精品解析：四川省绵阳市梓潼县2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

2025-2026学年度九年级（上）期末教学质量监测 （九年级数学） 一．选择题（共12小题，每小题3分，共36分） 1. 下列事件是随机事件的是（ ） A. 画一个三角形，内角和是180º B. 随机抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后反面朝上 C. 太阳从东方升起 D. 掷出一枚质地均匀的正方体骰子，正面向上的点数是0 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了随机事件，指可能发生也可能不发生的事件.选项A、C是必然事件，选项D是不可能事件，选项B中硬币反面朝上可能发生也可能不发生，是随机事件. 【详解】A、任何三角形内角和均为，是必然事件； B、抛掷硬币反面朝上可能发生也可能不发生，是随机事件； C、太阳从东方升起是必然事件； D、质地均匀的骰子无0点，是不可能事件. 故选：B 2. 下列各选项中的两个量，成反比例关系的是（ ） A. 班级队列操表演，每排站8人，全班的总人数与排数 B. 购买铅笔和钢笔一共花了20元，铅笔的费用与钢笔的费用 C. 张华制作小红花的效率一定，她制作的小红花总朵数与制作时间 D. 三角形的面积是，三角形的一条边长与这条边上的高 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查成正比例与成反比例，若两个量的积是常数，则这两个量成反比例；若两个量的比值是常数，则两个量成正比例，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、总人数排数，比值一定，故全班的总人数与排数成正比例． B、铅笔费用钢笔费用，和是常数，故铅笔的费用与钢笔的费用不成反比例． C、总朵数时间效率，效率一定，即比值一定，故她制作的小红花总朵数与制作时间成正比例． D、∵面积底高， ∴底高， 其乘积一定，故三角形的一条边长与这条边上的高成反比例． 故选：D． 3. 在一些古代数学著作中，我们常常看到“勾股容圆”、“圆材藏壁”、“方形圆径”、“圆中方形”这样的词汇，下列图形是这些词汇对应的模型图，其中既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：A． 4. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是紧扣“只含一个未知数、未知数最高次数为、整式方程”这三个核心条件进行判断． 逐一分析每个选项，验证是否满足一元二次方程的全部定义条件． 【详解】解：A、，只含一个未知数，未知数最高次数为，是整式方程，此选项符合题意； B、，含有两个未知数和，是二元方程，此选项不符合题意； C、，当时，方程最高次数不为，不满足一元二次方程的定义，此选项不符合题意； D、，未知数最高次数为，是一元一次方程，此选项不符合题意． 故选：A． 5. 将抛物线向下平移1个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线平移的性质，即可求解． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴将抛物线向下平移1个单位，得到的抛物线的顶点坐标为， ∴平移后得到的抛物线的解析式是． 故选：B 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，解题关键是熟记平移规律“左加右减，上加下减”． 6. 草锅盖是一种传统草编工艺品（如图①），某兴趣小组根据草锅盖的特征制作了一个圆锥模型（如图②），并用测量工具测量出该模型底面圆的直径为，高为，则该模型的侧面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求圆锥的侧面积，勾股定理，牢记公式是解题的关键．根据题意得到圆锥的底面半径为4，高为3，然后利用勾股定理求出母线长，然后利用圆锥侧面积公式求解即可． 【详解】解：根据题意得，圆锥的底面半径，高， ∴母线长， ∴该模型的侧面积为． 故选：B． 7. 下列关于反比例函数图象的描述错误的是（ ） A. 图象位于第一、三象限 B. 点在此函数图象上 C. 在每个象限内，函数随的增大而增大 D. 图象关于坐标原点成中心对称 【答案】C 【解析】 【分析】反比例函数 的，图象位于第一、三象限，点在图象上，图象关于原点对称，但在第一，三象限内 随 的增大而减小． 本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是要明确反比例函数的增减性必须要强调在同一个象限内． 【详解】∵ 反比例函数 ，当时，图象在第一、三象限，∴选项 A 正确； ∵ 当 时，，∴ 点在图象上，∴ 选项B 正确； ∵ 当 时，在每个象限内， 随 的增大而减小，∴ 选项C 错误； ∵ 反比例函数图象关于原点对称，∴选项 D 正确． ∴故选： C． 8. 在如图1所示的电源电压恒定的电路中，小明闭合开关后，移动滑动变阻器的滑片，电流与电阻成反比例函数关系，函数图象如图2所示，点的坐标为，则电源电压为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的解析式． 将点代入即可得到答案． 【详解】解：设电流与电阻的函数解析式为， 将代入得，， ． 故选：D． 9. 南宋数学家杨辉所著的《田亩比类乘除算法》中有这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问宽和长各多少步？设这块田地的宽为x步，则所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意；根据矩形面积公式和长宽关系，宽为x步，则长为步，利用面积公式列方程即可． 【详解】解：由题意可列方程为； 故选B． 10. 已知二次函数的图象如图所示，则以下结论错误的是（　　） A. B. C. D. 方程的正根在2到3之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质． 根据二次函数的图象得到，，根据对称轴得到，可判断A、B，根据二次函数的对称性可判断D，当时，，根据可判断C． 【详解】解：∵开口向上， ∴， ∵二次函数交轴于负半轴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， 即，，B正确； 即，A正确； 由图可知方程的负根在到0之间， ∵对称轴为直线， ∴方程的正根在2到3之间，D正确； 当时，， ∵， ∴，C正确； 故选：C． 11. 如图，是的直径，是的切线，．则的度数等于 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理． 根据切线的性质求出，结合求出，根据圆周角定理即可求出的度数． 【详解】解：∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 12. 如图，将绕点A顺时针旋转，旋转角为，得到，若点E恰好在的延长线上，则等于（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，证明，推出即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 13. 点关于原点对称的点的坐标为，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与中心对称，根据关于原点对称的点的坐标特征，横坐标和纵坐标都互为相反数，求出的值，进而求出的值即可． 【详解】解：∵点关于原点对称的点的坐标为， ∴， ∴； 故答案为：． 14. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况得，求出的值即可，熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，是解题的关键． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根 ∴， 解得：， 故答案为：． 15. 若是反比例函数，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，理解其定义是解题的关键． 根据反比例函数的定义解题即可． 【详解】解：由题意知，， 解得：． 故答案为：． 16. 函数与轴有两个不同的交点，则的取值范围______． 【答案】 且 【解析】 【分析】函数与轴有两个不同的交点，等价于对应二次方程有两个不等实数根，需满足判别式大于零且二次项系数不为零，解不等式组即可；本题主要考查了抛物线与轴的交点问题，熟练掌握二次函数图象与轴的交点横坐标就是对应的一元二次方程的解是解题的关键． 【详解】解：由条件得， 解得 且 ． 故答案为： 且 ． 17. 如图，，分别与相切于A，B两点，若，则 _____． 【答案】110 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线性质与四边形内角和定理的应用，解题的关键是利用切线垂直于半径的性质，结合四边形内角和为进行角度推导． 先根据切线性质得到，，即；再结合四边形的内角和为，代入计算的度数． 【详解】解：∵ 分别与相切于，两点， ∴ ，， ∴ ， ∵ 四边形的内角和为， ∴ 代入，，得，． 故答案为：． 18. 验光师通过检测发现近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例，关于的函数图像如图所示，经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由米调整到米，则近视眼镜的度数减少了______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，用待定系数法求出反比例函数解析式，当时，代入解析式求出的值，进而计算即可，读懂题意，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意设关于的函数图像解析式为， ∴， ∴关于的函数图像解析式为， 当时，， ∴近视眼镜的度数减少了（度）， 故答案为：． 三．解答题（共90分） 19. （1）解方程① ② （2）某种植物的一个主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，若主干、支干和小分支的总数是43，那么每个支干长出多少个小分支？ 【答案】（1）， （2）， （3）每个枝干长出6个小分支 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的解法与实际应用； （1）①利用配方法求解方程即可； ②利用因式分解法求解方程即可； （2）由题意设每个支干长出x个小分支，因为主干长出x个（同样数目）支干，则又长出个小分支，根据“主干、支干和小分支的总数是43”即可列方程． 【详解】（1）解方程① ， ， ， ， ，； ② ， ，； （2）由题意设每个支干长出x个小分支，因为主干长出x个（同样数目）支干，则又长出个小分支， 由题意得：， 解得， 由于实际问题，故， 即每个枝干长出6个小分支． 20. 在一个不透明的口袋里装有分别标有数字，，0，3的四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，每次试验先搅拌均匀． （1）从中任取一球，将球上的数字记为a，求关于x的一元二次方程有实数根的概率． （2）从中任取一球，将球上的数字作为点的横坐标记为x（不放回），再任取一球，将球上的数字作为点的纵坐标，记为y，用树状图或列表法表示出点所有可能出现的结果，并求点落在第二象限内的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出一元二次方程有实数根时，a的取值范围，再根据概率公式求解即可． （2）画树状图可得出所有可能出现的结果，再通过树状图得出点落在第二象限内的结果，利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：若一元二次方程有实数根， 则，且， ∴， ∵数字，，0，3中，小于0的有，， ∴关于x的一元二次方程有实数根的概率为； 【小问2详解】 画树状图如下： 共有12种等可能的结果：，，，，，，，，，，，， 其中落在第二象限内的有：，，共2种结果， ∴点（x，y）落在第二象限内的概率为． 【点睛】本题考查了树状图法求概率、根的判别式等知识，熟练掌握列表法与树状图法、根的判别式以及概率公式是解答本题的关键． 21. 一名运动员在距篮下处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为时，达到最大高度，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为． （1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式． （2）该运动员身高，在这次跳投过程中，球在头顶上方处出手，球出手时，他跳离地面的高度是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，确定二次函数的解析式是解题的关键． （1）设抛物线的表达式为，依题意可知图象经过的坐标，由此可得a的值． （2）设球出手时，他跳离地面的高度为，则可得，再解方程即可． 【小问1详解】 ∵当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的表达式为， 由图知图象过以下点：， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 设球出手时，他跳离地面的高度为， 因为（1）中求得， 则球出手时，球的高度为， ∴， ∴， 答：球出手时，他跳离地面的高度为． 22. 已知长方形中，边的长度为，边的长度为，．将长方形绕着点旋转，点、、的对应点分别记为点、、，旋转角记为． （1）当旋转方向为顺时针方向且时（如图），连接、、，用、的代数式表示三角形的面积；（结果需化简） （2）当时，如果与的度数之比为，请直接写出旋转方向和的度数； （3）当时，旋转过程中，当长方形与原长方形重叠部分的图形是轴对称图形时，请直接写出旋转方向和的度数． 【答案】（1）； （2）顺时针方向；逆时针方向； （3）顺时针方向或逆时针方向，长方形与原长方形重叠部分的图形是轴对称图形． 【解析】 【分析】（1）延长、交于点，把不规则图形补充成一个长方形，利用长方形的面积公式和三角形的面积公式列出表示面积的代数式； （2）本题需要考虑顺时针旋转和逆时针旋转两种情况，分别用含的代数式表示出与，再根据这两个角的度数之比为，列方程求解； （3）本题需要考虑顺时针旋转和逆时针旋转两种情况，旋转后如果重叠部分是等腰直角三角形，则为轴对称图形，根据等腰直角三角形的性质确定旋转角的度数即可． 【小问1详解】 解：如下图所示，延长、交于点， 则长方形的长为，宽为， ； 【小问2详解】 解：如下图所示，如果顺时针旋转， 则有，， 与的度数之比为， ， 解得：； 如下图所示，如果逆时针旋转， 则有，， 与的度数之比为， ， 解得：； 综上所述，顺时针方向或逆时针方向； 【小问3详解】 解：如下图所示，重叠部分是， ， 若是轴对称图形， 则有是等腰直角三角形， ， ， 当顺时针方向旋转时， 是等腰直角三角形，等腰直角三角形是轴对称图形， 长方形与原长方形重叠部分的图形是轴对称图形； 如下图所示，重叠部分是， ， 若是轴对称图形， 则有是等腰直角三角形， ， ， 当逆时针方向旋转时， 是等腰直角三角形，等腰直角三角形是轴对称图形， 长方形与原长方形重叠部分的图形是轴对称图形； 综上所述，当顺时针方向或逆时针方向长方形与原长方形重叠部分的图形是轴对称图形． 【点睛】本题主要考查了图形的旋转、轴对称图形、解一元一次方程、列代数式、分类讨论的思想．解决本题的关键是要注意分类讨论思想的运用，图形旋转时要分顺时针旋转或逆时针旋转两种情况考虑． 23. 如图，在中，，的平分线交于点E，过点E作直线的垂线交于点F，是的外接圆． （1）求证：是的切线； （2）过点E作于点H，求证：平分； （3）连接，若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是圆的半径， ∴是圆O的切线； （2） 证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 即：平分； （3）圆O的半径为4.5． 【解析】 【分析】（1）连接，由等边对等角可得，由三角形角平分线的定义可得，进而可得，由内错角相等两直线平行可得，由两直线平行同位角相等可得，然后由切线的判定定理即可得出结论； （2）由垂线的性质可得，，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，由等边对等角可得，由可得，再结合，即可得出结论； （3）连接，由角平分线的性质定理可得，由圆内接四边形的性质定理可得，进而可得，利用可证得，于是可得，，由勾股定理可得，设，则，在中，根据勾股定理可得，即，解方程即可求得圆O的半径． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，连接， ∵是的平分线，且， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴圆O的半径为． 【点睛】本题主要考查了等边对等角，三角形角平分线的定义，内错角相等两直线平行，两直线平行同位角相等，切线的判定定理，垂线的性质，直角三角形的两个锐角互余，等式的性质1，角平分线的性质定理，圆内接四边形的性质定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理，线段的和与差，解一元一次方程等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 24. 如图，一次函数y＝x+b的图象与y轴交于点A，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点B(2，6)． （1）求一次函数与反比例函数的关系式； （2）C为线段AB延长线上一点，作CDOA与反比例函数y＝（x＞0）交于点D，连接OD，当四边形ACDO为平行四边形时，求点C的坐标． 【答案】（1）y＝x+4，y＝；（2）(2，2+4) 【解析】 【分析】（1）将点B的坐标代入一次函数和反比例函数解析式中，解方程即可得出结论； （2）先求出OA，再判断出CD＝4，设出点C坐标，表示出点D坐标，进而用CD建立方程求解，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵点B（2，6）在直线y＝x+b上， ∴2+b＝6， ∴b＝4， ∴一次函数的解析式为y＝x+4； ∵点B（2，6）在反比例函数y＝（x＞0）的图象上， ∴k＝2×6＝12， ∴反比例函数的解析式为y＝； （2）由（1）知，一次函数的解析式为y＝x+4， ∴A（0，4）， ∴OA＝4， ∵四边形ACDO为平行四边形， ∴CD＝OA＝4， 设点C的坐标为（m，m+4）（m＞2）， ∵CD∥OA， ∴D（m，）， ∴CD＝m+4﹣， ∴m+4﹣＝4， ∴m＝2或m＝﹣2（舍）， ∴C（2，2+4）． 【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键． 25. 如图，抛物线L：经过点和，与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l． （1）求该抛物线的表达式； （2）点F在对称轴l上，点P在抛物线上，过点P作对称轴l的垂线，垂足为E，若使以P、E、F为顶点的三角形与全等，则点P的坐标为 　 ； （3）点Q是y轴上的一点，在抛物线L上，是否存在点P，使得以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）存在，P的坐标为或或 【解析】 【分析】本题考查用待定系数法确定二次函数解析式，全等三角形的判定，平行四边形的判定和性质，中点坐标公式．根据题意分情况讨论是解题的关键． （1）利用待定系数法即可确定抛物线的解析式； （2）根据全等三角形性质得出可得出，然后进行求解即可； （3）设，，根据平行四边形的对角线互相平分，再利用中点坐标公式建立方程组即可求解，可分三种情况进行讨论． 【小问1详解】 解：（1）将和代入得： ， 解得， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：如图： 由得对称轴为直线，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵F在对称轴l上，点P在抛物线上，过点P作对称轴l的垂线，垂足为E， ∴， ∵以P、E、F为顶点的三角形与全等， ∴， ∴或， ∴或； 【小问3详解】 解：存在， 设，，而， ①以为对角线，则的中点即为的中点，如图： ∴， 解得， ∴， ②以为对角线， ∴， 解得， ∴， ③以为对角线， ∴， 解得， ∴， 综上所述，P的坐标为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度九年级（上）期末教学质量监测 （九年级数学） 一．选择题（共12小题，每小题3分，共36分） 1. 下列事件是随机事件的是（ ） A. 画一个三角形，内角和是180º B. 随机抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后反面朝上 C. 太阳从东方升起 D. 掷出一枚质地均匀的正方体骰子，正面向上的点数是0 2. 下列各选项中的两个量，成反比例关系的是（ ） A. 班级队列操表演，每排站8人，全班的总人数与排数 B. 购买铅笔和钢笔一共花了20元，铅笔的费用与钢笔的费用 C. 张华制作小红花的效率一定，她制作的小红花总朵数与制作时间 D. 三角形的面积是，三角形的一条边长与这条边上的高 3. 在一些古代数学著作中，我们常常看到“勾股容圆”、“圆材藏壁”、“方形圆径”、“圆中方形”这样的词汇，下列图形是这些词汇对应的模型图，其中既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 5. 将抛物线向下平移1个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 6. 草锅盖是一种传统草编工艺品（如图①），某兴趣小组根据草锅盖的特征制作了一个圆锥模型（如图②），并用测量工具测量出该模型底面圆的直径为，高为，则该模型的侧面积为（　　） A. B. C. D. 7. 下列关于反比例函数图象的描述错误的是（ ） A. 图象位于第一、三象限 B. 点在此函数图象上 C. 在每个象限内，函数随的增大而增大 D. 图象关于坐标原点成中心对称 8. 在如图1所示的电源电压恒定的电路中，小明闭合开关后，移动滑动变阻器的滑片，电流与电阻成反比例函数关系，函数图象如图2所示，点的坐标为，则电源电压为（　　） A. B. C. D. 9. 南宋数学家杨辉所著的《田亩比类乘除算法》中有这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问宽和长各多少步？设这块田地的宽为x步，则所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的图象如图所示，则以下结论错误的是（　　） A. B. C. D. 方程的正根在2到3之间 11. 如图，是的直径，是的切线，．则的度数等于 （ ） A. B. C. D. 12. 如图，将绕点A顺时针旋转，旋转角为，得到，若点E恰好在的延长线上，则等于（　　） A. B. C. D. 二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 13. 点关于原点对称的点的坐标为，则的值为_______． 14. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则_______． 15. 若是反比例函数，则的值为______． 16. 函数与轴有两个不同的交点，则的取值范围______． 17. 如图，，分别与相切于A，B两点，若，则 _____． 18. 验光师通过检测发现近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例，关于的函数图像如图所示，经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由米调整到米，则近视眼镜的度数减少了______度． 三．解答题（共90分） 19. （1）解方程① ② （2）某种植物的一个主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，若主干、支干和小分支的总数是43，那么每个支干长出多少个小分支？ 20. 在一个不透明的口袋里装有分别标有数字，，0，3的四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，每次试验先搅拌均匀． （1）从中任取一球，将球上的数字记为a，求关于x的一元二次方程有实数根的概率． （2）从中任取一球，将球上的数字作为点的横坐标记为x（不放回），再任取一球，将球上的数字作为点的纵坐标，记为y，用树状图或列表法表示出点所有可能出现的结果，并求点落在第二象限内的概率． 21. 一名运动员在距篮下处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为时，达到最大高度，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为． （1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式． （2）该运动员身高，在这次跳投过程中，球在头顶上方处出手，球出手时，他跳离地面的高度是多少？ 22. 已知长方形中，边的长度为，边的长度为，．将长方形绕着点旋转，点、、的对应点分别记为点、、，旋转角记为． （1）当旋转方向为顺时针方向且时（如图），连接、、，用、的代数式表示三角形的面积；（结果需化简） （2）当时，如果与的度数之比为，请直接写出旋转方向和的度数； （3）当时，旋转过程中，当长方形与原长方形重叠部分的图形是轴对称图形时，请直接写出旋转方向和的度数． 23. 如图，在中，，的平分线交于点E，过点E作直线的垂线交于点F，是的外接圆． （1）求证：是的切线； （2）过点E作于点H，求证：平分； （3）连接，若，，求的半径． 24. 如图，一次函数y＝x+b的图象与y轴交于点A，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点B(2，6)． （1）求一次函数与反比例函数的关系式； （2）C为线段AB延长线上一点，作CDOA与反比例函数y＝（x＞0）交于点D，连接OD，当四边形ACDO为平行四边形时，求点C的坐标． 25. 如图，抛物线L：经过点和，与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l． （1）求该抛物线的表达式； （2）点F在对称轴l上，点P在抛物线上，过点P作对称轴l的垂线，垂足为E，若使以P、E、F为顶点的三角形与全等，则点P的坐标为 　 ； （3）点Q是y轴上的一点，在抛物线L上，是否存在点P，使得以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $