北京市中国人民大学附属中学2025-2026学年度第一学期高二年级期末练习数学试题

2025一2026学年度第一学期高二年级期末练习 数学 说明：本试卷分卷和Ⅱ卷，卷18道题，共100分；Ⅱ卷7道题，共50分， I卷、Ⅱ卷共25题，合计150分，考试时间120分钟.考试日期：2026年1月20日： 请在密封线内填写个人信息。 I卷（共18道题，满分100分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置.) 1.过两点(4,6)，（门，3）的直线的倾斜角等于() A.45 B.90° C.120° D.135 2.己知向量a=(1,2,3),b=(m,-l,n),m,n∈R,若a∥b,则m+n=（) A.-2 B.-1 C.1 D.2 3.若直线4：6x+4y+3=0与：m-2y+1=0垂直，则实数m=() A月 B.-3 C.3 4.若直线3x+4y+m=0与圆(x+)2+y2=1相离，则实数m的取值范围是() A.（-2,8) B.（-8,2) C.（-o,-2U(8,o) D.（-0,-8)U(2,+∞） 5.己知数列{a}的前n项和为S.,若Sn1=3Sn(n∈N)·S,=9,则ao=（) A.239 B.39 C.320 D.2.38 试卷共7页，第1页 6.如图，在三棱锥M-ABC中，MA⊥平面ABC,△ABC是边长为2的正三角形， MA=3,E是MC的中点，则直线MB与AE所成角的余弦值是() A. B.39 3 D.h30 13 c. 13 7.已知{an}是无穷等差数列，其前n项和为Sn,则“{an}为递增数列”是 “存在meN,当n>m时，都有Sn>0”的（) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D,既不充分也不必要条件 8.若存在8eR,使得点(cos8,sin)在圆(x-2)2+0y-1)2=r2(r>0)外，则r的取值范围 是() A.(0,5-1) B.(0,V5+) C.(5-l,+o) D.(5+L,+o) 9.如图，战国时期的标准度量衡“环权”，包括木质秤杆、两个铜盘和九枚铜环权，为等臂 衡秤式样，其中铜环权类似于砝码，可用于测量物体质量.把铜环权的质量从小到大排 列后，前三项成等差数列，后七项成公比为2的等比数列，其中质量最小的为1铢，最 大的为8两（古制1两=24铢)，若某物体的质量恰为第3,5,8枚铜环权的质量和，则 该物体的质量为() A.3两5铁 B.3两15铢 C.4两5铢 D.4两15铢 试卷共7页，第2页 10.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2，过点F的直线与抛物线C 交于A,B两点，点AB在准线上的射影分别为点A,B,给出下列三个结论： ①AF⊥BF: ②若M为线段AB的中点且|AB=8,则点M到y轴的距离为3： ③若AF=3FB,则4B=25. 其中正确结论的个数为() A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将结果填在答题纸上的相应位置.） L,已知双曲线C:-=1@>0,6>0)的一条渐近线的倾斜角为60，则双曲线c的 离心率为 12.己知{an}是等比数列，若40a。=2a,4,as=54,则{an}的前n项和 Sn=】 13.在正四棱锥P-ABCD中，O为顶点P在底面内的射影，为侧棱PD的中点，且 PO=4,AB=2√5，则直线BD与平面2AC所成角的正弦值为 14.已知圆C的圆心坐标为(2，)，与直线x-y+1=0交于A,B两点，且|AB=2√2. (1)则圆C的标准方程为 (2)过点P(4,4)与圆C相切的直线方程为 试卷共7页，第3页 15.曲线C是平面上到三个点F(-1,0),F(0,0),F(0,1)的距离之和等于2√2的动点 轨迹.给出下列四个结论： ①曲线C关于y轴对称： ②曲线C上存在点P,使得1P5上2 3 ③曲线C上存在点P,使得∠RPE为钝角： ④曲线C与椭圆E:2+少=1恰有三个交点. 其中所有正确结论的序号是 三、解答题（本大题共3小题，共35分.解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案 写在答题纸上的相应位置.) 16.(本小题11分) 己知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b=3,b=9,a,=b,a4=b· (I)求{an}和{bn}的通项公式： (II)设cn=an-10+l0g,b(n∈N),记数列{cn}的前n项和为S,求Sn的最小值. 17.(本小题11分) 在平面直角坐标系0中，己知椭圆E荐+芳=阳6>0的离心丰为 点F(1,0)为椭圆E的右焦点. (I)求椭圆E的标准方程： (II)己知B(O,1),A(O,-I),设直线BF与椭圆E的另一个交点为C,求三角形△ABC的 面积 试卷共7页，第4页 18.(本小题13分) 如图1，在直角梯形ABCD中，己知AB∥CD,AB=AD=DC=1,将△MBD沿BD 翻折，使平面ABD⊥平面BCD.如图2，BD的中点为O. 图 图2 (I)求证：AO⊥平面BCD: (II)若AD的中点为G,在线段AC上是否存在点H,使得平面GHB与平面BCD夹角的 余弦值为3？若存在，求出的值：若不存在，请说明理由。 14 AC Ⅱ卷（共7道题，满分50分） 一，选择题（本大题共3小愿，每小题5分，共15分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置.) 19.己知0为坐标原点，Q0,25),4B两点在单位圆x2+y2=1上，满足∠40B= 以线段OA,OB为邻边作平行四边形AOBP,则Pg的最大值为() A.2W5 B.√5 C.1+23 D.35. 20.已知数列{a.}满足a=l,a-a,=(”eN),若neN,都有a.∈s,, 其中s,1∈R,则1-s的最小值为() A B. C.7 D.I 试卷共7页，第5页 21,如图，在正方体ABCD-AB,CD,中，点E是棱CD,的中点，动点M沿着线段AE 从点A向点E移动，给出下列三个结论： ①不存在点M,使得B,D⊥面MAC: ②四面体B,MAC的体积逐渐增大： ③直线BC与AM所成的角逐渐减小. 其中正确结论的序号是（) A.① B.①② c.②③ D.①②③ 二.填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.请将结果填在答题纸上的相应位置.） 22.已知双曲线C=Q>0b>0的左、右焦点分别为R,R,过点万且倾斜角 为30°的直线I与双曲线C的左、右两支分别交于M,N两点，且F2在线段MN的 垂直平分线上，则双曲线C的离心率为 23. 已知数别}满是（传a”子行aeN,共前：项南为8。 给出下列四个结论： ①VneN,antl>ani @neN,⊥+L,2: ans2 an an+l ®NmeN,<a<i: ④m∈N,当n>m时，都有S,-水，成立. 2026 其中所有正确结论的序号是 试卷共7页，第6页 三.解答题（本大题共2小题，共25分.解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案 写在答题纸上的相应位置.) 24.（本小题13分) 圆上+冷Q>b>0的离心丰为卫，其四个顶点构成的四动形面积为4月 (I)求椭圆E的方程： (II)直线：y=c+m与椭圆E交于两点A,B,若椭圆E上存在点C使得四边形OACB 是平行四边形， 求的取值范围 IOC 25.(本小题12分) 己知有穷数列{a},{b,)的项数均为n(n≥2)，a,-0、若对任意1≤i≤n, 都有1a,-a-sb,(规定a,=0),则称数列(a.)、(他，}是“相关数列 记数列b}的前k项和为S,,S.T. (I)n=3时，已知数列{a,}:3,2,0,b:4,3,2, 判断数列{a}和{他，}是否为相关数列°，并说明理由： (I)数列{a,},{b,)是“相关数列"，证明：对任意1sisn,都有a,≤min{S,T-S}, 这里min{S,T-S,}表示S,和T-S,中较小的数： ()求最小的整数T,使得存在“相关数列"{a,},他，}，满足∑(a,+a)6>2026. 试卷共7页，第7页 人大附中2025-2026学年度第一学期高二年级数学期末练习 参考答案和评分标准2026.1,20 阅卷须知： 1评分参考中所注分数，表示考生正确做了该步应得的该步骤分数. 2其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分， 第I卷 (共18题，满分100分) 一、选释题（共10个小题，每小题4分，共40分， 题号1 23 4 5 6 8 9 10 答案D A D A A B D 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.） 题号 11 12 13. 14 15 (x-2)2+0y-1)2=4, 答案 2 93*-0 2W5 ①③ x=4或5x-12y+28=0. 注： 14题第一空3分，第二空2分，第二空漏解不得分. 15题选对一个得3分，全选对得5分，错选不得分， 三、解答题（本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案 写在答题纸上的相应位置.) 16.(本小题11分) 解：(1)设数列{an}的公差为d,数列{bn}的公比为g, 则9合-，又4=，则A=合=1，所以6=g=3 …3分 a=6=1,a4=b,=b9=27, 又a4=a+l13d=1+13d=27,可得d=2, 所以an=a+(m-1)d=2n-1. 综上：an=2n-1,bn=3. …6分 25-26高二上学期数学期末试恩答案 第1页共7页 (2) 法一：依题意知cn=2n-1-10+n-1=3n-12, …8分 当n>5时，cn>0:当1≤n≤4，cn≤0： …0分 {cn}的前4项分别为-9，-6-3,0， 所以Sn的最小值为-18，当n=3或4时取到. …11分 法二：依题意知cn=2n-1-10+n-1=3n-12, …8分 则加--引n3-] 22 …l0分 所以当n=3或4时，Sn最小，最小值为-18 ………1门分 17.(本小题1分) 解4（)依题意知9=，。6+e.c=1, 02 解得a2=2,6=1.椭圆E的方程为号+y少=1. (2)由题可知，直线BF的方程为：x+y=1, …6分 [x+y=1 与椭圆联立 得3x-4x=0,所以=方· 4 2+2y2=2' …9分 则Sc=克8e上卡x2方 1 44 …1分 25-26高二上学期数学期末试恩答案 第2页共7页 18.(本小题13分) 解： (1) 因为AB=AD,BD的中点为O,所以AO⊥BD, …2分 又平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,AOC平面ABD, 所以AO⊥平面BCD. …5分 (2) 取DC的中点M,连接MO,则MO∥BC, 由图1直角梯形可知，ABMD为正方形， BM=CM=l,BD=BC=√2，DC=2,BD⊥BC,BD⊥OM. 由(1)AOL平面BCD,可知OD,OM,OA两两互相垂直， 分别以OD,OM,OA为x,y,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， G M M 图1 图2 …7分 则oaao.cf9a},9aod-9E0a号 设m=0ss到.9a-9+} 丽(9-99+9)丽a-同 25-26高二上学期数学期末试题答案 第3页共7页