专题 1.17 二次函数（ 知识梳理+题型精析+真题专练）- 2026年中考数学基础知识总复习专项突破讲练（全国通用）

专题 1.17 二次函数（知识梳理+题型精析+真题专练） 目录 一.知识梳理 2 【知识点一】二次函数有关概念 2 【知识点二】二次函数的解析式 2 【知识点三】二次函数的图象与性质 2 【知识点四】二次函数的图象与各项系数之间的关系 3 【知识点五】二次函数的图象的平移规律 3 【知识点六】二次函数与一元二次方程 4 【知识点七】二次函数与不等式 4 【知识点八】二次函数的应用 4 二.题型分类精析 5 基础篇 5 【考点一】二次函数的定义与基本形式 5 【题型1】二次函数定义判定（求参数取值范围） 5 【题型2】列二次函数的关系式 6 【考点二】a、b、c几何意义与抛物线图像特征 8 【题型3】根据解析式判断抛物线开口、对称轴、顶点坐标 8 【题型4】根据抛物线图像判断a、b、c及相关代数式的符号 9 【考点三】待定系数法求二次函数解析式 12 【题型5】三点式求一般式解析式 13 【题型6】顶点+对称轴+单点坐标求顶点式解析式 15 【题型7】与轴两交点+单点坐标求交点式解析式 17 【考点四】抛物线的平移变换 18 【题型8】根据平移方向求平移后的函数解析式 18 【题型9】根据平移前后解析式判断平移方式 19 【考点五】二次函数与一元二次方程的基础联系（根的判别式） 21 【题型10】判断抛物线与x轴的交点个数 21 【题型11】根据抛物线与x轴交点情况求参数取值范围 23 【考点六】二次函数的基础最值 25 【题型12】直接求顶点处的最大（ 最小）值 25 【题型13】根据最值求解析式中参数的值 26 培优篇 27 【考点七】二次函数的区间最值与含参最值 27 【题型14】定函数在定区间内的最值求解 27 【题型15】含参函数在定区间内的最值求解（分类讨论） 29 【考点八】二次函数与一次函数、反比例函数综合 32 【题型16】求函数图像的交点问题 32 【题型17】根据函数图像判断自变量的取值范围（解不等式） 34 【考点九】二次函数与几何图形综合（三角形） 37 【题型18】三角形面积的最值求解 37 【题型19】特殊三角形（等腰、直角）的存在性判定 41 【题型20】利用三角形性质求抛物线上点的坐标 47 【考点十】二次函数与几何图形综合（四边形） 54 【题型21】平行四边形的存在性判定 55 【题型22】特殊四边形（矩形、菱形、正方形）的存在性判定 61 【考点十一】二次函数的实际应用（最优化问题） 68 【题型23】销售利润类最值问题 68 【题型24】实际生活中的抛体与工程类最值问题 71 【考点十一】二次函数与几何变换（折叠、旋转、平移）综合 75 【题型25】二次函数与几何变换——折叠问题 75 【题型26】二次函数与几何变换——旋转问题 82 【题型27】二次函数与几何变换——平移问题 89 三.中考真题专练 96 (一)单选题（10题） 96 （二）填空题（6题） 104 （三）解答题（4题） 108 一.知识梳理 【知识点一】二次函数有关概念 (1)定义：一般的，形如(a、b、c是常数，)的函数叫做二次函数，自变量x的取值范围为全体实数. (2)、bx、c分别称作二次函数的二次项、一次项和常数项，、b分别称为二次项系数和一次项系数. 【知识点二】二次函数的解析式 (1)三类解析式 一般式：(a、b、c是常数，)； 顶点式：()，二次函数的顶点坐标是(h，k)； 交点式：()，其中x1，x2是图象与x轴交点的横坐标 ． (2)待定系数法求解析式 ①巧设二次函数的解析式（给顶点设顶点式，给交点设交点式，其余情况设一般式）； ②根据已知条件，得到关于待定系数的方程（组）； ③解方程（组），求出待定系数的值，从而求出函数的解析式. 【知识点三】二次函数的图象与性质 开口 方向 a>0时，开口向上；a<0时，开口向下. 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h 顶点 与 最值 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) a>0时，顶点是最低点，此时y有最小值，最小值为0(或k或)； a<0时，顶点是最高点，此时y有最大值，最大值为0(或k或). 增 减 性 a>0 x<0(h或)时，y随x的增大而减小；x>0(h或)时，y随x的增大而增大。 即在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增大。 a<0 x<0(h或)时，y随x的增大而增大；x>0(h或)时，y随x的增大而减小。 即在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减小。 对称性 1.图象是轴对称图形； 2. 抛物线上y值相等的两点，其中点必在对称轴上； 3. 抛物线上到对称轴距离相等的点，y值必定相等. 【知识点四】二次函数的图象与各项系数之间的关系 (1)的正负决定开口方向: ，抛物线开口向上；，抛物线开口向下. 的大小决定开口的大小: 越大，抛物线的开口越小；越小，抛物线的开口越大. (2)、b的符号共同决定对称轴的位置 当时，，对称轴为y轴； 当a、b同号时，，对称轴在y轴左边；当a、b异号时，，对称轴在y轴右边．（简记为“左同右异”） (3)c决定抛物线与轴的交点的位置 当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上； 当c＝0时，抛物线经过原点； 当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上. 【知识点五】二次函数的图象的平移规律 任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．具体平移方法如下： 【知识点六】二次函数与一元二次方程 二次函数()的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程的根. (1)当b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点； (2)当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点； (3)当b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点. 【知识点七】二次函数与不等式 (1)抛物线在x轴上方图象上的点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式的解集； (2)抛物线在x轴下方图象上的点的纵坐标均为负，所对应的x的所有值就是不等式的解集. 【知识点八】二次函数的应用 (1)最大利润问题：求解最值时，一定要考虑顶点横坐标（对称轴）的取值是否在自变量的取值范围内. (2)面积问题：篱笆问题，铅锤法求面积. (3)类抛物线问题：拱桥、投桥、喷泉问题. (4)与几何图形结合：与三角形、圆等几何图形结合，考查最大面积或最小距离等问题 二.题型分类精析 题号前带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 基础篇 【考点一】二次函数的定义与基本形式 【题型1】二次函数定义判定（求参数取值范围） 【★例题1】（2025·上海嘉定·一模）下列关于的函数中二次函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数的概念，熟练掌握二次项系数不为零，最高次项的次数是2是解题的关键．形如的函数即为二次函数，据此进行判断即可． 【详解】解：A．符合二次函数定义，则A符合题意； B．不是二次函数，则B不符合题意； C．，最高次项系数不是2，故不是二次函数，则C不符合题意； D．最高次项系数不是2，故不是二次函数，则D不符合题意； 故选：A． 【★变式1】（2025·上海徐汇·一模）二次函数中m的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的定义，根据题意形如的形式叫做y是x的二次函数．继而得到，即得本题答案． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴，即， 故选：A． 【★★变式2】（23-24九年级上·福建龙岩·月考）已知函数是关于的二次函数，则m的值是 ． 【答案】 【分析】根据二次函数的定义列出不等式求解即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的定义，注意到是关键． 【题型2】列二次函数的关系式 【★例题2】（2025·甘肃陇南·模拟预测）某超市有一种商品，进价为2元，据市场调查，销售单价是13元时，平均每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出10件．若设降价后售价为元，每天利润为元，则与之间的函数关系为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列二次函数关系式，根据题意可得单件商品的利润为元，销售量为件，据此列出对应的函数关系式即可． 【详解】解：由题意得， ， 故答案为：． 【★变式1】（23-24九年级上·山东济宁·期末）共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】主要考查平均增长率问题．熟练掌握平均增长率公式是解决问题的关键，，其中a为起始量，b为终止量，x为平均增长率，n为增长次数． 如果设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，可得出函数关系式． 【详解】∵该公司第二、三两个月投放共享单车数量的月平均增长率为x， ∴第二个月投放共享单车辆，第三个月投放共享单车辆， ∴y与x之间的函数表达式是． 故选：B． 【★★变式2】（2024九年级下·浙江舟山·学业考试）如图，正三角形的边长为1，是边上的一点，过作边的垂线，交于，用表示线段的长度，显然线段的面积是线段长度的函数，这个函数的表达式是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握等边三角形的性质，理解在直角三角形中，的角所对的直角边等于斜边的一半是解决问题的关键．先求出，根据直角三角形的性质得，再由勾股定理可得，然后等边的边长为1，得，，据此可得出函数的表达式． 【详解】解：如图，连接， 为等边三角形， ， ， ， 在中，， ， 由勾股定理得：， 等边的边长为1，， ， ， ∴， 故答案为：． 【考点二】a、b、c几何意义与抛物线图像特征 【题型3】根据解析式判断抛物线开口、对称轴、顶点坐标 【★例题3】（2023·甘肃兰州·中考真题）已知二次函数，下列说法正确的是（    ） A．对称轴为 B．顶点坐标为 C．函数的最大值是－3 D．函数的最小值是－3 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象及性质进行判断即可． 【详解】二次函数的对称轴为，顶点坐标为 ∵ ∴二次函数图象开口向下，函数有最大值，为 ∴A、B、D选项错误，C选项正确 故选：C 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键． 【★变式1】（2023·上海崇明·一模）如果抛物线的对称轴是轴，那么它的顶点坐标为 ． 【答案】 【分析】由题意知，即可解得抛物线为，将代入即可求得顶点坐标． 【详解】解：∵的对称轴是轴， ∴， 解得： ∴抛物线为：， 将代入得：， ∴顶点坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象及其性质，二次函数的对称轴为直线，与y轴的交点为． 【★★变式2】（2024·上海普陀·一模）如图，抛物线的顶点为，为对称轴上一点，如果，那么点M的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质；先化为顶点式求得，对称轴为直线，设，根据建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，对称轴为直线，设， ∵，则， 即， 解得：， ∴, 故答案为：． 【题型4】根据抛物线图像判断a、b、c及相关代数式的符号 【★例题4】（23-24九年级上·新疆·期中）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论： ①；②；③；④；⑤，（的实数） 其中正确的结论有 填序号 【答案】 【分析】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换的熟练运用．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①图象开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴为，能得到：，，， ∴， ∴， ∴①错误； ②当时，由图象知， 把代入解析式得：， ∴， ∴②错误； ③∵图象开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴为， ∴，，， ∴， ∴ ∴③正确； ④由①②知且， ∴，④正确； ⑤∵时，最大值，时，， ∵的实数， ， ∴成立． ∴⑤正确． 故答案为：③④⑤． 【★变式1】（2023·上海虹口·一模）已知抛物线如图所示，那么点在第 象限． 【答案】二 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据抛物线的开口方向和对称轴位置确定的符号，抛物线与轴的交点确定的符号，即可确定点所在的象限． 【详解】解：由抛物线的图象得，，， ， 在第二象限． 故答案为：二． 【★★变式2】（2025·湖北·模拟预测）已知二次函数的图象如图所示，顶点为，下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，根据二次函数图象以及顶点坐标找出、、之间的关系是解题的关键．根据二次函数的图象以及顶点坐标，分别找出 、、 之间的关系， 对照 4 条结论判断其正确与否， 由此即可得出结论． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 对称轴在轴左边， ， 抛物线与轴的交点在轴的上方， ， ， 结论不正确； 二次函数的图象与轴只有一个交点， ， 即， 结论正确； 对称轴， ， ， ， ， 根据函数图象可知， ， 结论正确； 对称轴是，而且时，， 时，， ， 结论正确． 综上分析，正确结论的个数是个． 故选：C． 【考点三】待定系数法求二次函数解析式 【题型5】三点式求一般式解析式 【★例题5】（2025·陕西·模拟预测）已知抛物线过，，三点，关于这个抛物线下列结论正确的是（    ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线 C．抛物线与轴的交点坐标为 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与坐标轴的交点．熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数与坐标轴的交点是解题的关键．先求解二次函数的解析式，再根据二次函数的图象与性质，二次函数与坐标轴的交点判断作答即可． 【详解】解：∵设抛物线为，把，，代入得： ∴， 解得：， ∴抛物线为， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，当时，y随着x增大而减小， ∴A、B错误，故不符合要求；D正确，故符合要求； 当时，，即抛物线与y轴交点坐标是， ∴C错误，故不符合要求； 故选：D． 【★变式1】（25-26九年级上·北京·开学考试）已知抛物线过点，，，则这个抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的表达式，把点，，代入，利用待定系数法列方程组，解方程组可得抛物线的解析式． 【详解】解：∵抛物线过点，，， ∴， 解得， ∴这个抛物线的解析式为． 故答案为：． 【★★变式2】（2023·江苏无锡·模拟预测）有一个电脑程序，输入一个数，经过运算后输出结果，部分对应值如表： 输入x 2 3 6 7 输入y 5 2 1 2 3 则y关于x的函数表达式可能是 ．（写出一个即可） 【答案】 【分析】根据表格中的数据，可以写出一个符合题意的函数表达式，注意本题答案不唯一．本题考查二次函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，写出一个符合题意的函数表达式，注意本题答案不唯一． 【详解】解：设当时，， ， 得， 即当时，， 当时，设， ， 得， 即时，设， ∴ 故答案为：． 【题型6】顶点+对称轴+单点坐标求顶点式解析式 【★例题6】（25-26九年级上·全国·课后作业）二次函数（a，b，c是常数，且）的自变量x和函数值y的部分对应值如下表所示： x 0 … y 5 4 5 … （1）根据以上信息可知， ． （2）此二次函数的解析式为 ． 【答案】 5 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． （1）根据表格中对应值可知抛物线与轴的交点，即可求解； （2）根据表格中对应值可知对称轴的值，即可得到顶点，然后利用待定系数法求出二次函数解析式即可． 【小题1】解：由表可知，当时，． 故答案为：5． 【小题2】解：二次函数的图象过和， 对称轴为直线， 顶点为 故设二次函数的解析式为． 将代入，得， ， 二次函数的解析式为，即． 故答案为：． 【★变式1】（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·月考）某抛物线的形状、开口方向都与抛物线相同，且顶点为，则该抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质及待定系数法求解析式．根据形状、开口方向相同得到，设出解析式为，根据顶点为代入计算即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线的形状、开口方向与抛物线相同， ∴， ∵抛物线顶点为， ∴抛物线解析式为， 故答案为：． 【★★变式2】（2025·黑龙江佳木斯·二模）若二次函数的图像开口向下，顶点坐标为，且过点，则函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，直接设抛物线为，再进一步求解即可. 【详解】解：∵二次函数的图像开口向下，顶点坐标为，且过点， ∴设二次函数为， ∴， 解得：， ∴抛物线为：； 故选：A 【题型7】与轴两交点+单点坐标求交点式解析式 【★例题7】（25-26九年级上·湖北武汉·月考）已知二次函数图象过，，其图象的开口和形状均与的图象一致，那么该二次函数的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是掌握待定系数法． 由开口和形状与一致得二次项系数，然后由过点，求解即可． 【详解】∵二次函数图象开口和形状与一致， ∴． 又∵二次函数图象过，， ∴． 故选：A． 【★变式1】（25-26九年级上·全国·课后作业）已知一条抛物线分别经过三点，则该抛物线对应的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的表达式，解题的关键是根据抛物线与轴的交点设出合适的函数表达式形式． 已知抛物线与轴的两个交点坐标，设出交点式，再代入点求出的值，进而得到函数表达式． 【详解】设抛物线对应的函数表达式为． 把代入，得，解得， ∴抛物线对应的函数表达式为． 【★★变式2】（24-25九年级上·浙江杭州·月考）已知一条拋物线的形状、开口方向均与拋物线相同，且经过和，则这条抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查求二次函数的解析式，利用两点式设出函数解析式，根据两条抛物线的形状、开口方向相同，得到，即可． 【详解】解：∵抛物线经过和， ∴设抛物线的解析式为：， ∵一条拋物线的形状、开口方向均与拋物线相可， ∴， ∴． 故答案为： 【考点四】抛物线的平移变换 【题型8】根据平移方向求平移后的函数解析式 【★例题8】（25-26九年级上·浙江金华·月考）抛物线的函数表达式为，若将轴向上平移2个单位长度，将轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象的平移：将坐标轴的平移转换为函数图象的平移：轴向上平移2个单位相当于图象向下平移2个单位，轴向左平移3个单位相当于图象向右平移3个单位． 【详解】解：∵轴向上平移2个单位，相当于函数图象向下平移2个单位； ∵轴向左平移3个单位，相当于函数图象向右平移3个单位； ∴原函数向右平移3个单位得； 再向下平移2个单位得． 故选：C． 【★变式1】（25-26九年级上·上海宝山·月考）将抛物线向下平移个单位后，它的顶点恰好落在轴上，那么 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了把二次函数解析式化成顶点式、二次函数的平移等知识点，确定平移后的函数解析式是解题的关键． 先将原抛物线解析式化为顶点式，得到顶点坐标，再根据平移规律“上加下减”得到新抛物线的顶点坐标，由顶点落在x轴上即纵坐标为0，再列出方程求解即可． 【详解】解：∵原抛物线化成顶点式为， ∴顶点坐标为， ∵原抛物线向下平移个单位后，新抛物线解析式为，∴顶点坐标为． ∵顶点落在轴上， ∴，解得：． 故答案为 4． 【★★变式2】（25-26九年级上·山西晋城·月考）将抛物线向左平移4个单位长度，向上平移2个单位长度后得到的新抛物线的顶点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的平移，以及二次函数一般式化顶点式，解题的关键在于正确掌握函数平移的规律． 先求原抛物线的顶点坐标，再根据平移规则：向左平移4个单位，顶点横坐标减4；向上平移2个单位，顶点纵坐标加2，得到新顶点坐标． 【详解】∵， ∴原顶点坐标为， ∴将抛物线向左平移4个单位长度，向上平移2个单位长度后得到的新抛物线的顶点坐标为，即． 故答案为：． 【题型9】根据平移前后解析式判断平移方式 【★例题9】（25-26九年级上·河北廊坊·期末）要将抛物线平移得到抛物线，可以（    ） A．向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度 B．向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度 C．向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度 D．向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度 【答案】B 【分析】本题主要考查了抛物线的平移问题，根据解析式可得两个解析式的顶点坐标，根据“上加下减，左减右加”的平移规律判断出顶点的平移方式即可得到答案． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 抛物线的顶点坐标为， ∵点是由点向左平移个单位长度，向下平移个单位长度得到的， ∴将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度可得到抛物线， 故选：B． 【★变式1】（23-24九年级上·山东烟台·期中）将抛物线通过某种方式平移后得到抛物线，则下列平移方式正确的是(　　) A．向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度 B．向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度 C．向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度 D．向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的平移，求出平移前后的二次函数的顶点坐标，再根据顶点的位置确定平移方式即可，掌握运用顶点确定平移方式是解题的关键． 【详解】解：∵的顶点坐标为，的顶点坐标为， ∴将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度得到抛物线，即， 故选：A． 【★★变式2】（25-26九年级上·河北沧州·月考）对于抛物线，按下列方式平移后仍不经过原点的是（   ） A．先向左平移2个单位长度．再向上平移9个单位长度 B．先向左平移4个单位长度，再向下平移4个单位长度 C．先向右平移1个单位长度，再向下平移9个单位长度 D．先向左平移3个单位长度、再向上平移7个单位长度 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图像的平移，掌握函数平移法则“左加右减、上加下减”成为解题的关键． 先将函数解析式化成顶点式，然后分别按各选项的平移方式求出平移后的解析式，然后再判定即可． 【详解】解：∵， ∴A、先向左平移2个单位长度．再向上平移9个单位长度得到新抛物线，经过原点，故不符合题意； B、先向左平移4个单位长度，再向下平移4个单位长度得到新抛物线，不经过原点，故符合题意； C、先向右平移1个单位长度．再向下平移9个单位长度得到新抛物线，经过原点，故不符合题意； D、先向左平移3个单位长度、再向上平移7个单位长度得到新抛物线，经过原点，故不符合题意； 故选：B． 5． 【考点五】二次函数与一元二次方程的基础联系（根的判别式） 【题型10】判断抛物线与x轴的交点个数 【★例题10】（25-26九年级上·河北唐山·期末）下列关于二次函数与坐标轴的交点的说法正确的是（   ） A．与x轴的交点个数不确定 B．与y轴的交点坐标为 C．与坐标轴有两个交点 D．与坐标轴有3个交点 【答案】D 【分析】本题主要考查了求二次函数图象与坐标轴的交点知识点，解题的关键是理解和灵活运用知识解题．通过计算二次函数与坐标轴的交点情况判断选项．与y轴的交点由求得；与x轴的交点个数由判别式决定． 【详解】∵与y轴交点：当时，， ∴交点为，故B错误． ∵与x轴交点：令，得方程，判别式， ∴方程有两个不相等的实数根，即与x轴有两个交点，故A错误． ∵与x轴有两个交点，与y轴有一个交点，且交点不重合（因为当时）， ∴与坐标轴共有三个交点，故C错误，D正确． 故选：D． 【★变式1】（23-24九年级上·新疆塔城·期末）二次函数与坐标轴的交点个数是（    ） A．只有一个交点 B．有两个交点 C．没有交点 D．有三个交点 【答案】B 【分析】根据二次函数与一元二次方程的关系，当y=0时，判断方程的根的情况，可确定与x轴交点的个数，当x=0,可确定与x轴的交点即可解答． 【详解】解：当时，方程为， ∵，，， ∴， ∴二次函数的图象与x轴有一个交点 当x=0时,可得y=9,即(0,9) ∴二次函数的图象与y轴有一个交点(0,9) ∴二次函数与坐标轴有两个交点 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，分与x轴和y轴的交点两种情况是解答本题的关键． 【★★变式2】（25-26九年级上·湖北武汉·月考）抛物线与坐标轴的交点个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；求抛物线与坐标轴的交点，需分别求与x轴和y轴的交点，然后问题可求解． 【详解】解：当时，， ∴抛物线与y轴交点为， 当时，， ∴， ∴方程有两个相等实数根，即与x轴有一个交点； 综上，抛物线与坐标轴共有两个交点； 故选：C． 【题型11】根据抛物线与x轴交点情况求参数取值范围 【★例题11】（2025九年级下·全国·专题练习）若二次函数的图象与轴相交，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，熟知二次函数与x轴有交点即对应的一元二次方程有实数根是解题的关键．根据题意可得关于x的一元二次方程有实数根，据此利用判别式和一元二次方程的定义进行求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴有交点， ∴关于x的一元二次方程有实数根， ∴， ∴且， 故答案为：且． 【★变式1】（23-24九年级上·湖南长沙·月考）已知抛物线与轴有两个交点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据抛物线与x轴有两个交点，判别式大于0列不等式求解即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线与轴有两个交点， ∴， 解得：， 故答案为：； 【点睛】本题考查二次函数与坐标轴交点问题，解题的关键是熟练掌握抛物线与x轴有两个交点判别式大于0． 【★变式2】（22-23九年级上·重庆·开学考试）已知二次函数的图像与 轴无交点，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 且 【答案】A 【分析】令，再根据一元二次方程根的判别式小于0列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图像与x轴无交点， ∴方程无实根， ∴，解得． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次函数与轴交点问题、一元二次方程根的判别式等知识点，将函数问题转化成方程问题是解题的关键． 【★★变式3】（23-24八年级下·山东东营·期中）若抛物线与x轴有交点，则k的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】直接利用根的判别式进行计算，再结合，即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线与x轴有交点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴k的取值范围是且； 故答案为：且． 【点睛】本题主要考查了二次函数与坐标轴有交点的问题，解题的关键是掌握根的判别式求参数的取值范围． 【考点六】二次函数的基础最值 【题型12】直接求顶点处的最大（ 最小）值 【★例题12】（25-26九年级上·青海海西·期末）抛物线的最大值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数的二次项系数，因此抛物线开口向下，函数有最大值，最大值在顶点处取得． 【详解】解：∵抛物线的二次项系数， ∴该抛物线的开口向下， ∴该抛物线在顶点处取得最大值， 由顶点公式，顶点的横坐标， 将代入，得， 故最大值为2． 故答案为：2． 【★变式1】（25-26九年级上·四川眉山·期末）二次函数的最小值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数开口向上，最小值在顶点处，可通过配方法求解． 【详解】解：∵， ∵ ∴当时，二次函数最小值为， 故选：D． 【★变式3】（24-25九年级上·黑龙江大庆·月考）已知二次函数． (1)求二次函数图象的顶点坐标； (2)当时，函数的最大值和最小值分别为多少？ 【答案】(1) (2)当时，函数的最大值为4，最小值为0 【分析】（1）化成顶点式即可求解； （2）根据二次函数的性质求解即可． 本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴顶点坐标为； （2）解：∵抛物线的对称轴为， 又∵，，抛物线开口向下， 当时，函数有最大值，最大值为； 当时，函数有最小值，最小值为． 【题型13】根据最值求解析式中参数的值 【★例题13】（25-26九年级上·辽宁铁岭·期末）当时，二次函数的最小值为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，根据题意可知二次函数开口向上，当时，取得最小值为，令，得方程，求解，根据二次函数的图象和性质即可求得答案． 【详解】可知二次函数开口向上，当时，取得最小值为． 令，得方程，解得或． 由于当时最小值为，因此． 故答案为： 【★变式1】（25-26九年级上·浙江温州·月考）二次函数的最小值是，则的值是（   ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握若开口向上，则函数在对称轴上取得最小值，若开口向下，则函数在对称轴上取得最大值是解题的关键． 由题知，，二次函数开口向上，又对称轴，接着代入求解即可． 【详解】二次函数， ，二次函数开口向上，对称轴方程为， 所以时，二次函数取得最小值， 则，解得． 故选：B． 【★变式2】（25-26九年级上·河南商丘·月考）若二次函数在时取得最值，则k的值为（   ） A． B．3 C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，解决本题的关键是掌握二次函数的性质． 对于二次函数，其取得最值的的横坐标为，据此解答即可． 【详解】解：∵在中，， 又∵二次函数在时取得最值， ∴根据顶点坐标公式， 解得， 故选C． 【★变式3】（24-25九年级上·黑龙江大庆·月考）已知抛物线的最低点在轴上，则 ． 【答案】 【分析】根据最低点在x轴上可知，抛物线开口向上，且顶点的纵坐标为0，然后列式求解即可． 本题考查了二次函数的最值问题，主要利用了抛物线的顶点坐标，要注意判断出抛物线的开口向上． 【详解】解：∵抛物线的最低点在轴上， ∴且， 解得：且， ， 故答案为：． 培优篇 【考点七】二次函数的区间最值与含参最值 【题型14】定函数在定区间内的最值求解 【例题14】（25-26九年级上·安徽六安·期中）已知二次函数中，自变量满足，则下列说法正确的是（    ） A．当时，有最大值 B．当时，有最小值 C．当时，有最大值32 D．当时，有最小值 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，把二次函数解析式转化为顶点式是解本题的关键． 把二次函数解析式整理成顶点式，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：， ∴对称轴为， ∵， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴当时，有最大值， 当时，有最小值， 故选：D． 【变式1】（25-26九年级上·吉林四平·期末）函数的图象如图所示，当时，函数的最大值为，最小值为，则的值是 ． 【答案】9 【分析】本题考查二次函数的性质与最值，熟练掌握二次函数的顶点与增减性是解题关键． 结合二次函数的对称轴和开口方向判断增减性，然后算出最大值和最小值． 【详解】解：二次函数，其图象开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大； 当时，取最小值； ∴， 当时，；当时，， ∵， ∴当时，的最大值为5，即， ∴． 【变式2】（25-26九年级上·吉林长春·期末）已知二次函数，当时，函数值的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的最值，结合图象可得函数的最值是解题的关键． 二次函数为顶点式，开口向下，顶点在内，最大值在顶点处取得，然后求出时的值，最小值在左端点处取得，就可得到y的取值范围． 【详解】解：二次函数的顶点坐标为，且开口向下， ∵对称轴在区间内，因此函数在处取得最大值， 当时，； 当时，， ∴当时，函数最小值为， 故当时，函数值取值范围为， 故答案为：． 【题型15】含参函数在定区间内的最值求解（分类讨论） 【例题15】（25-26九年级上·天津河西·月考）若抛物线与轴只有一个公共点，则当 时，函数的最小值为 ． 【答案】 1 【分析】由抛物线与轴只有一个公共点得判别式为零，可求出的值；再根据二次函数的性质，在给定区间内求最小值即可．本题主要考查了二次函数与轴的交点和二次函数的性质，熟练掌握抛物线与轴只有一个公共点时判别式为零是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线与轴只有一个公共点， ∴判别式， 解得， 故抛物线为． 该二次函数开口向上，对称轴为， ∴顶点横坐标不在区间 内， 当时，， 当时，； 比较得最小值为1． 故答案为：1． 【变式1】（25-26九年级上·浙江温州·月考）已知二次函数，当时，函数y的最大值与最小值的差为5，则a的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数的最值问题． 由于二次函数开口向上，当时，最小值在顶点处，最大值在离对称轴较远的端点处．通过计算顶点和端点处的函数值，并令其差为5，解方程可得的值． 【详解】解：的对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，由于，抛物线开口向上，最小值在处，； 最大值在处（因为离对称轴更远），； 由函数y的最大值与最小值的差为5，得：， ， 解得：． 故答案为：． 【变式2】（25-26九年级上·江苏扬州·月考）二次函数（为常数），当时，的最小值为，则常数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数的最值问题．先求得抛物线对称轴为直线，分、和，三种情况进行分析，求得m的值即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线的开口向上， 当时，函数值y的最小值为， ①当时，则最小值在处， 此时， 解得，不符合题意，舍去； ②当，则最小值在处， 此时， 解得，不符合题意，舍去； ③当，则最小值在处， 此时， 解得或（不符合题意，舍去）； ∴ 常数m的值为2． 故选：C． 【变式3】（25-26九年级上·全国·期末）已知二次函数（m为常数），当时，函数值y的最小值为，则m的值可能是（　　） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数的最值问题．先求得抛物线对称轴，分和，两种情况进行分析，求得m的值即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ①当时，抛物线的开口向上， ∵当时，函数值y的最小值为， ∴当时，， ∴， 解得； ②当时，抛物线的开口向下， ∵当时，函数值y的最小值为， ∴当时，， ∴， 解得：； 综上所述，或， 即m的值可能是2． 故选：C． 【考点八】二次函数与一次函数、反比例函数综合 【题型16】求函数图像的交点问题 【例题16】（2025·山东青岛·二模）已知二次函数与一次函数的图象有交点，则k的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题、二次函数的定义，学会联立函数解析式是解题的关键．根据二次函数定义可知，再将二次函数和一次函数联立方程组，再利用即可得出答案． 【详解】解：二次函数， ， 联立， 整理得：， 二次函数与一次函数的图象有交点， ， 解得：， k的取值范围是且． 故选：B． 【变式1】（2024·吉林·二模）若一次函数的图象经过第一、三、 四象限，则二次函数 与 x 轴的交点个数为 个． 【答案】2 【分析】本题考查一次函数的性质，二次函数图象与轴的交点问题；根据一次函数所在象限，判断出b的符号，从而判断出的大小，进而判断出二次函数图象与x轴交点的个数，即可求解． 【详解】解：一次函数的图象经过第一、三、 四象限， ∴ ∵ 当时， ∴ ∴二次函数 与 x 轴的交点个数为个 故答案为：． 【变式2】（2024·江苏连云港·模拟预测）若一次函数的图像经过第二、三、四象限，则函数与x轴的交点有 个． 【答案】 【分析】本题主要考查抛物线与轴的交点，确定的符号是解题的关键．根据题意得到，求出的值，即可得到结论． 【详解】解：一次函数的图像经过第二、三、四象限， ， ， ， 故与x轴的交点有个． 故答案为：． 【变式3】（23-24九年级上·河北唐山·期末）抛物线与轴的两个不同交点是原点和点，顶点在反比例函数的图象上，则的形状是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．形状不确定 【答案】C 【分析】把解析式化为顶点式得B的坐标为，代入求出b，令求出，然后根据勾股定理求出，的长即可求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点B的坐标为． ∵点B在函数的图象上， ∴ 解得， ∴点B的坐标为，抛物线的解析式为， 当时，， 解得， ∴． ∵， ∴，，， ∴， ∴是等腰三角形． 故选C． 【点睛】本题侧重考查抛物线与x轴的交点，一般式化顶点式，二次函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，勾股定理，等腰三角形的定义，二次函数表达式的三种形式是解决此题的关键． 【题型17】根据函数图像判断自变量的取值范围（解不等式） 【例题17】（23-24九年级上·云南昭通·月考）如图，二次函数与一次函数的交点A，B的坐标分别为，，则不等式的解集为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查一元二次不等式及其解法 ，解答本题的关键在于熟练掌握利用图象解一元二次不等式，结合图象分析即可求解． 【详解】解：∵与一次函数的交点的坐标分别为1,7, 由图象可知， 当 ，时， ； 当， 二次函数图象在一次函数图象下方，即 ； 当时 二次函数图象在一次函数图象上方， 此时， 也即， ∴不等式的解集：或． 故答案为：或． 【变式1】（23-24九年级上·甘肃庆阳·月考）已知二次函数与一次函数的图象交于A、B两点，其坐标为．则时，x的取值范围是 ． 【答案】当时，x的取值范围是或；当时，x的取值范围是． 【分析】根据求时，x的取值范围，即求函数的图象在函数的图象上方时，x的取值范围．再分类讨论①当时和②当时，画出大致图象，即可得出答案． 【详解】求时，x的取值范围，即求函数的图象在函数的图象上方时，x的取值范围． 分类讨论：①当时，图象大致如图1所示， 由图可知当或时，函数的图象在函数的图象上方， ∴此时x的取值范围为：或； ②当时，图象大致如图2所示， 由图可知当时，函数的图象在函数的图象上方， ∴此时x的取值范围为：． 故答案为：当时，x的取值范围是或；当时，x的取值范围是． 【点睛】本题考查根据函数图象交点确定不等式的解集．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键． 【变式2】（25-26九年级上·广东肇庆·期中）如图，一次函数与二次函数的图象相交于两点，则关于的不等式的解集为    【答案】或 【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数的图象与不等式的关系，熟练掌握根据函数图象的上下位置关系确定不等式的解集是解题的关键．通过观察一次函数与二次函数的图象，找出二次函数图象在一次函数图象上方时对应的的取值范围，即为不等式的解集． 【详解】解：∵不等式表示二次函数的图象在一次函数图象上方的部分， 又∵两函数图象交于，两点， ∴当或时，二次函数图象在一次函数图象上方． 故答案为：或． 【考点九】二次函数与几何图形综合（三角形） 【题型18】三角形面积的最值求解 【例题18】（25-26九年级上·云南曲靖·月考）如图，一次函数的图象与二次函数的图象交于点和点，与y轴交于点． (1)求一次函数和二次函数的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1)， (2)3 【分析】本题考查了待定系数求二次函数解析式，求一次函数解析式，面积问题，求得解析式是解题的关键． （1）用待定系数法，先将代入，求出a的值为1，再将代入，求出点，然后将，代入分别求出k，b的值． （2）利用y轴将分割为和，分别算出它们的面积后，即可求出的面积． 【详解】（1）解：将代入， 得， 解得， 所以二次函数为， 将代入，得， 所以 将和代入得： ，解得， 所以一次函数为； （2）解：直线与x轴交点为D， 令，得， 解得， 所以， 所以． 【变式1】（2025·四川宜宾·二模）如图，一次函数（）的图象交轴、轴于两点，与反比例函数（，）的图象相交于点，，，．点是线段上任意一点，过点作轴平行线，交反比例函数的图象于点，连接．当面积最大时，点的坐标是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的几何应用，二次函数的性质，锐角三角函数函数等，过点作轴于点，由可得，由锐角三角函数得，即得，，进而可得，即可得反比例函数解析式为，再求得一次函数解析式，设，则，即得，由三角形面积公式得到，最后根据二次函数的性质解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作轴于点，则轴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵点在反比例函数上， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵，， ∴，， 把，代入得， ， 解得， ∴一次函数解析式， 设，则， ∴， ∴， ∵点是线段上任意一点， ∴， ∴当时，的面积最大， ∴， 故选：． 【变式2】（24-25九年级上·浙江绍兴·月考）如图，已知二次函数的图象与一次函数的图象交于点，，过线段上一动点作直线轴交抛物线于点，则面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题涉及二次函数与一次函数的交点问题，二次函数的最值问题以及三角形面积的计算． 我们先求出二次函数与一次函数的交点的坐标，然后设出点的坐标，进而得到点的坐标，再根据三角形面积公式底高来表示的面积，最后通过求函数的最值来得到面积的最大值． 【详解】联立二次函数与一次函数的方程： 解得：， ∴交点的坐标为，点坐标为． 设点的横坐标为， ∵点在直线上， ∴点的坐标为． ∵轴交抛物线于点， ∴点的横坐标为， 将代入，可得点的坐标为． （是到的距离）， （是到的距离）， ∴， ∵是到的距离，是到的距离， ∴为点与点之间的水平距离， ∴， ∵点在点上方， ∴， ∴， ， 当时，取到最大值为． 故答案为：． 【题型19】特殊三角形（等腰、直角）的存在性判定 【例题19】（2025·青海西宁·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求直线和抛物线的解析式． (2)若是抛物线对称轴上的一点，是否存在点，使得以三点为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线的解析式；抛物线的解析式 (2)存在，点M坐标为或或 【分析】（1）直接利用待定系数法求解解析式即可； （2）先求出抛物线的对称轴为直线，设，可得，，，再分类讨论即可； 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 将点，分别代入得： ， 解得： 直线的解析式为； ∵抛物线与轴交于点，，与轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线为：； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设， ∵，， ∴，， ， 当时， ∴， 解得：， ∴或； 当时， ∴， 解得：， ∴， 综上：点M坐标为或或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数和二次函数的解析式，勾股定理的应用，等腰三角形的定义，二次函数的图象与性质，清晰的分类讨论是解本题的关键． 【变式1】（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)若点E为线段上一动点，过点E的直线平行于y轴并交抛物线于点F，当线段最大时，在x轴上是否存在这样的点P，使得以点E、B、P为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)P点的坐标为或或 【分析】（1）将，代入，即可求解； （2）求出直线的解析式，设，则，求出，可得当时，有最大值，此时，由勾股定理可得，再分和两种情况，分别讨论即可． 【详解】（1）解：将，代入， 得， 解得， ∴； （2）解：存在点P，以为腰的等腰三角形，理由如下： 令，则， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 当时，的最大值为， 此时， 又， ∴， ①当时， ， ∴P点坐标为或； ②当时，P点与关于直线对称， ∴P点坐标为； 综上所述：P点的坐标为或或． 【点睛】本题考查二次函数图象中特殊三角形存在性问题，涉及求二次函数解析式，一次函数解析式，线段的最值问题，等腰三角形的定义，坐标系中两点间距离等知识点，第2问有一定难度，注意分情况讨论是解题的关键． 【变式2】（2025·江苏无锡·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与 轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴于点，交直线于点，求线段 的最大值及此时点的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为； (2)有最大值，此时； (3)存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形，点的坐标为或或或． 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，二次函数的最值问题，解方程等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法即可求解； （）求出解析式为，设，则，则，然后利用二次函数的性质即可求解； （）设，则有，，，分当时，当时，当时三种情况，再通过解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，与轴交于点， 设抛物线的表达式为， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：如图， 设解析式为且过，， ∴，解得：， ∴解析式为， ∵是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴， ∴设，则， ∴， ∴当时，有最大值， 此时； （3）解：存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形，理由， 如图， ∵抛物线的表达式为， ∴对称轴为直线， ∵点在对称轴上， ∴设， ∵，， ∴，，， 当时， ∴， 解得， ∴， 当时， ∴， 解得， ∴或； 当时， ∴， 解得， ∴； 综上：点的坐标为或或或． 【题型20】利用三角形性质求抛物线上点的坐标 【例题20】（2024·辽宁抚顺·一模）如图，已知抛物线的顶点坐标是，且经过点，又与轴交于点、点在点左边，与轴交于点． (1)抛物线的表达式是______ ； (2)四边形的面积等于______ ； (3)问：与相似吗？并说明你的理由； (4)设抛物线的对称轴与轴交于点，另一条抛物线经过点与不重合，且顶点为，对称轴与轴交于点，并且以、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等，求、的值．只需写出结果，不必写解答过程． 【答案】(1)y＝﹣x2+2x+3 (2)9 (3)相似，理由见解析 (4)，，，，，，． 【分析】（1）设函数顶点式，将 D（1，4），C（2，3）代入即可求出抛物线的解析式． （2）由于四边形ABDE不是规则的四边形，因此可过D作DF⊥x轴于F，将四边形ABDE分成△AOB，梯形BOFD和△DOE三部分来求． （3）可先根据坐标系中两点间的距离公式，分别求出AB、BE、DE、BD的长，然后看两三角形的线段是否对应成比例即可． （4）要使两三角形全等，那么两直角三角形的两直角边应对应相等． ①当EF＝EG＝2，DF＝MG＝3，此时M点的坐标可能为（5，4），（5，﹣4），（1，﹣4）． ②当EF＝MG＝2，DF＝EG＝3，此时M点的坐标可能是（7，2），（7，﹣2），（﹣1，2），（﹣1，﹣2），综上所述可得出a、b的值． 【详解】（1）解：设的顶点式为 ，将顶点 D（1，4），C（2，3）代入得． ， 解得 ， ∴，化成一般式为y＝﹣x2+2x+3． ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3． （2）解：∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4． ∴抛物线的顶点D的坐标为（1，4）； 过D作DF⊥x轴于F，由图象可知：OA＝1，OB＝3，OF＝1，DF＝4； 令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝3 ∴OE＝3，则FE＝2． S△ABO＝OA•OB＝×1×3＝； S△DFE＝DF•FE＝×4×2＝4； S梯形BOFD＝（BO+DF）•OF＝． ∴S四边形ABDE＝S△AOB+S梯形BOFD+S△DFE＝9（平方单位）． （3）解：如图，过B作BK⊥DF于K， 则BK＝OF＝1． DK＝DF﹣OB＝4﹣3＝1． ∴BD＝＝， 又DE＝＝2 ； AB＝，BE＝3 ； 在△ABO和△BDE中， AO＝1，BO＝3，AB＝； BD＝，BE＝3 ，DE＝2 ． ∵＝＝＝ ∴△AOB∽△DBE． （4）解：由题意可知EF=2，DF=4 ∵轴， ∴即MG、EG为直角边 点M坐标为（a，b） 则， ①当EF＝EG＝2，DF＝MG＝4， 则， 解得 或 ， 此时M点的坐标可能为（5，4），（5，﹣4），（1，﹣4），（1，4） 当M点的坐标为（1，4）时，两函数重合，不合题意故舍去， ∴，，． ②当EF＝MG＝2，DF＝EG＝4， 则， 解得或 ， 此时M点的坐标可能是（7，2），（7，﹣2），（﹣1，2），（﹣1，﹣2）， ，，，． 此时M点的坐标可能是（7，2），（7，﹣2），（﹣1，2），（﹣1，﹣2）， 综上所述可得出a、b的值． ，，，，，，． 【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式、三角形相似、图形面积的求法等知识点，综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法． 【变式1】（25-26九年级上·江苏南京·期中）已知二次函数的图象过点，它的顶点坐标为． (1)求该二次函数的表达式． (2)设该二次函数的图象与轴交于点B，C（在的左侧），则是什么特殊的三角形？说明理由． 【答案】(1) (2)等腰三角形 【分析】本题考查了二次函数的表达式求解以及等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握二次函数的顶点式以及等腰三角形的判定方法． （1）利用二次函数的顶点式求解表达式； （2）求出与x轴交点坐标，再根据线段长度关系判定三角形类型． 【详解】（1）解：二次函数的顶点坐标为， 设二次函数的顶点式为． 又函数图象过点，将代入顶点式可得： 解得： 该二次函数的表达式为； （2）解：（2）令，则 解得， 点的坐标为，点的坐标为， 已知点，根据两点间距离公式可得： ， ， ， 是等腰三角形． 【变式2】（2025·陕西渭南·二模）如图，抛物线（、为常数，）与轴交于，两点，与轴交于点，连接，为第三象限抛物线上的动点，轴，交线段于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)是否存在以，，为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，灵活运用三角形相似的判定与性质解题是关键． （1）直接运用待定系数法求解即可； （2）令，求出点的坐标，判断为等腰直角三角形，，分两种情况讨论，设点，由为第三象限抛物线上的动点，若以，，为顶点的三角形与相似，则以，，为顶点的三角形也是等腰直角三角形，当是直角时，根据列方程可求出的值，当是直角时，求出，根据列方程可求出的值，即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线（、为常数，）与轴交于，两点， ∴， 解得， ∴该抛物线的函数表达式为； （2）解：对于，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴是等腰直角三角形， 若以，，为顶点的三角形与相似，则以，，为顶点的三角形也是等腰直角三角形， ①当时，则有，如图， 设直线的解析式为， 把，代入得： ， 解得，， ∴直线的解析式为， 设点， ∵ ∴轴， ∴点的横坐标为， ∴ ∵为第三象限抛物线上的动点， ∴， ∴， ∵轴，且， ∴， ， 解得，，（舍去）， ∴， 当时，， ∴； ②当时，， ∴ 过点作轴于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ， 解得，，（舍去）， ∴， 当时，， ∴； 综上，点E的坐标为或． 【考点十】二次函数与几何图形综合（四边形） 【题型21】平行四边形的存在性判定 【例题21】（2024·甘肃·模拟预测）如图，抛物线的图象经过，，三点． (1)求抛物线的解析式和顶点M的坐标； (2)在直线下方的抛物线上是否存在一点E，使的面积最大，若存在，求出点E的坐标和的最大面积； (3)P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上的动点，抛物线上是否存在一点P，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，取最大值，点P的坐标为 (3)存在，P坐标为或或 【分析】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的几何应用、平行四边形的定义等知识点，较难的是题（3），依据题意，正确分2种情况讨论是解题关键，勿出现漏解． （1）根据待定系数法即可求出解析式，再化为顶点式即可求解； （2）求出直线的解析式，过点E作轴，交于点F，设点E为，则点F为，表示出，再根据表示出即可求解． （3）分为①为平行四边形的边和②为平行四边形的对角线分别求解即可． 【详解】（1）解：将，，三点代入 可得， 解得：， 故抛物线的解析式为； ∵． ∴抛物线的顶点M的坐标为． （2）解：设直线的解析式为，把点、代入得， 解得：， 得直线的解析式为． 如图，过点E作轴，交于点F， 设点E为，则点F为， ∴． ∴． ∴． ∴当时，取最大值． ∴点E的坐标为． （3）解：①若为平行四边形的边， ∵以A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形， ∴， ∴或， ∴或， ∴点P坐标为或； ②若为平行四边形的对角线， ∵以A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形， ∴与互相平分， ∴， 解得：， ∴点P的坐标为， 综上所述：当点P坐标为或或时，以A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形． 【变式1】（24-25九年级上·云南玉溪·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与轴交于点，是抛物线上的一个动点． (1)求该二次函数的解析式． (2)若点在直线的下方，则当点运动到什么位置时，的面积最大？请求出此时点的坐标以及的面积的最大值． (3)若是轴上的一动点，是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)当时，有面积最大值，此时点的坐标为； (3)存在，点的坐标为或或． 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，平行四边形的性质，解一元二次方程等知识点，灵活运用相关性质是解题的关键． （）直接运用待定系数法求解即可； （）过点作轴的平行线交直线于点，连接，再求得直线的解析式为，设 ，，则，进而用表示出的面积，最后运用二次函数的性质即可解答； （）由题意可得: ，，设，，然后分为对角线，分别根据平行四边形对角线相互平分解答即可． 【详解】（1）解：由二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点， 将点，点，点的坐标分别代入得：， 解得：， ∴二次函数表达式为； （2）解：如图，过点作轴的平行线交直线于点，连接， 设直线的解析式为，将点，点坐标分别代入，得， 解得：， ∴直线得解析式为， 设，， 则 ∵ ， ∵， ∴当时，面积有最大值，此时点的坐标为； （3）解：存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形；理由如下： 由题意可得：，， 设，， 当为对角线时，根据平行四边形对角线互相平分， 由中点坐标公式可得：， ∴， 解得：（不合题意，舍去）或， ∴点的坐标为； 当为对角线时，同理可得：， ∴， 解得：（不合题意，舍去）或， ∴点的坐标为； 当为对角线时，同理可得：， ∴， 解得：或， ∴点的坐标为或； 综上所述，点的坐标为或或． 【变式2】（2025·黑龙江绥化·二模）如图，抛物线的顶点为，与轴交于点，与轴交于，两点（点在点的左侧）． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，，，试证明为直角三角形； (3)若点在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点，使以为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2)见解析； (3)存在，或或． 【分析】本题考查了二次函数的性质，函数图象交点问题，待定系数法求解解析式，掌握知识点的应用及分类讨论思想是解题的关键． （）利用待定系数法求解解析式即可； （）由解析式求出点的坐标分别为、，然后利用两点距离公式求出，，，最后通过勾股定理逆定理即可求解； （）分或或为对角线时即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴设， 将点的坐标代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）证明：∵抛物线的解析式为， ∴当时，，解得，， ∴点的坐标分别为、， 由点的坐标得，，，， ∴， ∴为直角三角形； （3）解：存在，理由： ∵抛物线的解析式为， ∴对称轴为直线x＝﹣1， ∴设点，点的横坐标为， 当为对角线时， 由中点坐标公式得：，则， 则点； 当或为对角线时， 同理可得：或，则或， ∴点或， 综上，或或． 【题型22】特殊四边形（矩形、菱形、正方形）的存在性判定 【例题22】（2025·贵州贵阳·二模）如图①，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于，两点，交轴于点，若点的坐标为，点是该二次函数图象上的一个动点，且在第一象限． (1)求二次函数的表达式； (2)连接，过点作轴于点，交线段于点，当点运动到什么位置时，线段有最大值？请求出点的坐标和的最大值； (3)连接，，若关于轴的对称图形是，是否存在点，使得四边形为菱形？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标为时，的最大值为4 (3)存在，的坐标是 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，菱形的性质． （1）将，分别代入，得到二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设，由由，，可得直线的表达式为，设，得，即可求解； （3）由四边形为菱形，得，，进而得，则，即可求解． 【详解】（1）解：将，分别代入， 得， 解这个方程组，得， 所以二次函数的表达式为； （2）解：设， 由，，可得直线的表达式为， 设， ∴ ， 当时，， 故点的坐标为时，的最大值为4； （3）解：存在，理由如下： 如图，连接，交于点， 设点， 若四边形为菱形， 则，， ∴， ∴，即， 解得， ∵点在第一象限， 故当点的坐标是时，四边形为菱形． 【变式1】（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，抛物线的图象经过，两点，与轴交于点，是抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式和顶点的坐标； (2)将原抛物线进行平移，平移后的抛物线顶点为，在原抛物线的对称轴上，是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点的坐标，并说明平移的方向和距离；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)点的坐标为或，当点的坐标为时，原抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度；当点的坐标为时，原抛物线向左平移1个单位长度． 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可 （2）设，分三种情况讨论：①以为对角线时，由，求出m的值，再由中点坐标公式，求得，则平移的方向为先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度；②以为对角线时，点P在x轴上，则，从而求得，则平移的方向为向左平移1个单位长度；③以为对角线时，矩形不存在 本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，点的平移性质是解题的关键 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，． 将，代入， 得解得 抛物线的表达式为， ， 顶点的坐标为； （2）存在． 如图，设． ①以为对角线． 此时，，， ， 即，解得． ，为矩形的对角线，由中点坐标公式，得， 平移的方向为先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度． ②以为对角线． ，点在轴上，，则， 平移的方向为向左平移1个单位长度． ③以为对角线时，矩形不存在． 综上所述，点的坐标为或，当点的坐标为时， 原抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度； 当点的坐标为时，原抛物线向左平移1个单位长度． 【变式2】（2022·广东深圳·三模）已知抛物线与轴的交点为点、点且，点是抛物线的一个动点不与点、重合，作轴于点，线段的最大值是． (1)求抛物线的解析式． (2)当点运动到什么位置时，图中的矩形是正方形？并求出点的坐标． (3)是否在此抛物线上存在点使得与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)A的坐标为 (3)存在，（2，4）或 【分析】（1）先求出点O，E，P的坐标，利用待定系数法求解即可． （2）设当A的坐标为时，矩形ABCD是正方形，利用正方形的边长相等求解． （3）分两种情况：①当∠BAO=∠MPO时，△ABO与△PMO相似；②当∠AOB=∠MPO时，△ABO与△PMO相似；利用比例式求解． 【详解】（1）解：∵抛物线OPE与x轴的交点为点O、点E，且OE=4， ∴O（0，0），E（4，0）， ∵AB⊥x轴于点B，线段AB的最大值是PM=4． ∴P（2，4）， ∵抛物线OPE过原点，设它的解析式为， 把E（4，0），P（2，4），代入，得 ， 解得：， ∴抛物线OPE的解析式为； （2）设当A的坐标为时，矩形ABCD是正方形， ∵OM=2， ∴, BC=2BM=, ∵AB=, ∴, 解得（舍去）． ∴ ∴A的坐标为 （3）存在． 设点A的坐标为时，△ABO与△PMO相似， ①当∠BAO=∠MPO时， ∵ ∴ 解得x=2或x=0（舍去）， 点A的坐标为（2，4）时，即与点P重合， ②当∠AOB=∠MPO时， ∴ ∴ 解得或（舍去）， ∴， ∴A的坐标为， 综上所述，当A的坐标为（2，4）或时，△ABO与△PMO相似． 【点睛】本题主要考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，涉及三角形相似，二次函数解析式及正方形性质，解题的关键是利用三角形相似列出方程． 【考点十一】二次函数的实际应用（最优化问题） 【题型23】销售利润类最值问题 【例题23】（2025·云南红河·三模）商店计划销售某种食品，进价为20元/千克，经市场调研发现，该食品每千克的售价必须高于20元，又要低于50元．这种食品日销售量（千克）与售价（元/千克）之间存在一次函数关系，部分图象如图所示： (1)求与之间的函数解析式； (2)若该食品的日销量不低于90千克，当售价为多少元时，每天获取的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)当售价为35元时，利润最大，最大值为1350元 【分析】本题主要考查了利用一次函数和二次函数解决销售问题，一元一次不等式等知识点，解题的关键是熟练掌握一次函数和二次函数的性质和待定系数法． （1）利用待定系数法即可求解； （2）利用一元一次不等式求出自变量的取值范围，然后利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：假设与之间的函数解析式为， 将代入解析式得， 解方程组得， ∴函数解析式为； （2）解：∵该食品的日销量不低于90千克， ∴， 解得， 每天的利润用来表示，则， ∵，抛物线开口向下，顶点为最高点， ∴顶点横坐标为， ∴当时，随着的增大而增大， ∴当时，利润最大， 最大值为， 所以，当售价为35元时，每天获取的利润最大，最大利润为1350元． 【变式1】（2025·河南平顶山·一模）中华绒螯蟹又称大闸蟹，为中国久负盛名的美食．某代理商以每千克100元的价格购进一批大闸蟹，根据销售经验可知，这种大闸蟹的日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）（）存在一次函数关系，部分数据如表所示： 销售价格x（元/千克） 130 120 日销售量y（千克） 20 40 (1)试求出y关于x的函数表达式． (2)设该代理商销售这种大闸蟹的日销售利润为W元，如果不考虑其他因素，求当每千克销售价格x为多少元时，日销售利润W最大？最大的日销售利润是多少元？ 【答案】(1) (2)每千克120元时，日销售利润最大，最大日销售利润是800元 【分析】本题主要考查一次函数，二次函数的实际应用； （1）设关于的函数表达式为，待定系数法解二元一次方程组即可求出； （2）根据每日总利润每千克利润销售量列出函数解析式，根据函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：设关于的函数表达式为． 将和分别代入， 得，解得， ∴关于的函数表达式是． （2）解：． 当时， 在的范围内，， 取到最大值，最大值是800． 答：销售价格为每千克120元时，日销售利润最大，最大日销售利润是800元． 【变式2】（24-25九年级上·安徽亳州·期末）某超市销售一种儿童玩具，每件成本为8元，在销售过程中发现，每天的销售量（件）与每件售价（元）之间存在一次函数关系（其中，且为整数）．当每件售价为10元时，每天的销售量为100件；当每件售价为12元时，每天的销售量为90件． (1)求与之间的函数关系式； (2)若该超市销售这种儿童玩具每天获得360元的利润，则每件儿童玩具的售价为多少元？ (3)设该超市销售这种儿童玩具每天获利元，则当每件儿童玩具的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)每件儿童玩具的售价为12元． (3)每件儿童玩具的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元． 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、二次函数的应用、一元二次方程的应用等知识点，根据等量关系建立函数解析式成为解题的关键． （1）根据给定的数据，利用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式即可； （2）根据每件的销售利润、每天的销售量、利润的关系列出一元二次方程求解即可； （3）利用销售该玩具每天的销售利润为每件的销售利润与每天的销售量的积，即可得出w关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质求最值即可解答． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， 根据题意得：， 解得：， ∴y与x之间的函数关系式为． （2）解：， 整理得：，解得：， ∵， ∴； 答：若该商店销售这种儿童玩具每天获得360元的利润，则每件儿童玩具的售价为12元． （3）解：根据题意得： ； ∵，且x为整数， 当时，w随x的增大而增大， ∴当时，w有最大值，最大值为525． 答：每件儿童玩具的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元． 【题型24】实际生活中的抛体与工程类最值问题 【例题24】（2025·贵州黔东南·三模）赵州桥又称安济桥，坐落在河北省石家庄市赵县的洨河上，横跨在河面上，因桥体全部用石料建成，当地称作“大石桥”．如图，桥拱的拱形看成二次函数，以此时水平面为横坐标建立坐标，水面的宽为36米．水面离桥拱顶点的高度18米． (1)请你求出二次函数的表达式． (2)在二次函数的对称轴上，是否存在一点，使得的值最小，若有，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． (3)春夏之季，河水上涨，洨河上吸引无数游客旅游、观光，一艘游船（水面以上部分近似的看成长14米，宽4米，高2.5米的长方体）行驶在河面上，此时的水面离桥拱顶点的高度7米，游船是否能顺利通过赵州桥，请计算说明． 【答案】(1) (2)存在， (3)能正常通过，理由见解析 【分析】主要考查了二次函数的应用，二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． （1）先求得，可设二次函数的表达式为，利用待定系数法求解即可； （2）由、关于对称轴对称，连接交对称轴于，连接，此时的值最小．求出直线的解析式，即可解决问题； （3）先求出水面宽度：，再由船高2.5米，水面, 桥拱。可得船顶高度：，桥拱在(船半宽)处的高度：，再比较求解即可． 【详解】（1）解：水面的宽为36米．水面离桥拱顶点的高度18米． ， 可设二次函数的表达式为， 将代入得，，解得：， 二次函数的表达式为 （2）解：存在，理由如下： 如图，由、关于对称轴对称，连接交对称轴于，连接，此时的值最小． 由题意得， 设直线的解析式为，则有， 解得， 直线的解析式为． 抛物线的对称轴， 将代入，得， ； （3）解：水面离桥拱顶点的高度为7米，即水面。 将代入得： ， ， 水面宽度：， 船高2.5米，水面, 桥拱。 船顶高度：， 桥拱在(船半宽)处的高度：， ，且， 游船能正常通过， 【变式1】（25-26九年级上·山西朔州·月考）在体育课上，小康投掷实心球，球的运动轨迹可以近似地看作抛物线的一部分，并建立如图所示的平面直角坐标系，已知实心球脱手时距离地面的竖直高度为米，球在运动过程中的最高点离水平地面米，此时距离球脱手处的水平距离为米． (1)求本次小康投掷实心球的抛物线的解析式． (2)若校方规定：投掷实心球的距离不小于米时，成绩记为满分．请问小康这次的成绩能否得到满分？请说明理由． 【答案】(1) (2)小康这次的成绩不能得到满分，理由见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意可设抛物线顶点式为，再代入，即可求得，进而可得抛物线解析式． （2）将代入抛物线解析式中，可得，即可判断小康投掷实心球的成绩小于米，故小康这次的成绩不能得到满分． 【详解】（1）解：由题意可设， 将代入，得， ， 抛物线的解析式为． （2）解：小康这次的成绩不能得到满分． 理由：当时，， ∴小康投掷实心球的成绩小于米， ∴小康这次的成绩不能得到满分． 【变式2】（2025·广西来宾·模拟预测）如图，在中，是边上的动点（不与点A，B重合），过点作于点，连接． (1)求证：； (2)设的长为的面积为，求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)结合（2）所得的函数，判断当的长为多少时，的面积最大． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的应用，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）根据两角对应相等判断三角形相似即可； （2）根据勾股定理求出，根据相似三角形的性质得出，求出，， 然后根据三角形的面积公式求解即可； （3）根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）证明：， ， 又， ， ， ． （2）解：在中，， ． 由（1）知， ， ， ， ， ． 是边上的动点，且不与点A，B重合， ， 关于的函数解析式为． （3）解：，且， 当时，有最大值， 即当的长为时，的面积最大． 【考点十一】二次函数与几何变换（折叠、旋转、平移）综合 【题型25】二次函数与几何变换——折叠问题 【例题25】（2025·河南开封·二模）如图，矩形中，，，点是上一动点（不与、重合），连接，将沿折叠得，点在上，将沿折叠，使点恰好落在射线上，连接，则的最小值为 【答案】 【分析】本题考查了矩形与折叠问题，正切的定义，勾股定理，二次函数的性质，根据题意得出，设，则，根据得出，根据勾股定理可得，则当取得最小值时，取得最小值，进而根据二次函数的性质求得的最小值，即可求解． 【详解】解：矩形中，，， ∴， ∵折叠， ∴ ∵点恰好落在射线上， ∴ ∴ ∴ 设，则， ∴，即 ∴ ∴ ∵ ∴当取得最小值时，取得最小值 ∵ ∴当时，取得最小值为 ∴的最小值为 故答案为：． 【变式1】（2024·江苏无锡·模拟预测）已知矩形中，，，点是边上的动点(不与重合)，设，将沿折叠至． (1)如图1，当点在对角线上时，求的值； (2)设与矩形重叠部分的面积为，求关于的函数表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、折叠的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、二次函数与面积问题，灵活运用知识点、分类讨论是解题的关键． （1）根据矩形的性质、折叠的性质，得出，，推出，证明，得出，则，计算即可； （2）分“当时”和“当时”两种情况讨论．当时，点在左侧以及上，则此时，得出函数表达式；当时，点在右侧，记和交于点，过点作于点，根据折叠的性质，得出，证明四边形是矩形，得出，设，则，根据勾股定理，则，得出，表示出，根据，得出函数表达式．综合两种情况，得出关于的函数表达式即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，，将沿折叠至，当点在对角线上， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，即； （2）解：当时，点在左侧以及上， 此时； 如图，当时，点在右侧，记和交于点，过点作于点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，四边形是矩形， ∴，，， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 展开得：， 整理得：， ∴； 综上所述，． 【变式2】（2025·黑龙江佳木斯·二模）如图，平面直角坐标系中，点A，B分别在y轴和x轴的正半轴上，，的长分别是方程的两个根，且． (1)求直线的解析式； (2)点C从点O出发向点B运动，运动的速度为每秒1个单位长度，作轴交线段于点D，点D不与点A，B重合，将沿着折叠，使点B落在x轴上的对应点E处，设运动时间为t秒，与重叠部分的面积为S，求S与t之间的函数关系式； (3)在（2）的条件下，连接，是否存在点C，使为直角三角形？若存在，请直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）解一元二次方程求出，，再分别求出A、B的坐标，然后利用待定系数法求出直线解析式即可； （2）分别表示、的坐标即可得出，分两种情况画出图形再分别求重叠部分面积即可； （3）分两种情况分别表示出点的坐标，再根据两点间的距离公式分别求出、、，然后根据勾股定理分三种情况求出的值即可得出点的坐标． 【详解】（1）解：，则或4， ， ，， 点A、B的坐标分别为，； 设直线的表达式为：， 则， 解得：， 直线的解析式为； （2）根据题意，得，则， 轴交线段于点D， 把代入得， 当时，如图1，与重叠部分为四边形， 折叠 ， ， 设直线的解析式为 解得：， 直线的解析式为， 令，则， ； 当时，如图2，与重叠部分为， 折叠 ， ； 综上所述，S与t之间的函数关系式为：； （3）当时，如图1， 由（2）知，点 当时，如图2， ，， ， ， 两种情况下点的坐标是一样的， ， ，， 当时，解得：（舍去），；此时点的坐标为； 当时，解得：（舍去），（舍去）； 当时，解得：（舍去），；此时点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数与几何综合、解一元二次方程、勾股定理、一次函数的应用、折叠的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 【题型26】二次函数与几何变换——旋转问题 【例题26】（2025·福建泉州·模拟预测）国家的强大离不开国防的保障．近几年，科技的发展越来越多地应用到国防军事方面，其中无人机和导弹防御系统成为各国竞争的热点．梅石数学小组借助项目式学习研究了如下问题：某军事游戏模型截面图中，导弹防御系统雷达固定向上时的覆盖范围可视为二次函数（如图1），并且可确保击落进入覆盖区域内超过10分钟（含10分钟）的无人机．（已知直角坐标系的单位长度均为1km．） (1)当点在该二次函数图象上时，求的值； (2)①若雷达可绕点左右旋转形成全方位覆盖（如图2）．若已知图2中的图象绕点向右旋转形成的曲线满足：，请直接写出图象绕点向左旋转后、满足的关系式：__________； ②如图1，若该军事游戏模型中，某型号攻击无人机飞行高度为，携带导弹后速度为10米/秒，为摧毁雷达需飞行到点正上方进行投弹．当该导弹防御系统雷达固定向上时，其覆盖范围所视为的二次函数的要调整到什么范围才能抵挡这次攻击？（投弹时间忽略不计） 【答案】(1) (2)①②当时，才能抵挡这次攻击 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）①根据对称性，结合开口大小不变，得到，即可得出结果；②求出无人机到达点上方正好为10分钟时的值，即可得出结果． 【详解】（1）解：把代入，得：， ∴； （2）①观察可知：图象绕点向左旋转后的图象和的图象绕点向右旋转的图象，顶点相同，开口大小相同，只是方向相反， ∴图象绕点向左旋转后、满足的关系式：； 故答案为：； ②当无人机到达点上方正好为10分钟时，则飞行距离为， 假设无人机从左往右飞， ∵无人机飞行高度为， 则，当过点时，， ∴， ∴当时，才能抵挡这次攻击． 【变式1】（2025·河南周口·二模）已知抛物线的顶点为． (1)若抛物线经过原点，求的值及顶点的坐标． (2)在的条件下，把时函数的图象记为，将图象绕原点旋转，得到新图象，设图象与图象组合成的图象为． 图象的解析式为 （写出自变量的取值范围）； 若直线与图象有个交点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)，顶点的坐标为（-1，-1） (2)①．② 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、一元二次方程根的判别式、求二次函数的解析式，解决本题的关键是要注意数形结合的思想和分类讨论的思想的运用． 根据抛物线经过原点，可得：，从而可知，抛物线的解析式为，把抛物线的解析式化为顶点式为，可得抛物线的顶点的坐标为； 将图象绕原点旋转，得到新图象的顶点坐标为，开口向下，所以可以得到图象的顶点式解析式为，整理成二次函数的一般式解析式即可； 直线与图象有个交点，则可能直线与图象有个交点、与图象有个交点，也可能直线与图象有个交点、与图象有个交点时，分情况利用一元二次方程根的判别式求出的值即可． 【详解】（1）解：抛物线经过原点， ， 解得：， 抛物线的解析式为， 整理得：， 抛物线的顶点的坐标为； （2）解：将图象绕原点旋转，得到新图象的顶点坐标为，开口向下， 图象的解析式为， 整理可得：； 如下图所示， 当直线与图象有个交点、与图象有个交点时， 可得：， 整理可得：， 则有， 解得：； 当直线与图象有个交点、与图象有个交点时， 可得：， 整理可得：， 则有， 解得：； 综上所述，当时，直线与图象有个交点．    【变式2】（2025·广东韶关·二模）如图1，在平面直角坐标系中，矩形的边，将矩形绕原点顺时针方向旋转，得到矩形．设直线与轴交于点，抛物线经过三点，解答下列问题： (1)求直线和抛物线的解析式； (2)如图1，若点是直线上的一个动点，以为圆心，1为半径作圆，点的运动时间是秒，⊙以每秒个单位长度从点向点运动，当⊙与矩形有交点时，求运动时间的取值范围； (3)如图2，在（2）的条件下，点是线段上的一个动点，以每秒1个单位长度从向运动，连接，以为边作正方形，当其中一个点运动到终点时，运动停止，当点运动到那个位置时，正方形的面积最小，并求出正方形面积的最小值和点的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为；抛物线的解析式 (2)当⊙与矩形有交点时，运动时间的取值范围为 (3)当时，正方形的最小面积为0.9，此时点坐标为 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式，勾股定理，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，三角函数，图形的旋转； （1）根据题意得到点的坐标，设直线的解析式为；把点的坐标代入解析式计算即可；求出点的坐标为；设抛物线的解析式为；把点的坐标代入解析式，解得即可求出； （2）根据勾股定理求出，当⊙与边相切时，⊙与矩形最先有交点；设⊙与边相切于点，连接；证出，得到，得到，当⊙与边相切时，⊙与矩形最后有交点；设⊙与边相切于点，连接；证出；得到；得到；即可求出结果； （3）过点分别作的垂线，垂足分别为；得到，得到；根据三角函数得到，；求出，，得到；结合勾股定理表示出，结合面积公式得到，得到当时，正方形的面积最小，其最小面积为0.9；根据，；即可求出结果． 【详解】（1）解：∵矩形的边， 且绕原点顺时针方向旋转，得到矩形； ∴点的坐标分别为；    设直线的解析式为； 把点的坐标代入解析式得：    解得： ∴直线的解析式为；           ∵点是直线与轴的交点，令； 解得：； ∴点的坐标为； ∵抛物线与轴交于两点； ∴设抛物线的解析式为； 把点的坐标代入解析式得：； 解得：； ∴抛物线的解析式为； 即； （2）解：∵点的坐标为； ∴； ∴，； ∴在中，， 在中，；   当⊙与边相切时，⊙与矩形最先有交点； 设⊙与边相切于点，连接； ∵⊙与边相切于点； ∴，； 易证：； ∴即； 解得：；                       ∴； ∴；                               当⊙与边相切时，⊙与矩形最后有交点； 设⊙与边相切于点，连接； ∵⊙与边相切于点； ∴，； 易证：； ∴即； 解得：；                      ∴； ∴；                            ∴当⊙与矩形有交点时，运动时间的取值范围为； （3）解：由题意得：，其中； 过点分别作的垂线，垂足分别为； ∵； ∴； ∴； ∴， ； ∴，； ∴，； ∴；        ∴在中，； ∴；          ∵，且； ∴当时，正方形的面积最小，其最小面积为0.9； 此时，，；即点坐标为． ∴当时，正方形最小面积为0.9，此时点坐标为 【题型27】二次函数与几何变换——平移问题 【例题27】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)将该抛物线沿水平方向向右平移3个单位，平移后抛物线与轴交于点，原抛物线上有一点 ，点为平移后点的对应点，为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)：或或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的平移，平行四边形的性质等知识，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）用待定系数法可得抛物线的函数表达式； （2）将抛物线向右平移3个单位得新抛物线，对称轴是直线，即可得，，设， ，分三种情况：①当、为对角线时；②当、为对角线时；③当、为对角线时，分别计算出参数r的值，即可求出Q点坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解∶ ∵将抛物线向右平移3个单位得抛物线， ∴新抛物线对称轴是直线， 在中，令得， ∴， 将向右平移3个单位得， 设， ， 则①当、为对角线时， ∴， 解得， ∴； ②当、为对角线时， ∴， 解得， ∴； ③当、为对角线时， ∴， 解得， ∴； 综上所述，Q的坐标为：或或． 【变式1】（2025·安徽合肥·三模）如图，抛物线与轴交于两点（点在点右侧），与轴交于点，且经过点，抛物线的对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)将线段先向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到线段．若抛物线关于轴对称得到抛物线，将平移后与线段有两个交点，且这两个交点恰好将线段三等分，求抛物线平移的方式和距离； (3)已知点，线段以每秒1个单位长度的速度向左平移，同时抛物线以每秒1个单位长度的速度向下平移，秒后，若抛物线与线段有两个交点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度 (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数上点的坐标特征，待定系数法求函数解析式，熟悉掌握二次函数的图象性质是解题的关键． （1）利用待定系数法运算求解即可； （2）先求出关于轴对称的抛物线，再设平移后的抛物线表达式为，代点运算求解即可； （3）设秒后，点，，分析当恰好在抛物线上时和当恰好在抛物线上时的取值，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可得， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：令，则， 解得 ，， ∴，， ∵将线段先向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到线段， ∴平移后的 ，， ∴线段的三等分点的坐标为，， ∵，顶点坐标为，开口向下， ∴关于轴对称得到抛物线的顶点坐标为，开口向上， ∴， ∵与的交点为：，， ∴的对称轴为：， ∴则设平移后的抛物线表达式为， 将代入，得， ∴， ∵，， ∴将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度； （3）秒后，点，， 抛物线的表达式为， 令时，得，则与抛物线所截线段长小于6， 如图1，当恰好在抛物线上时， 则，化简得， 解得，（舍去）， 如图2，当恰好在抛物线上时， 则， 化简得，解得 ，（舍去）， ∴的取值范围为． 【变式2】（2025·河南商丘·一模）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，D是抛物线的顶点，坐标为．    (1)尺规作图：过点D作轴，垂足为点M（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若， ①求抛物线的解析式； ②将抛物线向左或向右平移个单位，若平移后的抛物线与线段有公共点，问：向左或向右最多平移多少个单位？ 【答案】(1)见解析 (2)①；②向左最多平移2个单位，向右最多平移个单位 【分析】本题主要考查了二次函数综合，垂线的尺规作图，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）分别以A、B为圆心，以任意大于的长的一半为半径画弧，二者交于点T，作直线交x轴于M，则线段和点M即为所求； （2）①根据顶点坐标得到，，则，根据对称性可得，则可求出，，再利用待定系数法求解即可；②设平移后的抛物线解析式为，先求出，在求出直线的解析式为；求出向左平移抛物线，且平移后的抛物线经过时m的值；求出向右平移抛物线时，平移后得到抛物线与线段只有一个公共点时m的值即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，分别以A、B为圆心，以任意大于的长的一半为半径画弧，二者交于点T，作直线交x轴于M，则线段和点M即为所求；    （2）解：①∵顶点D的坐标为，轴 ，， ，， ， ， ，， ，， 把，代入，， 解得：， 抛物线的解析式为； ②设平移后的抛物线解析式为， 在中，当时，， ， 设直线的解析式为，则有， 解得：， 直线的解析式为， 若向左平移抛物线，把代入得：， 解得，（舍去）， ， 若向右平移抛物线，令，整理得：， 当抛物线与线段只有一个公共点时，， 即，解得：， ， 抛物线向左最多平移2个单位，向右最多平移个单位． 三.中考真题专练 (一)单选题（10题） 1．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数顶点式的顶点坐标求法，掌握顶点式 的顶点坐标为 是解题关键． 根据二次函数的顶点式 的顶点坐标为 ，直接读取函数中的 和 值． 【详解】∵ 抛物线为 ，与顶点式 对比， 得 , ， ∴ 顶点坐标为 ， 故选： A． 2．（2025·四川攀枝花·中考真题）关于抛物线，下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．与轴的交点坐标是 D．顶点坐标是 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标是； 当时，， ∴顶点坐标是； 综上：只有选项D正确； 故选D． 3．（2025·山东威海·中考真题）已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据解析式可得开口向下，对称轴为直线，则离对称轴越近，函数值越大，据此求出三个点到对称轴的距离即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴为， ∴离对称轴越近，函数值越大， 点的横坐标与的距离为；点的横坐标与的距离为；点的横坐标与的距离为． ∵， ∴， 故选C． 4．（2025·山东滨州·中考真题）当自变量时，下列函数y随x的增大而增大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数的增减性，掌握一次函数，反比例函数以及二次函数的增减性是解题关键．根据函数的相关性质逐一判断即可． 【详解】解：A、在中，，则y随x的增大而减小，不符合题意； B、在中，，则当自变量时，y随x的增大而减小，不符合题意； C、在中，，则y随x的增大而增大，符合题意； D、在中，，则二次函数开口向下，对称轴为直线，当自变量时，y随x的增大而减小，不符合题意； 故选：C． 5．（2025·安徽·中考真题）已知二次函数的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与轴交点及特殊点的函数值，结合二次函数性质，逐一分析选项 ．本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数中（开口方向）、（对称轴与共同决定）、（与轴交点）的意义及特殊点函数值的应用是解题的关键． 【详解】解： 二次函数图象中，开口向上， ． 对称轴，又， ，即． 抛物线与轴交点在负半轴， ． 选项A：，，， 两负一正相乘得正， ，该选项错误． 选项B：对称轴，由图象知对称轴，即， 又，两边乘得，，该选项错误． 选项C：当时，，即；当时，， ，该选项正确． 选项D：当时，，由图象知对应的函数值， ，该选项错误． 故选． 6．（2025·四川·中考真题）对于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为 C．抛物线的对称轴为直线 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据二次函数的图象与性质即可解答． 【详解】解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大， ∴A、C选项不符合题意，B选项符合题意； 因为当时，y随x的增大而减小，故D选项不符合题意． 故选：B． 7．（2025·江苏南通·中考真题）在平面直角坐标系中，五个点的坐标分别为．若抛物线经过上述五个点中的三个点，则满足题意的的值不可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，涉及抛物线的对称轴、点的对称关系及函数解析式的求解．解题关键在于利用抛物线对称轴，分析点的对称特征．分情况讨论抛物线上的点组合，再通过代入点坐标，借助待定系数法求解a的值，以此判断即可． 【详解】解：抛物线)的对称轴为直线， 当三点在抛物线 上， ， 关于对称轴对称， 将代入得， 解得， 当时，得，， 点E在抛物线上， 故抛物线同时经过三点； 当三点在抛物线上 把代入得， 解得， 当时，， 在抛物线上， 故抛物线同时过 三点； 当三点在抛物线上， 把代入得， 解得， 把点代入， 在抛物线上， 抛物线同时过三点； 综上所述，抛物线能同时经过三个点有；；且a的值分别是． 的值不可能为Ｃ． 故选：C ． 8．（2025·福建·中考真题）已知二次函数的图像与其向下平移个单位长度所得的图像都与轴有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则的值为（   ） A．18 B．16 C．20 D．24 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图像与x轴的交点问题、二次函数图像变换等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键， 通过分析四个交点在x轴上的等距排列，得出平移后的函数与x轴的交点位于和，然后代入函数表达式求m的值即可． 【详解】解：∵原函数与x轴交于点和，向下平移m个单位后新函数为，且四个交点等距， ∴平移后新函数与x轴交于点和， 将代入新函数：，解得：． 故m的值为16． 故选B． 9．（2025·陕西·中考真题）已知二次函数，当时，的值随值的增大而减小，则下列结论正确的是（    ） A． B．该函数图象的顶点位于第四象限 C．方程没有实数根 D．该函数的最大值不小于 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，与x轴的交点问题，与y轴的交点问题，顶点坐标，根据当时，的值随值的增大而减小，得出，对称轴为直线，故，即，再分析函数图象的顶点，得出，又因为，故该函数图象的顶点位于第二象限或轴上，则该函数的最大值不小于，再分析，得出，即可作答． 【详解】解：∵二次函数，当时，的值随值的增大而减小， ∴，对称轴为直线， 则， ∵， 即， ∴， 故A选项不符合题意； 该函数图象的顶点为，即， ∵， ∵ ∵， ∴， ∴ ∵， ∴该函数图象的顶点位于第二象限或轴上， 故B选项不符合题意； 当该函数图象的顶点位于轴上， 令，则， ∵ ∴该函数的最大值为， 当该函数图象的顶点位于第二象限， 此时该函数的最大值大于， 综上该函数的最大值不小于， 故D选项符合题意； 依题意，中的， ∵， ∴， 即 ∴方程有两个不相等的实数根 故C选项不符合题意； 故选：D 10．（2025·四川广安·中考真题）如图，二次函数（a，b，c为常数，）的图象交x轴于A，B两点，点A的坐标是，点B的坐标是，有下列结论：①；②；③关于x的方程的解是，；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、抛物线与x轴的交点等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； 根据图象可得：抛物线的开口向下，交y轴于正半轴，即得，进而可判断，即可判断结论①；当时，，即，可判断结论②；根据二次函数与x轴的交点结合二次函数的对称性即可判断结论③④，可得答案. 【详解】解：根据图象可得：抛物线的开口向下，交y轴于正半轴， ∴， 又∵抛物线的对称轴在y轴右侧， ∴， ∴， ∴，故结论①正确； 由函数的图象可得：当时，，即， 即，故结论②错误； ∵二次函数的图象交x轴于A，B两点，点A，点B， ∴关于x的方程的解是，，，故结论③④正确； 综上，结论正确的有3个， 故选：C. （二）填空题（6题） 11．（2025·江苏淮安·中考真题）若，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数求最值，根据，得到，整体代入代数式，将代数式转化为关于的二次函数，求最值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； ∴当时，有最大值为； 故答案为：． 12．（2025·广东广州·中考真题）若抛物线的顶点在直线上，则m的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，一次函数的性质，公式法进行解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先整理得出顶点坐标为，再把代入，得出，运用公式法进行解一元二次方程，即可作答． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线， 把代入， 得， 即顶点坐标为， ∵抛物线的顶点在直线上， ∴， 整理得， 则， ∴， ∴ 故答案为：或． 13．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）抛物线与轴交于点，与轴交于点，，则线段长是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与轴的交点，根据抛物线与轴的一个交点是点 ，求出的值，再求出抛物线与轴的交点坐标，从而计算线段 的长度． 【详解】解： 抛物线 与 轴交于点 ， 把点 的坐标代入 ， 可得： ， 抛物线解析式为 ， 令 ， 可得方程： ， 因式分解得：， 解得：，， 抛物线与 轴交于点 和 ， 点 和点 均在 轴上， 线段 的长度为 ． 故答案为： 4． 14．（2025·江苏盐城·中考真题）已知二次函数，当自变量满足时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 先求出抛物线的对称轴，再求出最大值和最小值即可求解的取值范围． 【详解】解：， ∴函数图象的对称轴为直线，开口向上， ∵， ∴当时，；时，，当时，， ∴的取值范围是：， 故答案为：． 15．（2025·江苏徐州·中考真题）如图为二次函数的图象，下列代数式的值为负数的是 （写出所有正确结果的序号）． ①a；②；③c；④；⑤． 【答案】①②⑤ 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点，抛物线与x轴交点的个数确定．根据对称轴、开口方向、可判断①②；根据图象与轴的交点位置可判断③，根据图象与轴的交点个数可判断④；根据时函数的值可判断⑤． 【详解】解：①∵抛物线开口向下， ∴，符合题意； ②∵抛物线的对称轴是直线，且， ∴， ∴， 符合题意； ③∵抛物线与轴的交点在轴的正半轴， ∴，不符合题意； ④∵图象与x轴有2个交点， ∴，不符合题意； ⑤∵时，， ∴，符合题意； 故答案为：①②⑤． 16．（2025·山东东营·中考真题）二次函数的图象如图所示，点位于坐标原点，点，，…，在y轴的正半轴上，点，，…，，点，，…，在二次函数的图象上，四边形，四边形，…，四边形都是正方形，则正方形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质、正方形的性质及利用抛物线解析式求直角边长，找到规律是解题的关键． 根据正方形性质得和是等腰直角三角形．设的直角边长为，则，代入抛物线的解析式中解得，则的直角边长为，同理可求得等腰直角的直角边长为，依此类推，等腰直角的直角边长为，即可求得其周长． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴，是等腰直角三角形． 设的直角边长为，则； 代入抛物线的解析式中得： ， 解得（舍去），； 故的直角边长为， 同理可求得等腰直角的直角边长为， … 依此类推，等腰直角的直角边长为， 故正方形的周长为． 故答案是：． （三）解答题（4题） 17．（2025·江苏淮安·中考真题）某商店销售一种玩具，经市场调查发现，日销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表： 每件的售价x/元 … 25 28 31 … 日销售量y/件 … 15 12 9 … (1)求y与x之间的函数表达式（不要求写出自变量x的取值范围）； (2)当玩具日销售额为300元时，求每件玩具的售价． 【答案】(1) (2)10元或30元 【分析】本题考查了一次函数解析式的求解，二次函数解析式的求解，解决本题的关键是正确求解出一次函数与二次函数的解析式． （1）先设出一次函数解析式，再根据待定系数法代值求解即可； （2）先表示出日销售额的函数表达式，再令求解x的值即可． 【详解】（1）解：∵日销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系， ∴设函数表达式为， ∵当时，；当时，； ∴，解得， ∴， ∴y与x之间的函数表达式为； （2）解：由（1）知，， ∴日销售额， ∵玩具日销售额为300元， ∴令，即， 整理可得， 解得，， ∴每件玩具的售价为10元或30元时，日销售额为300元． 18．（2025·福建·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点． (1)求的值； (2)已知二次函数的最大值为． ①求该二次函数的表达式； ②若为该二次函数图象上的不同两点，且，求证：． 【答案】(1) (2)①；②见解析 【分析】本题考查了二次函数表达式、二次函数的图象与性质、一元二次方程． （1）根据二次函数的对称性求解即可； （2）①先求出顶点坐标，然后根据最大值为列方程求解即可； ②先根据二次函数的对称性求出，然后把通分后代入即可求解． 【详解】（1）解：二次函数的图象的对称轴为． 因为点在该函数的图象上， 所以， 所以， 所以． （2）①由（1）可得，， 所以该函数的表达式为， 函数图象的顶点坐标为． 因为函数的最大值为， 所以，且， 解得，或（舍去）． 所以该二次函数的表达式为． ②因为点在函数的图象上， 所以． 由①知，点关于直线对称，不妨设， 则，即． 所以 ， 所以． 19．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴右侧的轴上，抛物线经过A，B，C三点，顶点为． (1)求抛物线的解析式及点B，D的坐标； (2)点在直线AC上运动，当的周长最小时，求点的坐标； (3)探究在内部能否截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上）？若能，求出此时矩形在边上的顶点的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，．； (2)． (3)能，边上的顶点的坐标为，或． 【分析】（1）求得点A，C坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；利用抛物线的解析式令，解方程即可求得点B在横坐标；利用配方法即可求得点D的坐标； （2）利用勾股定理及其逆定理得到，延长至点，使，连接，交直线于点P，利用轴对称的性质可得，B关于直线对称，此时的周长最小，过点作轴于点E，利用三角形的中位线定理得到点坐标，利用待定系数法求得直线的解析式为，再与直线联立即可求得点P坐标； （3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①设与交于点K，设，利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质求得其面积，利用二次函数的性质得到当时，矩形的面积取得最大值为，再利用三角形的中位线定理解答即可；②顶点E，F，G，H在各边上，H与点C重合，设，利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质求得据的面积，利用二次函数的性质得到当时，矩形的面积取得最大值为，再利用三角形的中位线定理解答即可． 【详解】（1）解：中， 令，则， ∴， 令，则， ∴， ∴， ∵抛物线经过A，B，C三点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为． 令，则， ∴，或， ∴． ∵ ∴顶点； （2）∵，，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 延长至点，使，连接，交直线于点P，如图， 则，B关于直线对称，此时的周长最小， 过点作轴于点E， ∵轴，轴， ∴ ， ∵， ∴为的中位线， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∴． （3）在内部能截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上），此时矩形在边上的顶点的坐标为，或． ①如图，顶点E，F，G，H在各边上，设与交于点K， 设， ∵四边形为矩形，， ∴四边形，为矩形，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积 ∵， ∴当时，矩形EFGH的面积取得最大值为． ∴， ∵， ∴H为的中点， ∴． 同理，点G为的中点， ∴． ②如图，顶点E，F，G，H在各边上，H与点C重合， 设， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积 ∵， ∴当时，矩形的面积取得最大值为． ∴， ∴点G为的中点， ∵， ∴为的中位线， ∴ ∴， ∴． 综上，在内部能截出面积最大的矩形(顶点E，F，G，H在各边上），此时矩形在边上的顶点的坐标为，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，配方法，抛物线上点的坐标的特征，一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，轴对称的性质，分类讨论的思想方法，矩形的性质，直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 20．（2025·山东淄博·中考真题）如图，一条抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)问在抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由； (3)将射线绕点逆时针旋转一定角度，使其恰好经过抛物线的顶点，再将抛物线沿直线平移，得到一条新的抛物线（其顶点为）．设这两条抛物线的交点为． ①求旋转角度的正切值； ②当时，求原抛物线平移的距离． 【答案】(1) (2)或 (3)①3；②抛物线的平移距离为 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）求出点坐标，作的中垂线交轴于点，连接，则：，得到，设，则：，勾股定理求出的值，进而得到点坐标，求出直线的解析式，作，得到，求出直线的解析式，联立直线和抛物线的解析式求出点坐标，再根据对称性，求出满足题意的另一个点的坐标即可； （3）①求出直线的解析式，根据题意，得到旋转角为，作，交轴于点，作于点，则：，求出直线的解析式，进而求出点的坐标，等积法求出的长，勾股定理求出的长，再利用正切的定义进行求解即可； ②设抛物线沿着水平方向和竖直方向均移动个单位，根据平移规则求出新的抛物线的解析式，求出点的坐标，联立两个抛物线的解析式求出点坐标，作轴，交的延长线于点，证明，列出比例式求出的值，进而求出平移距离即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴相交于，两点，将两点坐标代入抛物线，得， 解得， ∴抛物线的表达式， （2）∵， ∴当时，， ∴， 作的中垂线交轴于点，连接，则：， ∴， ∴， ∵， ∴，， 设，则：， 在中，由勾股定理，得， 解得， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得，解得， ∴， 过点作，交轴于点，交抛物线于点，则：， 设直线的解析式为，把代入，得，解得， ∴， 联立， 解得或， ∴； ∵， ∴当时，， ∴， 作点关于轴的对称点，连接，则：，， ∴直线与抛物线的交点也满足题意， 同法可得：直线的解析式为， 联立，解得或， ∴； 综上：或； （3）①∵， ∴， ∵， 同法可得直线的解析式为， 由题意，即为旋转角，作，交轴于点，作于点，则：， ∴， 同法可得直线的解析式为， ∴当时，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②将抛物线沿直线平移，等同于将抛物线沿直线平移， ∵， ∴抛物线在水平方向和竖直方向上的移动距离相等， 设将抛物线向右和向上分别平移个单位，得到新的抛物线，则新抛物线的解析式为， ∴， 联立， 解得：， ∴， 作轴，交的延长线于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）或（舍去）； ∴抛物线在水平方向和竖直方向的平移距离均为， ∴抛物线的平移距离为； 当抛物线沿直线向下移动时，同理可得抛物线的平移距离为； 综上：抛物线的平移距离为． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解直角三角形，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数图象的平移等知识点，综合性强，难度大，属于中考压轴题，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.17 二次函数（知识梳理+题型精析+真题专练） 目录 一.知识梳理 2 【知识点一】二次函数有关概念 2 【知识点二】二次函数的解析式 2 【知识点三】二次函数的图象与性质 2 【知识点四】二次函数的图象与各项系数之间的关系 3 【知识点五】二次函数的图象的平移规律 3 【知识点六】二次函数与一元二次方程 4 【知识点七】二次函数与不等式 4 【知识点八】二次函数的应用 4 二.题型分类精析 5 基础篇 5 【考点一】二次函数的定义与基本形式 5 【题型1】二次函数定义判定（求参数取值范围） 5 【题型2】列二次函数的关系式 6 【考点二】a、b、c几何意义与抛物线图像特征 8 【题型3】根据解析式判断抛物线开口、对称轴、顶点坐标 8 【题型4】根据抛物线图像判断a、b、c及相关代数式的符号 9 【考点三】待定系数法求二次函数解析式 12 【题型5】三点式求一般式解析式 13 【题型6】顶点+对称轴+单点坐标求顶点式解析式 15 【题型7】与轴两交点+单点坐标求交点式解析式 17 【考点四】抛物线的平移变换 18 【题型8】根据平移方向求平移后的函数解析式 18 【题型9】根据平移前后解析式判断平移方式 19 【考点五】二次函数与一元二次方程的基础联系（根的判别式） 21 【题型10】判断抛物线与x轴的交点个数 21 【题型11】根据抛物线与x轴交点情况求参数取值范围 23 【考点六】二次函数的基础最值 25 【题型12】直接求顶点处的最大（ 最小）值 25 【题型13】根据最值求解析式中参数的值 26 培优篇 27 【考点七】二次函数的区间最值与含参最值 27 【题型14】定函数在定区间内的最值求解 27 【题型15】含参函数在定区间内的最值求解（分类讨论） 29 【考点八】二次函数与一次函数、反比例函数综合 32 【题型16】求函数图像的交点问题 32 【题型17】根据函数图像判断自变量的取值范围（解不等式） 34 【考点九】二次函数与几何图形综合（三角形） 37 【题型18】三角形面积的最值求解 37 【题型19】特殊三角形（等腰、直角）的存在性判定 41 【题型20】利用三角形性质求抛物线上点的坐标 47 【考点十】二次函数与几何图形综合（四边形） 54 【题型21】平行四边形的存在性判定 55 【题型22】特殊四边形（矩形、菱形、正方形）的存在性判定 61 【考点十一】二次函数的实际应用（最优化问题） 68 【题型23】销售利润类最值问题 68 【题型24】实际生活中的抛体与工程类最值问题 71 【考点十一】二次函数与几何变换（折叠、旋转、平移）综合 75 【题型25】二次函数与几何变换——折叠问题 75 【题型26】二次函数与几何变换——旋转问题 82 【题型27】二次函数与几何变换——平移问题 89 三.中考真题专练 96 (一)单选题（10题） 96 （二）填空题（6题） 104 （三）解答题（4题） 108 一.知识梳理 【知识点一】二次函数有关概念 (1)定义：一般的，形如(a、b、c是常数，)的函数叫做二次函数，自变量x的取值范围为全体实数. (2)、bx、c分别称作二次函数的二次项、一次项和常数项，、b分别称为二次项系数和一次项系数. 【知识点二】二次函数的解析式 (1)三类解析式 一般式：(a、b、c是常数，)； 顶点式：()，二次函数的顶点坐标是(h，k)； 交点式：()，其中x1，x2是图象与x轴交点的横坐标 ． (2)待定系数法求解析式 ①巧设二次函数的解析式（给顶点设顶点式，给交点设交点式，其余情况设一般式）； ②根据已知条件，得到关于待定系数的方程（组）； ③解方程（组），求出待定系数的值，从而求出函数的解析式. 【知识点三】二次函数的图象与性质 开口 方向 a>0时，开口向上；a<0时，开口向下. 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h 顶点 与 最值 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) a>0时，顶点是最低点，此时y有最小值，最小值为0(或k或)； a<0时，顶点是最高点，此时y有最大值，最大值为0(或k或). 增 减 性 a>0 x<0(h或)时，y随x的增大而减小；x>0(h或)时，y随x的增大而增大。 即在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增大。 a<0 x<0(h或)时，y随x的增大而增大；x>0(h或)时，y随x的增大而减小。 即在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减小。 对称性 1.图象是轴对称图形； 2. 抛物线上y值相等的两点，其中点必在对称轴上； 3. 抛物线上到对称轴距离相等的点，y值必定相等. 【知识点四】二次函数的图象与各项系数之间的关系 (1)的正负决定开口方向: ，抛物线开口向上；，抛物线开口向下. 的大小决定开口的大小: 越大，抛物线的开口越小；越小，抛物线的开口越大. (2)、b的符号共同决定对称轴的位置 当时，，对称轴为y轴； 当a、b同号时，，对称轴在y轴左边；当a、b异号时，，对称轴在y轴右边．（简记为“左同右异”） (3)c决定抛物线与轴的交点的位置 当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上； 当c＝0时，抛物线经过原点； 当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上. 【知识点五】二次函数的图象的平移规律 任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．具体平移方法如下： 【知识点六】二次函数与一元二次方程 二次函数()的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程的根. (1)当b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点； (2)当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点； (3)当b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点. 【知识点七】二次函数与不等式 (1)抛物线在x轴上方图象上的点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式的解集； (2)抛物线在x轴下方图象上的点的纵坐标均为负，所对应的x的所有值就是不等式的解集. 【知识点八】二次函数的应用 (1)最大利润问题：求解最值时，一定要考虑顶点横坐标（对称轴）的取值是否在自变量的取值范围内. (2)面积问题：篱笆问题，铅锤法求面积. (3)类抛物线问题：拱桥、投桥、喷泉问题. (4)与几何图形结合：与三角形、圆等几何图形结合，考查最大面积或最小距离等问题 二.题型分类精析 题号前带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 基础篇 【考点一】二次函数的定义与基本形式 【题型1】二次函数定义判定（求参数取值范围） 【★例题1】（2025·上海嘉定·一模）下列关于的函数中二次函数是（   ） A． B． C． D． 【★变式1】（2025·上海徐汇·一模）二次函数中m的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【★★变式2】（23-24九年级上·福建龙岩·月考）已知函数是关于的二次函数，则m的值是 ． 【题型2】列二次函数的关系式 【★例题2】（2025·甘肃陇南·模拟预测）某超市有一种商品，进价为2元，据市场调查，销售单价是13元时，平均每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出10件．若设降价后售价为元，每天利润为元，则与之间的函数关系为 ． 【★变式1】（23-24九年级上·山东济宁·期末）共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（   ） A． B． C． D． 【★★变式2】（2024九年级下·浙江舟山·学业考试）如图，正三角形的边长为1，是边上的一点，过作边的垂线，交于，用表示线段的长度，显然线段的面积是线段长度的函数，这个函数的表达式是 ． 【考点二】a、b、c几何意义与抛物线图像特征 【题型3】根据解析式判断抛物线开口、对称轴、顶点坐标 【★例题3】（2023·甘肃兰州·中考真题）已知二次函数，下列说法正确的是（    ） A．对称轴为 B．顶点坐标为 C．函数的最大值是－3 D．函数的最小值是－3 【★变式1】（2023·上海崇明·一模）如果抛物线的对称轴是轴，那么它的顶点坐标为 ． 【★★变式2】（2024·上海普陀·一模）如图，抛物线的顶点为，为对称轴上一点，如果，那么点M的坐标是 ． 【题型4】根据抛物线图像判断a、b、c及相关代数式的符号 【★例题4】（23-24九年级上·新疆·期中）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论： ①；②；③；④；⑤，（的实数） 其中正确的结论有 填序号 【★变式1】（2023·上海虹口·一模）已知抛物线如图所示，那么点在第 象限． 【★★变式2】（2025·湖北·模拟预测）已知二次函数的图象如图所示，顶点为，下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（   ） A． B． C． D． 【考点三】待定系数法求二次函数解析式 【题型5】三点式求一般式解析式 【★例题5】（2025·陕西·模拟预测）已知抛物线过，，三点，关于这个抛物线下列结论正确的是（    ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线 C．抛物线与轴的交点坐标为 D．当时，随的增大而减小 【★变式1】（25-26九年级上·北京·开学考试）已知抛物线过点，，，则这个抛物线的解析式为 ． 【★★变式2】（2023·江苏无锡·模拟预测）有一个电脑程序，输入一个数，经过运算后输出结果，部分对应值如表： 输入x 2 3 6 7 输入y 5 2 1 2 3 则y关于x的函数表达式可能是 ．（写出一个即可） 【题型6】顶点+对称轴+单点坐标求顶点式解析式 【★例题6】（25-26九年级上·全国·课后作业）二次函数（a，b，c是常数，且）的自变量x和函数值y的部分对应值如下表所示： x 0 … y 5 4 5 … （1）根据以上信息可知， ． （2）此二次函数的解析式为 ． 【★变式1】（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·月考）某抛物线的形状、开口方向都与抛物线相同，且顶点为，则该抛物线的解析式为 ． 【★★变式2】（2025·黑龙江佳木斯·二模）若二次函数的图像开口向下，顶点坐标为，且过点，则函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【题型7】与轴两交点+单点坐标求交点式解析式 【★例题7】（25-26九年级上·湖北武汉·月考）已知二次函数图象过，，其图象的开口和形状均与的图象一致，那么该二次函数的表达式为（    ） A． B． C． D． 【★变式1】（25-26九年级上·全国·课后作业）已知一条抛物线分别经过三点，则该抛物线对应的函数表达式为 ． 【★★变式2】（24-25九年级上·浙江杭州·月考）已知一条拋物线的形状、开口方向均与拋物线相同，且经过和，则这条抛物线的解析式为 ． 【考点四】抛物线的平移变换 【题型8】根据平移方向求平移后的函数解析式 【★例题8】（25-26九年级上·浙江金华·月考）抛物线的函数表达式为，若将轴向上平移2个单位长度，将轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【★变式1】（25-26九年级上·上海宝山·月考）将抛物线向下平移个单位后，它的顶点恰好落在轴上，那么 ． 【★★变式2】（25-26九年级上·山西晋城·月考）将抛物线向左平移4个单位长度，向上平移2个单位长度后得到的新抛物线的顶点坐标为 ． 【题型9】根据平移前后解析式判断平移方式 【★例题9】（25-26九年级上·河北廊坊·期末）要将抛物线平移得到抛物线，可以（    ） A．向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度 B．向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度 C．向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度 D．向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度 【★变式1】（23-24九年级上·山东烟台·期中）将抛物线通过某种方式平移后得到抛物线，则下列平移方式正确的是(　　) A．向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度 B．向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度 C．向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度 D．向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度 【★★变式2】（25-26九年级上·河北沧州·月考）对于抛物线，按下列方式平移后仍不经过原点的是（   ） A．先向左平移2个单位长度．再向上平移9个单位长度 B．先向左平移4个单位长度，再向下平移4个单位长度 C．先向右平移1个单位长度，再向下平移9个单位长度 D．先向左平移3个单位长度、再向上平移7个单位长度 【考点五】二次函数与一元二次方程的基础联系（根的判别式） 【题型10】判断抛物线与x轴的交点个数 【★例题10】（25-26九年级上·河北唐山·期末）下列关于二次函数与坐标轴的交点的说法正确的是（   ） A．与x轴的交点个数不确定 B．与y轴的交点坐标为 C．与坐标轴有两个交点 D．与坐标轴有3个交点 【★变式1】（23-24九年级上·新疆塔城·期末）二次函数与坐标轴的交点个数是（    ） A．只有一个交点 B．有两个交点 C．没有交点 D．有三个交点 【★★变式2】（25-26九年级上·湖北武汉·月考）抛物线与坐标轴的交点个数是（   ） 【题型11】根据抛物线与x轴交点情况求参数取值范围 【★例题11】（2025九年级下·全国·专题练习）若二次函数的图象与轴相交，则的取值范围是 ． 【★变式1】（23-24九年级上·湖南长沙·月考）已知抛物线与轴有两个交点，则的取值范围是 ． 【★变式2】（22-23九年级上·重庆·开学考试）已知二次函数的图像与 轴无交点，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 且 【★★变式3】（23-24八年级下·山东东营·期中）若抛物线与x轴有交点，则k的取值范围是 ． 【考点六】二次函数的基础最值 【题型12】直接求顶点处的最大（ 最小）值 【★例题12】（25-26九年级上·青海海西·期末）抛物线的最大值为 ． 【★变式1】（25-26九年级上·四川眉山·期末）二次函数的最小值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【★变式3】（24-25九年级上·黑龙江大庆·月考）已知二次函数． (1)求二次函数图象的顶点坐标； (2)当时，函数的最大值和最小值分别为多少？ 【题型13】根据最值求解析式中参数的值 【★例题13】（25-26九年级上·辽宁铁岭·期末）当时，二次函数的最小值为，则的值为 ． 【★变式1】（25-26九年级上·浙江温州·月考）二次函数的最小值是，则的值是（   ） A．1 B． C．3 D． 【★变式2】（25-26九年级上·河南商丘·月考）若二次函数在时取得最值，则k的值为（   ） A． B．3 C．4 D． 【★变式3】（24-25九年级上·黑龙江大庆·月考）已知抛物线的最低点在轴上，则 ． 培优篇 【考点七】二次函数的区间最值与含参最值 【题型14】定函数在定区间内的最值求解 【例题14】（25-26九年级上·安徽六安·期中）已知二次函数中，自变量满足，则下列说法正确的是（    ） A．当时，有最大值 B．当时，有最小值 C．当时，有最大值32 D．当时，有最小值 【变式1】（25-26九年级上·吉林四平·期末）函数的图象如图所示，当时，函数的最大值为，最小值为，则的值是 ． 【变式2】（25-26九年级上·吉林长春·期末）已知二次函数，当时，函数值的取值范围是 ． 【题型15】含参函数在定区间内的最值求解（分类讨论） 【例题15】（25-26九年级上·天津河西·月考）若抛物线与轴只有一个公共点，则当 时，函数的最小值为 ． 【变式1】（25-26九年级上·浙江温州·月考）已知二次函数，当时，函数y的最大值与最小值的差为5，则a的值为 ． 【变式2】（25-26九年级上·江苏扬州·月考）二次函数（为常数），当时，的最小值为，则常数的值为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26九年级上·全国·期末）已知二次函数（m为常数），当时，函数值y的最小值为，则m的值可能是（　　） A． B．1 C．2 D． 【考点八】二次函数与一次函数、反比例函数综合 【题型16】求函数图像的交点问题 【例题16】（2025·山东青岛·二模）已知二次函数与一次函数的图象有交点，则k的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【变式1】（2024·吉林·二模）若一次函数的图象经过第一、三、 四象限，则二次函数 与 x 轴的交点个数为 个． 【变式2】（2024·江苏连云港·模拟预测）若一次函数的图像经过第二、三、四象限，则函数与x轴的交点有 个． 【变式3】（23-24九年级上·河北唐山·期末）抛物线与轴的两个不同交点是原点和点，顶点在反比例函数的图象上，则的形状是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．形状不确定 【题型17】根据函数图像判断自变量的取值范围（解不等式） 【例题17】（23-24九年级上·云南昭通·月考）如图，二次函数与一次函数的交点A，B的坐标分别为，，则不等式的解集为 ． 【变式1】（23-24九年级上·甘肃庆阳·月考）已知二次函数与一次函数的图象交于A、B两点，其坐标为．则时，x的取值范围是 ． 【变式2】（25-26九年级上·广东肇庆·期中）如图，一次函数与二次函数的图象相交于两点，则关于的不等式的解集为    【考点九】二次函数与几何图形综合（三角形） 【题型18】三角形面积的最值求解 【例题18】（25-26九年级上·云南曲靖·月考）如图，一次函数的图象与二次函数的图象交于点和点，与y轴交于点． (1)求一次函数和二次函数的解析式； (2)求的面积． 【变式1】（2025·四川宜宾·二模）如图，一次函数（）的图象交轴、轴于两点，与反比例函数（，）的图象相交于点，，，．点是线段上任意一点，过点作轴平行线，交反比例函数的图象于点，连接．当面积最大时，点的坐标是（   ）． A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·浙江绍兴·月考）如图，已知二次函数的图象与一次函数的图象交于点，，过线段上一动点作直线轴交抛物线于点，则面积的最大值为 ． 【题型19】特殊三角形（等腰、直角）的存在性判定 【例题19】（2025·青海西宁·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求直线和抛物线的解析式． (2)若是抛物线对称轴上的一点，是否存在点，使得以三点为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1】（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)若点E为线段上一动点，过点E的直线平行于y轴并交抛物线于点F，当线段最大时，在x轴上是否存在这样的点P，使得以点E、B、P为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式2】（2025·江苏无锡·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与 轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴于点，交直线于点，求线段 的最大值及此时点的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型20】利用三角形性质求抛物线上点的坐标 【例题20】（2024·辽宁抚顺·一模）如图，已知抛物线的顶点坐标是，且经过点，又与轴交于点、点在点左边，与轴交于点． (1)抛物线的表达式是______ ； (2)四边形的面积等于______ ； (3)问：与相似吗？并说明你的理由； (4)设抛物线的对称轴与轴交于点，另一条抛物线经过点与不重合，且顶点为，对称轴与轴交于点，并且以、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等，求、的值．只需写出结果，不必写解答过程． 【变式1】（25-26九年级上·江苏南京·期中）已知二次函数的图象过点，它的顶点坐标为． (1)求该二次函数的表达式． (2)设该二次函数的图象与轴交于点B，C（在的左侧），则是什么特殊的三角形？说明理由． 【变式2】（2025·陕西渭南·二模）如图，抛物线（、为常数，）与轴交于，两点，与轴交于点，连接，为第三象限抛物线上的动点，轴，交线段于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)是否存在以，，为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【考点十】二次函数与几何图形综合（四边形） 【题型21】平行四边形的存在性判定 【例题21】（2024·甘肃·模拟预测）如图，抛物线的图象经过，，三点． (1)求抛物线的解析式和顶点M的坐标； (2)在直线下方的抛物线上是否存在一点E，使的面积最大，若存在，求出点E的坐标和的最大面积； (3)P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上的动点，抛物线上是否存在一点P，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1】（24-25九年级上·云南玉溪·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与轴交于点，是抛物线上的一个动点． (1)求该二次函数的解析式． (2)若点在直线的下方，则当点运动到什么位置时，的面积最大？请求出此时点的坐标以及的面积的最大值． (3)若是轴上的一动点，是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【变式2】（2025·黑龙江绥化·二模）如图，抛物线的顶点为，与轴交于点，与轴交于，两点（点在点的左侧）． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，，，试证明为直角三角形； (3)若点在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点，使以为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型22】特殊四边形（矩形、菱形、正方形）的存在性判定 【例题22】（2025·贵州贵阳·二模）如图①，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于，两点，交轴于点，若点的坐标为，点是该二次函数图象上的一个动点，且在第一象限． (1)求二次函数的表达式； (2)连接，过点作轴于点，交线段于点，当点运动到什么位置时，线段有最大值？请求出点的坐标和的最大值； (3)连接，，若关于轴的对称图形是，是否存在点，使得四边形为菱形？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式1】（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，抛物线的图象经过，两点，与轴交于点，是抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式和顶点的坐标； (2)将原抛物线进行平移，平移后的抛物线顶点为，在原抛物线的对称轴上，是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点的坐标，并说明平移的方向和距离；若不存在，请说明理由． 【变式2】（2022·广东深圳·三模）已知抛物线与轴的交点为点、点且，点是抛物线的一个动点不与点、重合，作轴于点，线段的最大值是． (1)求抛物线的解析式． (2)当点运动到什么位置时，图中的矩形是正方形？并求出点的坐标． (3)是否在此抛物线上存在点使得与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【考点十一】二次函数的实际应用（最优化问题） 【题型23】销售利润类最值问题 【例题23】（2025·云南红河·三模）商店计划销售某种食品，进价为20元/千克，经市场调研发现，该食品每千克的售价必须高于20元，又要低于50元．这种食品日销售量（千克）与售价（元/千克）之间存在一次函数关系，部分图象如图所示： (1)求与之间的函数解析式； (2)若该食品的日销量不低于90千克，当售价为多少元时，每天获取的利润最大？最大利润是多少元？ 【变式1】（2025·河南平顶山·一模）中华绒螯蟹又称大闸蟹，为中国久负盛名的美食．某代理商以每千克100元的价格购进一批大闸蟹，根据销售经验可知，这种大闸蟹的日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）（）存在一次函数关系，部分数据如表所示： 销售价格x（元/千克） 130 120 日销售量y（千克） 20 40 (1)试求出y关于x的函数表达式． (2)设该代理商销售这种大闸蟹的日销售利润为W元，如果不考虑其他因素，求当每千克销售价格x为多少元时，日销售利润W最大？最大的日销售利润是多少元？ 【变式2】（24-25九年级上·安徽亳州·期末）某超市销售一种儿童玩具，每件成本为8元，在销售过程中发现，每天的销售量（件）与每件售价（元）之间存在一次函数关系（其中，且为整数）．当每件售价为10元时，每天的销售量为100件；当每件售价为12元时，每天的销售量为90件． (1)求与之间的函数关系式； (2)若该超市销售这种儿童玩具每天获得360元的利润，则每件儿童玩具的售价为多少元？ (3)设该超市销售这种儿童玩具每天获利元，则当每件儿童玩具的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【题型24】实际生活中的抛体与工程类最值问题 【例题24】（2025·贵州黔东南·三模）赵州桥又称安济桥，坐落在河北省石家庄市赵县的洨河上，横跨在河面上，因桥体全部用石料建成，当地称作“大石桥”．如图，桥拱的拱形看成二次函数，以此时水平面为横坐标建立坐标，水面的宽为36米．水面离桥拱顶点的高度18米． (1)请你求出二次函数的表达式． (2)在二次函数的对称轴上，是否存在一点，使得的值最小，若有，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． (3)春夏之季，河水上涨，洨河上吸引无数游客旅游、观光，一艘游船（水面以上部分近似的看成长14米，宽4米，高2.5米的长方体）行驶在河面上，此时的水面离桥拱顶点的高度7米，游船是否能顺利通过赵州桥，请计算说明． 【变式1】（25-26九年级上·山西朔州·月考）在体育课上，小康投掷实心球，球的运动轨迹可以近似地看作抛物线的一部分，并建立如图所示的平面直角坐标系，已知实心球脱手时距离地面的竖直高度为米，球在运动过程中的最高点离水平地面米，此时距离球脱手处的水平距离为米． (1)求本次小康投掷实心球的抛物线的解析式． (2)若校方规定：投掷实心球的距离不小于米时，成绩记为满分．请问小康这次的成绩能否得到满分？请说明理由． 【变式2】（2025·广西来宾·模拟预测）如图，在中，是边上的动点（不与点A，B重合），过点作于点，连接． (1)求证：； (2)设的长为的面积为，求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)结合（2）所得的函数，判断当的长为多少时，的面积最大． 【考点十一】二次函数与几何变换（折叠、旋转、平移）综合 【题型25】二次函数与几何变换——折叠问题 【例题25】（2025·河南开封·二模）如图，矩形中，，，点是上一动点（不与、重合），连接，将沿折叠得，点在上，将沿折叠，使点恰好落在射线上，连接，则的最小值为 【变式1】（2024·江苏无锡·模拟预测）已知矩形中，，，点是边上的动点(不与重合)，设，将沿折叠至． (1)如图1，当点在对角线上时，求的值； (2)设与矩形重叠部分的面积为，求关于的函数表达式． 【变式2】（2025·黑龙江佳木斯·二模）如图，平面直角坐标系中，点A，B分别在y轴和x轴的正半轴上，，的长分别是方程的两个根，且． (1)求直线的解析式； (2)点C从点O出发向点B运动，运动的速度为每秒1个单位长度，作轴交线段于点D，点D不与点A，B重合，将沿着折叠，使点B落在x轴上的对应点E处，设运动时间为t秒，与重叠部分的面积为S，求S与t之间的函数关系式； (3)在（2）的条件下，连接，是否存在点C，使为直角三角形？若存在，请直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型26】二次函数与几何变换——旋转问题 【例题26】（2025·福建泉州·模拟预测）国家的强大离不开国防的保障．近几年，科技的发展越来越多地应用到国防军事方面，其中无人机和导弹防御系统成为各国竞争的热点．梅石数学小组借助项目式学习研究了如下问题：某军事游戏模型截面图中，导弹防御系统雷达固定向上时的覆盖范围可视为二次函数（如图1），并且可确保击落进入覆盖区域内超过10分钟（含10分钟）的无人机．（已知直角坐标系的单位长度均为1km．） (1)当点在该二次函数图象上时，求的值； (2)①若雷达可绕点左右旋转形成全方位覆盖（如图2）．若已知图2中的图象绕点向右旋转形成的曲线满足：，请直接写出图象绕点向左旋转后、满足的关系式：__________； ②如图1，若该军事游戏模型中，某型号攻击无人机飞行高度为，携带导弹后速度为10米/秒，为摧毁雷达需飞行到点正上方进行投弹．当该导弹防御系统雷达固定向上时，其覆盖范围所视为的二次函数的要调整到什么范围才能抵挡这次攻击？（投弹时间忽略不计） 【变式1】（2025·河南周口·二模）已知抛物线的顶点为． (1)若抛物线经过原点，求的值及顶点的坐标． (2)在的条件下，把时函数的图象记为，将图象绕原点旋转，得到新图象，设图象与图象组合成的图象为． 图象的解析式为 （写出自变量的取值范围）； 若直线与图象有个交点，请直接写出的取值范围． 【变式2】（2025·广东韶关·二模）如图1，在平面直角坐标系中，矩形的边，将矩形绕原点顺时针方向旋转，得到矩形．设直线与轴交于点，抛物线经过三点，解答下列问题： (1)求直线和抛物线的解析式； (2)如图1，若点是直线上的一个动点，以为圆心，1为半径作圆，点的运动时间是秒，⊙以每秒个单位长度从点向点运动，当⊙与矩形有交点时，求运动时间的取值范围； (3)如图2，在（2）的条件下，点是线段上的一个动点，以每秒1个单位长度从向运动，连接，以为边作正方形，当其中一个点运动到终点时，运动停止，当点运动到那个位置时，正方形的面积最小，并求出正方形面积的最小值和点的坐标． 【题型27】二次函数与几何变换——平移问题 【例题27】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)将该抛物线沿水平方向向右平移3个单位，平移后抛物线与轴交于点，原抛物线上有一点 ，点为平移后点的对应点，为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点的坐标． 【变式1】（2025·安徽合肥·三模）如图，抛物线与轴交于两点（点在点右侧），与轴交于点，且经过点，抛物线的对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)将线段先向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到线段．若抛物线关于轴对称得到抛物线，将平移后与线段有两个交点，且这两个交点恰好将线段三等分，求抛物线平移的方式和距离； (3)已知点，线段以每秒1个单位长度的速度向左平移，同时抛物线以每秒1个单位长度的速度向下平移，秒后，若抛物线与线段有两个交点，求的取值范围． 【变式2】（2025·河南商丘·一模）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，D是抛物线的顶点，坐标为．    (1)尺规作图：过点D作轴，垂足为点M（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若， ①求抛物线的解析式； ②将抛物线向左或向右平移个单位，若平移后的抛物线与线段有公共点，问：向左或向右最多平移多少个单位？ 三.中考真题专练 (一)单选题（10题） 1．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·四川攀枝花·中考真题）关于抛物线，下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．与轴的交点坐标是 D．顶点坐标是 3．（2025·山东威海·中考真题）已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 4．（2025·山东滨州·中考真题）当自变量时，下列函数y随x的增大而增大的是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·安徽·中考真题）已知二次函数的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 6．（2025·四川·中考真题）对于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为 C．抛物线的对称轴为直线 D．当时，y随x的增大而增大 7．（2025·江苏南通·中考真题）在平面直角坐标系中，五个点的坐标分别为．若抛物线经过上述五个点中的三个点，则满足题意的的值不可能为（   ） A． B． C． D． 8．（2025·福建·中考真题）已知二次函数的图像与其向下平移个单位长度所得的图像都与轴有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则的值为（   ） A．18 B．16 C．20 D．24 9．（2025·陕西·中考真题）已知二次函数，当时，的值随值的增大而减小，则下列结论正确的是（    ） A． B．该函数图象的顶点位于第四象限 C．方程没有实数根 D．该函数的最大值不小于 10．（2025·四川广安·中考真题）如图，二次函数（a，b，c为常数，）的图象交x轴于A，B两点，点A的坐标是，点B的坐标是，有下列结论：①；②；③关于x的方程的解是，；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 （二）填空题（6题） 11．（2025·江苏淮安·中考真题）若，则的最大值是 ． 12．（2025·广东广州·中考真题）若抛物线的顶点在直线上，则m的值为 ． 13．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）抛物线与轴交于点，与轴交于点，，则线段长是 ． 14．（2025·江苏盐城·中考真题）已知二次函数，当自变量满足时，的取值范围是 ． 15．（2025·江苏徐州·中考真题）如图为二次函数的图象，下列代数式的值为负数的是 （写出所有正确结果的序号）． ①a；②；③c；④；⑤． 16．（2025·山东东营·中考真题）二次函数的图象如图所示，点位于坐标原点，点，，…，在y轴的正半轴上，点，，…，，点，，…，在二次函数的图象上，四边形，四边形，…，四边形都是正方形，则正方形的周长为 ． （三）解答题（4题） 17．（2025·江苏淮安·中考真题）某商店销售一种玩具，经市场调查发现，日销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表： 每件的售价x/元 … 25 28 31 … 日销售量y/件 … 15 12 9 … (1)求y与x之间的函数表达式（不要求写出自变量x的取值范围）； (2)当玩具日销售额为300元时，求每件玩具的售价． 18．（2025·福建·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点． (1)求的值； (2)已知二次函数的最大值为． ①求该二次函数的表达式； ②若为该二次函数图象上的不同两点，且，求证：． 19．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴右侧的轴上，抛物线经过A，B，C三点，顶点为． (1)求抛物线的解析式及点B，D的坐标； (2)点在直线AC上运动，当的周长最小时，求点的坐标； (3)探究在内部能否截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上）？若能，求出此时矩形在边上的顶点的坐标；若不能，请说明理由． 20．（2025·山东淄博·中考真题）如图，一条抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)问在抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由； (3)将射线绕点逆时针旋转一定角度，使其恰好经过抛物线的顶点，再将抛物线沿直线平移，得到一条新的抛物线（其顶点为）．设这两条抛物线的交点为． ①求旋转角度的正切值； ②当时，求原抛物线平移的距离． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $