第04讲 平面向量讲义-2026年艺体生高三数学一轮复习资料（新高考新题型）

该高中数学讲义聚焦平面向量高考核心考点，涵盖概念辨析、线性运算、数量积、坐标运算及基本定理应用，按“概念—运算—应用”逻辑架构知识体系，通过考向梳理、典例精讲、分层训练、综合题组等环节，帮助学生构建知识网络，突破易错难点，体现复习的系统性与针对性。 讲义采用“素养导向+真题实战”策略，如数量积考向结合几何与坐标表示对比分析，引导学生用数学思维抽象关系，通过2025云南模拟题等案例培养数学眼光。设置三级练习配合即时反馈，高效提升解题能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第04讲 平面向量 考向一 概念的辨析 1.定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）． 2.向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，记作．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 3.特殊向量： ①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． ②单位向量：长度等于1个单位的向量． ③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：与任一向量平行． ④相等向量：长度相等且方向相同的向量． ⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量． ⑥共线向量即为平行向量，非零向量平行具有传递性，两个向量方向相同或相反就是共线向量，与向量长度无关，两个向量方向相同且长度相等，就是相等向量．共线向量或相等向量均与向量起点无关． 【例1-1】（2026·山东·一模）下列说法正确的是（    ） A．长度一样的两个向量相等 B．平行的两个向量为共线向量 C．零向量的大小为0且没有方向 D．方向相反的两个向量互为相反向量 【例1-2】（2025重庆）（多选）下列说法错误的是（    ） A．就是所在的直线平行于所在的直线 B．长度相等的向量叫相等向量 C．零向量的长度等于0 D． 【一隅三反】 1．（2026湖北）（多选）下列说法错误的是（    ） A．向量可以用有向线段表示 B．非零向量与非零向量共线，则与的方向相同或相反 C．向量与向量共线，则，，，四点在一条直线上 D．如果，那么 2．（2025安徽 ）以下说法正确的是（    ） A．零向量与任意非零向量平行 B．若，，则 C．若(为实数)，则必为零 D．和都是单位向量，则 3．（2025北京）（多选）有关平面向量的说法，下列错误的是（    ） A．若，，则 B．若与共线且模长相等，则 C．若且与方向相同，则 D．恒成立 考向二 垂直向量的坐标运算 【例2-1】（2026·吉林白山·一模）已知向量，，且，则（   ） A． B．3 C． D． 【例2-2】（2026·重庆九龙坡·一模）已知平面向量，若，则=（   ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（2026·吉林长春·一模）已知向量，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·湖北·模拟预测）已知，，，则（   ） A．3 B． C． D．2 3．（2025·河南濮阳·二模）已知向量，，若，则实数（    ） A． B． C． D． 4．（2026·黑龙江大庆·二模）已知向量，若，则实数（    ） A． B． C． D． 考向三 平行向量的坐标运算 1.两平面向量共线的充要条件有两种形式： ①若，，则的充要条件是； ②若，则． 2.向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解． 【例3-1】（2025·云南昭通·模拟预测）已知向量，，若与共线，则实数m=（    ） A．-1 B．1 C．2 D．4 【例3-2】（2025·四川内江·一模）已知向量，若与共线，则（    ） A． B．1 C．2 D． 【一隅三反】 1．（25-26高三上·吉林四平·月考）已知向量，若与共线，则实数（    ） A． B．2 C．或2 D．或 2．（2025·云南·模拟预测）已知向量，若，则（　　） A． B． C．-6 D．6 3．（2026·山东枣庄·模拟预测）已知向量．若为实数，且，则（   ） A．1 B．2 C． D． 4．（2026·河北沧州·一模）已知向量，，若，且，则 ． 考向四 数量积 1. 已知非零向量，，为向量、的夹角． 结论 几何表示 坐标表示 模 数量积 夹角 的充要条件 的充要条件 与的关系 （当且仅当时等号成立） 2.已知向量、、和实数，则： ①； ②；③． 3.设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则 ①．②． ③当与同向时，；当与反向时，． 特别地，或． ④．⑤． 【例4-1】（2025·云南·模拟预测）已知向量，，则向量与的夹角的正切值等于（   ） A．1 B． C． D．2 【例4-2】．（2026·四川巴中·一模）已知平面向量满足，与的夹角为，则（    ）． A．7 B．1 C． D． 【例4-3】（2025·广东惠州·模拟预测）已知向量，满足，，与的夹角为，则（   ） A．2 B．4 C． D． 【例4-4】（2025·江苏·模拟预测）已知平面向量，，且，则（    ） A． B．4 C． D．24 【例4-5】（2025·四川凉山·一模）已知向量，满足，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（2024·广西柳州·模拟预测）已知向量与的夹角为，且，，则（    ）． A． B． C．4 D．2 2.（2025湖南）已知向量，满足，且与的夹角为，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．14 3.（2025北京）已知，，向量在方向上投影向量是，则为（    ） A．12 B．8 C．-8 D．2 4．（24-25四川）已知向量，的夹角为120°，，则（    ） A． B． C．7 D．13 5．（24-25·黑龙江绥化·期中）已知，，与的夹角为，则向量在方向上的投影向量为（ ） A．4 B． C． D． 6．（23-24四川自贡·期末）（多选）设向量满足，且，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D．向量与夹角为 7．（2026·重庆·一模）已知点，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 8．（2026·辽宁辽阳·一模）已知向量，满足，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 9．（2025·广东·模拟预测）已知向量在向量上的投影向量为，，则（   ） A． B． C． D．3 考向五 平面向量的基本定理 【例5-1】（2025·四川资阳·一模）如图，D是的边AC的中点，点E在BD上，且，则（   ）    A． B． C． D． 【例5-2】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）在中，点D为边上一点，且，设，，则（    ） A． B． C． D． 【例5-3】（24-25湖南岳阳·期末）如图，在中，，P是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（2025·湖南长沙·二模）设为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是（ ） A． B． C． D．= −+. 2．（2025·四川眉山·模拟预测）在中，是线段的中点，是线段的中点，则（   ） A． B． C． D． 3．（2026·河北沧州·一模）在中，点在边上，，记，则分别是（    ） A． B．，4 C．4，3 D．3，4 4．（2025·甘肃甘南·模拟预测）如图，在中，为线段上一点，且，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 一．单选题 1．（2025·陕西榆林·模拟预测）已知向量，，，则（   ） A．6 B． C． D． 2．（2025·广东·模拟预测）已知向量，若，则（    ） A．3 B． C．4 D． 3．（2024·广东深圳·模拟预测）已知向量，若，则（   ） A．1 B． C． D． 4．（2025·广东·模拟预测）已知向量，，且与垂直，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025·甘肃武威·模拟预测）已知向量，，若，则的值可以为（   ） A． B． C．2 D．3 6．（2025·四川南充·一模）已知向量，，，若，则（   ） A． B． C．1 D．5 7．（2025·河南南阳·模拟预测）已知向量，，若，则（    ） A． B． C．5 D．20 8．（2025·全国·模拟预测）已知向量，若与同向共线，则为（    ） A． B． C． D．0 9．（2025·安徽）已知向量，若，则（   ） A． B． C． D． 10．（2025甘肃）已知向量与的夹角为，则（    ） A．6 B． C．3 D． 11．（2024吉林长春·阶段练习）已知向量，是单位向量，且，则向量与的夹角是（   ） A． B． C． D． 12（2025·甘肃庆阳·三模）如图，在平行四边形 中，点 是 的中点，若 ，，则 （   ） A． B． C． D． 13．（2025·云南·模拟预测）在平行四边形中，点E是边上的四等分点（靠近点D），则（    ） A． B． C． D． 14．（2025·甘肃甘南·三模）中，若，，，则向量可用，表示为（   ） A． B． C． D． 15．（2025·海南三亚·一模）已知为平行四边形，为的中点，记，则（    ） A． B． C． D． 16．（2025·河南·二模）在中，D是AC边的中点，且点M满足，若，则（    ） A． B． C． D． 17．（24-25福建）如图，点是的重心，点是边上一点，且，，则（    ）    A． B． C． D．0 18．（2026·河南洛阳·模拟预测）在中，是的中点，过点的直线分别交直线，于点，，设，，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 2、 多选题 19．（23-24山东泰安·阶段练习）已知向量满足，，且，则（    ） A． B． C．与的夹角为 D．与的夹角为 20．（23-24福建福州）已知单位向量，的夹角为，则下列结论正确的有（    ） A． B．在方向上的投影向量为 C．若，则 D．若，则 21．（2024·安徽安庆 ）已知单位向量，的夹角为，则下列结论正确的有（    ） A． B．在方向上的投影向量为 C．若，则 D．若，则 22．（2025山东菏泽 ）设向量，满足，且，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D．向量夹角为60° 23．（2026·河北·模拟预测）如图，在梯形中，，．且 为的中点．若 ，，则（    ）    A． B． C． D． 24．（2026·陕西咸阳·一模）已知空间向量，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．在上的投影向量为 25．（2025·陕西榆林·模拟预测）已知非零向量满足，则下列两个向量的夹角为的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 三、填空题 26．（2026·吉林·模拟预测）已知平面向量，若，则 . 27．（2026·陕西渭南·一模）已知向量，，若，则 . 28．（2025·四川乐山·模拟预测）已知向量，满足，，则 ． 29．（2026·重庆·模拟预测）若向量，则 . 30．（2026·湖北宜昌·模拟预测）设为单位向量，且，则 ． 31．（25-26高三上·湖北咸宁·月考）已知向量，满足，，且，则 . 32．（2025·四川成都·模拟预测）已知平面向量，，且，则实数 . 33．（2025·河南·模拟预测）已知向量，若，则 . 34．（25-26高三上·四川遂宁·期中）已知平面向量，，若，则 ． 35．（2025·陕西商洛·模拟预测）已知平面向量，，若，则实数 . 36．（24-25四川凉山·期末）已知向量，，若，则实数 . 37．（2025·四川遂宁·二模）已知，若在方向上的投影向量为，则与的夹角为 . 38．（2026·四川攀枝花·一模）若平面向量，，均为单位向量，且，则与的夹角为 ． 39．（2026·河南鹤壁·一模）已知是夹角为的两个单位向量，若，则实数 ． 40．（2025·四川泸州·一模）已知平面向量与均为单位向量，，则与的夹角为 . 41．（2025·四川自贡·一模）若非零向量、的夹角为，且，则 ． 42．（2025高三下·山西临汾·月考）已知向量，若与垂直，则实数 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 平面向量 考向一 概念的辨析 1.定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）． 2.向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，记作．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 3.特殊向量： ①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． ②单位向量：长度等于1个单位的向量． ③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：与任一向量平行． ④相等向量：长度相等且方向相同的向量． ⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量． ⑥共线向量即为平行向量，非零向量平行具有传递性，两个向量方向相同或相反就是共线向量，与向量长度无关，两个向量方向相同且长度相等，就是相等向量．共线向量或相等向量均与向量起点无关． 【例1-1】（2026·山东·一模）下列说法正确的是（    ） A．长度一样的两个向量相等 B．平行的两个向量为共线向量 C．零向量的大小为0且没有方向 D．方向相反的两个向量互为相反向量 【答案】B 【解析】选项A：相等向量是指它们的长度相等且方向相同，故A错误； 选项B：平行向量与共线向量是同一概念，若两个非零向量方向相同或相反，则称这两个向量为共线向量或平行向量. 零向量与任一向量共线，故B正确； 选项C：长度为0的向量称为零向量，任何方向都可以作为零向量的方向，故C错误； 选项D：若两个向量的长度相等、方向相反，则称这两个向量互为相反向量，故D错误.故选：B. 【例1-2】（2025重庆）（多选）下列说法错误的是（    ） A．就是所在的直线平行于所在的直线 B．长度相等的向量叫相等向量 C．零向量的长度等于0 D． 【答案】AB 【解析】对于A，若，则的方向相同或相反，所在的直线与所在的直线平行或在同一直线上，故A不正确； 对于B，长度相等且方向相同的向量叫相等向量，故B不正确； 对于C，长度为0的向量为零向量，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：AB. 【一隅三反】 1．（2026湖北）（多选）下列说法错误的是（    ） A．向量可以用有向线段表示 B．非零向量与非零向量共线，则与的方向相同或相反 C．向量与向量共线，则，，，四点在一条直线上 D．如果，那么 【答案】CD 【解析】对于A，可以用有向线段表示向量，故A不符合题意； 对于B，非零向量与非零向量共线即平行，则与的方向相同或相反，故B不符合题意； 对于C，例如在平行四边形中，向量与向量共线， 但，，，四点不在一条直线上，故C符合题意； 对于D，如果，那么，但，故D符合题意. 故选：CD. 2．（2025安徽 ）以下说法正确的是（    ） A．零向量与任意非零向量平行 B．若，，则 C．若(为实数)，则必为零 D．和都是单位向量，则 【答案】A 【解析】对于A,零向量与任意向量平行，故A正确； 对于B，时，满足，，但不一定成立，故错误； 对于C,时，或，故错误； 对于D，和都是单位向量，则，但不一定成立，故错误． 故选：A． 3．（2025北京）（多选）有关平面向量的说法，下列错误的是（    ） A．若，，则 B．若与共线且模长相等，则 C．若且与方向相同，则 D．恒成立 【答案】ABC 【解析】对于A选项，取，满足，，但、不一定共线，A错； 对于B选项，若与共线且模长相等，则或，B错； 对于C选项，任何两个向量不能比大小，C错； 对于D选项，恒成立，D对. 故选：ABC. 考向二 垂直向量的坐标运算 【例2-1】（2026·吉林白山·一模）已知向量，，且，则（   ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【解析】，，，故选：D 【例2-2】（2026·重庆九龙坡·一模）已知平面向量，若，则=（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以， 因为，所以，解得.故选：D 【一隅三反】 1．（2026·吉林长春·一模）已知向量，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为 ，所以，解得：.故选：D 2．（2025·湖北·模拟预测）已知，，，则（   ） A．3 B． C． D．2 【答案】A 【解析】由题可知，，因为，所以，解得.选：A. 3．（2025·河南濮阳·二模）已知向量，，若，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，，则， 由，得，即，所以，解得． 故选：C． 4．（2026·黑龙江大庆·二模）已知向量，若，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以. 因为，所以，所以，解得.故选：D. 考向三 平行向量的坐标运算 1.两平面向量共线的充要条件有两种形式： ①若，，则的充要条件是； ②若，则． 2.向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解． 【例3-1】（2025·云南昭通·模拟预测）已知向量，，若与共线，则实数m=（    ） A．-1 B．1 C．2 D．4 【答案】D 【解析】由题意得，，所以.故选：D． 【例3-2】（2025·四川内江·一模）已知向量，若与共线，则（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【解析】，，由与共线，可得， 解得，故选：A 【一隅三反】 1．（25-26高三上·吉林四平·月考）已知向量，若与共线，则实数（    ） A． B．2 C．或2 D．或 【答案】D 【解析】因为与共线，所以，即，解得或. 故选：D. 2．（2025·云南·模拟预测）已知向量，若，则（　　） A． B． C．-6 D．6 【答案】A 【解析】因为，所以有，解得．故选：A 3．（2026·山东枣庄·模拟预测）已知向量．若为实数，且，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【解析】因为向量，所以. 因为，所以，解得.故选：D. 4．（2026·河北沧州·一模）已知向量，，若，且，则 ． 【答案】 【解析】因为，所以，即，解得或. 当时，，，此时，，满足； 当时，，，此时，，不满足，舍去； 因此，，， 所以． 故答案为：. 考向四 数量积 1. 已知非零向量，，为向量、的夹角． 结论 几何表示 坐标表示 模 数量积 夹角 的充要条件 的充要条件 与的关系 （当且仅当时等号成立） 2.已知向量、、和实数，则： ①； ②；③． 3.设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则 ①．②． ③当与同向时，；当与反向时，． 特别地，或． ④．⑤． 【例4-1】（2025·云南·模拟预测）已知向量，，则向量与的夹角的正切值等于（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【解析】设向量与的夹角为， 因为，，所以， 所以，故.故选：C. 【例4-2】．（2026·四川巴中·一模）已知平面向量满足，与的夹角为，则（    ）． A．7 B．1 C． D． 【答案】B 【解析】因为.故选：B. 【例4-3】（2025·广东惠州·模拟预测）已知向量，满足，，与的夹角为，则（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【解析】法一：，即； 法二由向量减法的几何意义和已知条件易知，如图， 若，，，，，则，，故. 故选：C. 【例4-4】（2025·江苏·模拟预测）已知平面向量，，且，则（    ） A． B．4 C． D．24 【答案】C 【解析】因为，所以，又，则，所以， 所以，所以，故选：C 【例4-5】（2025·四川凉山·一模）已知向量，满足，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因，，则在上的投影向量为.故选：A. 【一隅三反】 1．（2024·广西柳州·模拟预测）已知向量与的夹角为，且，，则（    ）． A． B． C．4 D．2 【答案】D 【解析】由得，，又，则． 故选：D. 2.（2025湖南）已知向量，满足，且与的夹角为，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．14 【答案】B 【解析】`由，且与的夹角为， 所以.故选：B. 3.（2025北京）已知，，向量在方向上投影向量是，则为（    ） A．12 B．8 C．-8 D．2 【答案】A 【解析】在方向上投影向量为，，. 故选：A 4．（24-25四川）已知向量，的夹角为120°，，则（    ） A． B． C．7 D．13 【答案】A 【解析】由可得 ， 所以.故选：A. 5．（24-25·黑龙江绥化·期中）已知，，与的夹角为，则向量在方向上的投影向量为（ ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【解析】，，与的夹角为， 所以向量在方向上的投影向量为.故选：D. 6．（23-24四川自贡·期末）（多选）设向量满足，且，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D．向量与夹角为 【答案】AC 【解析】向量满足，且， 则，所以，故，A正确； ，B错误； ，C正确； 由，得，D错误. 故选：AC 7．（2026·重庆·一模）已知点，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】已知点，，，则 ， ，投影向量为，，， 所以.故选：C 8．（2026·辽宁辽阳·一模）已知向量，满足，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 所以，解得，所以， 所以，又，所以向量与的夹角为， 故选：B 9．（2025·广东·模拟预测）已知向量在向量上的投影向量为，，则（   ） A． B． C． D．3 【答案】A 【解析】因为，所以．故选：A． 考向五 平面向量的基本定理 【例5-1】（2025·四川资阳·一模）如图，D是的边AC的中点，点E在BD上，且，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，. 故选：D 【例5-2】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）在中，点D为边上一点，且，设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以， 则．故选：B． 【例5-3】（24-25湖南岳阳·期末）如图，在中，，P是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，，， ，， 是线段上一点，三点共线，，解得.故选A. 【一隅三反】 1．（2025·湖南长沙·二模）设为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是（ ） A． B． C． D．= −+. 【答案】D 【解析】如图 则. 故选：D 2．（2025·四川眉山·模拟预测）在中，是线段的中点，是线段的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为是线段的中点，所以. 因为是线段的中点，所以， 则.故选：D 3．（2026·河北沧州·一模）在中，点在边上，，记，则分别是（    ） A． B．，4 C．4，3 D．3，4 【答案】B 【解析】如图，    ， ，则. 故选：B. 4．（2025·甘肃甘南·模拟预测）如图，在中，为线段上一点，且，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因，则， 故， 因三点共线，故设，则， 因，则，解得． 故选：D． 一．单选题 1．（2025·陕西榆林·模拟预测）已知向量，，，则（   ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得，得.故选：C 2．（2025·广东·模拟预测）已知向量，若，则（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】C 【解析】由题意得， 因为，所以，即，解得． 故选：C. 3．（2024·广东深圳·模拟预测）已知向量，若，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】因为向量，则， 若，则，解得. 故选：C. 4．（2025·广东·模拟预测）已知向量，，且与垂直，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得，， 由与垂直可得，解得． 故选：C． 5．（2025·甘肃武威·模拟预测）已知向量，，若，则的值可以为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【解析】因为，，所以， 因为，所以， 即，解得或. 故选：A. 6．（2025·四川南充·一模）已知向量，，，若，则（   ） A． B． C．1 D．5 【答案】C 【解析】因为，，，所以， 因为，所以，解得. 故选：C. 7．（2025·河南南阳·模拟预测）已知向量，，若，则（    ） A． B． C．5 D．20 【答案】B 【解析】向量，，由，得，则， 所以. 故选：B 8．（2025·全国·模拟预测）已知向量，若与同向共线，则为（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【解析】∵与共线，∴，即，解得． 当时，，与同向共线，符合题意． 当时，，，与反向共线，不符合题意，舍去． 综上，， 故选：A． 9．（2025·安徽）已知向量，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为向量，且， 则，即，可得， 则，所以. 故选：A. 10．（2025甘肃）已知向量与的夹角为，则（    ） A．6 B． C．3 D． 【答案】A 【解析】因为向量与的夹角为，所以， 所以，故选：A. 11．（2024吉林长春·阶段练习）已知向量，是单位向量，且，则向量与的夹角是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设向量，的夹角为，，由，为单位向量，得， 由，得，解得，所以.故选：C 12（2025·甘肃庆阳·三模）如图，在平行四边形 中，点 是 的中点，若 ，，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为为的中点，所以，故选：B 13．（2025·云南·模拟预测）在平行四边形中，点E是边上的四等分点（靠近点D），则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意有，所以， 故选：A. 14．（2025·甘肃甘南·三模）中，若，，，则向量可用，表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在中，， 则. 又因为，所以.故选：A 15．（2025·海南三亚·一模）已知为平行四边形，为的中点，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为为的中点，所以， 所以. 故选：C 16．（2025·河南·二模）在中，D是AC边的中点，且点M满足，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为①，②， 由，得，所以， 即，，所以. 故选：D. 17．（24-25福建）如图，点是的重心，点是边上一点，且，，则（    ）    A． B． C． D．0 【答案】D 【解析】如图所示，    延长交于，由已知为的重心，则点为的中点， 可得，且，又由， 可得是的三等分点，则， 因为，所以，，所以． 故选：D. 18．（2026·河南洛阳·模拟预测）在中，是的中点，过点的直线分别交直线，于点，，设，，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【解析】如图，由点O是BC的中点，得， 由三点共线，得，，， 则， 当且仅当，即时取等号，所以取得最小值2.故选：B 2、 多选题 19．（23-24山东泰安·阶段练习）已知向量满足，，且，则（    ） A． B． C．与的夹角为 D．与的夹角为 【答案】AC 【解析】因为，， 所以，即，解得，A正确； 因为，所以B错误； 因为，所以与的夹角为，C正确，D错误． 故答案为：AC 20．（23-24福建福州）已知单位向量，的夹角为，则下列结论正确的有（    ） A． B．在方向上的投影向量为 C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【解析】对于A，由，可得，故A正确； 对于B，根据在方向上的投影向量定义即得，故B正确； 对于C，由，解得，因，故，即C错误； 对于D，由，得，即，故，即D错误. 故选：AB. 21．（2024·安徽安庆 ）已知单位向量，的夹角为，则下列结论正确的有（    ） A． B．在方向上的投影向量为 C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【解析】对于A，因为，是单位向量， 所以， 所以，故A正确； 对于B，因为，是单位向量， 所以在方向上的投影向量为，故B正确； 对于C，因为，所以， 又因为，所以，故C错误；对于D，因为，所以， 所以，所以，故D错误；选：AB． 22．（2025山东菏泽 ）设向量，满足，且，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D．向量夹角为60° 【答案】AC 【解析】，又因为，所以，故，所以A正确，D不正确； ，故，所以B不正确，，所以，正确．故选：． 23．（2026·河北·模拟预测）如图，在梯形中，，．且 为的中点．若 ，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】对于A：，故选项 A 正确； 对于B：由 知 在 上，且 ，则 ， 计算得：，故选项B错误； 对于C： 为 中点，则 ，于是： ，故选项C正确； 对于D： ，其中 ， 则：，故选项 D 正确. 故选：ACD 24．（2026·陕西咸阳·一模）已知空间向量，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．在上的投影向量为 【答案】ACD 【解析】空间向量，， ， ，故A正确， ，， 而，所以和不平行，故B错误， ， ， ，故C正确， 因为， 在上的投影向量为，故D正确. 故选：ACD. 25．（2025·陕西榆林·模拟预测）已知非零向量满足，则下列两个向量的夹角为的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】AB 【解析】如图，在菱形中，且，则三角形为等边三角形， 记，则，，且能保证成立， 易得和及和的夹角为，和的夹角为，和的夹角为． 故选：AB． 三、填空题 26．（2026·吉林·模拟预测）已知平面向量，若，则 . 【答案】 【解析】由，可得， 由，可得，解得， 所以，. 故答案为：. 27．（2026·陕西渭南·一模）已知向量，，若，则 . 【答案】 【解析】由，所以，所以， 故答案为：. 28．（2025·四川乐山·模拟预测）已知向量，满足，，则 ． 【答案】 【解析】法1：由题意可得，， ， 故，， 故. 法2：由题意可得，. 故答案为： 29．（2026·重庆·模拟预测）若向量，则 . 【答案】 【解析】因为，则， 又因为， 所以，解得. 所以，， 故答案为：. 30．（2026·湖北宜昌·模拟预测）设为单位向量，且，则 ． 【答案】1 【解析】因为为单位向量，所以. 由可得， 解得. 故答案为：1. 31．（25-26高三上·湖北咸宁·月考）已知向量，满足，，且，则 . 【答案】 【解析】由，，得，. 由， 所以， 所以. 故答案为： 32．（2025·四川成都·模拟预测）已知平面向量，，且，则实数 . 【答案】5 【解析】由已知，， ，， 即，. 故答案为：5 33．（2025·河南·模拟预测）已知向量，若，则 . 【答案】或3 【解析】向量，由，得， 所以或. 故答案为：或3 34．（25-26高三上·四川遂宁·期中）已知平面向量，，若，则 ． 【答案】 【解析】，， 解得． 故答案为：． 35．（2025·陕西商洛·模拟预测）已知平面向量，，若，则实数 . 【答案】1 【解析】由，则，即，解得. 故答案为：1. 36．（24-25四川凉山·期末）已知向量，，若，则实数 . 【答案】 【解析】因为， 所以. 因为，所以， 解得. 故答案为：. 37．（2025·四川遂宁·二模）已知，若在方向上的投影向量为，则与的夹角为 . 【答案】/ 【解析】因为在方向上的投影向量为， 所以， 又，且， 所以． 故答案为：． 38．（2026·四川攀枝花·一模）若平面向量，，均为单位向量，且，则与的夹角为 ． 【答案】 【解析】由可得，，即， 因为，，均为单位向量，所以， 所以，即. 设与的夹角为， 则，所以. 故答案为： 39．（2026·河南鹤壁·一模）已知是夹角为的两个单位向量，若，则实数 ． 【答案】4 【解析】由是夹角为的两个单位向量，得， 由，得，即，所以. 故答案为：4 40．（2025·四川泸州·一模）已知平面向量与均为单位向量，，则与的夹角为 . 【答案】/ 【解析】由题意，，， 则，即， 则，所以， 又，则. 故答案为：. 41．（2025·四川自贡·一模）若非零向量、的夹角为，且，则 ． 【答案】 【解析】因为非零向量、的夹角为，且， 则. 故答案为：. 42．（2025高三下·山西临汾·月考）已知向量，若与垂直，则实数 . 【答案】1 【解析】向量，，则（1，1+λ）， （﹣2，1），因为与垂直，所以 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $