精品解析：安徽省蚌埠市2025-2026学年高二上学期期末数学模拟卷（C卷）

2025-2026学年度蚌埠市高中第一学期期末练习C卷 高二数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷考试内容：人教A版：选择性必修第一册，选择性必修第二册. 5．本试卷总分150分 ，答题时间120分钟. 一、单选题.本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线的方程是，则直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 3. 若两平行直线与之间的距离是，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量是空间的一个基底，向量是空间的另一个基底，一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 数列，称为斐波那契数列，又称黄金分割数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和.记该数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线与圆相切，则圆和圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 外切 C. 内切 D. 外离 7. 已知点是双曲线：的左，右焦点，点是以为直径的圆与双曲线的一个交点，若的面积为4，则双曲线的渐近线方程为 A. B. C. D. 8. 已知数列中，，，若对于任意的，不等式恒成立，则的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部先对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 点在圆上，点在圆上，则（ ） A. 两个圆的公切线有2条 B. 的取值范围为 C. 两个圆上任意一点关于直线的对称点仍在对应圆上 D. 到两个圆的公共弦所在直线的距离为 10. 已知各项均为正数的等比数列的前4项和为30，且，则（ ） A. B. 公比为2 C. D. 11. 设函数，则（ ） A. 的极小值点为3 B. 当时， C. 当时， D. 有3个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设直线，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点．若，则的值为______． 13. 已知数列的通项公式是，，设的前项和为，则____ 14. 已知左、右焦点为，的椭圆：（），圆：，点A是椭圆与圆的交点，直线交椭圆于点B.若，则椭圆的离心率是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知O为坐标原点，动点M到两个定点，的距离的比为，记动点M的轨迹为曲线C． （1）求曲线C的标准方程； （2）若直线l过点，曲线C截l所得弦长等于，求直线l的方程． 16. 已知等比数列的各项均为正数，前n项和为，若，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 17. 在平行四边形中，，为的中点，将等边沿折起，连接，，且． （1）求证：平面； （2）点在线段上，且平面与平面所成角的余弦值为，求． 18. 已知函数． （1）直接写出在处的切线方程； （2）当时，求函数在上的最小值； （3）若恒成立，求实数a的取值集合． 19. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，抛物线在点处的切线分别为，其斜率分别为，交点为． （1）当直线过焦点时，证明：互相垂直． （2）当时，设弦的中点为． ①点是否在一条定直线上？若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由． ②求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度蚌埠市高中第一学期期末练习C卷 高二数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷考试内容：人教A版：选择性必修第一册，选择性必修第二册. 5．本试卷总分150分 ，答题时间120分钟. 一、单选题.本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线的方程是，则直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】转化为斜截式，按定义求解即可. 【详解】将原式化为：，斜率为 ，即 ，倾斜角 ； 故选：A. 2. 已知函数，则（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】求导，根据即可求解，代入即可求值. 【详解】由题意知,所以，解得，则，故． 故选：B 3. 若两平行直线与之间的距离是，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两直线平行的充要条件及平行直线间的距离公式计算即可. 【详解】因为直线与平行， 所以有，所以有， 又因为这两条平行线间距离为， 所以有，或舍去， 所以. 故选：D. 4. 已知向量是空间的一个基底，向量是空间的另一个基底，一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的基本定理和坐标表示即得结果. 【详解】设在基底下的坐标为， 则， 所以，解得，，， 故在基底下的坐标为． 故选：A. 5. 数列，称为斐波那契数列，又称黄金分割数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和.记该数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】，，，……，，相加得到答案. 【详解】由题意得， 故，，，……，， 上面的式子相加得， 又，故. 故选：A 6. 已知直线与圆相切，则圆和圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 外切 C. 内切 D. 外离 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据直线与圆的位置关系求，再计算圆心距，结合公式判断两圆的位置关系. 【详解】圆的圆心，半径， 由直线与圆相切，得，解得（负根舍去）， 所以，， 圆的圆心，半径， 因为，所以圆和圆相交. 故选：A 7. 已知点是双曲线：的左，右焦点，点是以为直径的圆与双曲线的一个交点，若的面积为4，则双曲线的渐近线方程为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依题意有，设，利用和的关系整体代换得到的值，进而求出双曲线的渐近线方程. 【详解】由点P是以为直径的圆与双曲线的一个交点，可得， 设，则, 所以的面积为， 所以双曲线C的渐近线方程为. 故选：C 8. 已知数列中，，，若对于任意的，不等式恒成立，则的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，运用累加法和“裂项相消法”求和可得，再将不等式恒成立问题转化为成立，由此可得实数的取值范围． 【详解】∵，∴，∴，∴ ∴ ∴ ． ∵，∴，∴， 故选：B． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部先对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 点在圆上，点在圆上，则（ ） A. 两个圆的公切线有2条 B. 的取值范围为 C. 两个圆上任意一点关于直线的对称点仍在对应圆上 D. 到两个圆的公共弦所在直线的距离为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意确定圆心及半径，根据两圆位置关系逐项判断即可. 【详解】易知圆的圆心为，半径， 将圆化为，可知圆心为，半径， 对于A，易知，可知两圆外离，所以两个圆的公切线有4条，故A错误； 对于B，易知的最小值为，最大值为， 所以｜PQ｜的取值范围为，故B正确； 对于C，显然两圆圆心都在直线上， 因此直线为两圆对称轴，故C正确； 对于D，由选项A可知两圆外离，即不存在公共弦，故D错误. 10. 已知各项均为正数的等比数列的前4项和为30，且，则（ ） A. B. 公比为2 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，利用等比数列的前项和公式及通项公式的基本量运算即可判断. 【详解】设等比数列的公比为，则，, 由题意得， 因为，由，得， 即，解得或（舍去） 所以， 故，. 故选：ABD. 11. 设函数，则（ ） A. 的极小值点为3 B. 当时， C. 当时， D. 有3个零点 【答案】AC 【解析】 【分析】利用导数求导可得，从而求出其单调区间及极值，然后逐项分析即可对ABC判断求解，利用零点存在定理可对D判断. 【详解】A、B、C:由， 可得在和上单调递增，在上单调递减， 所以是函数的极小值点，选项A正确； 当时，又， 所以，而在上单调递增，所以，选项B错误； 当时，，而在上单调递减， 所以，所以，选项C正确； D：由的单调性可知，的极大值点是1，极小值点是3， 而，，，，， 所以有2个零点，选项D错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设直线，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点．若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求得点关于的对称点A，再由入射点P的坐标，再由点A，P，M三点共线，求得点M的坐标，再求得点P关于x轴的对称点，再根据三点共线求得点N的坐标求解. 【详解】解：如图所示： 点关于的对称点为， 由，解得，所以， 因为点A，P，M三点共线，则， 令，得，所以， 点P关于x轴的对称点， 因为点三点共线，则， 令，的，所以， 所以， 解得或（舍去）， 故答案为： 13. 已知数列的通项公式是，，设的前项和为，则____ 【答案】 【解析】 【分析】将代入，利用诱导公式对进行化简得，分为为奇数和为偶数分别求，再利用分组求和法即可求出答案. 【详解】， 当为奇数时，，当为偶数时，， 所以 . 故答案为：. 14. 已知左、右焦点为，的椭圆：（），圆：，点A是椭圆与圆的交点，直线交椭圆于点B.若，则椭圆的离心率是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据阿波罗尼斯圆的定义，得到，结合椭圆定义得出焦半径，最后利用余弦定理求出离心率. 【详解】设：与x轴的交点为P，Q，不妨设，，， 根据阿波罗尼斯圆的定义，得到，又，则， 设与轴正方向形成的角为，则，，代入得 ， 在中，， 由余弦定理得，解得，即. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知O为坐标原点，动点M到两个定点，的距离的比为，记动点M的轨迹为曲线C． （1）求曲线C的标准方程； （2）若直线l过点，曲线C截l所得弦长等于，求直线l的方程． 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【分析】（1）根据题干条件列出等式，化简即可得到结果. （2）首先假设斜率不存在，判断是否满足题意；再假设斜率存在，设出直线方程，利用弦长公式即可求得结果. 【小问1详解】 由题知，设点， 则，所以， 即，整理得， 所以曲线C的标准方程为． 【小问2详解】 若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为：， 与C的交点坐标为，，此时弦长等于，符合题意． 若直线l的斜率存在，设直线l的方程为：， 设曲线C的圆心到直线l的距离为d， 由（1）知曲线C的圆心为， 所以， 因为曲线C截l所得弦长等于， 所以，解得． 所以，解得． 所以直线l的方程为：． 综上，直线l的方程为：或． 16. 已知等比数列的各项均为正数，前n项和为，若，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的定义和求和公式求，进而可得结果； （2）由（1）可得：，利用分组求和结合等差、等比数列的求和公式运算求解. 【小问1详解】 设的公比为， 因为，即， 且，可得，解得或（舍去）． 又因为，解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）可得：， 所以 ， 所以. 17. 在平行四边形中，，为的中点，将等边沿折起，连接，，且． （1）求证：平面； （2）点在线段上，且平面与平面所成角的余弦值为，求． 【答案】（1） 依题意，，，在中，， 在中，，， 则， 又，平面， 所以平面. （2）2 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定推理得证. （2）取的中点，作，以为原点建立空间直角坐标系，利用面面角的向量法列式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接，则， 由（1）知平面， 而平面，则， 又平面， 于是平面， 过作，则平面， 直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设， 则， 设平面的法向量为， 则， 取，得， 而平面的一个法向量为， 设平面与平面所成角为， 则， 而，解得，则， 所以. 18. 已知函数． （1）直接写出在处的切线方程； （2）当时，求函数在上的最小值； （3）若恒成立，求实数a的取值集合． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求导得到，计算，，得到切线方程. （2）求导得到，确定恒成立，得到单调区间，计算最值即可. （3）根据必要性得到，再代入数据计算函数在上单调递减，在上单调递增，计算最值得到答案. 【小问1详解】 ，， ，，故切线方程为，即 【小问2详解】 ，， 当时，，，故恒成立，单调递减. . 【小问3详解】 在上恒成立，， 必要性：，函数在的左右均大于等于，故是极值点， ，； 充分性：当时，， 根据（2），当时，单调递减. 当时，设，则， ，故单调递增， ，故单调递增， 综上所述：在上单调递减，在上单调递增，故，满足，故，实数a的取值集合为. 19. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，抛物线在点处的切线分别为，其斜率分别为，交点为． （1）当直线过焦点时，证明：互相垂直． （2）当时，设弦的中点为． ①点是否在一条定直线上？若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由． ②求的最大值． 【答案】（1） 由题意知，直线的斜率存在，设直线与抛物线交于不同的两点，， 由于焦点，设直线的方程为， 联立，消去得，，且， 则 设，，则过点的切线方程为， 联立方程组，得。 则，解得，同理， ，所以互相垂直． （2）①是，，理由如下： 当时，设直线的方程为， 联立，消去得，，且， 则 直线与交于点，设， 抛物线在点A处的切线方程为，即， 同理，在点B处的切线方程为. 联立，解得， 将式代入化简得， 则点在定直线上. ② 【解析】 【分析】（1）联立方程组，利用分别用点的横坐标表示，，联立直线与抛物线的方程，结合韦达定理，可得结果； （2）①联立两切线方程可得交点坐标，利用韦达定理化简可得点在定直线上； ②由中点坐标公式可得点坐标，从而得到，再由弦长公式可得，再求取值范围即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②线段AB的中点为， 由（1）可得，，， 则. ， 又 将式代入得，， 则， 由，则. 的最大值为. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为，； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为的形式； （5）代入韦达定理求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $