山东菏泽第一中学2025-2026学年上学期高二12月月考数学试题

菏泽一中高二2025年12月月考数学试题 一、单选题 每题5分 共40分 1．记为等差数列的前项和，若，则（    ） A． B． C．10 D．12 2．已知直线与圆相离，则以，，为边长的三角形为（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不存在 3．在数列中，，，，若的前项和为，则（    ） A．4052 B．4053 C．4054 D．4055 4．如图，在四棱台中，底面是菱形，平面，，，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 5．过定点的直线与过定点的直线交于点（与不重合），则面积的最大值为（    ） A．4 B． C．2 D． 6．数列的前项和为 ，已知，则下列说法错误的是（     ） A．是递减数列 B．数列的前 2025 项和为 2017 C． D．设 ，当且仅当时，数列的前项和取最大值 7．已知三棱锥的体积为5，是边长为4的正三角形，点为的中点，点满足，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 8．如图，分别为双曲线的左，右焦点，在左支上，在右支上，且，，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 每题6分 共18分 9．已知：，直线相交于，直线的斜率分别为，则（ ） A．当时，点的轨迹为除去两点的椭圆 B．当时，点的轨迹为除去两点的双曲线 C．当时，点的轨迹为一条直线 D．当时，的轨迹为除去两点的抛物线 10．已知等差数列的前项和为，是互不相同的正整数，且，在平面直角坐标系中有点，则下列选项成立的有（ ） A．直线与直线的斜率相等 B． C． D． 11．如图，棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，为面对角线上一个动点，则下列选项中正确的有（    ） A．三棱锥的体积为定值． B．无论点在线段的什么位置，都有平面平面 C．线段上存在点，使平面平面． D．为上靠近的四等分点时，直线与所成角最小 三、填空题 每题5分 共15分 12．已知椭圆的其中一个焦点为，过点的直线交椭圆于、两点，若 的中点坐标为，则椭圆的方程为 13．已知两个等差数列和的前n项和分别为和，且，则使得为整数的正整数n的集合是 . 14．已知圆上恰有3个点到双曲线的一条渐近线的距离为2，则该双曲线的离心率为 . 四、解答题 共77分 15．(13分)如图，四边形、均为直角梯形，，，，且． (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在点，使得直线和平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 16．(15分)已知数列为等差数列，其前n项和为，若，． (1)求数列的通项公式；(2)设数列的前n项和为，求的最小值． 17．(15分)在平面直角坐标系中，若在曲线的方程中，以（且）代替得到曲线的方程，则称是由曲线通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线，称为伸缩比.已知椭圆：，椭圆：（）是由曲线通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线. (1)求椭圆的离心率； (2)设为上异于其左、右顶点，的一点，当时，过分别作椭圆的两条切线，，切点分别为，，设直线，的斜率为，，证明：为定值. 18．(17分)已知斜三棱柱的底面是正三角形，侧面是边长为2的菱形，且与底面的夹角为，，点为中点．   (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 19．(17分)抛物线的焦点为，准线为A为C上的一点，已知以为圆心，为半径的圆交于两点， (1)若的面积为，求的值及圆的方程 (2)若直线与抛物线C交于P，Q两点，且，准线与y轴交于点S，点S关于直线PQ的对称点为T，求的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1-4 BAAD 5-8 BDCA 9.ABD 10.ACD 11. ABD 6．D【详解】所以，所以，， 又，所以，，，，， 当时，，，，所以， 所以当或时数列的前项和取最大值，故D错误.故选：D 7．C【详解】如图，由点为的中点，可得， 所以. 因为，所以点在平面内，的最小值就是三棱锥的高， 由，得，得.故选：C. 8．A【详解】连接， 因为，由双曲线的定义可得， 则，，， 在中，， 在中，， 因为，所以，所以， 所以，所以，即，所以， 所以该双曲线的渐近线方程为即. 9．当时，.，即不含点，轨迹是一条直线不含，C错误； 当时，则.故的轨迹为除去两点的抛物线，D正确. 10．，， ，C正确；，D正确. 11．对于选项C，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 则、、、、、 、、，、， 设平面的法向量为，，， 由，取，可得， 设，可得点，其中， 则， 所以，解得， 故平面与平面不平行，所以选项C错误， 对于选项D，由选项C知，，， 设直线与所成角为， 则， 当时，取得最大值，此时最小，所以选项D正确， 12． 13． 由 ， 因为为整数且，所以.故答案为：. 14．【详解】圆即圆心为，半径为， 不妨取双曲线一条渐近线为即， 由题意圆上恰有3点到直线的距离为2， 只需圆心到直线的距离，即，所以， 所以该双曲线的离心率为.故答案为： 15．【详解】（1）因为且， 故四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面； （2）因为，，所以两两垂直， 故以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 因为， 则， 设，则，设， 则，解得，故， 设平面的法向量为， 则， 令，则，故， 设直线和平面所成角的正弦值为， 则， 平方化简得，解得， 综上，在线段上存在点，使得直线和平面所成角的正弦值为，此时. 16．【详解】（1）设的公差为d，由，得， 又，所以，得，则； （2）由上可知， 所以，则， 即是以为首项，为公差的等差数列，则， 由二次函数的性质可知或时，取得最小值. 17．（1）  对于椭圆：，所以为， 故椭圆：（）中，，故， 则椭圆的离心率. （2）由题解得，所以椭圆：， 设，则直线的方程为， 即，记，则的方程为， 将其代入椭圆的方程，消去，得， 因为直线与椭圆有且只有一个公共点， 所以，即， 将代入上式，整理得， 同理可得， 所以，为关于的方程的两根，所以. 又点在椭圆：上，所以，所以，为定值. 18．【详解】（1）在斜三棱柱中，由点为等边边的中点，得， 在菱形中，由，得为正三角形，， 而平面，则平面，又平面， 所以平面平面.   （2）由（1）知为侧面与底面所成的角，则， 由，得，则为正三角形， 在平面内过点作于D，由平面平面， 平面平面，则平面，过作， 则直线两两垂直，以O为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，则， ， 设平面的法向量为，则，取，得， 设平面的法向量为，则，取，得， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 19．【详解】（1）由对称性可知：， 设，由焦半径可得：，，解得：圆的方程为： （2）由题意得：直线的斜率一定存在，其中， 设关于直线的对称点为，则，解得：， 联立与得：， 设，则， 则， 则， 解得：（此时O与P或Q重合，舍去）或， 所以， 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $