江苏省镇江市扬中市第二高级中学2025-2026学年高二上学期数学期末模拟试卷三

江苏省镇江市扬中市第二高级中学2025-2026第一学期高二数学期末模拟 姓名 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知函数在处可导，且 （ ） A． B． C． D． 2．已知时刻的首项，则这个数列的第4项是 （ ） A． B． C． D． 3．若边上的所在直线的方程为 （ ） A． B． C． D． 4．已知直线与曲线由公共点，则实数的取值范围为 （ ） A． B． C． D． 5．设椭圆的半焦距为，直线过两点，坐标原点到直线的距离等于，则椭圆的离心率为 （ ） A． B． C． D． 6．已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如图所示，则其函数的图象是 （ ） 7．已知数列满足，则数列的前项和为 （ ） A． B． C． D． 8．如图，是双曲线 与椭圆的公共点，点在第一象限内的交点，若，则下列选项正确的是 （ ） A．双曲线的渐近线为 B．椭圆的离心率为 C．椭圆的方程为 D．的面积为 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9．已知圆，则下列结论正确的有 （ ） A．的取值范围为 B．若，则点内 C．若，则直线相离 D． 若关于直线对称的圆的方程为 10．已知是各项为正数的等比数列，公比为，前项和为，且，，，则下列说法正确的是 （ ） A． B．数列的等比数列 C．数列是公差为1的等差数列 D．数列的前项和不超过 11．已知抛物线的通经长为2，焦点为，经过点的直线交抛物线于两点，则下列说法中正确的有 （ ） A． B．点的坐标为 C．设点，若点上的动点，则的最小值为4 D．过点 作抛物线的两条切线，切点分别为，点的切线段上任意一点，则面积的最大值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．函数处的切线的倾斜角为 . 13．已知抛物线上一点到焦点的距离为4，准线为，若与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为，则双曲线的离心率为___________. 14．已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是 . 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．已知直线与圆交于A，B两点． （1）若圆心C到直线l的距离为，求k的值. （2）是否存在过点的直线垂直平分弦？若存在，求出直线与直线l的交点坐标；若不存在，请说明理由． 16．已知函数（其中）． （1）当时，求的单调区间； （2）对任意，都有成立，求实数a的取值范围． 17．已知函数． （1）若函数在点处的切线方程为，求函数的极值； （2）若，对于任意，当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 18．已知数列对任意满足. (1)如果数列为等差数列，求； (2)如果， ①是否存在实数，使得数列为等比数列？如果存在，请求出所有的，如果不存在，请说明为什么？ ②求数列的通项公式. 19．在平面直角坐标系中，设点是椭圆上一点，以M为圆心作一个半径的圆，过原点作此圆的两条切线分别与椭圆C交于点P，Q. （1）若点M在第一象限且直线，互相垂直，求圆M的方程； （2）若直线，的斜率都存在，且分别记为，，求证：为定值； （3）探究是否为定值，若是，则求出的最大值；若不是，请说明理由. 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省镇江市扬中市第二高级中学2025-2026第一学期高二数学期末模拟 姓名 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知函数在处可导，且 （ A ） A． B． C． D． 2．已知时刻的首项，则这个数列的第4项是 （ A ） A． B． C． D． 3．若边上的所在直线的方程为 （ A ） A． B． C． D． 4．已知直线与曲线由公共点，则实数的取值范围为 （ D ） A． B． C． D． 5．设椭圆的半焦距为，直线过两点，坐标原点到直线的距离等于，则椭圆的离心率为 （ B ） A． B． C． D． 6．已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如图所示，则其函数的图象是 （ B ） 7．已知数列满足，则数列的前项和为 （ D ） A． B． C． D． 8．如图，是双曲线 与椭圆的公共点，点在第一象限内的交点，若，则下列选项正确的是 （ D ） A．双曲线的渐近线为 B．椭圆的离心率为 C．椭圆的方程为 D．的面积为 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9．已知圆，则下列结论正确的有 （ ABD ） A．的取值范围为 B．若，则点内 C．若，则直线相离 D． 若关于直线对称的圆的方程为 10．已知是各项为正数的等比数列，公比为，前项和为，且，，，则下列说法正确的是 （ ACD ） A． B．数列的等比数列 C．数列是公差为1的等差数列 D．数列的前项和不超过 11．已知抛物线的通经长为2，焦点为，经过点的直线交抛物线于两点，则下列说法中正确的有 （ ABD ） A． B．点的坐标为 C．设点，若点上的动点，则的最小值为4 D．过点 作抛物线的两条切线，切点分别为，点的切线段上任意一点，则面积的最大值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．函数处的切线的倾斜角为 . 13．已知抛物线上一点到焦点的距离为4，准线为，若与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为，则双曲线的离心率为___________. 14．已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是 . 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．已知直线与圆交于A，B两点． （1）若圆心C到直线l的距离为，求k的值. （2）是否存在过点的直线垂直平分弦？若存在，求出直线与直线l的交点坐标；若不存在，请说明理由． 15．解：（1）由圆可知，圆心，半径 圆心C到直线l的距离， 化简得， 解得或． （2）解法一：直线过定点． 因为直线l与圆C交于A，B两点，所以， 解得． 若存在直线垂直平分弦，则直线必过圆心C． 因为直线的斜率， 所以直线的斜率．因为， 所以不存在过点D的直线垂直平分弦． 解法二：直线过定点． 若存在直线垂直平分弦，则直线必过圆心C． 因为直线的斜率，所以直线的方程为，即． 因为直线垂直于直线l，所以直线l的斜率为3，直线l的方程为． 联立解得 所以直线与直线l的交点为． 而，所以点不在圆C内， 即不存在过点D的直线垂直平分弦． 16．已知函数（其中）． （1）当时，求的单调区间； （2）对任意，都有成立，求实数a的取值范围． 16．解：（1）将代入函数中，， 由，所以， 当时，，所以函数在上单调递增； 当时，，所以函数在上单调递减； 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）任意都有成立， 即，即， 令，则， 令，， 在上恒成立，即在上单调递增． 又，，故在内有零点，设零点为， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 且，则，所以， 设，，，所以在单调递增， 所以，，，即，所以， 所以最小值，所以，即实数a的取值范围是． 17．已知函数． （1）若函数在点处的切线方程为，求函数的极值； （2）若，对于任意，当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 17．解：（1）由题意得， ， 由函数在点处的切线方程为， 得， 此时， 。 令， 当，函数单调递增， 当，函数单调递减， 则当， 当； （2）由，得， 不等式可变形， ， 即， 所以函数上单调递减， 令上恒成立， 则上恒成立， 即上恒成立， 设， 因为得， 所以函数上单调递减， 所以， 即实数的取值范围为 18．已知数列对任意满足. (1)如果数列为等差数列，求； (2)如果， ①是否存在实数，使得数列为等比数列？如果存在，请求出所有的，如果不存在，请说明为什么？ ②求数列的通项公式. 18．解：（1）解：由，可得， 因为成等差数列，可得， 当时，符合条件. 当时，，整理得，解得或， 当时，符合条件； 当时，，，此时， ，不满足为等差数列，舍去， 综上可得，或. （2）解：①当时，， 假设存在这样的，则，即， 所以，解得，所以， 又因为所以数列是首项为，公比为的等比数列， 故存在实数符合题意. ②由①知：，所以. 19．在平面直角坐标系中，设点是椭圆上一点，以M为圆心作一个半径的圆，过原点作此圆的两条切线分别与椭圆C交于点P，Q. （1）若点M在第一象限且直线，互相垂直，求圆M的方程； （2）若直线，的斜率都存在，且分别记为，，求证：为定值； （3）探究是否为定值，若是，则求出的最大值；若不是，请说明理由. 19．解：（1）由题意可知，且，故， 所以①，因为点是椭圆上一点， 则有②，由①②可得，，，故， 所以圆M的方程为； （2）证明：设直线的方程为，直线的方程为， 因为与均与圆M相切， 联立方程，可得， 同理可得，， 由，可得，是方程的两个不相等的实数根， 所以（*），又点是椭圆上一点， 则有，代入（*），可得，故为定值； (3）解：（i）当直线，不落在坐标轴上时，设，， 由（2）可知，，则， 因为点P，Q在椭圆C上，则有，整理可得，，所以，故； （ii）当直线落在坐标轴上时，则有. 综上所述，，则， 当且仅当时取等号， 故为定值，的最大值为. 6 学科网（北京）股份有限公司 $