卷2 第六章 二元一次方程组 提优验收卷（B卷）-【初中上分卷】2025-2026学年七年级下册数学配套课件（冀教版·新教材）

该初中数学课件聚焦二元一次方程组，通过实际问题（如生产配套、里程碑数字）导入，联系一元一次方程，搭建从一元到二元的学习支架，帮助学生掌握定义、解法及应用脉络。 其亮点在于融合传统文化（《九章算术》算筹图）、新考法（月历问题）和探究性问题（共轭方程组），以数学眼光抽象问题，用数学思维推理运算，借数学语言建立模型。如工人生产配套题培养应用意识，算筹图题提升抽象能力，助力学生提升解决问题能力，为教师提供多样化题型与解析，优化教学效率。

数 学 七年级下册 冀教版 1 2 3 卷2 第六章提优验收卷（B卷） 考查内容：二元一次方程组 4 一、选择题 二、填空题 三、解答题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 时间： 满分：100分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.每小题给出的选 项中只有一个选项符合题意） 1.[2025广东佛山南海区月考]下列方程组中，是二元一次方程组的是( ) C A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 6 【解析】 选项 特征 判断 两个未知数 含有未知数的项的次数都是1 整式方程 A √ × √ × B √ × × × C √ √ √ √ D × √ √ × 故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 7 2.[2025河北保定月考]下列各组数中是方程 的解的是( ) C A. B. C. D. 【解析】A选项，代入方程，得左边 右边，不是方程的解；B选项， 代入方程，得左边 右边，不是方程的解；C选项，代入方程，得 左边 右边，是方程的解；D选项，代入方程，得左边 右边，不是方程的解．故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 8 3.[2025湖南郴州北湖区月考]用加减消元法解方程组 时，如果想消 去 ，操作正确的是( ) A A. B. C. D. 【解析】要想消去，则 即可．故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 9 4.[2025河北唐山月考]已知 ，则( ) B A.， B.， C.， D.， 【解析】由，可得，解得；由，可得 ， 解得 ．故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 10 5.[2025四川绵阳中学月考]对于二元一次方程组把①代入②消去 后得到方程 ，则①可以是( ) A A. B. C. D. 【解析】因为把①代入②消去后得到方程，所以 ， 则 ，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 11 6.[2025海南海口琼山区月考]按如图所示的运算程序，能使输出结果为3的， 的 值是( ) D A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 12 【解析】根据题意得，A选项，当时，左边 ，右 边，左边右边，故此选项不符合题意；B选项，当 时，左边 ，右边，左边 右边，故此选项不符合题意；C选项，当 时，左边，右边，左边 右边，故此选项不符 合题意；D选项，当时，左边，右边，左边 右边，故此选项符合题意．故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 13 7.[2025广东揭阳榕城区月考]已知是二元一次方程组 的解， 则 的值为( ) D A.2 B.3 C.4 D.5 【解析】因为是二元一次方程组 的解，所以 得，解得，得，解得 ， 所以 ，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 14 8.传统文化 [2025天津和平区月考，中]《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看 图方便,我们把它改为横排，如图（1）、图（2）.图中各行从左到右列出的算筹数 分别表示未知数， 的系数与相应的常数项，把图（1）所示的算筹图用我们现在 所熟悉的方程组表示出来，就是 在图（2）所示的算筹图中有一个 图形被墨水覆盖了，若图（2）所表示的方程组中与 的值相等，则被墨水所覆盖 的图形为( ) 图（1） 图（2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 15 A. B. C. D. 【解析】设被墨水所覆盖的图形表示的数为.由题图（2）可得 因为，所以,所以，所以,所以 ， 所以被墨水所覆盖的图形表示的数为2，故选B． √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 16 9.[2025河北衡水月考，中]、 、各代表一个数，根据 ， ，，可得 ( ) C A.190 B.95 C.32 D.16 【解析】设，，.由题意得 得 ，即，得 ，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 17 10.[2025江苏南京鼓楼区月考，中]某车间有60名工人生产太阳镜，1名工人每天可 生产镜片200片或镜架50个．两片镜片和一个镜架配套，应如何分配工人生产镜片 和镜架，才能使产品配套？设安排名工人生产镜片， 名工人生产镜架，则可列 方程组为( ) A A. B. C. D. 【解析】根据等量关系：生产镜片的工人数量生产镜架的工人数量 ，镜片 数量 镜架数量，得 故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 18 11.[2025河北沧州月考，中]对于关于，的二元一次方程组 甲、 乙两人的判断如下：甲：当这个方程组的解，的值互为相反数时， ；乙： 无论取何值， 的值始终不变．则( ) D A.甲的说法正确，乙的说法不正确 B.甲、乙的说法都不正确 C.甲、乙的说法都正确 D.甲的说法不正确，乙的说法正确 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 19 【解析】甲：当这个方程组的解，的值互为相反数时， .方程组 中，得，即 ，当 时，，解得 ，因此甲的说法不正确.乙：方程组 中，由②得，代入①得 ， 即，所以无论取何值，的值都为 ，始终不变，因此乙的说法正 确，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 20 12.新考法 [2025河南郑州月考，难]佳佳坐在匀速行驶的车上，将每隔一段时间 看到的里程碑上的数描述如下： 时刻 12：00 13：00 14：00 里程碑 上的数 是一个两位数， 数字之和为7 十位数字与个位数字相比12： 00时看到的刚好颠倒 比12：00看到的两位 数中间多了个0 则12：00时看到的两位数是( ) B A.15 B.16 C.25 D.34 【解析】设12：00时看到的两位数的十位数字为，个位数字为 .依题意得 解得所以 ，即 12：00时看到的两位数是16．故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 21 二、填空题（本大题共4小题，共12分） 13.开放性问题 [2025河北唐山月考]写出一个关于， 的二元一次方程，使得 是该二元一次方程的一组解，这个方程可以是________________________． （答案不唯一） 【解析】当，时，，所以是关于， 的 二元一次方程的一组解，所以这个方程可以是 ．故答案为 （答案不唯一）． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 22 14.[2025江西南昌外国语学校月考]“六一”前夕，市关工委准备为希望小学购进图 书和文具若干套，已知2套文具和1套图书需45元，1套文具和2套图书需54元，则1 套文具和1套图书需____元． 33 【解析】设1套文具需元，1套图书需元.根据题意得 ， 得，所以 ．故答案为33． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 15.新考法 [2025福建福州月考，中]如图是2025年1月的月历， 其中“”型、“ ”型两个阴影图形均覆盖四个数字，它们在框 内只能平移，可重叠．设“”型阴影覆盖的最小数字为 ，四 个数字之和为；“”型阴影覆盖的最小数字为 ，四个数字 之和为．若，则 的值是______． 1或5 【解析】因为“”型阴影覆盖的四个数分别为，，，，“ ”型阴影 覆盖的四个数分别为，，， ，所以 ， .因为 ，所以 ，所以，所以或所以 的值为1或 5．故答案为1或5． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 24 16.新定义 [2025河北唐山月考，难]对，定义一种新运算 ，规定： （其中， 均为非零常数），这里等式右边是通常的四则 运算，例如：.若， ， 则下列结论正确的是________.（填序号） ，；②若，，均为整数，则或 或 或若对任意有理数， 都成立 （这里和均有意义），则 ． ①②③ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 25 【解析】①因为，， ，所以 解得故结论①正确.②由①可知 ， 所以，所以.因为, 均为整数，所以 ,所以或或3或.若，则， ；若 ，则，；若，则， ；若 ，则，.综上所述，或或 或 故结论②正确.③由①可知 ，所以 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 26 ，，当 时，，所以，所以 .又 因为对任意有理数，都成立，所以 ，故结论③正确.综 上所述，正确的结论有①②③．故答案为①②③． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 三、解答题（本大题共6小题，共52分） 17.[2025河北廊坊月考]（8分）解下列方程组: （1） 【解】，得 ，解得 . …………（2分） 将代入①，得 ， 解得 ，…………（3分） 所以原方程组的解为 …………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 28 （2） 【解】方程组化简，得 …………（5分） ，得 ， 解得 .…………（6分） 把代入①，得 , 解得 ,…………（7分） 所以原方程组的解为 …………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 29 18.[2025河北承德月考]（7分）某校八年级学生到郊外参加研学活动，已知用3辆 小客车和1辆大客车每次可运送学生160人，用2辆小客车和3辆大客车每次可运送 学生235人，则每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？ 【解】设每辆小客车能坐名学生，每辆大客车能坐 名学生. 根据题意得 …………（4分） 解得 …………（6分） 答：每辆小客车能坐35名学生，每辆大客车能坐55名学生.…………（7分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 30 19.[2025河南郑州金水区月考]（8分）杨老师在“双十一”期间买了一件毛衣，通过 研究缝在衣服内部标签上的内容，得到了以下结论： ①毛衣的总质量为 ； ②毛衣的成分：绵羊毛、腈纶、锦纶、聚酯纤维； ③绵羊毛和腈纶的含量共占 ，锦纶的含量是绵羊毛含量的5倍，聚酯纤维的含 量比腈纶含量的2倍少 ． 请你求出绵羊毛和腈纶的质量． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 31 【解】设绵羊毛的质量为，腈纶的质量为 .根据题意得 …………（5分） 解得 …………（7分） 答：绵羊毛的质量为，腈纶的质量为 ．…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 32 20.[2025四川乐山月考]（8分）阅读下列材料，解答下面的问题. 我们知道方程 有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解． 例：由，得，为正整数．要使 为 正整数，则为正整数，可知为3的倍数，所以，代入得 ， 所以的正整数解为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 33 问题： （1）请你直接写出方程 的正整数解：_ _______． 【解析】方程的正整数解为故答案为 …………（2分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 34 （2）［中］若为自然数，则满足条件的正整数 的值有___（填字母）． B A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 【解析】满足条件的正整数 的值有9，6，5，4，共4个，故答案为B.…………（5分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 35 （3）［中］关于，的二元一次方程组的解是正整数，求整数 的值． 【解】 得 ， 解得 .…………（7分） 因为是正整数， 是整数， 所以 ，2，4,8， 所以，2，0,，但时，不是正整数，故的值为2，0, .………… （8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 36 21.[2025湖南长沙雅礼实验中学月考]（9分）一家商店进行装修，若请甲、乙两个 装修组同时施工，8天可以完成，需付给两组费用共3 520元；若先请甲组单独做6 天，再请乙组单独做12天可以完成，需付给两组费用共3 480元. （1）[中]甲、乙两组单独工作一天，商店需各付多少元？ 【解】设甲组单独工作一天，商店需付元，乙组单独工作一天，商店需付 元. 由题意得 …………（2分） 解得 …………（3分） 答：甲组单独工作一天，商店需付300元，乙组单独工作一天，商店需付140 元.…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 37 （2）[中]已知甲组单独完成需要12天，乙组单独完成需要24天，若装修完后，商 店每天可盈利200元，你认为如何安排施工有利于商店经营？说说你的理由． （提示：从三种施工方式中选择：方式一：甲组单独完成；方式二：乙组单独完 成；方式三：甲、乙两个装修组同时施工） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 38 【解】甲、乙两个装修组同时施工有利于商店经营.理由：甲组单独完成，需付费 用为（元），少盈利 （元），相当于损失 （元）.…………（6分） 乙组单独完成，需付费用为（元），少盈利 （元）， 相当于损失 （元）.…………（7分） 甲、乙两个装修组同时施工，需付费用为3 520元，少盈利 （元）， 相当于损失 （元）.…………（8分） 因为 ， 所以甲、乙两个装修组同时施工更有利于商店经营．…………（9分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 39 22.探究性问题 [2025河北石家庄月考]（12分）规定：形如关于， 的方程 与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中 ，由这两 个方程组成的方程组 叫作共轭方程组． 【初步探究】 （1）若关于，的方程组为共轭方程组，则___， ___． 1 1 【解析】由题意得解得 故答案为1，1.…………（2分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 40 【深入探究】 （2）[中]若关于,的方程中， 的值满足下表： 0 0 2 则这个方程的共轭二元一次方程是_ _____________． 【解析】由题意得解得故答案为 .…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 41 （3）[中]解下列方程组（直接写出方程组的解） ① 的解为_ _______； 【解析】得，得 ， 得，所以方程组的解为故答案为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 42 ② 的解为_ ________； 【解析】得，得 ， 得，所以方程组的解为故答案为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 ③ 的解为_ _______． 【解析】得，得 ，解得 ，得，解得，所以方程组的解为 故答案为 … ………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 44 【拓展延伸】 （4）[难]若关于,的共轭方程组的解是猜想与 之间的数 量关系，并说明理由． 【解】.理由：将代入方程组得 所以 , 所以 , 所以 ． 因为 ， 所以 .…………（12分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 45 $