第09讲 利用导数研究函数的单调性、极值、最值（复习讲义）（上海专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第09讲 利用导数研究函数的单调性、极值、最值 目录 01 考情解码・命题预警 1 02体系构建·思维可视 2 03核心突破·靶向攻坚 2 知能解码 2 知识点1 利用导数研究函数的单调性 2 知识点2 利用导数研究函数的极值 3 知识点3 利用导数研究函数的最值 5 题型破译 7 题型1 用导数判断或证明已知函数的单调性 7 题型2 利用导数求函数的单调区间 10 题型3 由函数的单调区间求参数 14 题型4 求已知函数的极值、极值点 18 题型5 根据极值、极值点求参数 24 题型6 由导数求函数的最值 30 题型7 已知函数最值求参数 35 题型8 函数单调性、极值与最值的综合应用 41 04真题溯源·考向感知 52 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）利用导数研究函数的单调性 （2）利用导数研究函数的极值 （3）利用导数研究函数的最值 单选题 填空题 解答题 第19题根据极值求参数 第16题函数单调性、极值与最值的综合应用 第21题用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值 第11题由导数求函数的最值 考情分析： 导数及其应用是上海高考数学的核心模块，占分约 50 分（占比 33.3%），是压轴题的高频考点。题型涵盖选择题、填空题和解答题，其中解答题常综合考查单调性、极值、最值及实际应用。 复习目标： 1.理解导数与单调性、极值、最值的关系，掌握极值存在的第一、第二充分条件。 2.针对含参函数，通过导数符号变化分析单调性，确定极值点和单调区间。 知识点1 利用导数研究函数的单调性 1.函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 f′(x)>0 f(x)在区间(a，b)上单调递增 f′(x)<0 f(x)在区间(a，b)上单调递减 f′(x)＝0 f(x)在区间(a，b)上是常数函数 2.利用导数判断函数单调性的步骤 第1步，确定函数f(x)的定义域； 第2步，求出导数f′(x)的零点； 第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性． 自主检测函数的图象如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、函数与导函数图象之间的关系 【分析】先判断的符号，由此求得不等式的解集. 【详解】由图象可知，在区间上， 在区间上， 所以不等式的解集为. 故选：C 知识点2 利用导数研究函数的极值 1.函数的极小值 函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． 2.函数的极大值 函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． 3.极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值． 自主检测（24-25高三上·上海宝山·期中）已知，函数. (1)求函数的极值； (2)讨论的单调性（写出单调区间）； (3)若恒成立，求的最大值，并证明：对于任意，都有 【答案】(1)极小值，无极大值 (2)答案见解析 (3)，证明见解析 【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数证明不等式、求已知函数的极值 【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出函数的单调区间，从而求出函数的极值； （2）求导得，再对分类讨论即可； （3）同构得，则有，即，再构造函数，得到其最值即可得到，解出的取值范围，再构造函数利用导数证明，取，得到，再累积结合对数的运算性质及等比数列求和公式即可证明. 【详解】（1）因为，则，定义域为， 则，所以当时，当或时， 所以在上单调递增，在，上单调递减， 所以在处取得极小值，无极大值； （2）函数的定义域为，. 当时，，则在上单调递增； 当时，令，解得，令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （3）由，可得， 即. 令，因为在上均单调递增，则单调递增. 由，可得，则，即. 令，则. 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以， 则，又，解得，故的取值范围为，则的最大值. 令，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以， 当且时，，则. 取，所以， 所以，，， 所以. 所以， 所以， 即，得证. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是利用同构的思想得到，再构造函数，根据其单调性得，即，再求出函数的最大值即可得到关于的不等式，解出即可. 知识点3 利用导数研究函数的最值 1.函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件： 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． 2.求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤： ①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值； ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 自主检测（24-25高三上·上海·期中）已知函数. (1)当 时， 求的严格增区间; (2)若恒成立，求a的值； (3)对于任意正整数n，是否存在整数m，使得不等式成立?若存在，请求出m的最小值； 若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)1 (3)存在，3. 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（含参）、数列不等式恒成立问题 【分析】（1）把代入，利用导数求出的严格增区间. （2）利用导数求出函数的最小值，建立不等关系，构造函数求出最值即可. （3）由（2）可得不等式，再赋值并利用不等式性质，结合放缩法求出的范围即可得的最小值. 【详解】（1）当时，函数的定义域为，求导得， 由，得， 所以的严格增区间为. （2）函数的定义域为，求导得， 当时，恒成立，在上单调递增， 当时，，不符合题意； 当时，由，得，，得， 则函数在上单调递减，在上单调递增，， 由恒成立，得恒成立，令， 求导得，当时，，当时，， 于是函数在上单调递增，在上单调递减， 因此，所以. （3）由（2）知当时，，即， 则恒成立，当且仅当时取等号， 当，时，， 因此， 则，即， 当时，， 即当时，， 所以存在正整数，对于任意正整数，恒成立， 则的最小值为3. 【点睛】关键点点睛：用对数切线不等式将放缩成等比数列的和是这题的关键. 题型1 用导数判断或证明已知函数的单调性 例1-1已知，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】判断出的奇偶性和单调性，由此求得正确答案. 【详解】令，， ， 则为偶函数， ， 在区间. 所以在区间上为增函数， 则在区间上为减函数. 又，所以. 故选：D 例1-2（24-25高三下·上海·阶段练习）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)当时，函数存在零点，且，求符合条件的所有整数的值； (3)当时，记函数的零点为，若对任意且，都有成立，求实数的最大值． 【答案】(1)减区间为，增区间为 (2)1 (3) 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】（1）该问已知a的取值，为不含参函数求单调区间，求导可得解； （2）已知a的范围，可表达函数的单调区间和极值，进而判断零点个数及区间，从而得解； （3）由（2），可以分析得出所属区间和范围条件，结合恒成立转化为最值求解. 【详解】（1）当时，函数的定义域为， ，令，则或， 当或时，，，， 所以函数在上严格减，在上严格增， 故函数的减区间为，增区间为； （2）证明：函数的定义域为， ，令，则或， 当时，因为， 所以当或时，，，， 所以函数在上递减，在上递增， 所以的极小值为，极大值为， 因为，， 且在上是减函数，所以至多有一个零点． 又因为，所以， 所以，函数只有一个零点，且；； （3）因为， 所以任意且， 由（2）可知且， 因为函数在上是增函数，在上是减函数， 所以，，所以， 当时，， ， 的最小值为， 所以使得恒成立的的最大值为． 【变式训练1-1】不等式的解集为 ． 【答案】 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】构造函数，求导，然后判断函数单调性，利用特殊值即可得出结果. 【详解】令，， 则， 所以在上单调递增， 当时，， 所以当，，即. 所以的解集为. 故答案为： 【变式训练1-2】（24-25高三下·上海·阶段练习）定义在区间上的函数，若存在正数，使得不等式对任意成立，则称函数在区间满足条件；已知，若函数在区间上满足条件，则的最小值是 . 【答案】 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】根据函数的单调性以及条件进行分析，从而求得的取值范围，进而求得的最小值. 【详解】对于函数，， 当时，，在区间上单调递增. 不妨设,则， 在区间上满足条件， 所以不等式对任意成立， 所以不等式对任意成立， 即对任意成立， 即在上单调递减， 则在上恒成立， 所以在上恒成立， 所以，所以的最小值为. 故答案为： 【点睛】思路点睛： 对于判断函数是否满足条件的问题，根据新定义，先对函数求导，分析函数的单调性，然后根据条件中不等式的形式，结合函数单调性进行转化，构造新的函数，再根据新函数的单调性与导数的关系，建立关于的不等式，通过求函数在给定区间上的最值来确定的取值范围.当函数单调递减时，其导数为非正数（在区间内某点处导数可以为0），利用这一性质将函数单调性问题转化为不等式恒成立问题，进而求解参数范围. 题型2 利用导数求函数的单调区间 例2-1已知，函数的定义域为．若为奇函数，则的严格增区间为 ． 【答案】和 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、用和、差角的余弦公式化简、求值、由奇偶性求参数 【分析】由奇函数的性质求出，则，对求导，令，解方程即可得出答案. 【详解】因为为奇函数， 所以， 所以， 即，所以， 因为，所以，则， ， 令，则或， 解得：或. 故答案为：和 例2-2（24-25高三上·上海奉贤·期中）已知函数的表达式为. (1)当时，求的单调增区间； (2)若当时，恒成立，求a的取值范围； (3)证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题、由对数函数的单调性解不等式 【分析】（1）将代入函数解析式，对函数二次求导，判断出函数的单调性即可； （2）分、、三种情况，对函数二次求导，借助函数单调性判断不等式是否成立即可求解； （3）借助（2）中结论，化为，取，得到，两边求和化简即可求解. 【详解】（1）时，， 则， 令，则， 则在上严格减，上严格增， 则，即在上严格增， 因此函数的增区间为； （2）， 记，则， 令，解得； 若，则，即时， 在上严格增，，满足要求； 若，则，时， 则在上严格减，故当时，，不满足要求； 若，则，在上严格减， 则，不满足要求； 综上，a的取值范围是. （3）由（2）可知时， 则，取， 则，即； ， 即. 【点睛】关键点点睛： 本体关键在于能够将（2）中结论整理变形并应用到不等式的证明中. 【变式训练2-1】已知函数，，若对于任意，的图象恒在图象上方，则实数m可取的最大整数值为 . 【答案】4 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】令，利用导数可求其最小值，根据最小值大于等于0可得，设，利用导数讨论其单调性后可求实数m可取的最大整数值. 【详解】由题设可得对任意的恒成立， 设，则， 若，则恒成立，故在上为增函数， 故， 由在上恒成立，故即. 若，则当时，， 当时，， 故在上为减函数，在上为增函数， 故， 设，则， 当时，，当时，， 故在上为增函数，在上为减函数， 而，， 结合的单调性可知实数m可取的最大整数值为4. 故答案为：4. 【点睛】思路点睛：不等式的恒成立问题可通过构建新函数来处理，后者可利用导数求出其最小值，根据最小值的符号来确定参数的取值范围. 【变式训练2-2】已知. (1)求的导函数以及驻点. (2)求平行于的切线方程； (3)求的单调性. 【答案】(1)，驻点为. (2) (3)函数在上单调递减，在上单调递增. 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、基本初等函数的导数公式、导数的运算法则、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）由导数公式及求导法则，驻点定义可得解； （2）由导数的几何意义可得解； （3）根据导数与单调性关系可求解. 【详解】（1），， 令即，解得， 所以函数的驻点为. （2）由，切线的斜率，设切点坐标为， 则，解得， 则，切点坐标为， 所以切线方程为. （3）由，， 令，解得，令，解得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 题型3 由函数的单调区间求参数 例3-1函数在区间上是单调函数，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【知识点】由函数的单调区间求参数、根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】求导，即或恒成立，分类讨论即可. 【详解】因为函数在区间上是单调函数， 则在上有或恒成立， 当时，即，则， 当时，即，则， 综上：实数a的取值范围是. 故答案为： 例3-2已知函数，若对任意两个不相等的实数，都有，则实数的最大值为（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】D 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、由函数的单调区间求参数 【分析】令，由题意可得函数在R上单调递增，由在R上恒成立，可得在R上恒成立，令，利用导数求出函数的最小值，即可得答案. 【详解】解：因为对任意两个不相等的实数，都有， 即， 令，不妨设， 则有， 所以， 所以在R上单调递增， 所以在R上恒成立， 即在R上恒成立， 令， 则，令，得， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以， 所以. 即的最大值为. 故选：D. 【点睛】方法点睛：在解答已知函数的单调性求参数的范围这类题目时，常转化为其导函数的恒正(负)，再参变分离求解即可. 例3-3（24-25高三上·上海·期中）设，，（常数）. (1)为上的严格增函数，求实数的取值范围； (2)设，若对于任意，，都有成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】基本不等式求和的最小值、利用导数研究不等式恒成立问题、由函数的单调区间求参数 【分析】（1）根据的单调性得到在上恒成立，列不等式求解即可. （2）根据（1）的结论将转化为，构造函数，根据的单调性得到在上恒成立，再结合基本不等式求解即可. 【详解】（1）因为为上的严格增函数， 故在上恒成立， 所以在上恒成立， 所以等号不同时取到，解得， 故实数的取值范围是； （2）不妨设，由（1）可知函数在上严格递增，故， 此时，不等式等价于， 令，， 所以函数在上是严格增函数， 故在上恒成立，只需， 求导可得 因为，， 所以， 解得，当且仅当，即时等号成立， 所以实数的取值范围为. 【变式训练3-1】若函数在上严格减，则a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由函数的单调区间求参数 【分析】求导得到，则在恒成立，得到答案. 【详解】由题意知，则在恒成立，即，故. 故答案为： 【变式训练3-2】（24-25高三上·上海·阶段练习）若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】在定义域上存在单调递减区间，即在上有解，进而求的范围. 【详解】法一：， 由题意可知在上有解，即有正实数解， 当时，显然满足要求， 当时，只需满足，即， 综上：的取值范围为. 故答案为：. 法二：， 由题意可知在上有解， 即在上有解，即在上有解， 所以，则的取值范围为. 故答案为：. 【变式训练3-3】定义域为D的函数，如果对于区间I内的任意三个数，当时，都有，则称此函数为区间上的“T函数”． （1）请你写出一个在R上的“T函数”（不需要证明）． （2）判断幂函数在上是否为“T函数”，并证明你的结论． （3）若函数在区间上是“T函数”，求实数a的取值范围． 【答案】（1）；（2）证明见详解；（3） 【知识点】由函数的单调区间求参数、函数新定义 【解析】（1）结合所学函数找出符合T函数的定义的函数即可. （2）根据T函数定义判断条件是否满足即可得出结论. （3）根据T函数定义，建立条件关系，转化为参数恒成立即可得出结论. 【详解】（1） （2）幂函数在上是“T函数”，证明如下： 证明：设，，， 若时，都有， 则，即斜率存在且不断增大，而在上单调递增的函数， 且随着的增大，增加的越来越快，即是下凸函数，斜率增加的越来越快， 故幂函数在上是“T函数”. （3）因为函数在区间上是“T函数”， 所以的单调递增区间， 所以的解集为， 当时，得恒成立，故， 当时，得恒成立，故， 所以实数a的取值范围. 【点睛】关键点点睛：本题考查了函数的性质，利用T函数的定义是解决本题的关键，考查了学生的计算能力以及分类讨论的数学思想. 题型4 求已知函数的极值、极值点 例4-1函数的极值点为 . 【答案】0 【知识点】求已知函数的极值点 【分析】利用导数，结合极值点的定义得解. 【详解】， ，令解得，令解得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的极值点为0. 故答案为：0. 例4-2（24-25高三上·上海·阶段练习）已知函数. (1)若，求函数的极值； (2)①当时，恒成立，求正整数的最大值； ②证明： 【答案】(1)极小值为，没有极大值； (2)①正整数的最大值为，②证明见解析. 【知识点】求已知函数的极值、利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题、裂项相消法求和 【分析】（1）求函数的导函数导函数，令，可得，分析函数的单调性，结合极值定义可得结论； （2）①条件可转化不等式，讨论，利用导数求函数的最值，列不等式求的范围可得结论； ②问题可转化为证明不等式， 根据①证明结论，由此可证结论. 【详解】（1）函数的定义域为， 导函数，， 令，又， 所以， 所以当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 所以当时，函数取极小值，极小值为， 所以函数的极小值为，没有极大值； （2）①因为当时，恒成立， 所以当时，， 由（1）若时，则在上单调递减，在上单调递增， （a）当时，在上单调递增，满足题意； （b）当时，在上单调递减，在上单调递增， 令，则， 所以在上单调递减， 且，，， 所以存在使得， 则的解集为， 综上满足条件的正数的取值范围，其中， 所以正整数的最大值； （ii）证明：要证 两边取对数，即证 也即证 由①知， 令，则 所以 所以 所以． 【点睛】关键点点睛：本题最后一问解决的关键在于先利用分析法将问题转化为证明结论，再利用前面的结论先证明不等式，再结合数列求和公式即可证明结论. 例4-3（24-25高三上·上海黄浦·期末）函数的定义域为，在上仅有一个极值点，方程在上仅有两解，分别为、，且．若，则称函数在上的极值点左偏移；若，则称函数在上的极值点右偏移． (1)设，，判断函数在上的极值点是否左偏移或右偏移？ (2)设且，，，求证：函数在上的极值点右偏移； (3)设，，，求证：当时，函数在上的极值点左偏移． 【答案】(1)函数在上的极值点不偏移 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【知识点】导数中的极值偏移问题、求已知函数的极值点、函数新定义 【分析】（1）先求的根及的极值点，再根据题设定义，即可求解； （2）先求的根，对求导，得到，通过计算得到，再利用二次函数的性质，即可求解； （3）设的两个零点为，根据条件得到，再构造函数，利用函数的单调性，得到，即可求解. 【详解】（1）由，得到，所以， 又，由，得到，又当时，，当时，， 所以只有一个极值点，且极值点为，此时， 所以函数在上的极值点不偏移. （2）因为， 且，， 由，得到或，则， 又，，则有两根， 不妨设为，且，又，所以， 又时，，时，，所以函数在上只有一个极值点，且， 又， 所以，故函数在上的极值点右偏移. （3）由题知，，令，得到， 当时，，当时，， 所以是的极值点， 且在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又，时，，时，，， 则有两个零点，不妨设为，且，所以，， 令， 则在恒成立， 所以在区间上单调递增， 所以，即， 故，又， 故，得到，即， 所以当时，函数在上的极值点左偏移． 【点睛】方法点睛：本题第三问考查极值点偏移问题，解决极值点偏移的主要方法有： 1.构造对称函数； 2.比值换元； 3.对数平均不等式. 【变式训练4-1】在等比数列中，，分别是函数的两个驻点，则 . 【答案】 【知识点】等比中项的应用、求已知函数的极值点 【分析】根据函数驻点的性质与等比数列的性质求解即可. 【详解】函数，则 ，分别是函数的两个驻点，所以，是方程的两根， 所以，所以 在等比数列中，且等比数列奇数项同号，则，所以. 故答案为：. 【变式训练4-2】（24-25高三上·上海·期中）已知函数. (1)若，求的值； (2)设，求函数的极值； (3)若在区间上无零点，求的取值范围. 【答案】(1) (2)的极小值为，没有极大值 (3)或 【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点、已知某点处的导数值求参数或自变量 【分析】（1）先求得的导数，再代入即可得解； （2）利用导数与函数极值的关系直接求解即可得解； （3）根据题意，将问题转化为在上无解，构造函数，利用导数分析得其图象，再数形结合即可得解. 【详解】（1）因为，所以， 又，所以，解得. （2）由（1）知，又， 令，得；令，得； 所以在上单调递增，在上单调递减； 所以有极小值，为，没有极大值. （3）令，得， 因为在区间上无零点，所以在上无解， 令，则与的图象没有交点， 而，， 令，得；令，得； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，， 又当时，，则恒成立， 所以，则在上的大致图象如下， 数形结合可得或， 所以或. 【点睛】方法点睛：根据函数的零点个数求解参数范围，一般方法： （1）转化为函数最值问题，利用导数解决； （2）转化为函数图象的交点问题，数形结合解决问题； （3）参变分离法，结合函数最值或范围解决. 题型5 根据极值、极值点求参数 例5-1（24-25高三上·上海·期中）设.若是函数的极大值点，则 . 【答案】 【知识点】根据极值点求参数 【分析】先对函数求导，再结合函数极大值点导数值为0建立关于a的关系式，最后结合极大值的定义，讨论最终a的取值. 【详解】由题意得，， 因为是函数的极大值点， 所以有， 解得或. 又当时，， 或， ， 故函数在和递增，在递减， 此时是函数的极小值点，不符题意； 而当时，， 或， ， 故函数在和递增，在递减， 此时是函数的极大值点. 故答案为：. 例5-2（24-25高三上·上海·期中）已知函数. (1)若曲线在点处的切线与轴平行，求实数的值； (2)若函数在内存在极值，求实数的取值范围； (3)若对任意的实数，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】利用导数研究函数的零点、利用导数研究不等式恒成立问题、根据极值求参数、已知切线（斜率）求参数 【分析】（1）对函数求导，根据曲线在点处的切线与轴平行，可得，即可求； （2）令，由已知函数在内存在极值，则在内有变号零点，通过求导判断函数的单调性，得出，，解不等式即可求解； （3）由已知在上恒成立，设，，通过求导判断函数的单调性求得最小值，即可求解. 【详解】（1）因为， 所以， 因为曲线在点处的切线与轴平行， 所以，即，所以； （2）由（1）可知， 因为函数在内存在极值， 所以在内有变号根， 因为，所以在内有变号根， 令，， 所以，由，得， 所以当时，，单调递减， 且，， 要使在内有变号根，即在内有变号零点， 所以，即，解得， 所以实数的取值范围为； （3）若对任意的实数，恒成立， 则，即在上恒成立， 设，， 所以， 设，则， 因为，所以，单调递增， 所以，所以，所以单调递增， 所以， 所以，实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛：（1）利用导数讨论函数极值点的问题时，要注意将问题转化为的根的问题，且必须使在根的两侧异号，当的根无法解出时，可采用零点的存在性定理判断出根的范围；（2）求解根据不等式恒成立求参问题时，一般采用参变分离法或者利用分类讨论思想，将问题转化为函数最值问题的求解. 【变式训练5-1】若是函数的驻点，则实数的值为 . 【答案】 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据极值点求参数 【分析】根据驻点的定义可得，解得，验证即可. 【详解】由题意知，, 因为是函数的驻点，所以， 解得. 当时，， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以是函数的驻点. 综上，. 故答案为：2e. 【变式训练5-2】函数在区间上存在极值，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据极值点求参数 【分析】求得，令，分析函数在的单调性，利用函数在区间上存在极值可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】因为，则， 令，则函数在上单调递增，在上单调递减， 因为，， 因为函数在上存在极值，则，解得. 故答案为：. 【变式训练5-3】设函数（为常数）在上严格递减，在和上严格递增，且的部分图像如图所示，则 ． 【答案】 【知识点】根据函数的单调性求参数值、函数图像的识别、导数的运算法则、根据极值点求参数 【分析】结合函数定义域得，代入函数及导函数可得方程组，求解可得. 【详解】由题意得，的定义域为，所以， 由图可知，解得， 则，因为，则有①， 由在上严格递减，在和上严格递增， 则， 由，则， 则，则②， 由①②解得（舍），或， 则. 故答案为：. 【变式训练5-4】已知函数． (1)当时，求在处的切线方程； (2)若在上单调递增，求实数的取值范围； (3)若存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由函数在区间上的单调性求参数、根据极值求参数、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】（1）求导，求出，结合，从而利用导函数几何意义得到切线方程； （2）转化为对恒成立，结合得到，从而求出答案； （3）求导，分，，及，结合函数定义域，结合函数单调性，得到函数极值情况，得到实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，则， 又， 在处的切线方程为． （2）即对恒成立， ， 即对恒成立， 且，解得． （3）， ①当时，，此时函数定义域为， 其中，对恒成立， 在上单调递增，不存在极值，不符题意． ②当时，，此时函数定义域为，， 令得， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增． 存在极大值，极小值，但不符题意． ③当时，，此时函数定义域为，令得， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增． 不存在极大值，不符题意． ④当时，的定义域为， 令得， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增． 存在极大值，极小值， ， ， ，即，符合题意． 综上，． 【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 题型6 由导数求函数的最值 例6-1（24-25高三上·上海·期中）设，记，则它的最大值和最小值的差为 . 【答案】 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、基本（均值）不等式的应用 【分析】由得到S的最大值，再令，利用导数法求得其最大值，从而得到S的最小值即可. 【详解】解：， 因为，所以， 所以， 当或时等号成立，所以的最大值为1. 令， 则， 令，则， 令，得或（舍去），， 当时，，当时，， 所以当时，取得最大值， 从而，当，及时等号成立， 所以的最小值为. 所以S的最大值和最小值的差为， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键是利用基本不等式变形，，再令转化为函数，利用导数法而得解. 例6-2（24-25高三上·上海·期中）已知等差数列，若存在有穷等比数列，其中，公比为，满足，其中，则称数列为数列的长度为的“等比伴随数列”．数列的通项公式为，数列为数列的长度为的“等比伴随数列”，则的最大值为 ． 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、写出等比数列的通项公式、由导数求函数的最值（含参）、数列新定义 【分析】设出长度为的“等比伴随数列”的公比，利用定义建立不等式，变形不等式转化为不等式恒成立问题，构造函数，利用导数，结合零点存在性定理求解即得. 【详解】设长度为的“等比伴随数列”的公比为， 则对任意正整数，当时，都有成立， 即对恒成立， 当时，有；当时，，即； 当时，有恒成立，即当时，， 令，求导得， 则函数在上单调递减，即当4时，.， 令，求导得， 则函数在上单调递减，即当4时，， 则，即， 令，求导得， 于是函数在上单调递减，又， 因此存在，使得，所以的最大值为6. 故答案为：6 【点睛】思路点睛：对新定义的数列，要充分理解新定义的性质，结合等差、等比数列的相关知识找到题干中的等量关系，构造新函数，学会利用导数研究函数的单调性、最值，将未知的问题转化为熟悉的知识点，在平时的练习中，要注重培养函数思想、转化思想等. 【变式训练6-1】（24-25高三上·上海松江·期中）已知函数为奇函数，则函数在上的最小值为 . 【答案】/ 【知识点】由奇偶性求参数、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】令，求出所对应的方程的解，再根据奇函数的对称性得到函数解析式，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最小值. 【详解】令，即，解得，，， 因为函数为奇函数， 则函数图象关于原点对称，又， 即、中必有一个为，则另一个为， 所以， 则，符合题意； 则， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，所以函数在上的最小值为. 故答案为： 【变式训练6-2】（24-25高三上·上海青浦·期中）已知函数和，. (1)求在点处的切线方程； (2)若函数和有相同的最小值， ①求的值； ②证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列. 【答案】(1) (2)①；②证明见解析 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究函数图象及性质 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）①分别求出两函数的最值，根据最值相等构造函数，求导研究函数单调性，进而可得的值； ②设，利用导数分析其单调性，及最值，设出和交点，进而求出三个不同的交点，根据等式可证明等差数列. 【详解】（1）由，得， 所以， 所以在点处的切线方程为，即. （2）①的定义域为，而， 若，则，此时函数在上单调递增，无最小值，不符合题意，故. 令，得， 当单调递减， 当单调递增， 所以. 的定义域为，而. 当单调递减， 当单调递增， 所以. 因为和有相同的最小值， 故，整理得到，其中， 设，则， 故为上的减函数，而， 故的唯一解为，故的解为. 综上所述，. ②证明：由①知， 且在上单调递减，在上单调递增； 在上单调递减，在上单调递增，且. 设， 则，当时，， 所以函数在上单调递增，因为， 所以当时，恒成立，即在时恒成立， 所以时，， 因为，函数在上单调递增，，函数在上单调递减， 所以函数与函数的图象在上存在唯一交点，设该交点为， 此时可作出函数和的大致图象， 由图象知当直线与两条曲线和共有三个不同的交点时， 直线必经过点，即， 因为，所以，即， 令得， 解得或，由，得， 令得，解得或， 由，得， 所以当直线与两条曲线和共有三个不同的交点时， 从左到右的三个交点的横坐标依次为，，， 因为，所以， 所以，，成等差数列． 所以存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点， 并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列． 【点睛】关键点点睛：本题第三问关键点是找到两函数的交点对应的相关等式，才能求出3个交点时的横坐标. 题型7 已知函数最值求参数 例7-1已知，函数的定义域为的值域为的子集，则这样的函数的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．无数个 【答案】A 【知识点】已知函数最值求参数 【分析】求导得到单调区间，计算极值，画出函数图像，根据则，解得或，，解得或，得到，，再计算最值得到答案. 【详解】，， 当和时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减. 为函数的极小值，为函数的极大值， 画出函数图像，如图所示： 的值域为的子集， 则，解得或；，解得或， ，故且，，，， 当，，，故； 当，，故，此时，不成立； 当，，不成立； 综上所述：， 故选：A 【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数求函数的最值问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用，得到，，可以缩小范围，简化运算，是解题的关键. 例7-2已知函数的定义域为，若时，取得最小值，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】已知函数最值求参数、基本不等式求和的最小值、对勾函数求最值 【分析】先通过时，取得最小值，解出，再通分换元令， 结合对勾函数的单调性求得最小值即得的取值范围. 【详解】由题意知：，令，解得，故函数在递减， 在递增，又时，取得最小值，故，即. ，令， 则， 令，由对勾函数易知在上单调递增， 故，当且仅当，即时取等， 故的取值范围是. 故答案为：. 【变式训练7-1】若函数的最小值为，则 . 【答案】， 【知识点】已知函数最值求参数、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】假设最小值点为，然后根据，计算即可. 【详解】设最小值点为 所以 则 两式相加化简可得：，即 由，所以或 故答案为：， 【变式训练7-2】（2025·上海·模拟预测）已知函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为 . 【答案】 【知识点】已知函数最值求参数 【分析】由于函数在区间上不单调，等价于函数在区间上存在极值点，对函数求导，对分类讨论，求出极值点，根据极值点在区间内，可得关于的不等式，即可求出结果． 【详解】， 当时，在上严格单调递增，不符合题意; 当时，令；. 所以在上严格单调递增，在上严格单调递减， 所以在处取得极大值. 因为函数在区间上存在最大值， 所以. 故答案为：. 【变式训练7-3】双曲余弦函数，双曲正弦函数． (1)求函数的单调增区间； (2)若函数在上的最小值是，求实数a的值； (3)对任意恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数证明不等式、已知函数最值求参数、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）求导函数零点，通过导函数的符号求解单调区间； （2）整体换元转化为二次函数的最小值问题，根据轴与区间关系分类讨论可求； （3）先证明辅助结论，再利用结论分别证明“当时，恒成立”与“对任意的，都存在，使”两个命题成立，即可得范围. 【详解】（1）由，， 则，令，解得， 当时，，则双曲余弦函数在单调递增； 当时，，则双曲余弦函数在单调递减； 所以函数的单调增区间是． （2）. 令， 所以在上是严格增函数， 则当时，， 函数， 当时，严格增，，舍去， 当时，，解得. 综上所述，实数a的值为. （3）①证明， 令， 则， 所以在上单调增，则， 则当，，即成立； 令， 则， 所以在上单调增，则， 则当，，即成立； 故，得证. ②证明， 令， 令为偶函数. 令，且， 则当时，由①结论可知，， 则，即当时，， 由偶函数性质得，从而单调增，又， 所以当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增； 从而，即有． ③再证明：任意，当时，恒成立. 设，，其中， 当时，，成立； 当时，，在单调递增， 则，由②已证， 故， 即任意，当时，恒成立. ④再证明对任意的，都存在实数，使得. 令， 令为偶函数， 令， 则当时，， 所以单调递增， 由于，所以，且当， (由于是偶函数，由对称性以下只需要考虑时.) 所以存在，使得， 从而当时，，即，则在单调递减； 当时，，即，则在单调递增； 又时，， 所以存在，使得， 即有当时，，即，则在时单调递减； 当时，，即，则在时单调递增； 又时，， 所以存在，使得，当时，. 对任意的，都存在，使得，得证. 综上所述，实数m的取值范围为． 【点睛】关键点点睛：解决本题中第（3）问恒成立问题的关键，是两次构造中间函数证明不等式，一是引入中间函数（一次函数）证明，从而证明得以判断导函数符号；二是引入主元变换引入以参数为自变量的函数，构造中间函数，通过证明，利用单调性可得，从而当时，恒成立得证. 题型8 函数单调性、极值与最值的综合应用 例8-1（24-25高三下·上海虹口·阶段练习）函数，记在上的最大值为，则的解集是 ． 【答案】 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、由导数求函数的最值（含参） 【分析】通过换元，，用导数探究得，进而可得不等式的解集. 【详解】因为， 令，则， ， 因为，令得，或， 列表 1 极大值 极小值 因为函数的图象关于点对称，且，所以，结合表格和简图可知，， 所以 ， 故的解集是. 故答案为：. 例8-2（24-25高三下·上海·阶段练习）设定义域为的函数，对于，定义. (1)若，求； (2)若，是否存在a，使得是一段闭区间？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由； (3)若对任意，，其中，均是上的恒正函数.证明：“对任意成立”的充要条件是“任取，均有且”. 【答案】(1) (2)存在，. (3)证明见解析 【知识点】函数新定义、解不含参数的一元二次不等式、函数单调性、极值与最值的综合应用、充要条件的证明 【分析】（1）根据题得到不等式，化简并解一元二次不等式求得； （2）根据新定义构造函数，利用导数研究不同情况下的单调性，结合图象，利用数形结合思想研究是否为一段闭区间，确定存在性，进而得参数范围； （3）利用对称性，结合新定义的意义，证明必要性；利用反证法，构造适当推出矛盾,证得充分性. 【详解】（1）由题设，将化简得， 解得，故. （2）因为，代入定义得：， 构造函数， 求导得. 当即时，存在，, 所以当、时，， 进一步，列表可得： 0 0 0 0 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 由此是函数的极大值点，时，, 故当且仅当时，是一段闭区间，因此， 特别地，当时，，故仍是一段闭区间，故. 当时，当且仅当时，. 同理，是函数的极小值点，且取得最小值，同样时，, 所以当且仅当时，是一段闭区间，由此得， 综上所述，存在满足条件的a，且. （3）对任意，，其中、均是上的恒正函数. 必要性： 因为对任意成立，所以， 即与成对出现在集合中，故. 当时，，从而， 所以且. 充分性： 不妨设，取满足（*）, 则， 而，，所以， 则，即，与（*）矛盾. 同理可证时也矛盾. 所以对任意，都有，得证. 【点睛】关键点点睛：小问（3）关键点： 首要的要分清条件和结论，明确必要性和充分性指的是从谁推谁； 其次，在必要性的证明中利用对称性得到与成对出现在集合中，得出，进而进行证明是关键； 最后，在证明充分性的过程中使用反证法，并构造合适的推出矛盾是关键. 【变式训练8-1】（24-25高三下·上海·阶段练习）已知函数和，其中，，. (1)若，求函数的图象的对称中心并说明理由. (2)定义， 即为.若存在正整数，使得对一切均成立，求证：只能为 . (3)若函数和的图象在上有三个不同的交点，求的取值范围. 【答案】(1)，理由见解析 (2)证明见解析 (3)或 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、函数单调性、极值与最值的综合应用、函数周期性的应用 【分析】（1）由函数的对称中心的求法和正弦函数的诱导公式可得； （2）求导后利用穷举法得到不等式组，再求解即可； （3）先将问题转化为曲线和直线有三个不同的交点，然后求导分析的单调性和极值，数形结合求出即可； 【详解】（1）猜函数的图象的对称中心为 在图象上任取点，关于的对称点为， 因为，所以即点也在函数的图象上. 所以，为所求. （2），  ，  ，， ，，， 从第三项起，每隔四项重复出现，且连续四项均为不同函数. 若要符合题意，唯有，于是恒成立， 所以且是唯一可能的值. 总之，存在，使对一切正整数均成立，只可能为. （3）原问题等价于：方程在上有三个不同的解， 等价于：曲线和直线有三个不同的交点. ，由，得， 如下列表 … … … 极值所成数列，正负交替且绝对值单调递减，极限为，横轴为渐近线.另一方面，当时， 综上，如图所示，    于是或，解得或为所求. 【点睛】关键点点睛：本题的第三问的关键是能够将图象交点问题转化成两函数交点问题，再利用单调性和极值分析. 【变式训练8-2】（24-25高三下·上海·阶段练习）已知，函数． (1)若，求的单调区间； (2)是否存在实数a，使得与有相同的最大值？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由； (3)已知，直线与两条曲线和共有四个不同的交点，其横坐标分别为，证明：． 【答案】(1)单调增区间：；单调减区间： (2)存在， (3)证明见解析 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数求函数的单调区间（不含参）、函数与方程的综合应用 【分析】（1）对函数进行求导，利用导数求出函数的单调性即可； （2）对函数进行求导，由有最大值，知且在上单调递增，在上单调递减，从而可得．再利用导数求出的最大值，从而可求出a的值； （3）利用导数可证得，当时，，当时，，通过反证法判断是与哪个函数图象交点的横坐标，从而得证. 【详解】（1），则函数， ，令，则 ； 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增. 所以函数的单调增区间：；单调减区间：； （2）函数，则， 由（1）可知，的单调性为：在上单调递减，在上单调递增. 要使有最大值，则， 所以． ，当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以．所以，则． 令，， 此函数在上单调递减，且，所以． （3）证明：由的单调性，可知． 又当时，知，从而． ． 设，，则， 所以当时，单调递增； 当时，单调递减， 所以，即当时，， 所以当时，， 当时，． 为了体现代数证明的严谨性，下面通过反证法判断是与哪个函数图象交点的横坐标． 如果，那么由（*）知，从而． 根据的单调性，得，矛盾， 所以应有，即． 由，得． 如果，那么由（**）知， 从而． 根据的单调性，得，矛盾， 所以应有，即． 由，得． 由上可知，要证，即证， 则，又，成立，证毕． 【点睛】总结点睛：利用导数研究函数的单调性，通过反证法判断是与哪个函数图象交点的横坐标是解题关键. 【变式训练8-3】设是定义在上的函数，若存在区间和，使得在上严格减，在上严格增，则称为“含谷函数”，为“谷点”，称为的一个“含谷区间”． (1)判断下列函数中，哪些是含谷函数？若是，请指出谷点；若不是，请说明理由： （i），（ii）； (2)已知实数，是含谷函数，且是它的一个含谷区间，求的取值范围； (3)设，．设函数是含谷函数，是它的一个含谷区间，并记的最大值为．若，且，求的最小值． 【答案】(1)是含谷函数，谷点；不是含谷函数，证明见解析. (2) (3) 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由函数在区间上的单调性求参数、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】（1）利用含谷函数定义判断函数的增减区间，再求谷点，证明函数是否为含谷函数； （2）由题意可判断函数在区间内有谷点，利用谷点定义求参数取值范围； （3）分别讨论函数的单调性，判断谷点所在区间，得到的解析式，再利用和消元求最值. 【详解】（1）函数，当时，单调递减，当时，单调递增，所以是含谷函数，谷点； 函数，求导恒成立，函数单调递增，所以不是含谷函数. （2）由题意可知函数在区间内先减后增，且存在谷点， 令，所以， 设， 所以，由可知恒成立， 所以在区间上单调递增， 若满足谷点，则有，解得， 故m的取值范围是. （3）因为， 所以， 若恒成立， 则函数在时严格增，在时严格减，不是谷函数，不满足题意； 因此关于x的方程有两个相异实根，即， 设两根为，且， 因为，所以函数在区间上不为严格增， 但是当时，，为严格增， 所以在区间上的单调性至少改变一次，从而必有一个驻点，即， 同理，因为，所以， 因此，在区间和上严格增，在区间和上严格减， 从而函数的含谷区间必满足， 即， 因为， ， 由得，所以， 由得，所以， 所以， 当时，， 当时，， 因此的最小值为，当时成立. 【点睛】关键点睛：（1）利用谷点定义判断函数是否为含谷函数； （2）根据谷点性质求参数的取值范围； （3）将导数分解因式，利用二次函数性质讨论的单调性，进而得到和，求函数最值. 【变式训练8-4】设函数与的定义域均为，若存在，满足且，则称函数与“局部趋同”． (1)判断函数与是否“局部趋同”，并说明理由； (2)已知函数．求证：对任意的正数，都存在正数，使得函数与“局部趋同”； (3)对于给定的实数，若存在实数，使得函数与“局部趋同”，求实数的取值范围． 【答案】(1)不是，理由见解析 (2)证明见解析 (3) 【知识点】函数与方程的综合应用、函数单调性、极值与最值的综合应用、函数新定义 【分析】（1）求出两函数的导函数，根据题意列等式解出值，再代入原函数看是否相等即可得出答案； （2）求出两函数的导函数，根据题意列等式，得出要证明对任意的正数，都存在正数，使得函数与“局部趋同”，证明有解即可，再根据二次函数证明即可； （3）求出两函数的导函数，根据题意列等式，消去得出若有解，函数与就“局部趋同”，令，利用导数求出其值域，即可得出答案. 【详解】（1）由，， 得，， 令，解得：， ，且， 即不存在，满足且， 则函数与不是“局部趋同”； （2）函数， 则， 若函数与“局部趋同”， 则存在，满足且， 即，且， 则若有解，存在正数，都存在，满足且， 即对任意的正数，都存在正数，使得函数与“局部趋同”， 即，其， 即有解，设方程的两根分别为， 不妨设，则，所以，， 而，取， 所以对任意的正数，都存在正数，使得函数与“局部趋同”. （3）若函数与“局部趋同”， 则且， 由，得， 即，则， 代入，得， 即， 则若有解，函数与就“局部趋同”， 即有解， 令，则， 在上，，在上，， 则在上，，在上，， 即在上单调递增，在上单调递减，最大值为， 从趋向于0时，趋向于，趋向于0， 则在从趋向于0时，趋向于， 则， 则要使有解，即，即， 故实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛：对于新概念题要将题中概念转换为我们熟悉的内容再进行求解；解决存在自变量使得两函数相等问题，注意利用等式转换相等的复杂内容，让等式变简单；等式中参数的范围利用参变分离，后构造新函数利用导数求解其值域，注意定义域. 一、单选题 1．（2024·上海·高考真题）已知函数的定义域为，定义集合，在使得的所有中，下列成立的是（   ） A．存在是偶函数 B．存在在处取最大值 C．存在是增函数 D．存在在处取到极小值 【答案】B 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、函数奇偶性的应用、函数新定义 【分析】A选项利用偶函数的性质找到矛盾即可；B选项找到合适函数即可；C选项由定义得到集合与已知条件矛盾；D选项由集合的定义找到矛盾. 【详解】对于A选项：时，， 当时，， 任意的，恒成立， 若时偶函数，此时矛盾，故A选项错误； 对于B选项：若函数图像如下： 当时，，时，，当，， ∴存在在处取最大值，故B选项正确； 对于C选项：在时，若函数严格递增，则集合的取值不会是， 而是全体定义域，故C选项错误； 对于D选项：若存在在处取到极小值，则在在左侧存在，，与集合定义矛盾，故D选项错误. 故选：B 二、填空题 2．（2023·上海·高考真题）公园修建斜坡，假设斜坡起点在水平面上，斜坡与水平面的夹角为θ，斜坡终点距离水平面的垂直高度为4米，游客每走一米消耗的体能为，要使游客从斜坡底走到斜坡顶端所消耗的总体能最少，则 ． 【答案】 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、几何中的三角函数模型、辅助角公式 【分析】方法1，根据给定条件，求出斜坡长，列出总体力关于的函数，利用导数求解作答. 方法2，根据给定条件，求出斜坡长，列出总体力关于的函数，借助辅助角公式求解作答. 【详解】方法1：依题意，斜坡长度， 因此人沿斜坡到坡顶消耗的总体力， 求导得，由，得， 当时，，当时，， 于是函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，人上坡消耗的总体力最小. 方法2：依题意，斜坡长度， 因此人沿斜坡到坡顶消耗的总体力， 由，得，即，其中锐角由确定， 显然，而，则，当且仅当，即时取等号， 此时，即， 所以当时，人上坡消耗的总体力最小. 故答案为： 三、解答题 3．（2025·上海·高考真题）已知． (1)若，求不等式的解集； (2)若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围； 【答案】(1) (2)且. 【知识点】根据极值求参数、根据函数的单调性解不等式 【分析】（1）先求出，从而原不等式即为，构建新函数，由该函数为增函数可求不等式的解； （2）求出函数的导数，就分类讨论后可得参数的取值范围. 【详解】（1）因为，故，故，故， 故即为， 设，则，故在上为增函数， 而即为，故， 故原不等式的解为. （2）在有极大值即为有极大值点. ， 若，则时，，时，， 故为的极小值点，无极大值点，故舍； 若即，则时，， 时，， 故为的极大值点，符合题设要求； 若，则时，，无极值点，舍； 若即，则时，， 时，， 故为的极大值点，符合题设要求； 综上，且. 4．（2024·上海·高考真题）对于一个函数和一个点，令，若是取到最小值的点，则称是在的“最近点”． (1)对于，求证：对于点，存在点，使得点是在的“最近点”； (2)对于，请判断是否存在一个点，它是在的“最近点”，且直线与在点处的切线垂直； (3)已知在定义域R上存在导函数，且函数 在定义域R上恒正，设点，．若对任意的，存在点同时是在的“最近点”，试判断的单调性． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， (3)严格单调递减 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）代入，利用基本不等式即可； （2）由题得，利用导函数得到其最小值，则得到，再证明直线与切线垂直即可； （3）根据题意得到，对两等式化简得，再利用“最近点”的定义得到不等式组，即可证明，最后得到函数单调性. 【详解】（1）当时，， 当且仅当即时取等号， 故对于点，存在点，使得该点是在的“最近点”． （2）由题设可得， 则，因为均为上单调递增函数， 则在上为严格增函数， 而，故当时，，当时，， 故，此时， 而，故在点处的切线方程为. 而，故，故直线与在点处的切线垂直． （3）设， ， 而， ， 若对任意的，存在点同时是在的“最近点”， 设，则既是的最小值点，也是的最小值点， 因为两函数的定义域均为，则也是两函数的极小值点， 则存在,使得， 即① ② 由①②相等得，即， 即，又因为函数在定义域R上恒正， 则恒成立， 接下来证明， 因为既是的最小值点，也是的最小值点， 则， 即，③ ，④ ③④得 即，因为 则，解得， 则恒成立，因为的任意性，则严格单调递减. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是结合最值点和极小值的定义得到，再利用最值点定义得到即可. 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 利用导数研究函数的单调性、极值、最值 目录 01 考情解码・命题预警 1 02体系构建·思维可视 2 03核心突破·靶向攻坚 2 知能解码 2 知识点1 利用导数研究函数的单调性 2 知识点2 利用导数研究函数的极值 3 知识点3 利用导数研究函数的最值 4 题型破译 4 题型1 用导数判断或证明已知函数的单调性 4 题型2 利用导数求函数的单调区间 5 题型3 由函数的单调区间求参数 6 题型4 求已知函数的极值、极值点 7 题型5 根据极值、极值点求参数 8 题型6 由导数求函数的最值 9 题型7 已知函数最值求参数 10 题型8 函数单调性、极值与最值的综合应用 11 04真题溯源·考向感知 13 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）利用导数研究函数的单调性 （2）利用导数研究函数的极值 （3）利用导数研究函数的最值 单选题 填空题 解答题 第19题根据极值求参数 第16题函数单调性、极值与最值的综合应用 第21题用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值 第11题由导数求函数的最值 考情分析： 导数及其应用是上海高考数学的核心模块，占分约 50 分（占比 33.3%），是压轴题的高频考点。题型涵盖选择题、填空题和解答题，其中解答题常综合考查单调性、极值、最值及实际应用。 复习目标： 1.理解导数与单调性、极值、最值的关系，掌握极值存在的第一、第二充分条件。 2.针对含参函数，通过导数符号变化分析单调性，确定极值点和单调区间。 知识点1 利用导数研究函数的单调性 1.函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 f′(x)>0 f(x)在区间(a，b)上单调递增 f′(x)<0 f(x)在区间(a，b)上单调递减 f′(x)＝0 f(x)在区间(a，b)上是常数函数 2.利用导数判断函数单调性的步骤 第1步，确定函数f(x)的定义域； 第2步，求出导数f′(x)的零点； 第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性． 自主检测函数的图象如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 知识点2 利用导数研究函数的极值 1.函数的极小值 函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． 2.函数的极大值 函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． 3.极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值． 自主检测（24-25高三上·上海宝山·期中）已知，函数. (1)求函数的极值； (2)讨论的单调性（写出单调区间）； (3)若恒成立，求的最大值，并证明：对于任意，都有 知识点3 利用导数研究函数的最值 1.函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件： 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． 2.求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤： ①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值； ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 自主检测（24-25高三上·上海·期中）已知函数. (1)当 时， 求的严格增区间; (2)若恒成立，求a的值； (3)对于任意正整数n，是否存在整数m，使得不等式成立?若存在，请求出m的最小值； 若不存在，请说明理由. 题型1 用导数判断或证明已知函数的单调性 例1-1已知，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 例1-2（24-25高三下·上海·阶段练习）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)当时，函数存在零点，且，求符合条件的所有整数的值； (3)当时，记函数的零点为，若对任意且，都有成立，求实数的最大值． 【变式训练1-1】不等式的解集为 ． 【变式训练1-2】（24-25高三下·上海·阶段练习）定义在区间上的函数，若存在正数，使得不等式对任意成立，则称函数在区间满足条件；已知，若函数在区间上满足条件，则的最小值是 . 题型2 利用导数求函数的单调区间 例2-1已知，函数的定义域为．若为奇函数，则的严格增区间为 ． 例2-2（24-25高三上·上海奉贤·期中）已知函数的表达式为. (1)当时，求的单调增区间； (2)若当时，恒成立，求a的取值范围； (3)证明：. 【变式训练2-1】已知函数，，若对于任意，的图象恒在图象上方，则实数m可取的最大整数值为 . 【变式训练2-2】已知. (1)求的导函数以及驻点. (2)求平行于的切线方程； (3)求的单调性. 题型3 由函数的单调区间求参数 例3-1函数在区间上是单调函数，则实数a的取值范围是 . 例3-2已知函数，若对任意两个不相等的实数，都有，则实数的最大值为（    ） A．0 B． C．1 D．2 例3-3（24-25高三上·上海·期中）设，，（常数）. (1)为上的严格增函数，求实数的取值范围； (2)设，若对于任意，，都有成立，求实数的取值范围. 【变式训练3-1】若函数在上严格减，则a的取值范围是 ． 【变式训练3-2】（24-25高三上·上海·阶段练习）若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是 . 【变式训练3-3】定义域为D的函数，如果对于区间I内的任意三个数，当时，都有，则称此函数为区间上的“T函数”． （1）请你写出一个在R上的“T函数”（不需要证明）． （2）判断幂函数在上是否为“T函数”，并证明你的结论． （3）若函数在区间上是“T函数”，求实数a的取值范围． 题型4 求已知函数的极值、极值点 例4-1函数的极值点为 . 例4-2（24-25高三上·上海·阶段练习）已知函数. (1)若，求函数的极值； (2)①当时，恒成立，求正整数的最大值； ②证明： 例4-3（24-25高三上·上海黄浦·期末）函数的定义域为，在上仅有一个极值点，方程在上仅有两解，分别为、，且．若，则称函数在上的极值点左偏移；若，则称函数在上的极值点右偏移． (1)设，，判断函数在上的极值点是否左偏移或右偏移？ (2)设且，，，求证：函数在上的极值点右偏移； (3)设，，，求证：当时，函数在上的极值点左偏移． 【变式训练4-1】在等比数列中，，分别是函数的两个驻点，则 . 【变式训练4-2】（24-25高三上·上海·期中）已知函数. (1)若，求的值； (2)设，求函数的极值； (3)若在区间上无零点，求的取值范围. 题型5 根据极值、极值点求参数 例5-1（24-25高三上·上海·期中）设.若是函数的极大值点，则 . 例5-2（24-25高三上·上海·期中）已知函数. (1)若曲线在点处的切线与轴平行，求实数的值； (2)若函数在内存在极值，求实数的取值范围； (3)若对任意的实数，恒成立，求实数的取值范围. 【变式训练5-1】若是函数的驻点，则实数的值为 . 【变式训练5-2】函数在区间上存在极值，则实数的取值范围是 . 【变式训练5-3】设函数（为常数）在上严格递减，在和上严格递增，且的部分图像如图所示，则 ． 【变式训练5-4】已知函数． (1)当时，求在处的切线方程； (2)若在上单调递增，求实数的取值范围； (3)若存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求实数的取值范围． 题型6 由导数求函数的最值 例6-1（24-25高三上·上海·期中）设，记，则它的最大值和最小值的差为 . 例6-2（24-25高三上·上海·期中）已知等差数列，若存在有穷等比数列，其中，公比为，满足，其中，则称数列为数列的长度为的“等比伴随数列”．数列的通项公式为，数列为数列的长度为的“等比伴随数列”，则的最大值为 ． 【变式训练6-1】（24-25高三上·上海松江·期中）已知函数为奇函数，则函数在上的最小值为 . 【变式训练6-2】（24-25高三上·上海青浦·期中）已知函数和，. (1)求在点处的切线方程； (2)若函数和有相同的最小值， ①求的值； ②证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列. 题型7 已知函数最值求参数 例7-1已知，函数的定义域为的值域为的子集，则这样的函数的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．无数个 例7-2已知函数的定义域为，若时，取得最小值，则的取值范围是 ． 【变式训练7-1】若函数的最小值为，则 . 【变式训练7-2】（2025·上海·模拟预测）已知函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为 . 【变式训练7-3】双曲余弦函数，双曲正弦函数． (1)求函数的单调增区间； (2)若函数在上的最小值是，求实数a的值； (3)对任意恒成立，求实数m的取值范围． 题型8 函数单调性、极值与最值的综合应用 例8-1（24-25高三下·上海虹口·阶段练习）函数，记在上的最大值为，则的解集是 ． 例8-2（24-25高三下·上海·阶段练习）设定义域为的函数，对于，定义. (1)若，求； (2)若，是否存在a，使得是一段闭区间？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由； (3)若对任意，，其中，均是上的恒正函数.证明：“对任意成立”的充要条件是“任取，均有且”. 【变式训练8-1】（24-25高三下·上海·阶段练习）已知函数和，其中，，. (1)若，求函数的图象的对称中心并说明理由. (2)定义， 即为.若存在正整数，使得对一切均成立，求证：只能为 . (3)若函数和的图象在上有三个不同的交点，求的取值范围. 【变式训练8-2】（24-25高三下·上海·阶段练习）已知，函数． (1)若，求的单调区间； (2)是否存在实数a，使得与有相同的最大值？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由； (3)已知，直线与两条曲线和共有四个不同的交点，其横坐标分别为，证明：． 【变式训练8-3】设是定义在上的函数，若存在区间和，使得在上严格减，在上严格增，则称为“含谷函数”，为“谷点”，称为的一个“含谷区间”． (1)判断下列函数中，哪些是含谷函数？若是，请指出谷点；若不是，请说明理由： （i），（ii）； (2)已知实数，是含谷函数，且是它的一个含谷区间，求的取值范围； (3)设，．设函数是含谷函数，是它的一个含谷区间，并记的最大值为．若，且，求的最小值． 【变式训练8-4】设函数与的定义域均为，若存在，满足且，则称函数与“局部趋同”． (1)判断函数与是否“局部趋同”，并说明理由； (2)已知函数．求证：对任意的正数，都存在正数，使得函数与“局部趋同”； (3)对于给定的实数，若存在实数，使得函数与“局部趋同”，求实数的取值范围． 一、单选题 1．（2024·上海·高考真题）已知函数的定义域为，定义集合，在使得的所有中，下列成立的是（   ） A．存在是偶函数 B．存在在处取最大值 C．存在是增函数 D．存在在处取到极小值 二、填空题 2．（2023·上海·高考真题）公园修建斜坡，假设斜坡起点在水平面上，斜坡与水平面的夹角为θ，斜坡终点距离水平面的垂直高度为4米，游客每走一米消耗的体能为，要使游客从斜坡底走到斜坡顶端所消耗的总体能最少，则 ． 三、解答题 3．（2025·上海·高考真题）已知． (1)若，求不等式的解集； (2)若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围； 4．（2024·上海·高考真题）对于一个函数和一个点，令，若是取到最小值的点，则称是在的“最近点”． (1)对于，求证：对于点，存在点，使得点是在的“最近点”； (2)对于，请判断是否存在一个点，它是在的“最近点”，且直线与在点处的切线垂直； (3)已知在定义域R上存在导函数，且函数 在定义域R上恒正，设点，．若对任意的，存在点同时是在的“最近点”，试判断的单调性． 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$