精品解析：河北省邢台市五校2026届高三上学期12月联考数学试卷

河北省邢台市五校2026届高三上学期12月联考 数学试卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 在复平面内，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知化简复数得出对应点的坐标进而判断选项. 【详解】，所以对应的点为，位于第二象限， 故选：B． 2. 设向量，则（ ） A. “”是“”的必要条件 B. “”是“”的必要条件 C. “”是“”的充分条件 D. “”是“”的充分条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可. 【详解】对A，当时，则， 所以，解得或，即必要性不成立，故A错误； 对C，当时，，故， 所以，即充分性成立，故C正确； 对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误； 对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误. 故选：C. 3. 设等差数列的前项和为，若，，使最小的的值为（   ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 4或5 【答案】D 【解析】 【分析】将分别代入等差数列的通项公式和前项和公式中，即可得到首项和公差，根据数列得通项公式分析出数列得变化规律，得出在或时取最小值. 【详解】设公差为，由，， 所以，解得，所以， 令，解得，则数列单调递增，且， 所以当或时取得最小值. 故选：D 4. 为保证农副产品的安全，防止农药残留超标影响公众健康，我国制定了79种农药在32种（类）农副产品中的192项农药最高残留限量（MRL）国家标准.百菌清是农药中常用的一种杀菌剂，其最高残留限量为.一果园检测发现，某次喷洒农药后，耙柑上的百菌清残留量达到了，并以每天的速度降解，且20天后残留量为原来的.若在该次喷洒农药的10天后，百菌清残留量为，则在该次喷洒农药的（ ）天后，百菌清残留量约为.（参考数据：，） A. 12 B. 13 C. 15 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知，天后，百菌清残留量为，结合题意可得出，，然后解方程，利用指数与对数的互化可求得的值. 【详解】由题意可知，天后，百菌清残留量为， ，所以，且， 令，即，则， 所以，所以，故， 所以，在该次喷洒农药的天后，百菌清残留量约为. 故选：B. 5. 已知函数的图象如图所示，则的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由函数图象变换知识结合题设可得答案. 【详解】将图象向右平移1个单位，可得图象. 将图象x轴下方部分，沿x轴翻折至上方，x轴上方部分不变可得图象. 将图象向上平移1个单位，可得图象.故选项C满足题意. 故选：C 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对进行通分化简，再左右两边同时平方且求出，进而得到答案 【详解】， ， ， ， ， . ， ， ， ， 故选：D. 7. 已知是各项均为正数的等比数列，设其前n项和为，若成等差数列，则（ ） A. 9 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得，化简得，解得，再由即可求解． 【详解】设正项等比数列的公比为，因为成等差数列， 所以，即， 解得 （舍去）或， 所以． 故选：A． 8. 记的内角的对边分别为，已知，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，化简得到，得到，求得且，由正弦定理得，结合，得到，进而求得的取值范围. 【详解】由，可得，所以， 即， 因为，可得，所以或， 当时，即，此时，可得，不符合题意，舍去； 当时，可得且， 由正弦定理得， 则 ， 又由，可得，所以， 即的取值范围. 故选：B. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知，是夹角为的单位向量，且，，则下列说法正确的是（ ）． A. B. 在方向上的投影向量为 C. D. 当时，与的夹角为锐角 【答案】AB 【解析】 【分析】利用向量模的知识即可求解A；利用投影即可求解B；利用数量积即可求解C；当时，与共线可求解D. 【详解】A：由，是夹角为的单位向量则，则对两边同时平方得，则，故A正确； B：在方向上的投影向量为，故B正确； C：由，，则，故C错误； D：当时，，此时夹角不为锐角，故D错误； 故选：AB. 10. 如图，正方形为圆柱的轴截面，为的中点，为的中点，四面体外接球的表面积为，则（ ） A. 平面 B. 该圆柱的体积为 C. 直线与平面所成的角为 D. 点到平面的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，先得到，结合平面，，得到线面垂直；B选项，方法一：根据对称性得到为四面体外接球的直径，利用外接球的表面积为得到方程，求出半径，进而由体积公式求出答案；方法二：作出辅助线，得到为四面体外接球的球心，为四面体外接球的直径，利用外接球的表面积为得到方程，求出半径，进而由体积公式求出答案；C选项，为直线与平面所成的角，求出各边长，得到，则；D选项，利用等体积法得到方程，求出答案. 【详解】选项A，易知为底面圆的直径，所以， 由题意知平面，因为平面，所以， 因为，平面，所以平面，A正确. 选项B：方法一：由球与圆柱的结构特征可知，的中点在四面体的外接球的球面上， 则为四面体外接球的直径， 设圆柱的底面半径为，正方形为圆柱的轴截面， 则，，所以， 因为四面体的外接球的表面积为，所以， 解得，所以该圆柱的体积； 方法二：根据题意可知的中点为的外心， 过点作平面的垂线，交的中点于点， 又为外接圆的圆心，故为四面体外接球的球心， 为四面体外接球的直径， 设圆柱的底面半径为，则，，所以， 因为四面体的外接球的表面积为，所以， 解得，所以该圆柱的体积，B正确. 选项C：如图，连接，由A知，平面， 易得平面， 则为直线与平面所成的角， 因为为的中点，，故， 由勾股定理得， 在中，，则， 所以直线与平面所成的角为，C错误； 选项D：设点到平面的距离为， 在直角中，由勾股定理得， 由，得， 所以， 即点到平面的距离为，D正确. 故选：ABD 11. 已知函数，则（ ） A. 若，则函数的极小值点是 B. 函数的图象关于点中心对称 C. 若过点有三条直线与曲线相切，则实数的取值范围为 D. 若函数在上存在唯一的极值点，则实数的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对函数求导，利用判断函数的单调性，确定极小值点即可判断A；通过可判断B；设切点坐标，然后求出斜率以及切线方程，根据该切线经过，可得出的表达式，然后构造函数求出函数的单调区间，进而确定有三个根时的取值范围，由此判断C；根据已知可得只有一个零点在内，进而计算即可确定的取值范围可判断D. 【详解】对于A，当时，，的定义域为， ，令得或， 当时，，在，上单调递增； 当时，，单调递减， 故函数的极大值点为，极小值点为1，故A错误； 对于B，由 ， 即， 所以函数的图象关于点中心对称，故B正确； 对于C，设切点为，则， 此切线的斜率为， 所以切线方程为， 化简可得， 将代入得， 由题知方程有三个解，令， 则由得， 所以当及时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以有极大值，极小值， 分析函数的图象可得，解得，故C正确； 对于D，，若函数在上存在唯一的极值点，则在内只有一个零点， 因为图象的对称轴为直线，所以， 即， 解得，故D正确， 故选：BCD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 求过点，且横纵截距的绝对值相等的直线方程__________.（最后结果都写成一般式） 【答案】或或 【解析】 【分析】在横纵截距均为时直接得到直线方程；在横纵截距不为时，讨论截距同异号两种情况，采用待定系数法即得. 【详解】当横纵截距均为时，直线方程为，即； 当横纵截距不为时， 若横纵截距同号，则可设为：， ， 直线方程为； 若横纵截距异号，则可设为：， ， 直线方程为； 综上所述：所求直线方程为：或或. 故答案为：或或. 13. 已知，如果存在实数，使得对任意的实数x，都有成立，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，分析可知是函数的最小值，是函数的最大值，求出函数最小正周期的最大值，可求得的最小值. 【详解】因为 ， 如果存在实数，使得对任意的实数，都有成立， 则是函数的最小值，是函数的最大值， 因为，若使得最小，则函数的最小正周期取最大值， 且函数最小正周期的最大值为， 故的最小值为，则的最小值为. 故答案为：. 14. 在正四棱台中，，，，设，，，则______． 【答案】． 【解析】 【分析】根据正四棱台的性质得到与的关系，根据空间向量的线性运算求得，再运用模的计算公式求解，即得答案． 【详解】由正四棱台中，，，， 在侧面中得， 由，， 又， ， 故 ， 故：． 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求C； （2）若、，在角C的平分线上取点D，且，判断点D是否在线段上？请说明理由. 【答案】（1） （2）点D不在线段上，理由如下： 理由一：设为角平分线，E在上， （面积等量） 所以，所以D不在上 理由二：由（1）及，及余弦定理可得， ，所以， 设c边上的高为h，所以，即， 所以， 假设D在上，即为c边上的角平分线，则， 因为，即，这与矛盾， 所以点D不在线段上. 【解析】 【分析】（1）解三角形基本思想，边化角，利用正弦定理，将中的边化为对角的正弦，根据三角函数恒等式，进行整理化简，可得最后答案； （2）理由一：利用等面积法，计算出中角的角平分线的真实长度，与，进行比较，可得答案； 理由二：利用中角的余弦定理，计算出边的长，在根据等面积法，可计算出边的高，与，进行比较，可得答案. 【小问1详解】 由，及正弦定理可得， 又因为，所以， 即， 化简得， 因为，所以，即， 即，又，所以； 【小问2详解】 点D不在线段上,理由略. 16. 已知函数． （1）求函数的单调递增区间； （2）把函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象．若对任意，都有，求实数的取值范围． 【答案】（1）单调递增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据二倍角公式和辅助角公式化简，再根据正弦函数的单调性列式求解即可； （2）解法一、二：根据函数的平移变换可得，对任意，都有，则由可得即可，结合正弦的两角和差公式和同角三角函数关系求解即可；解法三：根据函数的平移变换可得，由可得，，按的取值分类讨论即可； 【小问1详解】 由题意可得， 令， 化简得， 所以函数的单调递增区间为. 【小问2详解】 解法一： 函数的图象向左平移个单位长度得到函数， 易知对任意，，， 恒成立，则有恒成立，即， ， 当，，所以， 所以. 解法二： 函数的图象向左平移个单位长度得到函数， 易知对任意，，， 恒成立，则有恒成立，即， ， 当，，所以， 所以. 解法三： ， 又，得，， 所以，， 当，即时，，不等式恒成立，所以； 当，即时，不等式可化为， 又，所以， 解得； 综上，的取值范围为. 17. 已知数列中，，． （1）证明数列是等比数列，并求的通项公式； （2）数列满足，设为数列的前项和，求使恒成立的最小的整数． （3）设，求数列的前项和． 【答案】（1） 证明：在数列中，由，得， 则， 所以数列是以3为公比，以为首项的等比数列， 则，解得，所以的通项公式． （2）4 （3） 【解析】 【分析】（1）将递推公式适当变形，根据等比数列的定义证明，进而得的通项公式，再得的通项公式； （2）根据通项公式得到通项公式，再利用错位相减法求和，进而根据不等式的特征求解整数即可； （3）根据通项公式得到通项公式，再利用裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知. 所以， 则， 两式相减得： . 因此，， 当时，， 所以由恒成立，可得， 所以使恒成立的最小的整数为4； 【小问3详解】 ， 所以 . 18. 已知函数． （1）证明：的图象与轴相切； （2）设． （i）当时，求函数的单调区间； （ii）若在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） 的定义域为， 所以，令，解得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 又，所以曲线在处的切线方程为，即的图象与轴相切． （2） （i）当时，函数的单调增区间为（0，1）和，减区间为； 当时，函数的单调增区间为和，减区间为； 当时，函数的单调增区间为，无减区间； 当时，函数的单调增区间为，减区间为（0，1）． （ii）. 【解析】 【分析】（1）由导数确定单调性，并求出在最高点处切线是轴，即证； （2）（i）求出导函数，根据的零点的大小分类讨论确定单调区间；（ii）转化为，引入函数，由导数求得它的最小值即可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）， ． 当时，由，解得或； 由，解得， 所以函数在（0，1）和上单调递增，在上单调递减； 当时，由，解得或； 由，解得， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减； 当时，由，得函数在上单调递增； 当时，由，解得；由，解得， 所以函数在上单调递增，在（0，1）上单调递减． 综上，当时，函数的单调增区间为（0，1）和，减区间为； 当时，函数的单调增区间为和，减区间为； 当时，函数的单调增区间为，无减区间； 当时，函数的单调增区间为，减区间为（0，1）． （ii）在上恒成立可转化为， 设，则． 令，则， 所以函数在上单调递减， 又，，则函数在内存在唯一的零点， 当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增， 又，得， 则， 所以，即实数的取值范围为． 【点睛】方法点睛：用导数研究不等式恒成立问题，主要是用导数研究函数的单调性一，求得最值，如（含有参数）恒成立，一种直接求出的最小值，由最小值不小于0得参数范围；第二种方法是分离参数为，求出的最大值，然后由得范围． 19. 如图，在长方体中，. （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求到平面的距离； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，得到点坐标和向量坐标，由异面直线对应向量的数量积求得异面直线夹角的余弦值； （2）设平面的法向量，利用向量的数量积求得平面法向量，然后利用向量的投影求得点到面的距离； （3）由直线的方向向量和平面法向量，利用向量的数量积求得线面角的正弦值. 【小问1详解】 以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系， 则， . 所以， 即异面直线与所成角的余弦值为. 【小问2详解】 设平面的法向量为， 则，令，得. 设到平面的距离为，则， 即到平面的距离为. 【小问3详解】 设直线与平面所成的角为， ∵，∴， 即直线与平面所成角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省邢台市五校2026届高三上学期12月联考 数学试卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 在复平面内，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 设向量，则（ ） A. “”是“”的必要条件 B. “”是“”的必要条件 C. “”是“”的充分条件 D. “”是“”的充分条件 3. 设等差数列的前项和为，若，，使最小的的值为（   ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 4或5 4. 为保证农副产品的安全，防止农药残留超标影响公众健康，我国制定了79种农药在32种（类）农副产品中的192项农药最高残留限量（MRL）国家标准.百菌清是农药中常用的一种杀菌剂，其最高残留限量为.一果园检测发现，某次喷洒农药后，耙柑上的百菌清残留量达到了，并以每天的速度降解，且20天后残留量为原来的.若在该次喷洒农药的10天后，百菌清残留量为，则在该次喷洒农药的（ ）天后，百菌清残留量约为.（参考数据：，） A. 12 B. 13 C. 15 D. 16 5. 已知函数的图象如图所示，则的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知是各项均为正数的等比数列，设其前n项和为，若成等差数列，则（ ） A. 9 B. 2 C. D. 8. 记的内角的对边分别为，已知，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知，是夹角为的单位向量，且，，则下列说法正确的是（ ）． A. B. 在方向上的投影向量为 C. D. 当时，与的夹角为锐角 10. 如图，正方形为圆柱的轴截面，为的中点，为的中点，四面体外接球的表面积为，则（ ） A. 平面 B. 该圆柱的体积为 C. 直线与平面所成的角为 D. 点到平面的距离为 11. 已知函数，则（ ） A. 若，则函数的极小值点是 B. 函数的图象关于点中心对称 C. 若过点有三条直线与曲线相切，则实数的取值范围为 D. 若函数在上存在唯一的极值点，则实数的取值范围为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 求过点，且横纵截距的绝对值相等的直线方程__________.（最后结果都写成一般式） 13. 已知，如果存在实数，使得对任意的实数x，都有成立，则的最小值为______. 14. 在正四棱台中，，，，设，，，则______． 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求C； （2）若、，在角C的平分线上取点D，且，判断点D是否在线段上？请说明理由. 16. 已知函数． （1）求函数的单调递增区间； （2）把函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象．若对任意，都有，求实数的取值范围． 17. 已知数列中，，． （1）证明数列是等比数列，并求的通项公式； （2）数列满足，设为数列的前项和，求使恒成立的最小的整数． （3）设，求数列的前项和． 18. 已知函数． （1）证明：的图象与轴相切； （2）设． （i）当时，求函数的单调区间； （ii）若在上恒成立，求实数的取值范围． 19. 如图，在长方体中，. （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求到平面的距离； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $