专题23.4 三角形的中位线与重心（高效培优讲义）数学新教材沪教版五四制八年级下册

本讲义聚焦三角形中位线与重心核心知识点，系统梳理中位线定义、定理及应用，中点四边形性质，重心定义、性质及相关计算证明，构建从基础概念到综合应用的学习支架，助力学生逐步掌握线段关系转化与几何推理。 资料通过分层题型设计（计算、证明、实际应用），结合即学即练与变式训练，培养学生几何直观与推理意识，如中位线定理证明提升逻辑推理能力，实际测量问题强化应用意识。课中辅助教师高效授课，课后帮助学生查漏补缺，巩固知识体系。

专题23.4 三角形的中位线与重心 教学目标 1.理解三角形中位线的定义，掌握三角形中位线定理，能运用定理进行简单的几何计算（如线段长度求解）和几何证明（如平行关系、线段倍分关系证明）。 2.能综合运用三角形中位线定理与平行四边形、全等三角形的相关知识，解决简单的数学问题和实际应用问题，初步学会通过构造中位线转化几何问题的思路。 3.理解三角形重心的定义，掌握三角形重心的性质，能运用该性质进行相关线段长度、图形面积的计算和简单证明。 教学重难点 1.重点 （1）三角形中位线定理的理解与应用； （2）三角形重心定义及性质的理解与应用； 2.难点 灵活运用三角形中位线定理解决综合性问题，学会根据题目条件构造中位线，实现线段关系、平行关系的转化。 知识点01 三角形的中位线 1. 定义 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 如图1，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，于是线段DE就是△ABC的一条中位线. 如图2，每一个三角形有三条中位线 2.三角形中位线定理：（如图2）三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半. 作用：可以证明线段的倍分关系； 可以证明线段位置关系——平行. 3.三角形中位线的知识点归纳：（如图2） （1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形； （2）三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半； （3）三条中位线将原三角形分割成的四个三角形全等； （4）三条中位线分割原三角形后形成三个平行四边形. 【即学即练】 1. 如图1,在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点 求证：DE//BC,且DE=BC 证明：如图3，延长DE到点F,使得EF=DE,连接FC、DC、AF. ∵AE=EC,DE=EF, ∴四边形ADCF是平行四边形 ∴AD//CF，AD=CF ∵AD=BD BD=CF ∴四边形DBCF是平行四边形 ∴DF//BC ，DF=BC ∵DE=EF ∴DE=DF=BC ∴DE//BC,且DE=BC 知识点02 中点四边形 1. 如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得到的四边形叫作中点四边形； 2. 任意四边形的中点四边形一定时平四边形； 如果AC=BD，那么四边形EFMN还是菱形；如果AC⊥BD，那么四边形EFMN还是矩形. 【即学即练】 1. 求证：顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形. 如图，已知在矩形ABCD中，E、F、G、H分别为矩形各边的中点，求证：四边形EFGH为菱形. 证明：连接， ∵在四边形中，点E，F，G，H分别是各边的中点， ∴， ∴， 同理：EH=BD ∴四边形是平行四边形， ∵四边形ABCD为矩形 ∴AC=BD ∴EF=EH ∴四边形EFGH为菱形. 知识点03 三角形的重心 1.定义：三角形的三条中线交于一点，此交点叫作三角形的重心. 如图，在△ABC中，E，F，D分别为三角形三边的中点，则AF、BD、CE交于一点O，O叫作△ABC的重心. 2.三角形重心的性质 三角形重心定理：三角形的重心到一个顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍。 3.其他性质 三角形的三条中线把三角形分成面积相等的六个小三角形. 在上图中 【即学即练】 1. 已知：在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的中线，BD和CE交于点O,连接AO并延长交边BC于点F. 求证：（1）AF是边BC上的中线；（2）OF=AO 证明：如图,延长AF到点G,使OG=AO,分别连接BG、CG. ∵EB=EA,OG=AO, ∴EO//BG(三角形的中位线定理). ∴OC//BG. 同理，可得OB//CG. ∴四边形BGCO是一个平行四边形. ∴BF=FC(平行四边形的对角线互相平分), ∴AF是边BC上的中线. 同理，FG=OF ∴OF=OG=AO 题型01 与三角形中位线有关的计算 【典例1】（24-25八年级下·全国·课后作业）在中，，则连结两条直角边中点的线段长为 ． 【答案】 【分析】先依题意作图，再根据勾股定理和三角形的中位线定理求解即可． 【详解】解：依题意作图可知为中位线，则． 在中，由勾股定理得：， 所以． 故答案为： 【点睛】本题考查了勾股定理和三角形的中位线定理，属于基本题型，熟练掌握相关图形的性质定理是解题的关键． 【变式1】三角形的三边长分别是3cm，5cm，6cm，则连结三边中点所围成的三角形的周长是 cm． 【答案】7 【分析】根据三角形的中位线定理即可得到结果． 【详解】由题意得，连结三边中点所围成的三角形的周长是cm， 故答案为：7． 【点睛】本题考查的是三角形的中位线，解答本题的关键是熟练掌握三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 【变式2】如图所示，在中，，，分别是，，的中点，，，则四边形的周长是（    ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】A 【分析】根据三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，以及中点的定义可得，，再根据四边形的周长的定义计算即可得解 【详解】解：在中，、、分别是、、的中点， ，， 四边形的周长是． 故选：A 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，中点的定义以及四边形周长的定义，熟知三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解答此题的关键． 【变式3】如图，∠ACB=90°，D为AB的中点，连接DC并延长到E，使CE=CD，过点B作BF∥DE，与AE的延长线交于点F，若AB=6，则BF的长为（　　） A．6 B．7 C．8 D．10 【答案】C 【详解】∵∠ACB=90°，D为AB的中点，AB=6， ∴CD=AB=3． 又CE=CD， ∴CE=1， ∴ED=CE+CD=4． 又∵BF∥DE，点D是AB的中点， ∴ED是△AFB的中位线， ∴BF=2ED=8． 故选C． 【变式4】如图，一张三角形纸片，其中．某同学将纸片做两次折叠：第一次使点A落在C处，折痕记为m；然后将纸片展平做第二次折叠，使点A落在B处，折痕记为n．则m、n的长度分别是（   ） A．4， B．4，3 C．4， D．3，5 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质、三角形中位线定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． 由三角形中位线定理求出；设BF=AF=x由勾股定理，列方程求解. 【详解】解：(1)如图所示： 由折叠的性质得：是线段的垂直平分线， ∴是的中位线， ∴； (2) 设BF=AF=x ∵， ∴FC=8-x ∴， 解得： x=， ∴ 即， 故答案为：A． 题型02 与三角形中位线有关的证明 【典例1】如图所示，已知在ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，求证：MN∥BC． 【答案】见解析 【详解】试题分析：根据平行四边形的性质结合E，F分别是AD，BC的中点，可证△AEM≌△FBM得ME=MB，同理得NE=NC，于是MN是△EBC的中位线，即得结论. ∵ABCD， ∴AD=BC，AD∥BC， ∴∠AEM=∠FBM， ∵E，F分别是AD，BC的中点， ∴AE=FB， ∵∠AME=∠FMB， ∴△AEM≌△FBM， ∴ME=MB， 同理得NE=NC， ∴MN是△EBC的中位线， ∴MN∥BC． 考点：本题考查的是平行四边形的性质，三角形的中位线 点评：解答本题的关键是熟练掌握三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 【变式1】如图，在△ABC中，AB=AC，AE是∠BAC的角平分线，点O为AB的中点，延长EO交△ABC的外角平分线于点F． (1)求证：EO=OF； (2)连接BF，试判断四边形AEBF的形状，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)四边形AEBF是矩形，理由见解析 【分析】（1）由等腰三角形的性质可得CE=BE，∠AEB=90°，由三角形的中位线定理可得EO∥AC，由直角三角形的性质和平行线的性质可证OE=OF； （2）由矩形的判定可得结论． 【详解】（1）证明：∵AB=AC，AE是∠BAC的角平分线， ∴CE=BE，∠AEB=90°， ∵点O是AB的中点， ∴EO是△ABC的中位线，EO=AO=BO， ∴EO∥AC， ∴∠EFA=∠FAD， ∵AF平分∠BAD， ∴∠FAD=∠FAB， ∴∠FAB=∠EFA， ∴OF=AO， ∴OE=OF； （2）解：四边形AEBF是矩形，理由如下： 如图， ∵AO=BO，EO=FO， ∴四边形AEBF是平行四边形， ∵∠AEB=90°， ∴四边形AEBF是矩形． 【点睛】本题考查了矩形的判定，等腰三角形的性质，三角形中位线定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 【变式2】已知：平行四边形ABCD，对角线AC、BD相交于点O，E是AD的中点，连接OE并延长至F使得，连接FD，FC，FC交BD于点G． 求证： (1)； (2)连接AF，请判断四边形AODF的形状，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由题意可知OE＝OF，再由三角形中位线定理得OE＝CD，即可得到OF＝DC； （2）利用对角线互相平分的四边形是平行四边形可得结论． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC， ∵OE＝EF， ∴OE＝OF， ∵E是AD中点，O是AC中点， ∴OE是△ACD的中位线， ∴OE＝CD， ∴OF＝DC； （2）四边形AODF是平行四边形， 证明：连接AF， ∵E是AD的中点， ∴AE＝ED， 又∵OE＝EF， ∴四边形AODF是平行四边形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 【变式3】如图，点E在□ABCD外，连接BE，DE，延长AC交DE于F，F为DE的中点． 求证：AFBE； 【答案】见解析． 【分析】连接BD交AC于点O，证明OF是△DBE的中位线，故可求解． 【详解】证明：如图，连接BD交AC于点O， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴点O是BD的中点， ∵F为DE的中点， ∴OF是△DBE的中位线， ∴OFBE， ∴AFBE． 【点睛】此题主要考查平行线的判定，解题的关键是熟知平行四边形的性质及中位线的判定定理． 【变式4】如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN． （1）求证：BM=MN； （2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长．    【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）在△CAD中，由中位线定理得到MN∥AD，且MN=AD，在Rt△ABC中，因为M是AC的中点，故BM=AC，即可得到结论； （2）由∠BAD=60°且AC平分∠BAD，得到∠BAC=∠DAC=30°，由（1）知，BM=AC=AM=MC，得到∠BMC =60°．由平行线性质得到∠NMC=∠DAC=30°，故∠BMN=90°，得到，再由MN=BM=1，得到BN的长． 【详解】（1）在△CAD中，∵M、N分别是AC、CD的中点， ∴MN∥AD，且MN=AD， 在Rt△ABC中，∵M是AC的中点， ∴BM=AC， 又∵AC=AD， ∴MN=BM； （2）∵∠BAD=60°且AC平分∠BAD， ∴∠BAC=∠DAC=30°， 由（1）知，BM=AC=AM=MC， ∴∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°． ∵MN∥AD， ∴∠NMC=∠DAC=30°， ∴∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°， ∴， 而由（1）知，MN=BM=AC=×2=1， ∴BN=． 题型 03三角形中位线的简单应用 【典例1】如图，为测量池塘边A、B两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，测得OA、OB的中点分别是点D、E，且DE＝14m，则A、B间的距离是（）． A．18m B．24m C．28m D．30m 【答案】C 【详解】解：连接AB，根据中点可得DE为△OAB的中位线， 则AB=2DE=28米． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形中位线的定义和性质． 【变式1】如图，把两根钢条，的一个端点连在一起，，分别是，的中点，若，则该工件内槽宽的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形的中位线的性质，直接利用三角形的中位线的性质可得答案. 【详解】解：∵点分别是的中点， ∴， ∴， 故选C． 【变式2】如图，小棒家有一块三角形的空地，测量三边AB=6米，BC=8米，AC=9米，且E、F分别是AB、AC边的中点，小棒妈妈想把四边形BCFE用木栅栏围一圈放养鹌鹑，则需要木栅栏的长是（  ） A．18.5米 B．19.5米 C．19米 D．20米 【答案】B 【分析】根据三角形中位线定理求出EF，根据三角形的中点的概念分别求出BE、CF，计算即可． 【详解】解：∵E，F分别是边AB，AC的中点，AB=6m，BC=8m，AC=9m， ∴EF=BC=4m，BE=AB=3m，CF=AC=4.5m， ∴需要篱笆的长=4+3+4.5+8=19.5m． 故选 B． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 【变式3】如图，O为跷跷板AB的中点，支柱OC与地面MN垂直，垂足为点C，且OC=50cm，当跷跷板的一端B着地时，另一端A离地面的高度为 cm． 【答案】100 【详解】解：过点A作AD⊥MN，垂足为D，则， ∵ O为AB中点， ∴ C为BD中点， ∴AD=2OC=100 故答案为：100 【变式4】成都大运会主火炬塔位于东安湖体育公园，如图，小明想测量东安湖，两点间的距离，他在东安湖的一侧选取一点，分别取的中点，但之间被障碍物遮挡，故无法测量线段的长，于是小明在延长线上分别选取两点，且满足，小明测得线段米，则两点间的距离是 米． 【答案】180 【分析】证明，根据全等三角形的性质求出，再根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】解：在和中， ， ， 米， 点分别为，的中点， 是的中位线， 米， 故答案为：180． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 题型04中点四边形 【典例1】如图，已知周长为1，连接三边的中点构成第2个三角形，再连接第2个三角形三边中点构成第3个三角形，依此类推，则第2025个三角形的周长是（   ） A．2024 B． C．2025 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形的中位线定理，牢记三角形的中位线定理（三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半）是解题的关键． 根据三角形的中位线定理可知，第个三角形的各边长度分别为与第个三角形平行的边的长度的一半，可得到第个三角形的周长与第个三角形的周长的关系为：，同理可得到第个三角形的周长的表达式． 【详解】解：根据题意得：第个三角形的各边长度分别为与第个三角形平行的边的长度的一半， ∴第个三角形的周长与第个三角形的周长的关系为：． 同理可得，，，，． ∴第个三角形的周长． 故选：B． 【变式1】如图，任意四边形ABCD各边中点分别是E、F、G、H，若对角线AC、BD的长都为20cm，则四边形EFGH的周长是(    ) A．80cm B．40cm C．20cm D．10cm 【答案】B 【详解】利用三角形中位线定理易得所求四边形的各边长都等于AC，或BD的一半，进而求四边形周长即可． 【变式2】如图，在四边形中，点E，F，G，H分别是各边的中点．甲说：若四边形是平行四边形，则四边形也是平行四边形；乙说：若四边形是平行四边形，则四边形也是平行四边形．下列说法正确的是（    ） A．甲、乙都正确 B．甲正确，乙错误 C．甲错误，乙正确 D．甲、乙都错误 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，三角形中位线定理，根据三角形中位线定理推出，则可证明四边形是平行四边形，根据现有条件无法证明四边形是平行四边形，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵在四边形中，点E，F，G，H分别是各边的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 根据现有条件无法证明四边形是平行四边形，故甲说法正确，乙说法不正确， 故选：B． 【变式3】已知：如图，在四边形中，E，F，G，H分别是，，，的中点．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】由E，F，G，H分别是四边形各边的中点，联想到运用三角形的中位线定理来证明． 【详解】解：如下图，连接， 是的中位线， ，， 同理，，， ，， 四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了三角形的中位线，平行四边形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的判定方法． 【变式4】如图，AC、BD是四边形ABCD的对角线，E、F分别是AD、BC的中点，M、N分别是BD、AC的中点． 求证：EF与MN互相平分． 【答案】证明见解析. 【分析】连接EM、EN、FM、FN，证明四边形EMFN为平行四边形，根据平行四边形对角线互相平分即可得. 【详解】连接EM、EN、FM、FN， ∵E为AD的中点，N为AC的中点， ∴EN是△ACD的是位线， ∴EN∥CD，EN＝CD， 同理MF∥CD，MF＝CD， ∴EN∥MF，EN＝MF， ∴四边形EMFN为平行四边形， ∴EF与MN互相平分． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定与性质，正确添加辅助线、熟记定理和性质是解题的关键． 题型 05利用重心的性质计算线段的长度 【典例1】如图，中，是中线，是上一点，作射线，交于点，若，则（    ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【答案】C 【分析】本题考查三角形重心的性质，根据是中线，可知点为的重心，从而可知F是的中点，从而得到答案． 【详解】解：是中线，， 点为的重心， 为边上的中线， ． 故选：C． 【变式1】已知点O是的重心，连接并延长交于D点，过点O作直线分别交于E点，F点，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是重心的概念，掌握重心的定义是解题关键，根据定义直接判断即可． 【详解】解：点O是的重心， 是的中线， ，故A正确； 其它三个选项均不一定成立． 故选：A． 【变式2】如图，AE经过△ABC的重心P，如果，那么PE的长为（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查的考点是三角形重心的性质．解题的关键是理解并运用三角形重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍这一性质． 【详解】三角形的重心是三角形三条中线的交点， 且重心到顶点的距离是它到对边中点距离的 2 倍． 设，则， 因为， 即， 解得， 所以． 故答案选：B． 【变式3】如图中，，点是的重心，连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接．若，，则（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】由中位线定理得到，由直角三角形斜边上中线的性质得到，则，由，点是的中点得到，由勾股定理得到，即可得到的长． 【详解】解：∵在中，，点是的重心， ∴点是的中点，点是的中点， ∴是的中位线， ， 在中，， ， ， ∵，点是的中点， ， ∴由勾股定理得到， ， 故选：B． 【点睛】此题考查了三角形的重心，勾股定理，三角形中位线定理，斜边上中线的性质等知识，熟练掌握相关定理和性质是解题的关键． 【变式4】在等腰中，，分别是，的中点，点是线段上的一个动点，当的周长最小时，点的位置在（   ）    A．的重心处 B．的中点处 C．点处 D．点处 【答案】A 【分析】连接，，首先证明，由，推出当共线时，的值最小，此时是的中线，由此即可判断． 【详解】解：如图，连接PB，BE．    ，， ， ， ， ， 当共线时，的值最小，此时是的中线， 也是中线， 点是的重心， 故选：A． 【点睛】本题考查三角形的重心，等腰三角形的性质，轴对称线段和最短问题，关键是学会添加常用辅助线，学会利用两点之间线段最短解决问题． 题型 06利用重心的性质计算图形的面积 【典例1】如图，O是的重心．若的面积是6，则阴影部分的面积的和是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了三角形重心，三角形中线平分面积的知识．三角形的重心：是三角形三条中线的交点，由此得到是的中线，根据三角形中线平分三角形面积得到，由此即可求解． 【详解】解：∵是的重心， ∴是的中线，即点分别是的中点， ∴是的中线， ， ， 故选B． 【变式1】如图，G是的重心，若，则图中阴影部分的面积是（   ） A．15 B．25 C．20 D．10 【答案】A 【分析】本题考查三角形重心定理，三角形的中线平分面积，三角形的重心到中点的距离等于到顶点距离的一半，据此求解即可． 【详解】∵G是的重心， ∴，， ∵， ∴，． 故选：A． 【变式2】如图，△ABC的三条中线AD，BE，CF交于同一点G，若，则图中阴影部分面积是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，知△ABC的面积即为阴影部分的面积的3倍． 【详解】解：方法1： ∵△ABC的三条中线AD、BE，CF交于点G， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 故选：B． 【变式3】如图：△ABC中，DE是△ABC的中位线，连接DC，BE相交于点F，若S△DEF＝1，则S△ADE为（    ） A．3 B．4 C．9 D．12 【答案】A 【分析】根据DE是△ABC的中位线，可得点F是△ABC的重心，进而求得FB＝2FE，即可求得S△DEB＝3，根据AD＝DB，即可求得答案． 【详解】解：∵DE是△ABC的中位线，连接DC，BE相交于点F， ∴点F是△ABC的重心，AD＝DB， ∴FB＝2FE， ∴S△DBF＝2S△DEF＝2×1＝2， ∴S△DEB＝S△DEF+S△DBF＝1+2＝3， ∵AD＝DB， ∴S△ADE＝S△DEB＝3． 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形重心的性质，三角形中线的性质，三角形中位线的性质，掌握三角形重心的性质是解题的关键． 【变式4】如图，已知点G是ABC的重心，那么等于（　　） A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．2：5 【答案】B 【分析】连接AG延长交BC于点D，由G是重心可得D是BC的中点，所以S△ABD＝S△ACD，S△BDG＝S△CDG，又由重心定理可AG＝2GD，进而得到3S△BCG＝S△ABC，即可求解． 【详解】解：连接AG延长交BC于点D， ∵G是△ABC的重心， ∴D是BC的中点， ∴S△ABD＝S△ACD，S△BDG＝S△CDG， ∵AG＝2GD， ∴2S△BGD＝S△ABG，2S△CGD＝S△ACG， ∴3S△BCG＝S△ABC， ∴S△BCG：S△ABC＝1：3， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形的重心，熟练掌握三角形重心定理，利用等底、等高三角形面积的特点求解是解题的关键． 题型07与中位线有关的证明思路 【典例1】连结两点构造中位线 1.如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AC＝BD，M，P，N分别是边AB，BC，CD的中点，Q是MN的中点，连结PQ.求证：PQ⊥MN. 【答案】证明见解析. 【分析】连接PM、PN可以构造三角形的中位线. 【详解】证明：如图，连结MP，PN. ∵M，P，N分别是边AB，BC，CD的中点， ∴PM＝AC，PN＝BD. 又∵AC＝BD，∴PM＝PN. ∵Q是MN的中点， ∴PQ⊥MN. 【变式1】利用“角平分线＋垂直”构造中位线 2.如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，BD⊥AD，E是边BC的中点，连结DE.如果AB＝6，AC＝14，求DE的长. 【答案】证明见解析. 【分析】延长BD交AC于点F，可得到△ABF是等腰三角形，从而判断出D为BF的中点，可以构造三角形的中位线. 【详解】解：如图，延长BD交AC于点F. ∵BD⊥AD， ∴∠ADB＝∠ADF＝90°. ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠BAD＝∠FAD. 在△BAD与△FAD中，∠BAD＝∠FAD，AD＝AD，∠ADB＝∠ADF， ∴△BAD≌△FAD(A.S.A.)， ∴BD＝DF，AF＝AB＝6，∴CF＝AC－AF＝8. ∵E是边BC的中点， ∴DE＝CF＝4. 【变式2】取中点构造中位线 如图，在△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB，点E，F分别在边CA，CB上，CE＝CF，M，N分别为AF，BE的中点，连结MN.求证：AE＝MN.  【答案】证明见解析. 【分析】延取AB的中点G，连接MG，NG，可以构造三角形的中位线. 【详解】证明：如图，取AB的中点G，连结MG，NG. ∵M，N分别为AF，BE的中点， ∴NG＝AE，NG∥AE，MG＝BF，MG∥BF. ∵CE＝CF，CA＝CB，AC⊥BC，∴AE＝BF，NG⊥MG， ∴NG＝MG，∠MGN＝90°，∴△MNG是等腰直角三角形， ∴由勾股定理，得NG＝MN，∴AE＝2NG＝2×MN＝MN，∴AE＝MN. 【变式3】倍长构造中位线 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，△BEF为等腰直角三角形，∠BEF＝90°，M为AF的中点，连结ME.求证：ME＝CF. 【答案】证明见解析. 【分析】延长FE到点D，使DE＝EF，则ME、BE均为三角形的中位线. 【详解】证明：如图，延长FE到点D，使DE＝EF， 连结AD，BD. ∵△BEF为等腰直角三角形，∠BEF＝90°，∴∠BFE＝45°，BE⊥DF， 在△ABD和△CBF中， AB＝BC，∠ABD＝∠CBF，BD＝BF， ∴△ABD≌△CBF(S.A.S.)，∴AD＝CF. ∵M为AF的中点，DE＝EF，∴ME是△ADF的中位线，∴ME＝AD，∴ME＝CF. 【变式4】利用三线合一找中点构造中位线 如图，已知等边于D，，E为线段上一点，且，连接于G，连接． (1)求证：； (2)试说明与的位置关系和数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)，且，证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，三角形中位线定理，熟练运用三角形中位线定理是本题的关键． （1）根据等边三角形的性质得出相等角和边，利用三线合一表示出相关角的度数，最后利用证明，得出对应边相等即可； （2）连接，根据三线合一得出，根据全等三角形的性质得出，证明为等边三角形，再根据三线合一得出，利用三角形的中位线定理即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）解：，且，证明如下： 如图，连接， 由（1）得， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， 由（1）得， ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∴为的中位线， ∴，且． 一、单选题 1．如图，为了测量位于一水塘旁的两点A，B间的距离，在地面上确定点O，分别取的中点C，D，量得，则A，B之间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边且等于第三长的一半，据此求解即可． 【详解】解；∵C、D分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴A，B之间的距离是， 故选：B． 2．如图，在中，对角线交于点是边边上的中点，若，则的周长为（ ） A．11 B．14 C．28 D．33 【答案】C 【分析】先根据平行四边形的性质，得到点O是BD的中点，从而得出OE是△BCD的中位线，然后根据中位线性质求得CD=2OE=6，然后由平行四边形周长公式计算即可求解． 【详解】解：∵ABCD， ∴OB=OD，即点O是BD的中点， ∵E是边BC边上的中点， ∴OE是△BCD的中位线， ∴CD=2OE=2×3=6， ∴ABCD的周长=2(AD+CD)=2(8+6)=28， 故选：C． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形中位线的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质和三角形中位线的性质是解题的关键． 3. 下列说法正确的是（    ） A．直角三角形只有一条高 B．三角形的重心是三条角平分线的交点 C．三角形的三条中线都在三角形内部，且交于一点 D．三角形越大，它的内角和就越大 【答案】C 【分析】根据三角形的高、重心、中线以及内角和的概念逐一判断各选项的正误即可；本题主要考查了三角形的线段和内角和，熟练掌握三角形相关的概念是解题的关键 【详解】解：选项A：直角三角形有三条高（两条直角边和斜边上的高），故A错误； 选项B：三角形的重心是三条中线的交点，而三条角平分线的交点是内心，故B错误； 选项C：三角形的三条中线都在三角形内部，且交于一点（重心），故C正确； 选项D：三角形的内角和恒为180°，与三角形大小无关，故D错误。 故选：C． 4．如图，点E，F，G，H分别为四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．下列三种说法： ① .四边形EFGH一定是平行四边形； ②.若AC＝BD，则四边形EFGH 是菱形； ③.若AC⊥BD，则四边形EFGH是矩形． 其中正确的是（   ） A．① B．①② C．①③ D．①②③ 【答案】D 【分析】根据三角形中位线定理得到，EH=BD，EF=AC，根据平行四边形、菱形、矩形的判定定理判断即可． 【详解】解：∵点E，F，G，H分别为四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点， ∴，EH=BD， EF=AC， ∴四边形EHGF是平行四边形，故①符合题意； 若AC=BD，则EF=EH， ∴平行四边形EHGF是菱形，故②符合题意； 若AC⊥BD，则EF⊥EH， ∴平行四边形EHGF是矩形，故③符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、平行四边形、菱形、矩形的判定定理是解题的关键． 5．若一个三角形的两边长分别为3和5，则该三角形第三边的中线可以取的值为（  ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系和全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．根据题意画出图形，设，证明，根据，即可求出答案． 【详解】解：如图所示，取的中点为，连接，， 设， 延长至，使， 在与中， ， 为的中线， ， ， ， 在中， ， 即， ， 故选B． 6. 如图，点G为的重心，连接CG，AG并延长分别交AB，BC于点E，F，连接EF，若AB＝4.4，AC＝3.4，BC＝3.6，则EF的长度为（    ） A．1.7 B．1.8 C．2.2 D．2.4 【答案】A 【分析】由已知条件得EF是三角形的中位线，进而根据三角形中位线定理求得EF的长度． 【详解】解：∵点G为△ABC的重心， ∴AE＝BE，BF＝CF， ∴EF＝＝1.7， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形的重心，三角形的中位线定理，关键正确利用重心定义得EF为三角形的中位线． 二、填空题 7．如图，在中，，，，分别为，，的中点．若的长为10，则的长为 ． 【答案】10 【分析】根据三角形中位线定理求出AB，根据直角三角形的性质解答． 【详解】解：∵E、F分别为BC、AC的中点， ∴AB＝2EF＝20， ∵∠ACB＝90°，点D为AB的中点， ∴， 故答案为：10． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 8. 如图，的中线，相交于点G，若的面积为30，则四边形的面积是_______ 【答案】10 【分析】本题考查了三角形的重心，三角形的面积，理解等底等高的两个三角形面积相等，等高的两个三角形面积之比等于对应底边的比是解决问题的关键． 【详解】解：由G是三角形重心可知CG=2FG，所以S△ABC：S△BFC：S△BGC：S△BFG=6：3:2:1同理S△ABC：S△BCE：S△BGC：S△CGE=6：3:2:1，设S△BFG=k,则S四AFCE=2k,S△ABC=6k,所以k=5,2k=10. 9．如图，在中，点D、E分别是边、的中点，过点A作交的延长线于点，连接、，过点作于点．若，四边形是菱形，则的长为 【答案】 【分析】此题考查平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、菱形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质是解答的关键． 由三角形中位线定理得，再证四边形是平行四边形，得，由菱形的性质得，，，，再由勾股定理求得，由菱形的面积求出的长即可． 【详解】解：点、分别是边、的中点， 是的中位线，， ∴，又， ∴四边形是平行四边形， ∴， 四边形是菱形， ，，，， ∴在中，， ∴， ， ， 即， ． 10．如图，的周长为a，以它的各边的中点为顶点作，再以各边的中点为顶点作，再以各边的中点为顶点作，……如此下去，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查图形的规律，根据题意可知，的周长=的周长，的周长的周长，根据规律即可得出答案． 【详解】解：根据题意可知，的周长=的周长， 的周长的周长， 所以的周长的周长， 故答案：． 三、解答题 11．如图，在中，，M、N分别是的中点，延长到点D，使，连接，若，求的长． 【答案】3 【分析】本题考查的是三角形的中位线定理、直角三角形的性质、平行四边形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 根据三角形中位线定理得到，证明四边形是平行四边形，得到，根据直角三角形的性质得到，即可得出结果． 【详解】解：如图，连接， ∵M、N分别是的中点， ∴， 又， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，M是的中点，， ∴， ∴． 12．如图，在中，，点D，E分别是边上的点，连接，，点F，G，H分别为的中点．求证：．    【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形中位线定理，等腰三角形的判定，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．根据等角对等边得到，根据线段的和差得到，然后根据三角形的中位线定理即可得到结论． 【详解】证明：∵， ∴． ∵， ∴，即． ∵点F，G，H分别为的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，， ∴． 13. 如图，四边形的对角线垂直于点，、分别为、中点，分别过点、作，，和交于点．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，根据题意得到，根据矩形的定义即可判定四边形是矩形； （2）根据矩形的性质得到，根据三角形中位线定理得到，根据直角三角形的性质得到，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， 又， ， 四边形是矩形； （2）解：四边形是矩形， ， 、分别为、中点， 是的中位线， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键． 14．如图，已知四边形中，点E、F、G、H分别是、、、的中点．求证：和互相平分． 【答案】见详解 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定定理，熟练掌握平行四边形的性质定理和判定定理是解题的关键． 连接、、、，根据中位线定理和平行四边形的性质和判定定理，可证四边形为平行四边形，再根据平行四边形的性质即可求证． 【详解】证明：连接、、、， 点E、F、G、H分别是、、、的中点， 、分别是与的中位线， ，， ， 同理， 四边形为平行四边形， 和互相平分． 15．如图，在中，、相交于点O，延长到点E，使，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，交于点F，连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理： （1）根据平行四边形的性质可得，，再由，可得，即可求证； （2）根据平行四边形的性质可得，，然后根据三角形中位线定理可得，再由，可得，即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：由（1）得：四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴． 16．在中，，，为平面内一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，取中点，连接． (1)如图1，当点在线段上，用等式表示与的数量关系，并证明； (2)如图2，当点在内部时， ①依题意补全图2； ②判断（1）中与的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)，证明过程见解析； (2) 见解析； （1）中与的数量关系仍然成立，证明过程见解析 【分析】（1）由等边对等角，结合直角三角形的两个锐角互余，可得，由旋转的性质，可得，证明，可得，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，即可证得结论； （2）根据题意补全图形即可；延长至，使，连接，，则点为的中点，由等腰三角形的判定和性质，可得，，证明，可得，由三角形的中位线定理，可得，即可证得结论． 【详解】（1）解：． 证明：∵在中，，， ∴， 由旋转可得，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，为的中点， ∴， ∴． （2）解：依题意补全图2如下图： （1）中与的数量关系仍然成立． 证明：延长至，使，则点为的中点，连接，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 由旋转可得，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵为的中点，为的中点， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，同角的余角相等，直角三角形的两个锐角互余，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，三角形的中位线定理，旋转的性质． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题23.4 三角形的中位线与重心 教学目标 1.理解三角形中位线的定义，掌握三角形中位线定理，能运用定理进行简单的几何计算（如线段长度求解）和几何证明（如平行关系、线段倍分关系证明）。 2.能综合运用三角形中位线定理与平行四边形、全等三角形的相关知识，解决简单的数学问题和实际应用问题，初步学会通过构造中位线转化几何问题的思路。 3.理解三角形重心的定义，掌握三角形重心的性质，能运用该性质进行相关线段长度、图形面积的计算和简单证明。 教学重难点 1.重点 （1）三角形中位线定理的理解与应用； （2）三角形重心定义及性质的理解与应用； 2.难点 灵活运用三角形中位线定理解决综合性问题，学会根据题目条件构造中位线，实现线段关系、平行关系的转化。 知识点01 三角形的中位线 1. 定义 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的_______. 如图1，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，于是线段DE就是△ABC的一条中位线. 如图2，每一个三角形有三条中位线 2.三角形中位线定理：（如图2）三角形的中位线_______，并且_______. 作用：可以证明线段的倍分关系； 可以证明线段位置关系——平行. 3.三角形中位线的知识点归纳：（如图2） （1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形； （2）三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半； （3）三条中位线将原三角形分割成的四个三角形全等； （4）三条中位线分割原三角形后形成三个平行四边形. 【即学即练】 1. 如上图1,在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点 求证：DE//BC,且DE=BC 知识点02 中点四边形 1.顺次连接四边形各边中点得到的新四边形叫作原四边形的中点四边形； 如图所示，E、F、M、N分别是四边形ABCD各边的中点，四边形EFMN就是中点四边形. 2.性质：任意四边形的中点四边形一定时平四边形； 在上图中，如果AC=BD，那么四边形EFMN还是菱形； 如果AC⊥BD，那么四边形EFMN还是矩形. 【即学即练】 1. 求证：顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形. 知识点03 三角形的重心 1.定义：三角形的三条中线交于一点，此交点叫作三角形的________. 如图，在△ABC中，E，F，D分别为三角形三边的中点，则AF、BD、CE交于一点O，O叫作△ABC的________. 2.三角形重心的性质 三角形重心定理：三角形的重心到一个顶点的距离等于它到对边中点的距离的________. 3.其他性质 三角形的三条中线把三角形分成面积相等的六个小三角形. 在上图中在上图中 【即学即练】 1. 已知：在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的中线，BD和CE交于点O,连接AO并延长交边BC于点F. 求证：（1）AF是边BC上的中线；（2）OF=AO 题型01 与三角形中位线有关的计算 【典例1】（24-25八年级下·全国·课后作业）在中，，则连结两条直角边中点的线段长为 ． 【变式1】三角形的三边长分别是3cm，5cm，6cm，则连结三边中点所围成的三角形的周长是 cm． 【变式2】如图所示，在中，，，分别是，，的中点，，，则四边形的周长是（    ） A．10 B．20 C．30 D．40 【变式3】如图，∠ACB=90°，D为AB的中点，连接DC并延长到E，使CE=CD，过点B作BF∥DE，与AE的延长线交于点F，若AB=6，则BF的长为（　　） A．6 B．7 C．8 D．10 【变式4】如图，一张三角形纸片，其中．某同学将纸片做两次折叠：第一次使点A落在C处，折痕记为m；然后将纸片展平做第二次折叠，使点A落在B处，折痕记为n．则m、n的长度分别是（   ） A．4， B．4，3 C．4， D．3，5 题型02 与三角形中位线有关的证明 【典例1】如图所示，已知在ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，求证：MN∥BC． 【变式1】如图，在△ABC中，AB=AC，AE是∠BAC的角平分线，点O为AB的中点，延长EO交△ABC的外角平分线于点F． (1)求证：EO=OF； (2)连接BF，试判断四边形AEBF的形状，并证明你的结论． 【变式2】已知：平行四边形ABCD，对角线AC、BD相交于点O，E是AD的中点，连接OE并延长至F使得，连接FD，FC，FC交BD于点G． 求证： (1)； (2)连接AF，请判断四边形AODF的形状，并证明你的结论． 【变式3】如图，点E在□ABCD外，连接BE，DE，延长AC交DE于F，F为DE的中点． 求证：AFBE； 【变式4】如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN． （1）求证：BM=MN； （2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长．    题型 03三角形中位线的简单应用 【典例1】如图，为测量池塘边A、B两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，测得OA、OB的中点分别是点D、E，且DE＝14m，则A、B间的距离是（）． A．18m B．24m C．28m D．30m 【变式1】如图，把两根钢条，的一个端点连在一起，，分别是，的中点，若，则该工件内槽宽的长为（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，小棒家有一块三角形的空地，测量三边AB=6米，BC=8米，AC=9米，且E、F分别是AB、AC边的中点，小棒妈妈想把四边形BCFE用木栅栏围一圈放养鹌鹑，则需要木栅栏的长是（  ） A．18.5米 B．19.5米 C．19米 D．20米 【变式3】如图，O为跷跷板AB的中点，支柱OC与地面MN垂直，垂足为点C，且OC=50cm，当跷跷板的一端B着地时，另一端A离地面的高度为 cm． 【变式4】成都大运会主火炬塔位于东安湖体育公园，如图，小明想测量东安湖，两点间的距离，他在东安湖的一侧选取一点，分别取的中点，但之间被障碍物遮挡，故无法测量线段的长，于是小明在延长线上分别选取两点，且满足，小明测得线段米，则两点间的距离是 米． 题型04中点四边形 【典例1】如图，已知周长为1，连接三边的中点构成第2个三角形，再连接第2个三角形三边中点构成第3个三角形，依此类推，则第2025个三角形的周长是（   ） A．2024 B． C．2025 D． 【变式1】如图，任意四边形ABCD各边中点分别是E、F、G、H，若对角线AC、BD的长都为20cm，则四边形EFGH的周长是(    ) A．80cm B．40cm C．20cm D．10cm 【变式2】如图，在四边形中，点E，F，G，H分别是各边的中点．甲说：若四边形是平行四边形，则四边形也是平行四边形；乙说：若四边形是平行四边形，则四边形也是平行四边形．下列说法正确的是（    ） A．甲、乙都正确 B．甲正确，乙错误 C．甲错误，乙正确 D．甲、乙都错误 【变式3】已知：如图，在四边形中，E，F，G，H分别是，，，的中点．求证：四边形是平行四边形． 【变式4】如图，AC、BD是四边形ABCD的对角线，E、F分别是AD、BC的中点，M、N分别是BD、AC的中点． 求证：EF与MN互相平分． 题型 05利用重心的性质计算线段的长度 【典例1】如图，中，是中线，是上一点，作射线，交于点，若，则（    ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【变式1】已知点O是的重心，连接并延长交于D点，过点O作直线分别交于E点，F点，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，AE经过△ABC的重心P，如果，那么PE的长为（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 【变式3】如图中，，点是的重心，连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接．若，，则（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式4】在等腰中，，分别是，的中点，点是线段上的一个动点，当的周长最小时，点的位置在（   ）    A．的重心处 B．的中点处 C．点处 D．点处 题型 06利用重心的性质计算图形的面积 【典例1】如图，O是的重心．若的面积是6，则阴影部分的面积的和是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式1】如图，G是的重心，若，则图中阴影部分的面积是（   ） A．15 B．25 C．20 D．10 【变式2】如图，△ABC的三条中线AD，BE，CF交于同一点G，若，则图中阴影部分面积是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式3】如图：△ABC中，DE是△ABC的中位线，连接DC，BE相交于点F，若S△DEF＝1，则S△ADE为（    ） A．3 B．4 C．9 D．12 【变式4】如图，已知点G是ABC的重心，那么等于（　　） A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．2：5 题型07与中位线有关的证明思路 【典例1】连结两点构造中位线 1.如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AC＝BD，M，P，N分别是边AB，BC，CD的中点，Q是MN的中点，连结PQ.求证：PQ⊥MN. 【变式1】利用“角平分线＋垂直”构造中位线 2.如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，BD⊥AD，E是边BC的中点，连结DE.如果AB＝6，AC＝14，求DE的长. 【变式2】取中点构造中位线 如图，在△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB，点E，F分别在边CA，CB上，CE＝CF，M，N分别为AF，BE的中点，连结MN.求证：AE＝MN.  【变式3】倍长构造中位线 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，△BEF为等腰直角三角形，∠BEF＝90°，M为AF的中点，连结ME.求证：ME＝CF. 【变式4】利用三线合一找中点构造中位线 如图，已知等边于D，，E为线段上一点，且，连接于G，连接． (1)求证：； (2)试说明与的位置关系和数量关系． 一、单选题 1．如图，为了测量位于一水塘旁的两点A，B间的距离，在地面上确定点O，分别取的中点C，D，量得，则A，B之间的距离是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，对角线交于点是边边上的中点，若，则的周长为（ ） A．11 B．14 C．28 D．33 3. 下列说法正确的是（    ） A．直角三角形只有一条高 B．三角形的重心是三条角平分线的交点 C．三角形的三条中线都在三角形内部，且交于一点 D．三角形越大，它的内角和就越大 4．如图，点E，F，G，H分别为四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．下列三种说法： ① .四边形EFGH一定是平行四边形； ②.若AC＝BD，则四边形EFGH 是菱形； ③.若AC⊥BD，则四边形EFGH是矩形． 其中正确的是（   ） A．① B．①② C．①③ D．①②③ 5．若一个三角形的两边长分别为3和5，则该三角形第三边的中线可以取的值为（  ） A．1 B．2 C．4 D．8 6. 如图，点G为的重心，连接CG，AG并延长分别交AB，BC于点E，F，连接EF，若AB＝4.4，AC＝3.4，BC＝3.6，则EF的长度为（    ） A．1.7 B．1.8 C．2.2 D．2.4 二、填空题 7．如图，在中，，，，分别为，，的中点．若的长为10，则的长为 ． 8. 如图，的中线，相交于点G，若的面积为30，则四边形的面积是_______ 9．如图，在中，点D、E分别是边、的中点，过点A作交的延长线于点，连接、，过点作于点．若，四边形是菱形，则的长为 10．如图，的周长为a，以它的各边的中点为顶点作，再以各边的中点为顶点作，再以各边的中点为顶点作，……如此下去，则的周长为 ． 三、解答题 11．如图，在中，，M、N分别是的中点，延长到点D，使，连接，若，求的长． 12．如图，在中，，点D，E分别是边上的点，连接，，点F，G，H分别为的中点．求证：．    13. 如图，四边形的对角线垂直于点，、分别为、中点，分别过点、作，，和交于点．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，时，求的长． 14．如图，已知四边形中，点E、F、G、H分别是、、、的中点．求证：和互相平分． 15．如图，在中，、相交于点O，延长到点E，使，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，交于点F，连接，求证：． 16．在中，，，为平面内一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，取中点，连接． (1)如图1，当点在线段上，用等式表示与的数量关系，并证明； (2)如图2，当点在内部时， ①依题意补全图2； ②判断（1）中与的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $