专题24.2 两点间的距离公式（高效培优讲义）数学新教材沪教版五四制八年级下册

本初中数学讲义聚焦两点间距离公式，从坐标轴上、平行于坐标轴的两点距离入手，通过勾股定理推导任意两点距离公式，衔接中点坐标公式，形成从基础到应用的学习支架，涵盖公式理解、计算及三角形判定、实际测距等应用。 资料以问题驱动推导过程，培养学生推理能力与几何直观，通过等腰/直角三角形判定、台风影响等实际问题，发展模型意识与应用意识。典例与变式梯度设计，课中助力教师分层教学，课后便于学生强化练习，查漏补缺。

专题24.2 两点间的距离公式 教学目标 1. 理解两点间距离公式的推导过程，明确公式的几何意义，知道公式的由来与勾股定理的内在关联，衔接数轴上两点间距离、平面内平行于坐标轴的两点间距离的已有知识基础; 2. 熟练掌握平面内任意两点间的距离公式，能直接运用公式计算两点间的距离，包括点与原点之间的距离计算; 3.能利用公式解决一些实际问题,初步实现公式的简单应用延伸。 教学重难点 1.重点 理解公式的推导过程，能熟练运用公式求两点间的距离; 2.难点 运用公式解决诸如判定直角三角形、等腰三角形的数学问题，以及建立数学模型解决一些实际问题. 知识点01 横平线和竖直线上两点间的距离 问题：对于平面直角坐标系中的两点A(，)、B(，).如何计算这两点间的距离呢? 1.坐标轴上两点间的距离 如图1，图2所示 ①点A、B在x轴上，AB=____________. ②点A、B在y轴上，AB=____________. 2.当AB平行于x轴或y轴时 如图3，图4所示 ①当AB平行于x轴时，AB=____________. ②当AB平行于y轴时，AB=____________. 【即学即练】 在平面直角坐标系中，已知点、，点在x轴上，且，写出满足条件的所有点的坐标 ． 知识点02 任意两点间的距离 1.两点间距离公式 如图5，利用勾股定理可求得两点的距离公式： AB= 2.线段中点坐标公式 已知线段AB的两个端点坐标为A(，)、B(，)，C为线段AB的中点，则C点坐标为() 【即学即练】 1. 结合图6，请推导线段AB中点C的坐标公式 2. 在平面直角坐标系中，已知点、，点在y轴上，且，写出满足条件的所有点的坐标 ． 知识点03 两点间距离公式的应用 1.等腰三角形的判定 2.直角三角形的判定 3.在实际生活中的测距问题 题型01 横平线或竖直线上两点间的距离 【典例1】若点A（x，0）与B（2，0）的距离为5，则x= ． 【变式1】已知点．轴，且,当时，写出点的坐标． 【变式2】如图，，两点的坐标分别为，，是轴上一点，且三角形的面积为6，则点的坐标为 ． 【变式3】A、B两点的坐标分别为，，点P是x轴上一点，且三角形的面积为6，则点P的坐标为 ； 【变式4】在平面直角坐标系中，，，，点P在y轴上，且与的面积相等，则点P的坐标为 ． 题型02 任意两点的距离 【典例1】已知直角坐标平面内的两点分别为A（﹣3，1）、B（1，﹣2），那么A、B两点间的距离等于 ． 【变式1】已知，两点之间的距离为，则实数 ． 【变式2】如图，已知直线a与坐标轴分别交于A、B两点，其中点B的坐标为（3，0），线段AB的垂直平分线b交y轴于点C（0，1），则AC的长为 ． 【变式3】已知的顶点坐标为，，，求边上的中线的长． 【变式4】先阅读一段文字，再回答下列问题：已知在平面内两点坐标,其两点间距离公式为，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于轴或垂直于轴时，两点距离公式可简化成或 (1)已知，，试求两点的距离； (2)已知在平行于轴的直线上，点A的纵坐标为，点的纵坐标为，试求两点的距离； (3)已知一个三角形各顶点坐标为，，，找出三角形中相等的边？说明理由． 题型03 平面直角坐标系中直角三角形的确定 【典例1】已知的三个顶点，，，则为 三角形． 【变式1】已知A(，)，B(4，)，C(1，2)，判定ABC的形状． 【变式2】在下面的平面直角坐标系中先描出、、，然后顺次连接三点，求面积． 【变式3】已知点、、，若点在轴上，且，则点坐标为 ． 【变式4】点在轴上，、，如果是直角三角形，求点的坐标． 题型04 平面直角坐标系中等腰三角形的确定 【典例1】在平面直角坐标系中，已知点，点，点是轴上一点，若是等腰三角形，试求点的坐标． 【变式1】已知一个三角形各顶点坐标为、、，请判定此三角形的形状，并说明理由． 【变式3】已知，，在坐标轴上求点，使是等腰三角形． 【变式4】如图，已知点A的坐标为(－3，－4)，点B的坐标为(5，0)． (1)求证：OA＝OB. (2)求△AOB的面积． (3)求原点O到AB的距离． 题型05 两点距离公式的实际应用 【典例1】海边有一个用于检测海面上船只位置的检测点.以此检测点为原点，分别以正东、正北方向为x轴、y轴正方向，以1km为单位长度建立平面直角坐标系.已知某一时刻甲、乙两艘船的坐标分别为(50,20)、(70,40),求此时两船的距离并描述乙船相对于甲船的位置. 【变式1】如图所示,李明从家出发向正北方向走了1200米,接着向正东方向走到离家2000米远的地方,这时,以家为原点，分别以正东、正北方向为x轴、y轴正方向，以400m为单位长度建立平面直角坐标系.李明现在的坐标位置是_______ 【变式2】欢欢家在市体育馆向东走1000m,再向北走2000m处；小华家在市体育馆向南走500m,再向西走1500m处.以市体育馆所在位置为原点，分别以正东、正北方向为x轴、y轴正方向，以500m为单位长度建立平面直角坐标系. (1)根据要求画出平面直角坐标系，在坐标系中分别标出欢欢家和小华家所在的位置，并写出坐标； (2)计算欢欢家和小华家的距离； (3)描述小华家相对于欢欢家的位置. 【变式3】如图，有一台风中心沿东西方向以每小时20km的速度由A向B移动，已知点C为一海港，以C所在位置为原点，分别以正东、正北方向为x轴、y轴正方向，以50km为单位长度建立平面直角坐标系.经测量，A点坐标为（-90,-120）B点坐标为（160，-120），以台风中心为圆心周围125km及以内的地区会受到影响.请通过计算说明海港C会不会受台风影响？如果会，受影响的时间是多少？ 【变式4】如图是小晨在公园里跑步的路线图，从点A到点D有两条路线，分别是和．已知，，点C在点B的正西方处，点D在点C的正北方30m处．若以B点为坐标原点，分别以正东、正北方向为x轴、y轴正方向，以3m为单位长度建立平面直角坐标系 . (1)画出直角坐标系，写出A、C、D三点的坐标； (2)请你通过计算比较这两条路线中哪条路线更长？ 、 一、单选题 1．在直角坐标系中，已知点、，则线段的长度是（    ）． A．1 B． C． D．2 2．在已知点M（3，﹣4），在x轴上有一点与M的距离为5，则该点的坐标为（　　） A．（6，0） B．（0，1） C．（0，﹣8） D．（6，0）或（0，0） 3．在平面直角坐标系中，已、、，则的三边长、、的大小关系是（    ）． A． B． C． D． 4．点P在第三象限内，P到X轴的距离与到y轴的距离之比为，到原点的距离为，则点P的坐标为（ ） A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，，，点是轴负半轴上的一点，平分，则点关于轴的对称点是（   ） A． B． C． D． 6.已知A(2，5)，B(-3，-5)，C(-1、-1)，则这三点的位置关系是（　　） A．是直角三角形的顶点 B．在同一条直线上 C．是等边三角形的顶点 D．以上都不对 二、填空题 7．若A(8，4)和点B(5，)间的距离是5，则＝ ． 8．已知点A、B都在轴上，点A(-3，0)，AB=6，则点Ｂ的坐标为 ． 9．已知一个三角形各顶点坐标为、 、，则此三角形为 ． 10．在平面直角坐标系中，坐标轴上到点的距离等于10的点共有 个． 三、解答题 11．已知点是轴上的一点，它与点之间的距离是15，求点的坐标． 12．在平面直角坐标系中，为原点． （1）点的坐标为，求线段的长； （2）点的坐标为，点的坐标为，求线段的长． 13．小亮在网上搜索到下面的文字材料：在x轴上有两个点它们的坐标分别为和，则这两个点所成的线段的长为：同样，若在y轴上的两点坐标分别为和，则这两个点所成的线段的长为．如图，在直角坐标系中的任意两点，，其坐标分别为和，分别过这两个点作两坐标轴的平行线，构成一个直角三角形，其中直角边，，利用勾股定理可得：线段的长为． 根据上面材料，回答下面的问题： (1)在平面直角坐标系中，已知，则线段AB的长为______； (2)若点在轴上，点的坐标是，且，则点C的坐标是______； (3)已知的三个顶点坐标分别为，，，请判断的形状，并说明理由． 14．如图所示，在平面直角坐标系中，已知三点A，B，C． (1)点A的坐标为______，点C的坐标为______． (2)点A，B两点的距离是______； (3)已知点P为y轴上一点，若时，求点P的坐标． 15．在平面直角坐标系中，有，，三点． (1)当点在轴上时，则的值为______； (2)当轴时，求，两点间的距离； (3)在（1）、（2）的条件下，若点是轴上一点，且，求点的坐标． 16. 甲乙两船同时离开港口，各自沿固定方向航行，甲船每小时航行16海里，乙船每小时航行12海里，航行1.5小时后两船相距30海里，若以港口为坐标原点，分别以正东、正北方向为x轴、y轴正方向，以5海里为单位长度建立平面直角坐标系，如果知道甲船沿东北方向航行，请你用足够理由说明乙船沿哪个方向航行，并计算出行驶1.5小时后两船位置的坐标． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题24.2 两点间的距离公式 教学目标 1. 理解两点间距离公式的推导过程，明确公式的几何意义，知道公式的由来与勾股定理的内在关联，衔接数轴上两点间距离、平面内平行于坐标轴的两点间距离的已有知识基础; 2. 熟练掌握平面内任意两点间的距离公式，能直接运用公式计算两点间的距离，包括点与原点之间的距离计算; 3.能利用公式解决一些实际问题,初步实现公式的简单应用延伸。 教学重难点 1.重点 理解公式的推导过程，能熟练运用公式求两点间的距离; 2.难点 运用公式解决诸如判定直角三角形、等腰三角形的数学问题，以及建立数学模型解决一些实际问题. 知识点01 横平线和竖直线上两点间的距离 问题：对于平面直角坐标系中的两点A(，)、B(，).如何计算这两点间的距离呢? 1.坐标轴上两点间的距离 如图1，图2所示 ①点A、B在x轴上，AB=|-| ②点A、B在y轴上，AB=|-| 2.当AB平行于x轴或y轴时 如图3，图4所示 ①当AB平行于x轴时，AB=|-| ②当AB平行于y轴时，AB=|-| 【即学即练】 在平面直角坐标系中，已知点、，点在x轴上，且，写出满足条件的所有点的坐标 ． 【答案】， 【分析】本题考查了x轴上两点间距离公式，根据线段间的和差关系即可求出点C坐标； 【详解】解：点C位于x轴上时，设点C坐标为（x，0），则，解得x=4或x=-4； 知识点02 任意两点间的距离 1.两点间距离公式 如图5，利用勾股定理可求得两点的距离公式： AB= 2.线段中点坐标公式 已知线段AB的两个端点坐标为A(，)、B(，)，C为线段AB的中点，则C点坐标为() 【即学即练】 1. 请推导线段中点坐标公式 答案】见解析 【分析】则如图6所示，利用“化斜为直”的数学思想，由C为线段AB的中点可知M为AE的中点，N为BE的中点，即可通过平行于坐标轴上两点的距离计算方法来推导结论. 【详解】解：如图6所示，设C点坐标为(，)， 分别过A、B、C三点向坐标轴作垂线（见图6）， 因为C是AB中点， 则点M为AE的中点，N为BE中点， 所以AM=ME，BN=NE 又因为AM=-，ME=- 所以-=- 所以可得，同理, 所以C点坐标为() 2. 在平面直角坐标系中，已知点、，点在y轴上，且，写出满足条件的所有点的坐标 ． 【答案】， 【分析】本题考查了两点间距离公式，根据两点间距离公式构成方程式，解答即可 【详解】解：因为点C在y轴上时，所以可设C点坐标为（0，y）， 两点距离公式可得AC=， 因为，所以可列方程， 解得y=±3 综上所述，满足条件的所有点C的坐标为（0,3）（0，-3） 知识点03 两点间距离公式的应用 1.等腰三角形的判定 2.直角三角形的判定 3.在实际生活中的测距问题 题型01 横平线或竖直线上两点间的距离 【典例1】若点A（x，0）与B（2，0）的距离为5，则x= ． 【答案】-3或7. 【详解】试题解析：∵点A（x，0）与B（2，0）的距离为5， ∴AB==5， 解得x=-3或x=7． 【变式1】已知点．轴，且,当时，写出点的坐标． 【答案】或 【分析】本题考查了平面直角坐标系，以及坐标平面内点的坐标特征，解题的关键是熟知平行于坐标轴的点的坐标特征，以及到两点距离计算方法． 【详解】解：∵时，， ∴ ∵，轴， 设N点坐标为（1，y） 由题意得，|y-7|=2 ∴y=9或y=5， ∴或 【变式2】如图，，两点的坐标分别为，，是轴上一点，且三角形的面积为6，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了坐标与图形性质：能根据点的坐标表示它到两坐标轴的距离．也考查了三角形的面积公式． 根据三角形面积公式得到，求出的值，再写出点坐标． 【详解】解：由题意，得，解得， 设P点坐标为（0，y） 则由题意得，|4-y|=2 解之得，y=2或y=6 故答案为：． 【变式3】A、B两点的坐标分别为，，点P是x轴上一点，且三角形的面积为6，则点P的坐标为 ； 【答案】或 【分析】本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积公式，设点坐标为，则根据三角形面积公式得到 ，然后去绝对值求出的值，再写出点坐标，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设点坐标为， 根据题意得：， 解得或， ∴点坐标为或 ， 故答案为：或 ． 【变式4】在平面直角坐标系中，，，，点P在y轴上，且与的面积相等，则点P的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了坐标与图形面积的计算，利用点的坐标求三角形面积是解题关键，设点的坐标为，则，根据题意可得，即，解之即可得到答案． 【详解】解：设点的坐标为， ， ， 与的面积相等， ， ， 或， 点的坐标为或． 故答案为：或． 题型02 任意两点的距离 【典例1】已知直角坐标平面内的两点分别为A（﹣3，1）、B（1，﹣2），那么A、B两点间的距离等于 ． 【答案】5． 【分析】根据两点间的距离公式进行计算，即A（x，y）和B（a，b），则AB= 【详解】A. B两点间的距离为：AB== =5, 故答案为5, 【变式1】已知，两点之间的距离为，则实数 ． 【答案】或/或8 【分析】本题考查平面上两点间距离公式，掌握两点间距离公式是解题关键． 由两点间距离公式列式求解． 【详解】解：由题意， 解得：． 故答案为：或． 【变式2】如图，已知直线a与坐标轴分别交于A、B两点，其中点B的坐标为（3，0），线段AB的垂直平分线b交y轴于点C（0，1），则AC的长为 ． 【答案】 【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段上两端点的距离相等知AC=CB；然后根据两点间距离公式求得BC=，即AC=． 【详解】∵线段AB的垂直平分线是b， ∴AC=CB； 又∵CB=； ∴AC=． 故答案是：． 【变式3】已知的顶点坐标为，，，求边上的中线的长． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形性质，掌握求中点以及线段的长度的方法是解题的关键． 利用中点坐标公式求得点M坐标，再利用勾股定理求得即可． 【详解】解：∵的三个顶点坐标分别为，，， ∴的中点M的横坐标，纵坐标， ∴点M的坐标为； ． 【变式4】先阅读一段文字，再回答下列问题：已知在平面内两点坐标,其两点间距离公式为，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于轴或垂直于轴时，两点距离公式可简化成或 (1)已知，，试求两点的距离； (2)已知在平行于轴的直线上，点A的纵坐标为，点的纵坐标为，试求两点的距离； (3)已知一个三角形各顶点坐标为，，，找出三角形中相等的边？说明理由． 【答案】(1) (2)10 (3)，见解析 【分析】根据点A、的坐标利用两点间的距离公式即可求出两点间的距离； 由于在平行于轴的直线上，根据简化的两点间的距离公式即可求出两点间的距离； 根据点A、B、C三点的坐标，利用两点间的距离公式求出线段、、的长度即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵A、B在平行于轴的直线上，点A的纵坐标为，点的纵坐标为， ； （3）解：．理由如下： ∵，，， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了两点间的距离公式，解题的关键是：根据点A、B的坐标，利用两点间的距离公式求出线段的长度；根据在平行于轴的直线上，利用简化的两点间的距离公式求出线段的长度；根据点A、B、C三点的坐标，利用两点间的距离公式分别求出线段、、的长度． 题型03 平面直角坐标系中直角三角形的确定 【典例1】已知的三个顶点，，，则为 三角形． 【答案】直角 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，注意掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形． 由题意根据两点间的距离公式可得的长度，再根据勾股定理的逆定理进行分析即可求解． 【详解】解：， ， ， ∴是直角三角形． 故答案为：直角． 【变式1】已知A(，)，B(4，)，C(1，2)，判定ABC的形状． 【答案】ABC是等腰直角三角形，见解析 【分析】利用两点间距离公式，分别计算AB、AC、BC的长，再根据勾股定理逆定理判断三条边的关系即可解题． 【详解】利用两点的距离公式，可得 AB= ， AC= ， BC= ， 所以AC=BC，AB2=AC2+BC2 所以△ABC是直角三角形， 综上所述，△ABC是等腰直角三角形． 【变式2】在下面的平面直角坐标系中先描出、、，然后顺次连接三点，求面积． 【答案】 【分析】本题考查的是两点之间距离和三角形的面积，利用两点距离公式求出AB、AC、BC的值即可判定形状，利用三角形面积公式即可求出面积 【详解】∵、、， ∴，， ， ∴，．∴为等腰直角三角形． ∴． 【变式3】已知点、、，若点在轴上，且，则点坐标为 ． 【答案】或 【分析】根据两点间距离公式得到，由于C在x轴上，则b=0，然后根据勾股定理得到，在解一元二次方程即可 【详解】解： 因为∠ACB=90°，C点在x轴上， 所以 即，整理得， 解得 所以点C坐标为（-4,0）或（1,0） 【变式4】点在轴上，、，如果是直角三角形，求点的坐标． 【答案】点的坐标为或 【分析】本题考查的是两点距离与勾股定理，根据A、B坐标构造直角三角形，运用勾股定理与两点间距离公式，分类讨论即可求出点P坐标 【详解】设点的坐标为，分两种情况： ①当点为直角顶点时，点在轴正半轴， 作轴于，轴于，轴于，如图所示： 由勾股定理，得， 即，解得， ∴点的坐标为． ②当点为直角顶点时，点在轴负半轴，作轴于，轴于，如图所示： 由勾股定理，得， 即，解得， ∴点的坐标为． 综上所述，如果是直角三角形，那么点的坐标为或． 题型04 平面直角坐标系中等腰三角形的确定 【典例1】在平面直角坐标系中，已知点，点，点是轴上一点，若是等腰三角形，试求点的坐标． 【答案】、、或 【分析】本题考查的是两点间距离，根据两点间距离公式，分别就AB=BC，AC=BC，AB=AC三种情况，进行谈论解答即可 【详解】设点的坐标为， 若，则，解得，， ∴． 若，则．解得． ∴． 若，则．解得，， ∴或． 综上、、或． 【点睛】本题的关键是掌握两点间距离公式和分类讨论 【变式1】已知一个三角形各顶点坐标为、、，请判定此三角形的形状，并说明理由． 【答案】为等腰直角三角形 【分析】本题考查的是两点间的距离及勾股定理的逆运用，根据两点间距离公式，分别求出AB、AC、BC的值，在由勾股定理的逆运用判定即可得出答案 【详解】为等腰直角三角形．理由如下： ∵，， ， 而，∴． ∴为等腰直角三角形． 【变式2】在平面直角坐标平面内，等腰△ABC中AC=BC，已知点和点，且点在轴上，求点的坐标． 【答案】 【分析】本题考查的是两点间距离，利用两点间距离公式可以得到方程式，解方程式即可得到答案 【详解】设点的坐标为． 根据题意，得，∴． 即．解得． 所以点的坐标是． 【变式3】已知，，在坐标轴上求点，使是等腰三角形． 【答案】或或或或或或或 【分析】本题考查了两点之间的距离公式、等腰三角形的定义、利用平方根解方程、点的坐标，熟练掌握等腰三角形的定义是解题关键．分两种情况：①当点在轴上时，②当点在轴上时，先分别求出，，的长，再根据等腰三角形的定义建立方程，解方程即可得． 【详解】解：①当点在轴上时， 设点的坐标为， ∵，， ∴， ， ， （Ⅰ）当时，是等腰三角形， 则，即，解得， 此时点的坐标为或； （Ⅱ）当时，是等腰三角形， 则，即， 整理得：， ， 解得或（舍去）， 此时点的坐标为； （Ⅲ）当时，是等腰三角形， 则，即，解得， 此时点的坐标为； ②当点在轴上时， 设点的坐标为， ∵，， ∴， ， ， （Ⅰ）当时，是等腰三角形， 则，即，解得， 此时点的坐标为或； （Ⅱ）当时，是等腰三角形， 则，即， 整理得：， ， 解得或（舍去）， 此时点的坐标为； （Ⅲ）当时，是等腰三角形， 则，即，解得， 此时点的坐标为； 综上，点的坐标为或或或或或或或． 【变式4】如图，已知点A的坐标为(－3，－4)，点B的坐标为(5，0)． (1)求证：OA＝OB. (2)求△AOB的面积． (3)求原点O到AB的距离． 【答案】(1)证明见解析(2) 10(3) 【详解】试题分析：（1）根据两点间的距离公式求出OA和OB的长，即得到OA=OB； （2）利用三角形面积公式求解； （3）先根据两点间的距离公式计算出AB，然后利用面积法求原点到AB的距离． 试题解析：（1）∵A点坐标为（-3，-4）， ∴OA==5， ∵点B的坐标为（5，0）， ∴OB=5， ∴OA=OB； （2）S△AOB=×5×4=10； （3）设原点到AB的距离为h， ∵AB=， 而S△AOB=AB•h， ∴×4•h=10， 解得h=， 即原点到AB的距离为． 题型05 两点距离公式的实际应用 【典例1】海边有一个用于检测海面上船只位置的检测点.以此检测点为原点，分别以正东、正北方向为x轴、y轴正方向，以1km为单位长度建立平面直角坐标系.已知某一时刻甲、乙两艘船的坐标分别为(50,20)、(70,40),求此时两船的距离并描述乙船相对于甲船的位置. 【答案】见解析 【分析】本题考查的是两点之间的距离公式，和方向角问题. 【详解】解：如图，记甲、乙两艘船所在的点分别为A、B. 由两点间的距离公式，可得甲、乙两艘船的距离为 AB==20≈28.28km 过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，相交于点C,则∠ACB=90°. 又因为AC=BC=20(km),所以△ACB是一个等腰直角三角形，可得∠BAC=45°. 此时，乙船在甲船的北偏东45°方向(东北方向)上，距离甲船约28.28km . 【变式1】如图所示,李明从家出发向正北方向走了1200米,接着向正东方向走到离家2000米远的地方,这时,以家为原点，分别以正东、正北方向为x轴、y轴正方向，以400m为单位长度建立平面直角坐标系.李明现在的坐标位置是_______ 【答案】(1600,1200) 【分析】本题考查了平面直角坐标系中两点距离的应用，根据图形，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】根据图示可知∠ABC=90°，AC=2000，AB=1200， ∴BC==1600， 即李明向正东方向走了1600米， 故答案为(1600,1200). 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中两点距离的应用，正确理解题意是解题的关键. 【变式2】欢欢家在市体育馆向东走1000m,再向北走2000m处；小华家在市体育馆向南走500m,再向西走1500m处.以市体育馆所在位置为原点，分别以正东、正北方向为x轴、y轴正方向，以500m为单位长度建立平面直角坐标系. (1)根据要求画出平面直角坐标系，在坐标系中分别标出欢欢家和小华家所在的位置，并写出坐标； (2)计算欢欢家和小华家的距离； (3)描述小华家相对于欢欢家的位置. 【答案】见解析 【分析】本题考查的是两点之间的距离公式，和方向角问题. 【详解】解：（1）直角坐标系如图所示； 记欢欢、小华家所在地点分别为A、B.则A（1000，-2000），B（-1500,500）； （2）由两点间的距离公式，可得甲、乙两艘船的距离为 AB==2500≈3535m （3）过点A作x轴的平行线，过点B作y轴的平行线，相交于点C,则∠ACB=90°. 又因为AC=BC=2200m,所以△ACB是一个等腰直角三角形，可得∠BAC=45°. 此时，小华家在欢欢家的北偏西45°方向(西北方向)上，距离约3535m. 【变式3】如图，有一台风中心沿东西方向以每小时20km的速度由A向B移动，已知点C为一海港，以C所在位置为原点，分别以正东、正北方向为x轴、y轴正方向，以50km为单位长度建立平面直角坐标系.经测量，A点坐标为（-90,-120）B点坐标为（160，-120），以台风中心为圆心周围125km及以内的地区会受到影响.请通过计算说明海港C会不会受台风影响？如果会，受影响的时间是多少？ 【答案】会受影响，受影响时间为3.5小时. 【分析】根据图形，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】 (1)如图所示，画直角坐标系，连接AB交y轴于点D， 因为A（-90,120），B（160，-120） 所以C到AB的距离就是120km， ∵120<125 ∴C港会受到台风的影响; (2)以C为圆心，以125km为半径画弧交直线AB于点M，N， 则可知MD=ND==35km， ∴MN=70km ∵70÷20=3.5h 所以C港受台风影响时长3.5小时. 【变式4】如图是小晨在公园里跑步的路线图，从点A到点D有两条路线，分别是和．已知，，点C在点B的正西方处，点D在点C的正北方30m处．若以B点为坐标原点，分别以正东、正北方向为x轴、y轴正方向，以3m为单位长度建立平面直角坐标系 . (1)画出直角坐标系，写出A、C、D三点的坐标； (2)请你通过计算比较这两条路线中哪条路线更长？ 【答案】(1)A(0，-90)，C（-120,0）D（-120,30） (2)路线更长 【分析】本题考查平面直角坐标系，勾股定理的逆定理，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键． 【详解】（1）画出直角坐标系如图所示 在中，，，， ，， ， ， ； 所以A(0，-90)，C（-120,0）D（-120,30） （2）解：在中，，， 由勾股定理，得， ， ． ∵180<213.7， 路线更长． 一、单选题 1．在直角坐标系中，已知点、，则线段的长度是（    ）． A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查的是两点之间的距离公式，根据直角坐标系中两点间的距离等于横坐标差的平方加上纵坐标差的平方，再开算术平方根解答即可 【详解】解：将A、B两点坐标代入带距离公式中有，所以答案选B 【点睛】本题的关键是掌握两点间距离公式 2．在已知点M（3，﹣4），在x轴上有一点与M的距离为5，则该点的坐标为（　　） A．（6，0） B．（0，1） C．（0，﹣8） D．（6，0）或（0，0） 【答案】D 【详解】到点M的距离为定值的点在以M为圆心，以5为半径的圆上，圆与x轴的交点即为所求点． 解：该点与M点的距离是5，则这点就是以M点为圆心，以5为半径的圆与x轴的交点，如图：过M作x轴的垂线，垂足是N，则ON=3，MN=4．根据勾股定理就可以求得OM=5，则O就是圆与x轴的一个交点，则O坐标是（0，0）；设另一个交点是A，MN⊥OA，则本题满足垂径定理，AN=ON=3． ∴点A的坐标是（6，0）．故选D． 3．在平面直角坐标系中，已、、，则的三边长、、的大小关系是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是两点之间的距离公式，根据直角坐标系中两点间的距离等于横坐标差的平方加上纵坐标差的平方，再开算术平方根即可解出a、b、c的值，在进行比较即可 【详解】根据， 将A、B两点坐标代入可得，即c= 将A、C两点坐标代入可得，即b= 将B、C两点坐标代入可得，即a= 所以c>a>b，选D 【点睛】本题的关键是利用两点间距离公式求出a，b，c的值，在进行比较 4．点P在第三象限内，P到X轴的距离与到y轴的距离之比为，到原点的距离为，则点P的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】试题分析：设Ｐ点坐标为,因为P到X轴的距离与到y轴的距离之比为,所以，又因为P到原点的距离为，所以，即，因为点P在第三象限内，所以所以点P的坐标为. 故选Ｃ． 考点：１．平面直角坐标系；２.勾股定理． 5．如图，在平面直角坐标系中，，，点是轴负半轴上的一点，平分，则点关于轴的对称点是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，平面直角坐标系中点的对称，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．过点B作于上于点D， 则，证明，由全等三角形的性质进一步写出点B坐标，最后求出关于轴的对称点的坐标． 【详解】解：过点B作于上的点D， ∴， ∵平分， ∴， 又， ∴， ∴， ∴B点的纵坐标为3，即， ∴， ∴， ∴点关于轴的对称点是， 故选D． 6. 已知A(2，5)，B(-3，-5)，C(-1、-1)，则这三点的位置关系是（　　） A．是直角三角形的顶点 B．在同一条直线上 C．是等边三角形的顶点 D．以上都不对 【答案】B 【分析】利用两点的距离公式，可得AB= 5，AC= 3，BC= 2，因为AB=AC+BC可得点A 、点B、点C在同一条直线上 【详解】∵A(2，5)，B(-3，-5)，C(-1、-1)， ∴AB===5， AC= ==3， BC= ==2， ∴AB=AC+BC, ∴点A 、点B、点C在同一条直线上. 故选：B 【点睛】此题考查了两点间的距离公式，掌握公式是解答此题的关键. 二、填空题 7．若A(8，4)和点B(5，)间的距离是5，则＝ ． 【答案】8或0 【分析】根据两点的距离公式解答即可. 【详解】根据两点的距离公式得（8-5）2+（k-4）2=52，解得k=8或0， 故答案为：8或0. 【点睛】此题考查直角坐标系中点与点间距离的计算公式，勾股定理，正确掌握计算公式是解题的关键. 8．已知点A、B都在轴上，点A(-3，0)，AB=6，则点Ｂ的坐标为 ． 【答案】(3，0)或(-9，0) 【分析】数轴上两点间的距离即是两点间横坐标之间的距离，据此解题即可． 【详解】 xB=3或-9 故答案为：3或-9 【点睛】本题考查两点间的距离、数轴上两点间的距离等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 9．已知一个三角形各顶点坐标为、 、，则此三角形为 ． 【答案】等腰三角形 【分析】本题考查的是两点间的距离，根据两点间距离公式，分别求出AB、AC、BC的值即可得出答案 【详解】解： 因为AB=AC，所以此三角形时等腰三角形 【点睛】本题的关键是运用两点间距离公式分别求出AB、AC、BC的值 10．在平面直角坐标系中，坐标轴上到点的距离等于10的点共有 个． 【答案】3 【分析】本题考查的是两点间距离公式，利用两点间距离公式，进行分类讨论：设一点为Q（x，0）或（y，0），根据两点间距离公式得到方程，分别解方程即可确定Q点坐标 【详解】解：设这一点为Q，坐标轴上点Q到点P的距离等于10， 若点Q在x轴上，设Q（x，0）则，解得x=0或x=-12，此时Q点坐标为（0,0），（-12,0）； 若点Q在y轴上，设Q（0，y）则，解得y=0或y=16，此时Q点坐标为（0,0），（0,16） 所以坐标轴上到点P（-6,8）的距离等于10的点有（0,0），（-12,0），（0,16），故答案为3 三、解答题 11．已知点是轴上的一点，它与点之间的距离是15，求点的坐标． 【答案】或 【分析】本题考查的是两点间的距离，根据两点间距离公式，可以构造方程式，解答即可得出答案 【详解】设， ∵是轴上的一点，它与点之间的距离是15， ∴，解得或． ∴或． 【点睛】本题的关键是掌握两点间距离公式 12．在平面直角坐标系中，为原点． （1）点的坐标为，求线段的长； （2）点的坐标为，点的坐标为，求线段的长． 【答案】（1）5（2）5 【分析】（1）本题考查的是直角坐标系中两点间的距离，根据两点间距离公式解答即可；（2）在坐标系中构造直角三角形，运用勾股定理即可求出BC 【详解】（1）； （2）如图，， ，则由勾股定理，得． 13．小亮在网上搜索到下面的文字材料：在x轴上有两个点它们的坐标分别为和，则这两个点所成的线段的长为：同样，若在y轴上的两点坐标分别为和，则这两个点所成的线段的长为．如图，在直角坐标系中的任意两点，，其坐标分别为和，分别过这两个点作两坐标轴的平行线，构成一个直角三角形，其中直角边，，利用勾股定理可得：线段的长为． 根据上面材料，回答下面的问题： (1)在平面直角坐标系中，已知，则线段AB的长为______； (2)若点在轴上，点的坐标是，且，则点C的坐标是______； (3)已知的三个顶点坐标分别为，，，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)等腰直角三角形，理由见详解 【分析】本题围绕平面直角坐标系的核心知识展开，先考查两点间距离公式的直接应用与方程求解，再结合勾股定理和等腰三角形的判定方法，完成三角形形状的判断，整体侧重公式运用、代数计算与几何判定的结合． ()直接套用平面内两点间距离公式将，的坐标代入，即可解答； ()点在轴上，设其坐标为，再结合和两点间距离公式列方程，通过平方运算求解的取值，得到两个符合条件的解，解方程即可求解； ()先分别计算三边的长度，再验证三边是否满足勾股定理，同时观察两边是否相等，以此判断三角形形状． 【详解】（1）解：∵，， ∴根据平面内两点间距离公式， 代入得：， 故答案为：； （2）∵点在轴上，设其坐标为，点的坐标是，且， ∴根据两点间距离公式： ， 解得， 即或， ∴点的坐标为或； 故答案为：或； （3）是等腰直角三角形． 理由：∵三个顶点坐标分别为，，， ∴根据两点间距离公式计算三边长度： ， ， ， ∴，， ∴是等腰直角三角形． 14．如图所示，在平面直角坐标系中，已知三点A，B，C． (1)点A的坐标为______，点C的坐标为______． (2)点A，B两点的距离是______； (3)已知点P为y轴上一点，若时，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)点的坐标为或 【分析】本题考查图形与坐标，勾股定理，面积问题，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据点的特点，直接求出其坐标即可； （2）由勾股定理求出长； （3）设，则，依据，解方程即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：根据图象可得， 的坐标为，的坐标为， 故答案为：，； （2）解：∵的坐标为，的坐标为， 由勾股定理得：． 故答案为：； （3）解：设，则，边上的高为2， ， ， ， ， 解得：或， 点的坐标为或． 15．在平面直角坐标系中，有，，三点． (1)当点在轴上时，则的值为______； (2)当轴时，求，两点间的距离； (3)在（1）、（2）的条件下，若点是轴上一点，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用轴上点的坐标特征得到，即可求出的值； （2）先根据与轴平行的直线上点的坐标特征得到，求出的值后得到点、的坐标，即可求出点、之间的距离； （3）由面积关系可列等式，即可求解． 【详解】（1）解：∵点在轴上，且， ∴， 解得：， 故答案为：； （2）∵轴，且，， ∴， 解得：， ∴，， ∴， 即，两点间的距离为； （3）设点， ∵，， ∴，，， ∵， ∴，即， ∴或， 解得或， ∴点的坐标为或． 16.甲乙两船同时离开港口，各自沿固定方向航行，甲船每小时航行16海里，乙船每小时航行12海里，航行1.5小时后两船相距30海里，若以港口为坐标原点，分别以正东、正北方向为x轴、y轴正方向，以5海里为单位长度建立平面直角坐标系， 如果知道甲船沿东北方向航行，请你用足够理由说明乙船沿哪个方向航行，并计算行驶出1.5小时后两船位置的坐标． 【答案】乙船沿西北方向航行或东南方向航行，见解析 【分析】本题考查平面直角坐标系，勾股定理的逆定理，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键． 【详解】 解：（1）如图所示建立的直角坐标系， 由题意得：甲船航行距离为， 乙船航行距离为， ∵， ∴，即为直角三角形，且 又∵， ∴乙船沿西北方向航行或东南方向航行． （2）过A、B点分别向x轴作垂线，垂足分别为P、Q点， ∵∠AOP=45， ∴AP=OP=12， ∵∠BOQ=45 ∴BQ=OQ=9 ∴A（12，12）B（-9，9）或（9，-9） 2 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $