精品解析：广东省茂名市龙岭学校2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

茂名市龙岭学校2025-2026学年度第一学期九年级期末考试数学试卷 一．选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程为一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知一个几何体如图所示，则该几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示，的对角线,相交于点，以下说法正确的是（ ） A. 若，则是矩形 B. 若，则是菱形 C. 若，则是正方形 D. 若，则是正方形 4. 已知，则代数式的值是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 5. 将抛物线的图象先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. y= 6. 已知点在反比例函数y的图象上，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 8. 如图，某河堤迎水坡的坡度为，河堤高，则坡面的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，为的直径，弦和相交，若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 10. 如图是二次函数图象的一部分，直线是对称轴，有下列判断：①；②；③若，是抛物线上两点，则，④，其中正确的是（ ） A. ①②④ B. ①③④ C. ②③ D. ①②③④ 二．填空题（每小题3分，共15分） 11. 锐角A满足，则________． 12. 已知且相似比为，若的周长为20，则的周长是__________． 13. 若是方程的根，则代数式 __________________ 14. 在一个不透明的口袋中装有红球和白球共40个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀后，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有20次摸到红球，则口袋中红球的个数约为________． 15. 如图，矩形中，点G、E分别在边，上，连接，将和分别沿折叠，使点B、C恰好落在上的同一个点，记为点F，若，，则__________ 三．解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分 16. （1）解方程： （2）计算： 17. 如图，四边形是矩形，点分别在边上，连接，且．求证：． 18. 如图，为了估计河的宽度，我们可以在河的对岸选定一个目标点，在近岸取点，使与河岸垂直，在近岸取点，使，与交于点．已测得米，米，米，求河宽的长． 四．解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分 19. 如图，16个小方框代表16把椅子，其中黑色圆点表示已有人入座，小李和小王随机入座，根据要求，小李需要坐第二排，小王需要坐第三排，两人选择座位的可能性相同． （1）直接写出小王选择座位的概率； （2）请用列表或画树状图的方法，求小李和小王刚好坐在同一列的概率． 20. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC中点，AE∥BC，CE∥AD． （1）求证：四边形ADCE是菱形； （2）过点D作DF⊥CE于点F，∠B＝60°，AB＝6，求EF的长． 21. 如图，已知反比例函数的图象与一次函数y=x+b的图象交于． （1）分别求k，n，b的值； （2）求的面积； （3）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围． 五．解答题（三）：本大题共2个小题，22题13分，23题14分，共27分 22. 综合与实践 【驱动任务】 小北发现因为“母亲节”的到来，各个花店的鲜花礼品都进入了销售旺季，他所在的综合实践小组以探究“鲜花最佳销售方案”为主题开展了项目调查． 【研究步骤】 数据收集：综合实践小组以某款每束进价为20元的鲜花礼品为研究对象展开调查，收集到附近五家花店近期日销售的相关消息，并将数据按一定顺序整理在表中： 售价x（元/束） 25 30 35 40 45 日销售量y（束） 150 140 130 120 110 数据分析：观察表格中数据的变化规律可知日销售量y是售价x的一次函数． 【问题解决】 （1）直接写出日销售量y关于售价x的函数关系式：______； （2）根据以上信息，在销售该款鲜花礼品时， ①要想每天获得1400元的利润，并使顾客获得更多实惠，应该如何定价？ ②当鲜花礼品日销售量不低于100束时，售价为多少时，每天获得的利润最大，最大利润是多少？ 23. 在中，，，． （1）问题发现 如图1，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，，线段与的数量关系是______，与的位置关系是 ； （2）类比探究 将绕点按逆时针方向旋转任意角度得到，连接，，线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论是否一致？若交于点N，请结合图2说明理由 （3）迁移应用 如图3，将绕点旋转一定角度得到，当点落到边上时，连接，求线段的长 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 茂名市龙岭学校2025-2026学年度第一学期九年级期末考试数学试卷 一．选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程为一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．据此解答即可． 【详解】解：A、未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，故选项错误，不符合题意； B、不是整式方程，故选项错误，不符合题意； C、符合一元二次方程的定义，故选项正确； D、方程含有两个未知数，故选项错误，不符合题意． 故选：C． 2. 已知一个几何体如图所示，则该几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三视图的知识，掌握定义是解题的关键； 根据主视图是从物体正面看，所得到的图图形，即可解答． 【详解】解：从正面观察该几何体，能看到一个长方形，上方有一个半圆与长方形相连，且中间是圆孔，选项B符合． 故选：B． 3. 如图所示，的对角线,相交于点 ，以下说法正确的是（ ） A. 若，则是矩形 B. 若，则是菱形 C. 若，则是正方形 D. 若，则是正方形 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查矩形、菱形、正方形的判定定理，熟悉了解三者之间的关系及判定定理是解题关键．根据矩形、菱形、正方形的判定定理依次进行判断即可． 【详解】解：A、的对角线，相交于点 ，且， 是矩形，原说法正确，符合题意； B、若，得不到是菱形，原说法错误，不符合题意； C、若，得不到是正方形，原说法错误，不符合题意； D、若，则是矩形，原说法错误，不符合题意． 故选：A． 4. 已知，则代数式的值是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，解题的关键是正确运用设k法求解． 由，可设，（），代入代数式求值． 【详解】解：∵， ∴ 设，（）， 则， ∴ 代数式的值为， 故选：C． 5. 将抛物线的图象先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. y= 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握其平移规律是解题的关键．利用函数图象的平移规律即可求解． 【详解】将抛物线的图象先向左平移1个单位，再向上平移2个单位， 得到的抛物线的解析式是． 故选：B． 6. 已知点在反比例函数y的图象上，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象函数值的大小比较，掌握反比例函数值的求法是解题的关键．反比例函数的图象在第一和第三象限，点的横坐标为负，纵坐标为负；点和的横坐标为正，纵坐标为正，因此最小. 再根据函数在时递减，比较和的大小． 【详解】解：∵，点在函数图象上， ∴ 同理，点和 的纵坐标： ，, ∴且，故最小, 又∵当时，函数递减，且， ∴，即, 因此，． 故选：D． 7. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于的不等式，解得即可． 【详解】∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， ∴， 解得：且， 故选：B 【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程根的情况，本题特别注意二次项系数不能为0． 8. 如图，某河堤迎水坡的坡度为，河堤高，则坡面的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，由河堤迎水坡的坡度为，可得到，所以求得，得出答案． 【详解】解：∵河堤迎水坡的坡度为， 即， ∴， ∴， ∴坡面的长是， 故选：B． 9. 如图，为的直径，弦和相交，若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查圆的知识，连接，根据同弧所对的圆周角相等得，结合直径所对圆周角为直角即可求得答案． 【详解】解：连接，如图， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， 则， 故选：B． 10. 如图是二次函数图象的一部分，直线是对称轴，有下列判断：①；②；③若，是抛物线上两点，则，④，其中正确的是（ ） A. ①②④ B. ①③④ C. ②③ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的图象和性质，理解题意是解决本题的关键． ①根据直线是对称轴，结合对称轴公式可得，进而即可判断；②求出当时的值，再结合图象判断即可；③求出两点距离函数对称轴的距离即可判断；④由图象可知抛物线与轴有两个交点，进而即可判断． 【详解】解：①∵二次函数对称轴为， ∴ ，故①正确． ②当时， ， 由图像可知，在到之间，且时，时，开口向下， ∴时， ∴ ，故②正确； ③由题意得，抛物线的对称轴为， ∴到的距离为，到的距离为， ∵抛物线开口向下，距离对称轴越近，函数值越大， ∴，故③正确． ④由图象可得，抛物线与轴有两个交点， ∴判别式，故④正确． 综上所述，正确的结论是：①②③④． 故选D． 二．填空题（每小题3分，共15分） 11. 锐角A满足，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦函数值是解题的关键． 首先根据正弦函数的定义和特殊角的三角函数值，明确，且A为锐角，即可得到对应角为． 【详解】解：∵在锐角范围内，正弦函数值， ∴， 故答案为：． 12. 已知且相似比为，若的周长为20，则的周长是__________． 【答案】15 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，能熟记相似三角形的周长之比等于相似比是解此题的关键．设的周长为，根据相似三角形的性质得出，再求出即可． 【详解】解：设的周长为， ∵且相似比为，若的周长为20， ， 解得：， 所以的周长是15， 故答案为：15． 13. 若是方程的根，则代数式 __________________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的应用，解此题的关键是得出关于m的方程，把看成整体，利用整体思想解题是关键.利用方程根的定义，将代数式变形后代入求值． 【详解】解：∵是方程 的根， ∴，即， ∴代数式． 故答案为：． 14. 在一个不透明的口袋中装有红球和白球共40个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀后，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有20次摸到红球，则口袋中红球的个数约为________． 【答案】8 【解析】 【分析】用总球数乘以摸到红球的概率即可求解． 【详解】解：根据题意，口袋中红球的个数约为（个）， 故答案为：8． 【点睛】本题考查利用频率估计概率，解答的关键是掌握用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 15. 如图，矩形中，点G、E分别在边，上，连接，将和分别沿折叠，使点B、C恰好落在上的同一个点，记为点F，若，，则__________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的知识，利用勾股定理求线段的长度是本题的关键． 根据折叠的性质和矩形的性质可得，，，，设，则，结合勾股定理求得，再利用勾股定理得到的长，即可求解． 【详解】解：由题意得，，，，， 设，则， ∴在中， 解得， ∴ ， ∴ ， ∴， 故答案为：． 三．解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分 16. （1）解方程： （2）计算： 【答案】 () ． () 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的因式分解解法、实数的混合运算规则． （）利用因式分解法，将二次三项式分解为两个一次因式的乘积，再根据“若两数乘积为，则至少其一为”的性质，求解一元一次方程得到根； （）按零指数幂化简、二次根式化简特殊角三角函数值代入、绝对值化简的顺序分步计算，再合并同类二次根式，得出最终结果． 【详解】（1）解： 则或 解得：． （2）解： ． 17. 如图，四边形是矩形，点分别在边上，连接，且．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质和全等三角形的判定定理是解题的关键．先利用矩形的性质得到相关边和角的关系，再结合已知条件推出角相等，最后通过全等三角形的判定定理证明两个三角形全等，从而得出对应边相等． 【详解】证明：四边形是矩形， ，，， ， ， ， 在和中， ， ． 18. 如图，为了估计河的宽度，我们可以在河的对岸选定一个目标点，在近岸取点，使与河岸垂直，在近岸取点，使，与交于点．已测得米，米，米，求河宽的长． 【答案】河宽长为36米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用，得到是解题的关键． 证明，根据对应边成比例即可求解． 【详解】解： 河宽长为36米． 四．解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分 19. 如图，16个小方框代表16把椅子，其中黑色圆点表示已有人入座，小李和小王随机入座，根据要求，小李需要坐第二排，小王需要坐第三排，两人选择座位的可能性相同． （1）直接写出小王选择座位的概率； （2）请用列表或画树状图的方法，求小李和小王刚好坐在同一列的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查根据公式简单求概率，列表法或树状图法求概率等． （1）根据题意即可得到本题答案； （2）根据题意列表算出共有的可能性，并找出符合题意的可能性即可得到本题答案． 【小问1详解】 解：∵小王需要坐第三排，且第三排共有三个座位， ∴小王选择座位的概率为； 【小问2详解】 解：列表如下： 小王小李 小李随机坐第二排和小王随机坐第三排共有9种等可能情况，其中两位老师刚好坐在同一列的结果有两种， （两位老师刚好坐在同一列）． 20. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC中点，AE∥BC，CE∥AD． （1）求证：四边形ADCE是菱形； （2）过点D作DF⊥CE于点F，∠B＝60°，AB＝6，求EF的长． 【答案】（1） 证明：∵AE∥DC，EC∥AD， ∴四边形ADCE是平行四边形， ∵∠BAC=90°，点D是BC的中点， ∴AD=BD=CD， ∴平行四边形ADCE是菱形； （2）3 【解析】 【分析】（1）根据菱形的判定定理及直角三角形斜边上的中线的性质证明即可； （2）根据等边三角形的判定和性质得出△ABD是等边三角形，∠ADB=60°，AD=AB=6，利用平行线的哦性质可得∠DCE=60°，结合图形得出，再由（1）中结论求解即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵∠B =60°，AD=BD， ∴△ABD是等边三角形， ∴∠ADB=60°，AD=AB=6， ∵AD∥CE， ∴∠DCE=60°， ∴∠FDC=30°， ∵CD=AD=6， ∴， ∵四边形ADCE是菱形， ∴CE=CD=6， ∴EF=3． 【点睛】题目主要考查菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，含有30度角的直角三角形的性质等，理解题意，熟练掌握运用菱形的判定和性质是解题关键． 21. 如图，已知反比例函数的图象与一次函数y=x+b的图象交于． （1）分别求k，n，b的值； （2）求的面积； （3）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围． 【答案】（1）,, （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）利用“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”，将点代入一次函数求，代入反比例函数求；再将点代入反比例函数求．（2）先求出一次函数与轴交点，将的面积转化为和的面积之和，利用三角形面积公式计算．（3）观察函数图象，找出一次函数图象在反比例函数图象上方时的取值范围． 【小问1详解】 解：将点代入一次函数， 得， 解得． 将点代入反比例函数， 可得， 解得， 反比例函数解析式为． 点在反比例函数上，将代入， 得． 【小问2详解】 由（1）知一次函数解析式为． 令，代入， 得， 一次函数与轴交点为． 的面积； 的面积； ． 【小问3详解】 观察交点和，当或时， 一次函数图象在反比例函数图象上方， 因此自变量的取值范围是或． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键是利用“函数图象上点的坐标满足函数解析式”求未知系数，利用“分割法”求三角形面积，结合图象确定函数值大小关系对应的自变量范围，体现了数形结合思想的应用． 五．解答题（三）：本大题共2个小题，22题13分，23题14分，共27分 22. 综合与实践 【驱动任务】 小北发现因为“母亲节”的到来，各个花店的鲜花礼品都进入了销售旺季，他所在的综合实践小组以探究“鲜花最佳销售方案”为主题开展了项目调查． 【研究步骤】 数据收集：综合实践小组以某款每束进价为20元的鲜花礼品为研究对象展开调查，收集到附近五家花店近期日销售的相关消息，并将数据按一定顺序整理在表中： 售价x（元/束） 25 30 35 40 45 日销售量y（束） 150 140 130 120 110 数据分析：观察表格中数据的变化规律可知日销售量y是售价x的一次函数． 【问题解决】 （1）直接写出日销售量y关于售价x的函数关系式：______； （2）根据以上信息，在销售该款鲜花礼品时， ①要想每天获得1400元的利润，并使顾客获得更多实惠，应该如何定价？ ②当鲜花礼品日销售量不低于100束时，售价为多少时，每天获得的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）①定价为每束30元②售价为50元时，每天获得的利润最大，最大利润是3000元 【解析】 【分析】本题考查一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）设每天的总利润为，根据总利润等于单件利润乘以销量列出二次函数表示式，令，解方程解决问题①；二次函数求最值，解决问题②即可． 【小问1详解】 解：设日销售量y关于售价x的函数关系式为， 由题意，把代入得： ，解得：， ∴； 【小问2详解】 设每天的总利润为，则：， ①当时，则：， 解得：， ∵使顾客获得更多实惠， ∴； 答：应定价为每束30元； ②由题意，得：， 解得：， ∵， ∴抛物线的开口向下，当时，随的增大而增大， ∵， ∴当时，有最大值为：； ∴售价为50元时，每天获得的利润最大，最大利润是3000元． 23. 在中，，，． （1）问题发现 如图1，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，，线段与的数量关系是______，与的位置关系是 ； （2）类比探究 将绕点按逆时针方向旋转任意角度得到，连接，，线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论是否一致？若交于点N，请结合图2说明理由 （3）迁移应用 如图3，将绕点旋转一定角度得到，当点落到边上时，连接，求线段的长 【答案】（1）； （2）一致；理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）延长交于点H，根据旋转得出，，，根据勾股定理得出，，根据等腰三角形的性质得出，，根据三角形内角和定理求出，即可得出结论； （2）延长交于点H，证明，得出，，根据三角形内角和定理得出，即可证明结论； （3）过点C作于点N，根据等腰三角形的性质得出，根据勾股定理得出，证明，得出，求出，根据解析（2）得出． 【小问1详解】 解：延长交于点H，如图所示： ∵将绕点按逆时针方向旋转得到， ∴，，， ∴根据勾股定理得：，， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论一致；理由如下： 延长交于点H，如图所示： ∵将绕点旋转得到， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴； 又∵，，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：过点C作于点N，如图所示： 根据旋转可知：， ∴， ∵在中，，，， ∴根据勾股定理得：， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， 根据解析（2）可知：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $