北京市第九中学教育集团2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题

2025—2026学年第一学期高二期末试卷 数学 本试卷共7页，满分为150分，考试时间为120分钟.请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡. 第一部分（选择题共40分） 一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知直线的一个方向向量是，则直线的斜率是（ ） A. B. C. D. 2. 在的展开式中，的系数为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. ，，能构成空间向量的一组基底 4. “曲线表示椭圆”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知双曲线的一个焦点为，则的离心率为 A. B. C. D. 2 6. 将名学生分到两个班级，每班至少人，不同的方法有（ ）种 A. B. C. D. 7. 如图，设抛物线的焦点为，过轴上一点作直线交于、两点，若，，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正四棱锥中，若的面积与正四棱锥的侧面面积之和的比为，则侧面与底面所成的二面角为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，矩形中，，，、分别为边、上的动点，且.则的最小值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是平面的斜线段，为斜足，点满足，且在平面内运动，则（ ） A. 当时，点的轨迹是椭圆 B. 当时，点的轨迹是抛物线 C. 当时，点的轨迹是圆 D. 当时，点的轨迹是双曲线 第二部分（非选择题共110分） 二､填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 已知直线：与直线：平行，则______. 12. 设抛物线的顶点在原点，准线方程为，则抛物线的方程是________． 13. 若，则__________；__________.（用数字作答） 14. 若直线与双曲线只有一个公共点，则的取值为__________；若直线与双曲线的左､右两支分别交于两点，则的取值范围为__________. 15. 已知曲线（是常数），为曲线上不同的两点，给出下列四个结论： ①若，则曲线关于直线对称； ②若，则曲线恒过两个定点； ③若，则可能位于直线的两侧； ④若，圆，则所有均在圆上或圆内； 其中所有正确结论的序号为__________. 三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知，是圆上的三点，. （1）判断四点是否共圆，并说明理由； （2）过点的直线被圆截得的弦长为4，求直线的方程. 17. 如图，在几何体中，底面为矩形，平面平面，.点在棱上，平面与棱交于点. （1）求证：； （2）求证：； （3）若平面平面，求二面角的大小. 18. 已知椭圆. （1）求椭圆的短轴长和离心率； （2）过点的直线与椭圆交于两点，若弦的中点为，求直线的方程与弦的长. 19. 如图1，在中，分别为边的中点，且，将沿折起到的位置，使，如图2，连接. （1）求证：平面； （2）若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值； （3）线段上是否存在点，使平面与平面的夹角正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 20. 已知椭圆的左右顶点分别为，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）经过点的直线与椭圆相交于不同的两点（不与点重合）.直线与直线相交于点，求证：三点共线. 21. 已知有序数对，有序数对，定义“变换”：.通过“变换”可以将有序数对转化为有序数对. （1）写出有序数对经过3次“变换”后得到的有序数对； （2）若有序数对经过一次“变换”得到有序数对，且有序数对的三项之和为4050，求的值； （3）在（2）的条件下，有序数对经过次“变换”后得到有序数对三项之和最小，求的最小值. 2025—2026学年第一学期高二期末试卷 数学 本试卷共7页，满分为150分，考试时间为120分钟.请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡. 第一部分（选择题共40分） 一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】B 【9题答案】 【答案】C 【10题答案】 【答案】C 第二部分（非选择题共110分） 二､填空题共5小题，每小题5分，共25分. 【11题答案】 【答案】4 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 ①. ②. 【14题答案】 【答案】 ①. ，； ②. 【15题答案】 【答案】①②④ 三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 【16题答案】 【答案】（1） 设圆的方程为. 则. 解得，，. 所以，圆的方程为. 代入圆的方程，. 故点在圆上，即四点共圆. （2）或 【17题答案】 【答案】（1） 因为矩形，所以，又，，平面， 所以平面，又平面，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面，故，又，，面， 所以面，又面， 所以. （2） 因为矩形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又因为平面平面，且平面，所以. （3） 【18题答案】 【答案】（1）短轴长为，离心率为， （2）， 【19题答案】 【答案】（1）证明：因为分别为的中点，所以， 又因为，所以，所以， 因为，且，平面， 所以平面. （2） （3）存在， 【20题答案】 【答案】（1） （2） 设直线的方程为，，，如下图所示： 联立，消去整理得， 则，，， 直线的方程为，令，得，故， 要证三点共线，只需证， 因为，，所以只需证， 即证， 将，代入上式得， 整理得， 而， 所以，即三点共线. 【21题答案】 【答案】（1） （2） （3）的最小值为1013 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $