专题 1.18 二次函数（学情检测卷）- 2026年中考数学基础知识总复习专项突破讲练（全国通用）

专题 1.18 二次函数（学情检测卷） （测试时间：90分钟 试卷满分：120分） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（25-26九年级上·安徽宣城·期末）下列关于的函数中，属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，形如的函数是二次函数. 根据二次函数的定义逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵ 二次函数需满足最高次项为次且系数不为 A、，若则不是二次函数，故此选项不一定正确，不符合题意； B、，含有分式，不是整式，故此选项不是二次函数，不符合题意； C、，展开得，，是二次函数，故此选项符合题意； D、，展开得，是一次函数，故此选项不符合题意． 故选：C． 2．（25-26九年级上·北京石景山·期末）在平面直角坐标系中，若抛物线顶点坐标为，则的值分别是（） A．1，1 B． C．，1 D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数解析式的顶点式公式，二次函数顶点式：，抛物线的顶点坐标为． 将抛物线方程化为顶点形式，根据顶点坐标求参数． 【详解】解∶抛物线解析式为， ∴顶点坐标为， 又∵顶点坐标为， ∴， ∴， ∴，． 故选∶A． 3．（25-26九年级上·天津西青·期末）把抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象的平移与几何变换．根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：由题意得，即． 故选：A． 4．（25-26九年级上·河南新乡·期中）一次函数的图象如图所示，则二次函数在平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象与系数的关系，根据一次函数图象经过的象限，找出、是解题的关键．根据一次函数的图象的性质先确定出a、b的取值范围，再根据二次函数的性质即可做出判断． 【详解】解：∵一次函数经过第一、二、三象限， ∴，， ∴二次函数的图象的开口向上， 对称轴直线，在y轴左侧， 图象与y轴的交点为，在y轴的负半轴， ∴选项D符合题意． 故选：D． 5．（2025·陕西·模拟预测）已知二次函数，顶点为A，作该函数关于原点对称的新函数，顶点为B，若点B在函数L上，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该题考查了二次函数的图象和性质，先求出原函数 L 的顶点 A ，再确定关于原点对称的新函数及其顶点 B ，代入到原函数中解出a ，最后计算的距离． 【详解】解：∵函数为， ∴顶点横坐标为，代入得纵坐标， 故顶点为， 关于原点对称后，函数的顶点横坐标为，纵坐标， 故顶点B为． 将代入L的方程得：， 解得：， 当时， ，， 距离为：， 故选：B． 6．（25-26九年级上·山西吕梁·期中）如图，抛物线经过点，交轴于点，其对称轴为直线，若对称轴上有一点，使的值最小，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的对称轴，待定系数法求一次函数解析式等知识，根据二次函数的对称轴求出抛物线与x轴的另一交点，如图，设为C，根据对称性得到，进而得到当点M在线段上时，的值最小，然后根据待定系数法求直线解析式，最后把代入求解即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，， ∴点A关于直线的对称点为， 如图，设为点C，连接， ∴， ∴， ∴当点M在线段上时，的值最小， 设直线解析式为， 则， ∴， ∴， 当时，， ∴， 故选：B． 7．（25-26九年级上·浙江温州·月考）二次函数的顶点在第一象限，部分对应值如表所示．若，则a的取值范围为（   ） x 2 5 6 y m n m p A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，不等式的性质，由对称性可知对称轴为，结合顶点在第一象限得到；由推导出关于 的不等式，结合顶点条件求解的范围，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键． 【详解】解：∵二次函数中，当和时值相等， ∴对称轴为， ∴，即， ∴， 在中，当时，，即， ∴顶点坐标为， ∵顶点在第一象限， ∴， ∴； 当时，，即， 当时，，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故不等式等价于，即， ∴， 解得：，此范围满足， ∴的取值范围为， 故选：A． 8．（25-26九年级上·四川南充·月考）已知二次函数，当时，的取值范围是，且该二次函数的图象经过点两点，则的值可能是（   ） A． B．4 C． D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；由不等式解集形式可知二次函数开口向下，对称轴为直线；再根据点M和N的纵坐标关系，结合开口方向，得出点N更靠近对称轴，从而建立关于d的不等式并求解范围，最后验证选项即可． 【详解】解：∵二次函数，当时，的取值范围是， ∴二次函数开口向下，且对称轴为直线， ∵点在函数图象上，且， ∴点N的纵坐标大于点M的纵坐标， 又∵抛物线开口向下， ∴点N到对称轴的距离小于点M到对称轴的距离， 即， 解得：， ∴d的值可能为（选项A），而4、、6均不在范围内， 故选A． 9．（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数表达式为，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为（   ）米． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的最值问题，掌握二次函数的顶点式是解题关键． 利用配方法将二次函数解析式化为顶点式，根据顶点坐标可求得最高点离地面的距离． 【详解】解：已知铅球运行时函数表达式为：， 可得 ， 二次函数的顶点式为，其中顶点坐标为，铅球运动的函数表达式中，抛物线开口向下， 顶点为最高点， 故铅球运动过程中最高点离地面的距离为． 故选：． 10．（25-26九年级上·安徽淮南·期末）已知二次函数的图像如图所示，有下列结论：；；若为任意实数，则；；若，，则．其中正确结论的个数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图像与系数的关系，根据二次函数图像与系数的关系，二次函数的性质进行判断即可，掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． 【详解】解：抛物线开口方向向下，则， ∵抛物线对称轴位于轴右侧， ∴异号，即， ∵抛物线与轴交于正半轴， ∴， ∴，故错误； ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴，故正确； ∵抛物线对称轴为直线，， ∴函数的最大值为， ∴，即，故正确； ∵抛物线与轴的一个交点在的左侧，而对称轴为直线， ∴关于直线的对称点为， ∴抛物线与轴的另一个交点在的右侧， ∴当时，， ∴，故错误； ∵，， 即， ∴， ∴，故正确， 综上所述，正确的有，共个， 故选：． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2025·上海嘉定·一模）已知二次函数的图像经过和，那么此二次函数图像的对称轴为直线 ． 【答案】 【分析】本题考查求二次函数的对称轴，由题意得，点和是对称点，根据二次函数对称的性质求解即可． 【详解】解：由题意得，点和关于对称轴对称， ∴二次函数图像的对称轴为直线， 故答案为：． 12．（2026·上海金山·一模）对于抛物线，沿着轴正方向看，抛物线在直线左侧的部分是下降的，写出一个符合条件的的值是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了二次函数的性质，首先判断出抛物线开口向上，然后根据题意得到，求出，进而求解即可． 【详解】解：∵抛物线中二次项系数， ∴抛物线开口向上， ∵沿着轴正方向看，抛物线在直线左侧的部分是下降的， ∴ ∴ ∴写出一个符合条件的的值是． 故答案为：（答案不唯一）． 13．（25-26九年级上·江苏常州·月考）若，，为二次函数的图象上的三点，则，、的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质． 由二次函数的对称轴直线为，开口向上可得出关于对称轴直线的对称点为：，关于对称轴直线的对称点为：，再结合以及函数图像可得出． 【详解】解：∵二次函数的对称轴直线为，开口向上． ∴关于对称轴直线的对称点为：， 关于对称轴直线的对称点为：， ， ， 故答案为：． 14．（25-26九年级上·广东广州·月考）已知抛物线的顶点P随着m的变化而变化，当P点最高时，抛物线的函数解析式为 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；通过求抛物线的顶点坐标，得到顶点的纵坐标表达式，进而确定当时顶点最高，然后问题可求解． 【详解】解：把抛物线配成顶点式为， ∴顶点坐标为， 由于，故，当时，取得最大值， 此时抛物线的解析式为； 故答案为：． 15．（25-26九年级上·福建莆田·期末）若二次函数的部分图象如图所示，关于的一元二次方程的一个解，则另一个解 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程，由图象可得该二次函数的对称轴为直线，与轴的一个交点为，从而得出该二次函数与轴的另一个交点为，即可得出结果，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得，该二次函数的对称轴为直线，与轴的一个交点为， ∴该二次函数与轴的另一个交点为， ∴关于的一元二次方程的一个解，则另一个解， 故答案为：． 16．（2025九年级上·山东青岛·专题练习）如图，抛物线分别与轴正半轴、轴交于点，．点在线段上运动（不与点A，B重合），过点作轴交抛物线于点，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握二次函数以及一次函数的性质是解本题的关键． 令可得点的坐标，令可得点的坐标，再运用待定系数法求一次函数解析式；设点，则点，表示出的长度表达式，根据二次函数的性质解答即可． 【详解】解：令，即， 解得：， ∴点， 将，代入，得， ∴点， 设直线的函数表达式为， ∴， 解得：， ∴直线的函数表达式为； 设点，则点， ∵点Q在线段上方的抛物线上，始终在一次函数图像的上方， ∴， ∴当时，的长度最大，最大值为． 故答案为：． 17．（25-26九年级上·上海普陀·期中）定义：如果直线与开口向下的抛物线有两个交点，那么这两个交点之间的距离叫做这条抛物线的“反碟长”．如图，抛物线随其顶点沿直线平移一定距离后，得到新抛物线的“反碟长”恰好为4，那么抛物线的表达式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，二次函数的平移，求二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握二次函数的顶点式．设平移后抛物线的顶点坐标为，根据顶点式得出，然后根据根与系数的关系，结合抛物线的“反碟长”恰好为4，列出关于m的方程，解方程即可． 【详解】解：设平移后抛物线的顶点坐标为，则抛物线的表达式为： ， 把代入得：， 整理得：， 设方程的两根为，，且，则： ，， ∵抛物线的“反碟长”恰好为4， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为：． 故答案为：． 18．（2024·山东淄博·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，作直线与轴相交于点，与抛物线相交于点，连接，相交于点，得和，若将其面积之比记为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，二次函数的图象和性质，根据题意，易证，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵作直线与轴相交于点，与抛物线相交于点， ∴轴，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25九年级下·吉林松原·月考）在平面直角坐标系中，点和都在二次函数（，a、b是常数）的图象上． (1)若，求该二次函数的解析式； (2)若，，直接写出该抛物线的对称轴． 【答案】(1)二次函数的解析式为 (2)对称轴是直线 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的对称轴，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，由点和都在二次函数（是常数）的图象上，从而，，结合，求出a，b，即可判断得解； （2）依据题意，结合二次函数的对称轴为直线，把，代入计算，即可作答． 【详解】（1）解： 点和都在二次函数（是常数）的图象上， ， 又， ， 二次函数为． （2）解：依题意，二次函数的对称轴为直线， ∵，， ∴直线， ∴对称轴是直线． 20．（本小题满分8分）（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，其中点A在x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上． (1)试写出该抛物线的对称轴和顶点C的坐标； (2)在抛物线上是否存在一点M，使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的对称轴是y轴，顶点C的坐标为 (2)不存在．理由见解析 【分析】本题考查抛物线的图象和性质，全等三角形的性质等： （1）抛物线的对称轴为y轴，顶点坐标为； （2）假设存在一点M，使，则点M和O关于直线对称， 求出点M的坐标，再判断点M是否在抛物线上即可． 【详解】（1）解：该抛物线的对称轴是y轴，顶点C的坐标为． （2）解：不存在．理由如下： 对于，令，则， 解得，， 点A的坐标为，点B的坐标为． 则， 是等腰直角三角形． 假设存在一点M，使， 为公共边，， 点M和O关于直线对称， 四边形是正方形， 点M的坐标为． 当时，， 即点M不在抛物线上， 在抛物线上不存在一点M，使． 21．（本小题满分10分）（2024·江苏宿迁·三模）校为调整学生的伙食，计划购买一批水果．市场调查发现，甲种水果售价元/千克与购买的质量千克之间的函数关系如图所示，乙种水果售价为5元/千克，两种水果共需购买240千克． (1)当时，求与的函数关系式； (2)若购买甲种水果不少于40千克，且购买乙种水果不低于甲种水果的2倍，如何购买两种水果才能使总费用(元)最少？最少是多少元？ 【答案】(1) (2)购买甲种水果千克，乙种水果千克时，总费用最少，最少为元 【分析】本题考查一元一次不等式组、一次函数、二次函数的应用； （1）利用待定系数法求解并写为分段函数的形式即可； （2）甲种水果的质量为a千克()，则购买乙种水果千克，根据题意列关于的一元一次不等式组并求解；按照不同的取值范围，分别根据“总费用甲种水果的售价甲种水果的购买质量乙种水果的售价乙种水果的购买质量”写出关于的函数关系式，根据函数的增减性和的取值范围分别求出当为何值时值最小，求出最小值及对应的值，比较的两个最小值，选择较小的一个即可． 【详解】（1）解：由图像可知，当甲种水果质量千克时，费用保持不变，为元千克， 所以函数关系式为：， 当甲种水果质量千克时，函数图像为直线， 设函数关系式为：， 将，和，分别代入函数关系式得： ， 解得：， ， 当时，与的函数关系式应为： ． （2）解：设甲种水果的质量为千克，则乙种水果的质量为千克， 乙种水果的质量不低于甲种水果质量的倍， ， 解得：， 的范围为：， 当时，， 此时当最小时，最小， 即当时，有最小值元， 当时，， 此时当时，离对称轴最远，最小， 即当时，有最小值元， ， 当时总费用最少，为元，此时千克 故购买甲种水果千克，乙种水果千克时，总费用最少，最少为元． 22．（本小题满分10分）（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于，，D为抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图①，若H为射线与y轴的交点，N为射线上一点，设N点的横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数关系式； (3)如图②，在（2）的条件下，若N与B重合，G为线段上一点，过G作y轴的平行线交抛物线于F，连接，且，求F点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）如图中，连接，根据计算即可； （）如图中，延长交于点，证明，得，设 ，列出方程即可解决问题． 【详解】（1）抛物线与轴交于，， ， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）如图，连接， 抛物线解析式为， ∴抛物线顶点坐标， ，设直线的解析式为：， ， 解得， 直线的解析式为：， 当时，， ， ． 与的函数关系式为； （3）如图中，延长交于， ，， ， ， ∵， ， ， ， ， 在和中， ∵， ， ， 设，则， ， 解得或4（舍去）， ． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数综合，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，平行线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 23．（本小题满分10分）（2024·甘肃嘉峪关·三模）如图，已知点，，在抛物线上． (1)求抛物线解析式； (2)在直线BC上方的抛物线上求一点P，使面积为1； (3)在抛物线的对称轴上，是否存在一点Q，使是等腰三角形，若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或，理由见解析 (3)Q的坐标为 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质等知识，等腰三角形的判定，勾股定理，一元二次方程，解题关键是准确计算． （1）把A、B、C的坐标代入求解即可； （2）先求出直线的解析式，设，则，可求，当的面积为1时，则，然后解方程即可求解． (3)分类讨论：①当时，②当时， ③当时，逐一求解即可． 【详解】（1）解：∵点，，在抛物线上， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 则， ∴， ∴直线的解析式为， 过P作轴，交于Q， 设，则， ∴， ∴， 当的面积为1时，， 解得，， ∴或， ∴存在点使得的面积为1． （3）抛物线对称轴为， 设，由，，得 由是等腰三角形，则 ①当时， ， 即， 解得， 即或． ②当时，， 即， 解得或， 即或． ③当时， ， 即， 解得， 即． 综上，Q的坐标为． 24．（本小题满分12分）（2025·广西来宾·一模）我们常借助图象来探究二次函数的性质及其变化规律． 【初步探究】如图1，我们将二次函数的图象向上平移得到的图象．过上点作轴交于点．    （1）点在上运动的过程中，线段的长度是否会发生变化？若不变，请求出定值；若变化，请说明理由． 【拓展探究】如图2，线段分别交轴、轴于点，．平移得到，且使其顶点始终在线段上．过点作轴交于点． （2）若的顶点横坐标为4，，求点的横坐标． （3）若点的坐标为，的顶点横坐标为，的长为． ①求关于的函数解析式； ②求的最大值． 【答案】（1）的长度不变，；（2）点的横坐标为或；（3）①当时，；当时，；② 【分析】本题主要考查二次函数的性质，涉及二次函数的平移、根据顶点坐标求函数解析式和二次函数的性质，解题的关键是熟悉二次函数的性质和分类讨论思想的应用． （1）理由一：因为是由向上平移3个单位长度得到，相同的对应的函数值相差3． 理由二：作差求得，则． （2）根据点的横坐标和直线，求得的顶点坐标，则的函数解析式为，设，，分点在点上方和点在点上方两种情况求解即可； （3）①根据题意得顶点为，则的函数解析式为，进一步求得，当点和点重合时求得m，分当和时，分别求得； ②结合①利用二次函数的性质分别求得最大值即可； 【详解】解：（1）的长度不变，． 理由一：因为是由向上平移3个单位长度得到，相同的对应的函数值相差3． 理由二：∵， ∴． （2）∵，的顶点横坐标为4， ∴的顶点坐标为， ∴的函数解析式为． 设，． 当点在点上方时，，则； 当点在点上方时，，则． ∴点的横坐标为或． （3）①∵的顶点横坐标为， ∴顶点为． ∴的函数解析式为． ∵， ∴． 当点，重合时，，解得，． 当时，； 当时，． ②当时，． ∵，对称轴为直线， ∴当时，的最大值． 当时，． ∵，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，的最大值． ∵． ∴的最大值为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.18 二次函数（学情检测卷） （测试时间：90分钟 试卷满分：120分） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（25-26九年级上·安徽宣城·期末）下列关于的函数中，属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·北京石景山·期末）在平面直角坐标系中，若抛物线顶点坐标为，则的值分别是（） A．1，1 B． C．，1 D． 3．（25-26九年级上·天津西青·期末）把抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线解析式为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·河南新乡·期中）一次函数的图象如图所示，则二次函数在平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·陕西·模拟预测）已知二次函数，顶点为A，作该函数关于原点对称的新函数，顶点为B，若点B在函数L上，则的长为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·山西吕梁·期中）如图，抛物线经过点，交轴于点，其对称轴为直线，若对称轴上有一点，使的值最小，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·浙江温州·月考）二次函数的顶点在第一象限，部分对应值如表所示．若，则a的取值范围为（   ） x 2 5 6 y m n m p A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·四川南充·月考）已知二次函数，当时，的取值范围是，且该二次函数的图象经过点两点，则的值可能是（   ） A． B．4 C． D．6 9．（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数表达式为，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为（   ）米． A． B． C． D． 10．（25-26九年级上·安徽淮南·期末）已知二次函数的图像如图所示，有下列结论：；；若为任意实数，则；；若，，则．其中正确结论的个数是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2025·上海嘉定·一模）已知二次函数的图像经过和，那么此二次函数图像的对称轴为直线 ． 12．（2026·上海金山·一模）对于抛物线，沿着轴正方向看，抛物线在直线左侧的部分是下降的，写出一个符合条件的的值是 ． 13．（25-26九年级上·江苏常州·月考）若，，为二次函数的图象上的三点，则，、的大小关系是 ． 14．（25-26九年级上·广东广州·月考）已知抛物线的顶点P随着m的变化而变化，当P点最高时，抛物线的函数解析式为 15．（25-26九年级上·福建莆田·期末）若二次函数的部分图象如图所示，关于的一元二次方程的一个解，则另一个解 ． 16．（2025九年级上·山东青岛·专题练习）如图，抛物线分别与轴正半轴、轴交于点，．点在线段上运动（不与点A，B重合），过点作轴交抛物线于点，则的最大值是 ． 17．（25-26九年级上·上海普陀·期中）定义：如果直线与开口向下的抛物线有两个交点，那么这两个交点之间的距离叫做这条抛物线的“反碟长”．如图，抛物线随其顶点沿直线平移一定距离后，得到新抛物线的“反碟长”恰好为4，那么抛物线的表达式是 ． 18．（2024·山东淄博·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，作直线与轴相交于点，与抛物线相交于点，连接，相交于点，得和，若将其面积之比记为，则 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25九年级下·吉林松原·月考）在平面直角坐标系中，点和都在二次函数（，a、b是常数）的图象上． (1)若，求该二次函数的解析式； (2)若，，直接写出该抛物线的对称轴． 20．（本小题满分8分）（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，其中点A在x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上． (1)试写出该抛物线的对称轴和顶点C的坐标； (2)在抛物线上是否存在一点M，使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 21．（本小题满分10分）（2024·江苏宿迁·三模）校为调整学生的伙食，计划购买一批水果．市场调查发现，甲种水果售价元/千克与购买的质量千克之间的函数关系如图所示，乙种水果售价为5元/千克，两种水果共需购买240千克． (1)当时，求与的函数关系式； (2)若购买甲种水果不少于40千克，且购买乙种水果不低于甲种水果的2倍，如何购买两种水果才能使总费用(元)最少？最少是多少元？ 22．（本小题满分10分）（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于，，D为抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图①，若H为射线与y轴的交点，N为射线上一点，设N点的横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数关系式； (3)如图②，在（2）的条件下，若N与B重合，G为线段上一点，过G作y轴的平行线交抛物线于F，连接，且，求F点的坐标． 23．（本小题满分10分）（2024·甘肃嘉峪关·三模）如图，已知点，，在抛物线上． (1)求抛物线解析式； (2)在直线BC上方的抛物线上求一点P，使面积为1； (3)在抛物线的对称轴上，是否存在一点Q，使是等腰三角形，若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 24．（本小题满分12分）（2025·广西来宾·一模）我们常借助图象来探究二次函数的性质及其变化规律． 【初步探究】如图1，我们将二次函数的图象向上平移得到的图象．过上点作轴交于点．    （1）点在上运动的过程中，线段的长度是否会发生变化？若不变，请求出定值；若变化，请说明理由． 【拓展探究】如图2，线段分别交轴、轴于点，．平移得到，且使其顶点始终在线段上．过点作轴交于点． （2）若的顶点横坐标为4，，求点的横坐标． （3）若点的坐标为，的顶点横坐标为，的长为． ①求关于的函数解析式； ②求的最大值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $