹣1；令f′（x）＜0，得x＜﹣1． ∴函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，在（﹣∞，﹣1）上单调递减， ∴当x＝﹣1时，函数f（x）有极小值，极小值，没有极大值． 例2.若函数f（x）＝alnx（a≠0）既有极大值也有极小值，则（　　） A．bc＞0 B．ab＞0 C．b2+8ac＞0 D．ac＜0 解：函数定义域为（0，+∞）， 且f′（x）， 由题意，方程f′（x）＝0即ax2﹣bx﹣2c＝0有两个正根，设为x1，x2， 则有x1+x20，x1x20，Δ＝b2+8ac＞0， ∴ab＞0，ac＜0， ∴ab•ac＝a2bc＜0，即bc＜0． 故选：BCD． 例3.设函数 满足, , 则时,则函数 ( ) A.有极大值,无极小值 B.有极小值,无极大值 C.既有极大值又有极小值 D.既无极大值也无极小值 解：因为函数满足, 所以. 令,.则, . 由,得. 令,,则. 因此在上单调递减, 在上单调递增. 所以的最小值为.因此. 又,所以.因此在上单调递增.所以既无极大值也无极小值. 故选D. 例4.设函数的定义域为，是的极大值点，以下结论一定正确的是( ) A. B.是的极小值点 C.是的极小值点 D. 是的极小值点 解：由极值的定义易知 A 错误; 因为函数与的图象关于轴对称,所以是的极大值点, B错误; 因为函数与的图象关于轴对称,所以是的极小值点, C错误; 因为函数与的图象关于原点对称,所以是的极小值点, D 正确. 故选：D. 随堂演练 1.设函数，则( ) A. 为的极大值点 B. 为的极小值点 C. 为的极大值点 D. 为的极小值点 解：由题意得，则当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以是函数的极小值点。故选D。 2.下列函数中，既是定义域上的奇函数又存在极小值的是( ) A. B. C. D. 解：的定义域为，, 故为偶函数, A 不符题意; 的定义域为,为奇函数, , 得, 当时, 时,故是极小值, B正确; 对于, 为偶函数, C不符题意;无极值, D不符题意. 故选B. 3.若函数()既有极大值也有极小值,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 解：因为 , 定义域为 , 所以 , 因为函数 既有极大值也有极小值, 所以方程 有两个不相等的正根, 设两根为 , 则有.解得 , 所以 的取值范围为 故选：A. 4.设,若函数有大于零的极值点,则( ) A. B. C. D. 解: 因为 , 所以 . 令 , 即 , 则 , 所以 . 又因为 , 所以 , 即 .故选：A. 5.设函数,则( ) A. 是的极小值点 B.当时, C.当时, D.当时, 解：因为，所以 。令，解得或。 当或时，； 当时，。所以函数的单调递增区间为 ，单调递减区间为。故是函数的极大值点，是函数 的极小值点，所以A正确。 当时，，即 。又函数在上单调递增，所以 ，所以B错误。 当时，。函数在上单调递减， 所以，所以C正确。 当时， . 所以，所以D正确。 6.已知e为自然对数的底数,设函数,则（  ） A．当k=1时,f(x)在x=1处取到极小值 B．当k=1时,f(x)在x=1处取到极大值 C．当k=2时,f(x)在x=1处取到极小值 D．当k=2时,f(x)在x=1处取到极大值 解：当时, , 是函数的零点。 易知当时, ; 当时, 。故不会是极值点。 当时, , 所以。 当 时, , 且当 时, , 当 时, , 故函数 在 上单调递减, 在 上单调递增, 从而 在 处取到极小值。 7.若是函数的极值点，则的极小值为( ) A. B. C. D. 解：由题意可得. 是函数的极值点, ， ， ， 时, 单调递增; 时, 单调递减. . 故选：A. 8.已知函数在处取得极小值, 则的值为 . 解:, 得 , 依题意得：.解得:. 当 时, . 当 时, 在 上单调递减, 当 时, 在 上单调递增, 即 时, 函数 取得极小值 , 符合题意, 此时 , 当 时, . 所以函数 在 上单调递增, 无极值, 不符合题意. 综上, . 9.若，且函数在处有极值，则的最大值为 . 解：由题意, 求导函数 ， ∵ 在 处有极值，∴，∴， , 当且仅当 时取等号. 所以 的最大值等于 9. 故答案为: 9 10.已知函数.若有极小值，且极小值小于0,求的取值范围. 解：∵函数f（x）＝ex﹣ax﹣a3，∴f′（x）＝ex﹣a， 当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）在R上单调递增，此时函数f（x）无极值， ∴a＞0， 令f′（x）＝ex﹣a＝0，得x＝lna， 当x＜lna时，f′（x）＜0，当x＞lna时，f′（x）＞0， ∴函数f（x）的增区间为（lna，+∞），减区间为（﹣∞，lna）， ∴f（x）极小值＝f（lna）＝a﹣alna﹣a3＜0， ∴1﹣lna﹣a2＜0， 令g（a）＝﹣a2﹣lna+1，0， g（a）在（0，+∞）上单调递减， ∵g（1）＝0，∴g（a）＜0等价于a＞1， ∴a的取值范围是（1，+∞）． 11.已知函数（a＜0），求函数f（x）的极值. 解：函数（a＜0），定义域为（﹣∞，0）， 则， 因为x∈（﹣∞，﹣1）时，f′（x）＞0；x∈（﹣1，0）时，f′（x）＜0， 所以f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1）；单调递减区间为（﹣1，0）， 所以x＝﹣1是f（x）的极大值点，f（x）的极大值是，无极小值； 3.3.2 函数的最大值与最小值 知识点梳理 函数的最大值与最小值 （1）一般地，如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必 有最大值与最小值，并且函数的最值必在极值点或区间端点处取得. 当f(x)的图象连续不断且在[a,b]上单调时，其最大值和最小值分别在两个端点处取得. （2）函数的极值与最值的区别 ①极值是对某一点附近(即局部) 而言的，最值是对函数的整个定义区间而言的. ②在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个(或者没有)，但最大(小)值最多有一个. ③函数f(x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点. （3）求函数的最大值与最小值的步骤 ①求函数f(x)在区间(a，b)上的极值； ②将函数f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 典型例题 例1.已知函数，当a＝1时，则f（x）的最大值为 . 解：f（x）的定义域是（0，+∞），，所以， 当a＝1时，，得x＝±1， 因为x＞0，当x∈（0，1）时，函数f（x）单调递增， 当x∈（1，+∞）时，f（x）函数单调递减， 所以f（x）的最大值是； 例2.函数在内有最小值,则实数的取值范围为 . 解：， 设, 因为, 因此有两个不同的实数根,又, 因此的两根一正一负, 由题意可知正根在 内,所以. 解得：. 例3.设函数，①若，则的最大值为 ；②若无最大值，则实数的取值范围是 . 解：①若，则，∴ 当时，，此时函数为增函数， 当时，，此时函数为减函数， 故当时，的最大值为; ②，令，则, 若无最大值，则或. 解得: . 随堂演练 1.函数在闭区间上的最大值、最小值分别是( ) A. B. C. D. 解： 故函数 在 上是增函数, 在 上是减函数又 . 故最大值、最小值分别为 .故选：B. 2.函数在区间上的最大值是( ) A. B. C. D. 解：因为 ， 所以 ， 令 ，解得 或 ， 故函数 在区间 上的最大值为 。 故选: B。 3.函数在区间的最小值、最大值分别为 ( ) A. B. C. D. 解：, 则. 令 , 解得 (舍去) 或 或 . 因为, , 又 , , 所以, . 4.已知函数的最小值为, 则的取值范围为 . 解：易得 设, 则 转化为, 易得 当 时, , 函数 单调递减, 当 时, , 函数 单调递增, 故 , 因此 有解, 即 且 所以 , 所以 设 , 则 , 当 时, 函数 单调递增, 当 时, , 函数 单调递减, 所以 易知 , 且当 时, 恒成立, 画出函数 的图像 (如图所示), 根据图像知 , 解得 或 , 故 的取值范围为 5.已知函数的最小值为，则实数的取值范围为 . 解：因为，所以。 ① 若，则当 时，，故在 上单调递减； 当时，，故在上单调递增。 当时， 有最小值。 ② 若，则当时，不符合题意。 故实数的取值范围为。 6.已知函数在区间上有最小值，则整数的一个取值可以是 . 解：由 可知, , 又 在 上有最小值, 所以 在 上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正, 令 , 则 在 上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正,所以， 解得 ， 又因为 , 所以 . 故答案为: (答案不唯一, 中的任意整数均可). 7.已知函数.当时, 则的最大值为 . 解：当 时，. 当 时，；当 时，. 故 在 上单调递增,在 上单调递减. 所以当 时， 取得最大值.最大值为 . 8.函数的最大值为 . 解：令, ,则 ,故 . 令,则. 当时,,当时, ,则在上单调递增,在 上单调递减, 故, 即函数的最大值为. 9.已知函数的最小值为，则的值为 . 解：由，且， 令，则，即在上递增， 所以在上递增，又有最小值，故先减后增， 所 使：， 且，则 故，即，所以. 10.已知函数. 若在处取得极值, 求的单调区间, 以及其最大值与最小值. 解：由 得 . 由题意知 . 所以 , 故 . 当 时, ,. 与 的情况如下: 因此 的单调递增区间是 和 ,单调递减区间是 . 所以 在区间 上的最大值是 . 又因为当 时, ,所以 是 的最大值. 同理可知, 是 的最小值. 11.已知函数和有相同的最小值.求. 解：由题意：, 当时,, 所以在上单调递减, 故没有最小值, 不合题意 当时,, , 所以在上单调递减, 在上单调递增, 故, , , 所以在上单调递减,在上单调递增, 故, 由题意：, 所以 , 则 ,设, 则, 所以 在上单调递减, 又,所以 有唯一的零点1, 从而当且仅当时,方程成立,故. 1 学科网（北京）股份有限公司 $