提分练习33 角(1)-练习36 补角、余角、对顶角(2)-【课时提优计划作业本】2024-2025学年新教材七年级数学上册（苏科版2024）

七年级上《 练习33角(1) 【方法提示】钟表中时针的速度为每分钟0.5°，分针的速度为每分钟6°，钟面上一大格是30°， 一小格是6°，钟面角问题需要弄清时针和分针的夹角与时间之间的关系 1.时钟在某个时刻，时刻与分针在同一条直线上，最少经过 min,时针与分针又一次 在同一条直线上 2.钟表在12点钟时三针重合，经过多少分钟秒针第一次将分针和时针所夹的锐角平分？ 3.【间题一】甲、乙两车分别从相距180km的A、B两地出发，甲车速度为36km/h,乙车速度 为24k/h,两车同时出发，同向而行（乙车在前甲车在后），多长时间后两车相距120km? 【问题二】将线段弯曲后可视作钟表的一部分，如图，在一个圆形时钟的表面上，OA表示时 针，OB表示分针(O为两针的旋转中心).下午3点时，OA与OB成直角 (1)3:40时，时针与分针所成的角度是 (2)分针每分钟转过的角度是 ,时针每分钟转过的角度是 (3)在下午3点至4点之间，从下午3点开始，经过多长时间，时针与分针成60°角？ 12 BA 63 《33 提分练习 练习34角(2) 【方法提示】角平分线有三种表示两角之间的数量关系：①相等关系：②2倍关系：③，的关系。 解题时通常选择其中一种关系把未知角用已知角表示出来，再根据角的和差关系进行计算. 1.如图，在平面内，O是直线AC上一点，∠AOB=60°，射线OC不动，射 B 线OA、OB同时开始绕点O顺时针转动，射线OA首次回到起始位置 时两线同时停止转动，射线OA、OB的转动速度分别为40°，s和20°，s. 若转动ts时，射线OA、OB、OC中的一条是另外两条组成角的角平分线，则t的值为 2.如图1，O是弹力墙MN上一点，魔法棒从OM的位置开始绕点O向ON的位置顺时针旋 转，当转到ON位置时，则从ON位置弹回，继续向OM位置旋转：当转到OM位置时，再从 OM的位置弹回，继续向ON位置旋转：…如此反复.按照这种方式将魔法棒进行如下步 骤的旋转：第1步，从OAo(OA在OM上)开始旋转至OA1,旋转角为∠α：第2步，从OA开 始继续旋转至OA2,旋转角为2∠α；第3步，从OA2开始继续旋转至OA,旋转角为 3∠α：… A(AJ M A O N M A. 0 图1 图2 图3 例如：当∠a=30时，OA1、OA2、OA3、OA的位置如图2所示，其中OA恰好落在OV上， ∠A3OA1=120°： 当∠α=20时，OA、OA2、OA3、OA、OA的位置如图3所示，其中第4步旋转到OV后弹 回，即∠AON+∠NOA=80°，而OA恰好与OA2重合 解决如下问题： (1)若∠a=35°，在图4中借助量角器画出OA2、OA3,其中∠AOA2的度数是 (2)若∠a<30°，且OA所在的射线平分∠AOA,在图5中画出OA、OA2、OA、OA并求 出∠a的值 (3)若∠a<36°，且∠AOA=20°，则对应的∠α的值是 M Ao 0 图4 图5 34》 七年级上《 练习35补角、余角、对顶角(1) 【方法提示】补角与余角是指角的数量关系，不是指位置关系；求一个角的补角或余角，应从数 量关系入手，若该角不是特殊角，需设未知数，利用补角或余角的关系表示另一个角：补角或余 角的关系经常还需要从图形中或题中的直角发现. 1.如图，∠AOB=120°，射线OC在平面内. (1)若∠AOC与∠BOC互补，则∠BOC的度数为 (2)射线OC绕点O从射线OA的反向延长线的位置出发，顺时针旋转，旋转角记为 ∠a(0°<∠a<180),OM平分∠AOC ①若∠BOC=90°，则∠MOB的度数为 ②是否存在∠α的值，使得∠MOC与∠BOC互余，若存在，求出∠α的值：若不存在，请 说明理由. 2.以直线AB上一点O为端点作射线OC,使∠BOC=40°，将一个直角三角板的直角顶点放 在O处，即∠DOE=90°. (1)如图1，若直角三角板DOE的一边OE放在射线OA上，则∠COD= (2)如图2，将直角三角板DOE绕点O顺时针转动到某个位置， ①若OE恰好平分∠AOC,则∠COD ②若OD在∠BOC内部，请直接写出∠BOD与∠COE的数量关系. (3)将直角三角板DOE绕点O顺时针转动(OD与OB重合时停止转动)的过程中，恰好有 ∠COD=3∠AOE,求此时∠BOD的度数. 图1 图2 《35 提分练习 练习36补角、余角、对顶角(2) 【方法提示】对顶角既有数量关系又有位置关系；利用数量关系可以将角进行转化，根据题中角 的和差倍分关系进行角度的计算：角度的计算通常要运用方程思想和分类讨论思想 1.如图，直线AB与CD相交于点O,∠DOE=∠a,∠DOF:∠AOD=2:3, D 射线OE平分∠BOF,则∠BOC的度数是 A.30 B.40° C.540°-5∠a D.540°-6∠a 2.已知直线AB和CD交于点O,∠AOC的度数为x,∠BOE=90°，OF平分∠AOD, (1)当x=20时，∠EOC= °，∠FOD= (2)当x=60时，射线OE从OE开始以10°s的速度绕，点O逆时针转动，同时射线OF从 OF开始以8°/s的速度绕点O顺时针转动，当射线OE转动一周时射线OF'也停止转 动，则至少经过多少秒射线OE与射线OF'重合？ (3)在(2)的条件下，射线OE在转动一周的过程中，当∠EOF'=90°时，请直接写出射线 OE转动的时间. 3.如图1，已知射线OB在∠AOC内，若满足∠BOC十∠AOC=180°，则称射线OB为∠BOC 与∠AOC的“互补线” (1)如图2，已知O是直线AD上一点，射线OB、OC在直线AD同侧，且射线OC平分 ∠BOD.试说明：射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”. (2)如图3，已知直线AB、CD相交于点O,射线OE为∠BOC与∠BOE的“互补线”，若 ∠AOD=136°，求∠DOE的度数. (3)如图4，已知射线OB为∠BO℃与∠AOC的“互补线”，且射线OE、OF分别平分 ∠AOC、∠BOC,试判断∠BOC+∠EOF的度数是否为定值，若为定值，求出定值的度 数：若不为定值，请说明理由。 图1 图2 图3 图4 36》画6条直线时，1+1+2+3+4+5+6=22，平面最多被分为2：-15门1=31-501，由131-501=8，解得有=5 3,4=14 22个部分：画n条直线时，1十1十2十3+4+…十n=1十(1+ (舍去).综上所述，在点Q的整个运动过程中，存在合适的 2+3+4+…+m)=[1+2n(n+D],平面最多可分为 :值，使得PQ=8,此时：的值为2或警。 [1+号(n+1)]个部分. 练习33角(1) 练习32直线、射线、线段(2) 1 解析：设再过xmin,时针与分针又一次在同一 I.(1).'AP=8 cm.AB=12 cm...PB=AB-AP=12- 直线上，若时针与分针初始夹角为0°，如图1.则6x一0.5x 8=4(cm.①由题意得，PC=2×1=2(cm),BD=3×1= 3(cm),∴.CD=PC+PB-BD=2+4-3=3(cm).②由题 180,解得x=曾：若时针与分针初始夹角为180，如图2，则 意得.PC=21mAC=(8-2D）m.DP=(4-30》m.180十6r=0,5x+360,解得r=2综上所述，最少经过 ∴.CD=PC+DP=21+(4-3)=(4-t)cm.∴.AC=2CD. 360 (2)9cm或11cm解析：当1=2时，PC=2×2=4(cm), min,时针与分针又一次在同一条直线上. BD=3×2=6(cm).当点D在点C的右边时，如图1所示， .CD=1 em,..CB=CD+BD=1+6=7(cm)...AC=AB- 图1 图2 CB=12-7=5(cm),∴.AP=AC+PC=5+4=9(cm):当点D 2.设经过xmin秒针第一次将分针和时针所夹的锐角平 在点C的左边时，如图2所示，，BD=6cm,∴.AD=AB一 分.6r-360(一1D=360-D-Q5,解得x=铝故经 BD=12-6=6(cm),,.AP=AD十CD+PC=6+1十4 11(cm).综上所述，AP的长为9cm或11cm 过}号m秒针第一次将分针和时针所夹的锐角平分 C D 3.【问题一】设xh后两车相距120km,若相遇前两车相 图1 距120km.则36.x一24.x=180-120,解得.x=5:若相遇后两 DC四 PB 车相距120km,则36x一24x=180十120，解得x=25.综上所 图2 述，两车同时出发，同向而行（乙车在前甲车在后），5h或25h 2.(1)当运动时间为1￥时，点P对应的数为t,点Q对应后两车相距120km【向题二】(1)130°解析：30×(5- 的数为21-10，∴.PQ=1t-(2t-10)1=t-101.当t=2时. PQ=2-10=8:当1=12时，PQ=112-10|=2.答：当1= )=130,故3：40时，时针与分针所成的角度是130， 2时，对应的线段PQ的长度为8：当1=12时，对应的线段PQ(2)6°0.5°(3)设在下午3点至4点之间，从下午3点开 的长度为2.(2)由题意得，t一101=5，解得1=5或t=15. 始，经过xmi,时针与分针成60角.①当分针在时针上方时， 当1=5时，点Q对应的数为21一10=0：当1=15时，点Q对 由题意得，(3+)×30-6x=60,解得r=9:②当分针在 应的数为24一10=20.(3)由题意可知，当运动时间为ts时， 24-10(01≤15)， 时针下方时，由题意得.6x-(（3+局)×30=60，解得x一 点P对应的数为，点Q对应的数为 20-2(t-15)(15<130). 综上所述，在下车3点至4点之间，从下午3点开始，经 当0<1≤15时，PQ=1t-(21-10)1=1t-10,由1t-10| 8,解得4=2,2=18（舍去）：当15<1≤30时，PQ=1-[20-目 过曾min攻mn,时针与分针成60角。 《51 练习34角(2) (3(9）或（智）减(）解析：分三种情况.①0A,和 1.4或5解析：根据题意，在第ts时，射线QA转过的 OA都不从ON弹回时，如图3所示，由题意得，3∠a+4∠a= 角度为(401)°，射线OB转过的角度为(201)°当OA是OB、 OC组成角的角平分线时，如图1所示，：∠AOC=(180一 20°，解得∠a=(婴）°；②0A从0N弹回且在OA:的右边时， 40)°，∠AOB=(201一60)°，.201-60=180-401.解得1=4： 如图4所示，由题意得，4∠a-2(180°-6∠a)+20°=3∠a,解 当OC是OB、OA组成角的角平分线时，如图2所示， ,∠AOC=(401-180)°，∠B0C=(120-201)°，∴.401-180= 得∠。-（智）：③0A,从ON弹回且在OA:的左边时，如图5 120-201,解得1=5：当OB是OC、OA组成角的角平分线时， 所示，由题意得，4∠a-2(180°-6∠a)=3∠a十20°，解得 如图3所示，：∠B0C=(20-120),∠A0B=立∠A0C- ∠a=()综上所述，对应的∠。的值是(）)或（智） 2[180°-(360-40)门=(201-90)，201-120=201-90. 或（常） 此方程无解，故此情况不成立.综上所述，1的值为4或5. Aa B MA N 图3 图 图2 A 图3 0 2.(1)如图1所示，OA、OA即为所求.45°解析：如 图4 图1所示.∠AOA=45°. A A A A M Ao 0 图1 MAo 0 (2)如图2所示.，∠a<30°，∴.∠AOA<180°，4∠a<180° 图5 0A,平分∠A0A∴2180-6∠a+号∠a=4∠a,解得 练习35补角、余角、对顶角(1》 ∠a=(器 1.(1)30或150°解析：当OC,OB在OA的同侧时，如 图1所示，∠AOC=∠BOC+∠AOB=∠BC+120, :∠A(OC与∠BOC互补.∴.∠AOC+∠B0C=180°， ∴.∠B0C+∠BC+120°=180°.∴.∠B0C=30°：当OC、OB M 0 在OA的两侧时.如图2所示，∠A(OC=∠BOC-∠AOB= 图2 ∠C-120°，：∠AC与∠BC互补，∴.∠AOC+∠BC= 52》 180°，∴∠B0C+∠B0C-120°=180°，∴.∠BXC=150°.综上.∠OD=∠0D-∠B0C=90°-40°=50°.(2)①20° 所述，∠BC的度数为30或150 解析：∠AC+∠BC=180°，∠BC=40°，.∠AC=180°- B ∠BC=180°-40°=140°，OE平分∠AOC,∴.∠COE B 克∠A0c-号X140=G.“∠0E=90,∴∠0D=0 70=20.②：∠Y0D=∠B-∠BOD.∠(OD+∠CE 90°，∴.∠BC-∠BOD+∠COE=90°，∴.∠COE-∠BOD= 图1 图2 90°-∠B0C.,∠BC=40°.∴∠CO0E-∠BOD=90°-40°= (2)①105°解析：如图3，∠B0C=90°，∠AOB=120°， 50°，即∠BOD与∠COE的数量关系为∠C0E-∠OD= .∠A0C=∠AOB-∠B0C=120°-90°=30°.，OM平分 50°.(3)当∠COD在∠BC的内部时，如图1所示， ∠A0C∠A0M=7∠A0C=7×30=15.∴∠M0B '∠COD=∠BC-∠BOD.而∠BOC=40°，∴.∠COD= ∠AOB-∠AOM=120°-15°=105 40°-∠BOD,∠AOE+∠EOD+∠BOD=180°，∠EOD= B 9g∴∠0E=0-∠0D.又：∠0D=号∠0E.40- ∠PB0D=号(90°-∠B0D,∠B0D=15,当∠C0D在 图3 ∠BOC的外部时，如图2所示，，∠COD=∠BOD一∠C, ②存在，当OC在OB左侧时，如图4所示，'∠MOC与∠BOC而∠BC-=40,∴·∠COD=∠BOD-40,:∠AOE+∠EOD+ 互余，∴∠OC=90°-∠WC,:OM平分∠A0C.∴.∠AOC= ∠BOD=180°，∠EOD=90°，∴.∠AOE=90°-∠BOD,又 2∠MC,:∠AOB=120.∴.∠B0D=180°-∠AOB=180°- “∠0OD=3∠A0E..∠B0D-40=号(90-∠B0D, 120°=60°，∴.∠COD=∠B0D-∠B0C=60°-(90° ∠MC)=∠MC-30°，：∠COD+∠A(C=180°， ∴∠BOD=52.5综上所述，∠BOD的度数为15或52.5. ∴∠M0C-30°+2∠M0C=180°，∴.∠M0C=70°，.∠a D ∠COD=70°-30°=40°：当0C在OB右侧时，如图5所示， :∠OC与∠C互余，∴.∠OM=∠BC+∠MC=90, 图1 图2 ∴.∠AOM=180°-∠B)D-∠BOM=30°.(OM平分 练习36补角、余角、对顶角(2) ∠A0C,∴∠AOC=2∠AOM=60°，∴.∠a=∠C0D=180° ∠A0C=180°-60°=120°.综上所述，存在∠a=40°或∠a= 1.D解析：设∠DOF=2x°，则∠AOD=3x°，∴∠AOF= 120使得∠MOC与∠BOC互余. ∠AOD+∠DOF=3x°+2x°=5z°.∴.∠B0F=180°-∠AOF= 180-5.OE平分∠B0E,∠FOE=∠BOF=90°- 多.：Z0E=∠Z0F+∠R0E=∠a,即2x+ D 图4 图5 90-2=∠a,解得r=18-2∠a,则∠A0D=3=540- 2.(1)50°解析：由题意得，∠BOD=90°.，∠BC=40°，6∠a,∴∠BOC=∠AOD=540°-6∠a 《53 2.(1)7080解析：：∠BOE=90°，.∠AOE=90°，AC上方时，如图1所示，：OD平分∠BC,.∠COD :∠AO0C=x=20°，∴.∠E0C=90°-∠AOC'=90°-20°=∠BOD,,4∠BOE+∠B0C=180°，∠AOB+∠B0C=180, 70°，∠AOD=180°-∠AOC=180-20°=160°：OF平分.∠AOB=4∠BOE,即∠AOE=3∠BOE,设∠BOE=∠a,则 ∠A0D,∠F0D=∠A0D=号×160=80.(2)当x=∠A0E=3∠a∠B0D=70'-∠a=∠0OD.:∠A0c为平 角，∴.∠AOE+∠DOE+∠COD=180°，即3∠a+70°+70°- 60时，∠AOC=x=60°，.∠AOD=180°-∠AOC=180° ∠a=180,解得∠a=20°，.∠B0E=20°，又：OM⊥0B 60°=120°，∴.∠EOF=∠A0E+∠AOF=90°+60°=150°.设 ∴.∠MOB=90°，∴.∠MOE=∠BOE+∠MOB=20+90°= 至少经过ts射线OE与射线OF'重合，由题意得，101十81= 110:②当OM在AC下方时，如图2所示，同理可得，∠BOE= 150,解得1=空答：至少经过号：射线0E与射线OF重合. 20,又OM⊥OB.∴.∠MOB=90,∴.∠M0E=∠0B (3)设射线OE转动的时间为1s,由题意得，101十90十81= ∠E=90一20=70.综上所述，∠ME的度数为110或70. 150或101+8=150+90或360-101=81一150+90或360 101+360-8+90=360-150,解得1=号或1=号或1=9或 1=1g答：射线0E转动的时间为号或号或碧或、 3.(1)射线OC平分∠BOD,.∠BOC=∠COD. :∠AOC+∠OD=180°，.∠A0C+∠BC=180°，∴.射线 OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”.(2)：射线OE为 ∠BC与∠BOE的“互补线”，∴.∠BOC+∠BOE=180°又 :∠A(OC+∠BC=180°，∴.∠AOC=∠BOE.:∠AOC+ ∠DOA-180°，且∠D0A=136°.∴.∠A0C=180°-∠D0A= 图2 180°-136=44°，.∠B0E=44°，.∠COE=180°-∠AOC 2.(1)当1=3时，∠A0B=180°一4°×3-6°×3=150 ∠B0E=180°-44°-44°=92.∴.∠D0E=180°-∠COE= (2)根据题意，得4十6：=180十80，解得1=26.答：当∠AOB 180°-92=88.(3)∠BC+∠EOF的度数为定值，等于 第二次达到80时，的值为26.(3)存在.当0≤1≤18时， 90.:射线OB为∠BOC与∠AOC的“互补线”，∴∠AOC+ 180一41一6t=90,解得t=9:当18≤≤60时，41+61=180+ ∠B0C=180°.：射线OE、OF分别平分∠AC、∠BC, 90或41+6t=180+270,解得1=27或1=45.综上所述，在旋 ∴.∠AOC=2∠AOE=2∠EOC.∠BOC=2∠BOF=2∠F0C. 转过程中存在这样的1，使得射线OB与线OA垂直，1的值 :∠A0C+∠B0C=180,·∠BOF+∠F0C+∠AOE+为9或27或45. ∠EOC=180°，.∴.2∠BOF+2∠EC=180°..∠BOF+ 3.(1),∠COD=60,..∠BC=∠COD-∠BO0D= ∠E0C=90°，'∠EOC=∠EOB+∠BOF+∠FOC, 60°-∠BOD.OA⊥OB,.∠AOB=90°，∴∠BD= ∴·∠BOF+∠EOB+∠BOF+∠FOC=90°，.∠BC+ ∠AOD-∠AOB=∠AOD-90°，∴.∠BOC=60°-（∠AOD- ∠EOF=90°，即∠BC+∠EOF的度数为定值，等于90°. 90)=150-∠A0D:∠B0C=号∠A0D,∴150°-∠A0D= 练习37垂直 L10或7沁解折：分两种情况进行i时论.①当OM在号∠A0D∴∠A0D-10G。(②：C平分∠A0D.∠00 54●