期末复习专题9：角度的综合运用（巩固提升练）2025-2026学年苏科版数学七年级上册

2025-2026学年苏科版数学七年级上册 期末复习专题9：角度的综合运用 （巩固提升练） 一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共计20分．每题只有一个正确选项．） 1.用度、分、秒表示31.21°为（    ） A． B． C． D． 2.如图，的一边OB经过的点是（   ） A．P点 B．Q点 C．M点 D．N点 3.如图，下列说法中不正确的是（　　） A．与是同一个角 B．与是同一个角 C．可以用来表示 D．图中共有三个角：，， 4.如果∠A的两边分别垂直于∠B的两边，那么∠A和∠B的数量关系是（　　） A．相等 B．互余或互补 C．互补 D．相等或互补 5. 如图所示，∠B与∠3是一对（ ） A. 同位角 B. 内错角 C. 同旁内角 D. 对顶角 6.如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中的图形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7.如图，直线AB与CD相交于点O，，，则的度数是（    ） A．25° B．30° C．40° D．50° 8.在直线上任取一点O，过点O作射线，使，当时，的度数是（    ） A． B． C．或 D．或 9.如图，∠BOC在∠AOD的内部，且∠BOC＝x°，∠AOD＝y°，则图中所有角的度数之和为（注：图中所有角均指小于180°的角）（　　） A．x+3y B．2x+2y C．3x+y D．3y﹣x 10.按如下图的方法折纸，下列说法不正确的是（ ） A. 与互余 B. C. 平分 D. 与互补 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共计16分） 11.已知∠α=34°26′,则∠α的余角为_________． 12.如图，直线和直线相交于点，若，则的度数是_____． 13.如图，点在直线上，，，那么的度数是______． 14.如图，把直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数为______． 15.如图，甲从O处出发沿北偏东向走向A处，乙从O处出发沿南偏西方向走到B处，则的度数是______________． 16.已知、分别是、的角平分线．是内部的一条射线，若，，则的度数为 ．          17.如图，已知，将绕点旋转，使射线的夹角为，平分，，，则的度数为 （用含的代数式表示）．    18.如图，是平角，射线从开始，先顺时针绕点O向射线旋转，到达后再绕点O逆时针向射线旋转，速度为6度/秒．射线从开始，以4度/秒的速度绕点O向旋转，到当到达时，射线与都停止运动．当时，则 ． 三、解答题（本大题共8小题，共计64分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明或演算步骤．） 19.如图，点O为直线上一点，在直线的上方画射线，设． (1)当时，求α的余角的度数； (2)若，射线平分，求的度数． 20.如图，已知A、O、B三点共线，∠AOD=42°，∠COB=90°． （1）求∠BOD的度数； （2）若OE平分∠BOD，求∠COE的度数． 21.如图所示，、、分别是、、内部的一条射线． (1)如图1，平分，平分，已知，，求的度数． (2)如图2，若，，且，求的度数． 22.已知，点为直线上一点，，是的平分线． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，是的平分线，求的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，是的一条三等分线，，若，请直接写出的度数．（不用写过程） 23.如图1，点、、依次在直线上，现将射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点沿逆时针方向以每秒的速度旋转，直线保持不动，如图，设旋转时间为的值在到之间，单位：秒． (1)当时，求的度数； (2)在运动过程中，当第二次达到时，求的值； (3)在旋转过程中是否存在这样的，使得射线与射线的夹角为？如果存在，请直接写出的值；如果不存在，请说明理由． 24.数学实践课上，小明同学将直角三角板的直角顶点O放在直尺的边缘，将直角三角板绕着顶点O旋转． (1)若三角板在的上方，如图1所示．在旋转过程中，小明发现、的大小发生了变化，但它们的和不变，即______°． (2)若、分别位于的上方和下方，如图2所示，则、之间的上述关系还成立吗？若不成立，则它们之间有怎样的数量关系？请说明你的理由； (3)射线、分别是、的角平分线，若三角板始终在的上方，则旋转过程中，的度数是一个定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 25.【定义概念】 如图，已知，在内部画射线，得到三个角，分别为，，，若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线为的“幸运线”，例如：图中，射线为的一条“幸运线”．（本题中所研究的角都是大于且小于的角．） [阅读理解] （1）一个角的平分线______这个角的“幸运线”．（填“是”或“不是”） [初步应用] （2）若，射线为的“幸运线”，求的度数； 【解决问题】 （3）如图，已知，射线从出发，以每秒的速度绕点O逆时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕点O逆时针旋转，设运动的时间为x秒（），若，，三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸运线”，直接写出所有t的值． 26.“时钟里的数学问题”：时钟是我们日常生活中常用的生活用品，钟表上的时针和分针都绕其轴心旋转，表盘中数字均匀分布，分针转动一周（）需要60分钟，时针转动一周的需要60分钟，这样，分针的转速为每分钟转6度，时针的转速为每分钟转度． 课题学习：三点二十分时，时针与分针所成角度多少度？解决这个问题，可以先考虑三点整，时针与分针所成角度为；从三点到三点二十分，我们可以先计算分针转动的角度，，时针转动的角度，，．三点二十分时，时针与分针所成角度是． 问题解决： (1)三点三十分时，时针与分针所成角度是 ； (2)如图1，表盘上的点A对应数字“12”，点B对应数字“3”，若分针从的位置开始转动，经过多少分钟，第一次平分； (3)如图2，两点钟时，时针与分针所成角度，在两点钟到三点钟之间，经过多少分钟，分针、时针和射线中的一条射线是另外两条射线组成的角的平分线； (4)当时针和分针所成角度时形成一条直线，这条直线刚好平分钟面，我们将这样的时刻称为“美妙时刻”，如图3，六点整就是一个美妙时刻，从0时到24时共有　 　个美妙时刻． 答案解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共计20分．每题只有一个正确选项．） 1.用度、分、秒表示31.21°为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 2.如图，的一边OB经过的点是（   ） A．P点 B．Q点 C．M点 D．N点 【答案】D 3.如图，下列说法中不正确的是（　　） A．与是同一个角 B．与是同一个角 C．可以用来表示 D．图中共有三个角：，， 【答案】C 4.如果∠A的两边分别垂直于∠B的两边，那么∠A和∠B的数量关系是（　　） A．相等 B．互余或互补 C．互补 D．相等或互补 【答案】D 5. 如图所示，∠B与∠3是一对（ ） A. 同位角 B. 内错角 C. 同旁内角 D. 对顶角 【答案】C 6.如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中的图形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 7.如图，直线AB与CD相交于点O，，，则的度数是（    ） A．25° B．30° C．40° D．50° 【答案】D 8.在直线上任取一点O，过点O作射线，使，当时，的度数是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 9.如图，∠BOC在∠AOD的内部，且∠BOC＝x°，∠AOD＝y°，则图中所有角的度数之和为（注：图中所有角均指小于180°的角）（　　） A．x+3y B．2x+2y C．3x+y D．3y﹣x 【答案】A 10.按如下图的方法折纸，下列说法不正确的是（ ） A. 与互余 B. C. 平分 D. 与互补 【答案】C 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共计16分） 11.已知∠α=34°26′,则∠α的余角为_________． 【答案】55°34′ 12.如图，直线和直线相交于点，若，则的度数是_____． 【答案】 13.如图，点在直线上，，，那么的度数是______． 【答案】 14.如图，把直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数为______． 【答案】 15.如图，甲从O处出发沿北偏东向走向A处，乙从O处出发沿南偏西方向走到B处，则的度数是______________． 【答案】 16.已知、分别是、的角平分线．是内部的一条射线，若，，则的度数为 ．          【答案】 17.如图，已知，将绕点旋转，使射线的夹角为，平分，，，则的度数为 （用含的代数式表示）．    【答案】或 18.如图，是平角，射线从开始，先顺时针绕点O向射线旋转，到达后再绕点O逆时针向射线旋转，速度为6度/秒．射线从开始，以4度/秒的速度绕点O向旋转，到当到达时，射线与都停止运动．当时，则 ． 【答案】秒或秒或秒 三、解答题（本大题共8小题，共计64分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明或演算步骤．） 19.如图，点O为直线上一点，在直线的上方画射线，设． (1)当时，求α的余角的度数； (2)若，射线平分，求的度数． 【答案】（1）解：当时， α的余角的度数为：； （2）如图所示： ∵， ∴， ∵射线平分， ∴ 20.如图，已知A、O、B三点共线，∠AOD=42°，∠COB=90°． （1）求∠BOD的度数； （2）若OE平分∠BOD，求∠COE的度数． 【答案】（1）∵A、O、B三点共线，∠AOD=42°， ∴∠BOD=180°﹣∠AOD=138°； （2）∵∠COB=90°， ∴∠AOC=90°， ∵∠AOD=42°， ∴∠COD=48°， ∵OE平分∠BOD， ∴∠DOE=∠BOD=69°， ∴∠COE=69°﹣48°=21°． 21.如图所示，、、分别是、、内部的一条射线． (1)如图1，平分，平分，已知，，求的度数． (2)如图2，若，，且，求的度数． 【答案】（1）解：因为平分， 所以 因为， 所以 又因为， 所以， 又因为平分， 所以； （2）解：因为， 设，则，， 所以． 因为， 所以． 因为， 所以， 解得， 所以． 22.已知，点为直线上一点，，是的平分线． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，是的平分线，求的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，是的一条三等分线，，若，请直接写出的度数．（不用写过程） 【答案】（1）∵∠COD=90°，∠COE=63°， ∴∠DOE=∠COD-∠COE=27°， ∵OE是∠AOD的平分线， ∴∠AOD=2∠DOE=54°， ∴∠BOD=180°-∠AOD=180°-54°=126°； 答：∠BOD的度数为126°； （2）∵OE是∠AOD的平分线， ∴ ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， 答：的度数为； （3）由（2）得∠EOF=45°， ∵∠AOC+∠DOF=∠EOF=45°， ∴∠DOF=45°-∠AOC， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 23.如图1，点、、依次在直线上，现将射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点沿逆时针方向以每秒的速度旋转，直线保持不动，如图，设旋转时间为的值在到之间，单位：秒． (1)当时，求的度数； (2)在运动过程中，当第二次达到时，求的值； (3)在旋转过程中是否存在这样的，使得射线与射线的夹角为？如果存在，请直接写出的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）解：当时，，， ， 答：的度数是； （2）根据题意，当第二次达到时， ， 解得， 答：当第二次达到时，的值是秒； （3）存在这样的，使得射线与射线的夹角为，理由如下： 当射线与射线第一次夹角为时，两条射线共旋转， ， 解得； 当射线与射线第二次夹角为时，两条射线共旋转， ， 解得， 综上所述，的值是秒或秒． 24.数学实践课上，小明同学将直角三角板的直角顶点O放在直尺的边缘，将直角三角板绕着顶点O旋转． (1)若三角板在的上方，如图1所示．在旋转过程中，小明发现、的大小发生了变化，但它们的和不变，即______°． (2)若、分别位于的上方和下方，如图2所示，则、之间的上述关系还成立吗？若不成立，则它们之间有怎样的数量关系？请说明你的理由； (3)射线、分别是、的角平分线，若三角板始终在的上方，则旋转过程中，的度数是一个定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）解： ， ； 故答案为90； （2）解：， 理由如下：，， ； （3）解：的度数是一个定值， 理由如下：射线、分别是、的角平分线， ，， ． 25.【定义概念】 如图，已知，在内部画射线，得到三个角，分别为，，，若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线为的“幸运线”，例如：图中，射线为的一条“幸运线”．（本题中所研究的角都是大于且小于的角．） [阅读理解] （1）一个角的平分线______这个角的“幸运线”．（填“是”或“不是”） [初步应用] （2）若，射线为的“幸运线”，求的度数； 【解决问题】 （3）如图，已知，射线从出发，以每秒的速度绕点O逆时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕点O逆时针旋转，设运动的时间为x秒（），若，，三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸运线”，直接写出所有t的值． 【答案】（1）若为的角平分线，则有，符合“幸运线”的定义； ∴角平分线是这个角的“幸运线”； 故答案为：是 （2）由题意得： ∵，射线为的“幸运线”， ∴①当时，则有； ②当时，则有； ③当时，则有； 综上所述：当射线为的“幸运线”时，的度数为 故答案为： （3）∵， ∴射线与重合的时间为（秒）， ∴当时，在与重合之前，如图所示： ，， 是的幸运线，则有以下三类情况： ① ② ③ 当时，在与重合之后，如图所示： 是的幸运线，则有以下三类情况： ①（不符合题意，舍去） ② ③（不符合题意，舍去） 综上：或或或． 26.“时钟里的数学问题”：时钟是我们日常生活中常用的生活用品，钟表上的时针和分针都绕其轴心旋转，表盘中数字均匀分布，分针转动一周（）需要60分钟，时针转动一周的需要60分钟，这样，分针的转速为每分钟转6度，时针的转速为每分钟转度． 课题学习：三点二十分时，时针与分针所成角度多少度？解决这个问题，可以先考虑三点整，时针与分针所成角度为；从三点到三点二十分，我们可以先计算分针转动的角度，，时针转动的角度，，．三点二十分时，时针与分针所成角度是． 问题解决： (1)三点三十分时，时针与分针所成角度是 ； (2)如图1，表盘上的点A对应数字“12”，点B对应数字“3”，若分针从的位置开始转动，经过多少分钟，第一次平分； (3)如图2，两点钟时，时针与分针所成角度，在两点钟到三点钟之间，经过多少分钟，分针、时针和射线中的一条射线是另外两条射线组成的角的平分线； (4)当时针和分针所成角度时形成一条直线，这条直线刚好平分钟面，我们将这样的时刻称为“美妙时刻”，如图3，六点整就是一个美妙时刻，从0时到24时共有　 　个美妙时刻． 【答案（1）解：三点整，时针与分针所成角度为， 分针转动的角度：， 时针转动的角度：， ， 故答案为：75； （2）解：设经过分钟，第一次平分， 平分， ， 即， 解得：， 答：经过7.5分钟，第一次平分； （3）解：设经过分钟， ①当时针是分针与射线的角平分线时， ， 解得：， ②当分针是射线与时针的角平分线时， ， 解得：， ③当射线是时针与分针的角平分线时， ， 解得：， 答：经过6、 或 分钟，分针、时针和射线中的一条射线是另外两条射线组成的角的平分线； （4）解：相邻两次成之间，分针比时针多走，花费的时间（分）， 24小时分， （次）， 故答案为：22． ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $