精品解析：安徽省淮南市八公山区淮南西部联考2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

安徽省淮南市八公山区淮南西部联考2025-2026学年 九年级上学期1月期末数学试题 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，其4页，完卷时间120分钟，满分150分． 第I卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 国家提倡推行生活垃圾分类，下列垃圾分类标志分别表示厨余垃圾、有害垃圾、可回收物和其他垃圾，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若是关于x的方程的一个根，则m的值是（） A. B. C. 3 D. 15 3. 二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，C，D是上直径两侧的两点，设，则（　　） A. B. C. D. 5. 已知点，，均在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点，分别在的边，上，且，若，，则（ ） A. 4.5 B. 6 C. 8 D. 9 7. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图．随机闭合开关、、中的两个，则能让两盏灯泡、同时发光的概率为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，将绕点顺时针旋转得到，若点、、在同一条直线上，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCO的点A在函数的图象上，点C在函数的图象上，若点B的纵坐标为3，则符合条件的所有点A的纵坐标之和为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 第II卷 注意事项： 1．用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上作答，答案无效． 2．作图可先用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点中心对称的点的坐标是_______． 12. 一个圆锥的底面圆的半径为 2，母线长为 4，则它的侧面积为______． 13. 已知，则_______． 14. 如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作轴，垂足为B，点C为y轴上的一点，连接，．若的面积为6，则k的值是______． 三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 用适当方法解下列方程： （1）； （2）． 16. 在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，小正方形的边长均为1，的三个顶点都在格点上． （1）将绕点顺时针旋转得到（旋转角小于）使得点落在x轴正半轴上，画出； （2）在（1）的条件下，求线段所扫过的面积． 17. 如图，在ABC中，D为AC边上一点，∠DBC＝∠A，如果BC＝，AC＝3，求CD的长． 18. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小明同学购买了“二十四节气”主题邮票，他将（春分）、（小暑）、（立秋）、（寒露）四张纪念邮票（除正面不同外，其余均相同）背面朝上洗匀． A. B. C. D. （1）小明从中随机抽取一张邮票，抽中是（寒露）的概率是_____； （2）小明先从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面朝下放回，重新洗匀后再随机抽取一张邮票．请用树状图或列表的办法求小明两次抽取的邮票中至少有一张是（立秋）的概率． 19. 俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售量为y本，销售单价为x元． （1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围； （2）当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？ （3）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少元？ 20. 综合与实践 如本题图1，在左边托盘中放置一个固定的重物，在右边托盘中放置一定质量的砝码（可左右移动），可使得仪器左右平衡．改变托盘与点的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表： 托盘与点的距离 10 15 20 25 30 托盘中的砝码质量 30 20 15 12 10 （1）依据实验得出，与的对应点，请您在本题图2中画出函数图像，并求出函数表达式； （2）当砝码质量为时，求托盘与点的距离； （3）当托盘向左移动时，为使得仪器在移动前后均保持左右平衡，托盘中的砝码质量需增加至移动前的两倍，求在移动前托盘中的砝码质量． 21. 如图，是的直径，点C为上一点，连接，点D在的延长线上，点E在上，过点E作的垂线分别交的延长线于点F，交于点G，且． （1）求证：是的切线； （2）求证：． （3）若，，求的长． 22. 设拋物线（为常数）经过点． （1）求二次函数表达式． （2）过点与x轴平行的直线交抛物线于两点，若，求t的值． （3）若点在抛物线上，且始终满足，求的取值范围． 23. （1）问题 如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：． （2）探究 若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由． （3）应用 如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽省淮南市八公山区淮南西部联考2025-2026学年 九年级上学期1月期末数学试题 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，其4页，完卷时间120分钟，满分150分． 第I卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 国家提倡推行生活垃圾分类，下列垃圾分类标志分别表示厨余垃圾、有害垃圾、可回收物和其他垃圾，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意； B．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故B符合题意； C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C不符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故D不符合题意． 故选：B． 2. 若是关于x的方程的一个根，则m的值是（） A. B. C. 3 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 直接把代入一元二次方程得到关于的方程，然后解一次方程即可． 【详解】解：把代入方程， 得 解得． 故选：C． 3. 二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的图象开口向上，与轴交于负半轴，得，，根据二次函数的对称轴可得，从而即可得到一次函数经过一、二、三象限，反比例函数经过二、四象限，即可得到答案． 【详解】解：二次函数的图象开口向上，与轴交于负半轴， ，， 二次函数的对称轴为， ， 一次函数经过一、二、三象限，反比例函数经过二、四象限， 故选：A． 【点睛】本题主要考查二次函数的图形、一次函数的图形、反比例函数的图形，根据二次函数的图象得到，，，是解题的关键． 4. 如图，C，D是上直径两侧的两点，设，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同弧所对的圆周角相等，半圆（直径）所对的圆周角是直角，由是直径求出是解题的关键．由是直径可得，由可知，再根据同弧所对的圆周角相等可得的度数，即可得出答案． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 5. 已知点，，均在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，牢记“当，双曲线的两支分别位于第二、四象限，且同一象限内y随x的增大而增大”是解题的关键． 【详解】解：， ， 图象在二、四象限，且同一象限内y随x的增大而增大， ， ，， ， 故选：C． 6. 如图，点，分别在的边，上，且，若，，则（ ） A. 4.5 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查平行线所截线段成比例，熟练掌握平行线所截线段成比例是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选D． 7. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据△ABC∽△DEF，可以得到然后根据BC=6，EF=4，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ，， 故选D 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 8. 如图．随机闭合开关、、中的两个，则能让两盏灯泡、同时发光的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了列表法与树状图法，弄清题中的电路图是解本题的关键．找出随机闭合开关、、中的两个的情况数以及能让两盏灯泡、同时发光的情况数，即可求出所求概率． 【详解】解：画树状图，如图所示： 随机闭合开关、、中的两个有六种情况：闭合，闭合，闭合，闭合，闭合，闭合， 能让两盏灯泡、同时发光的有两种情况：闭合，闭合， 则（能让两盏灯泡、同时发光）． 故选：D 9. 如图，将绕点顺时针旋转得到，若点、、在同一条直线上，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握相关知识．由旋转可得：，，，进而得到：，，即可求解． 【详解】解：由旋转可得：，，， ，， ， 故选：B． 10. 在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCO的点A在函数的图象上，点C在函数的图象上，若点B的纵坐标为3，则符合条件的所有点A的纵坐标之和为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】过点C作CD⊥x轴，垂足为D，过点B作BF⊥x轴，垂足为F，过点A作AE⊥x轴，垂足为E，证明△AEO∽△ODC，运用反比例函数k的几何意义，相似三角形面积之比等于相似比的平方，确定相似比为2，过点C作CG⊥BF，垂足为G，证明△BCG≌△AOE，得到BF-CD=BG=AE，构造方程解答即可． 【详解】如图，过点C作CD⊥x轴，垂足为D，过点B作BF⊥x轴，垂足为F，过点A作AE⊥x轴，垂足为E， ∵四边形ABCO是矩形， ∴∠AOE+∠COD=90°，∠AOE+∠EAO=90°， ∴∠OAE=∠COD ∴△AEO∽△ODC， ∴， 设A(m，)， ∴C(，)， 过点C作CG⊥BF，垂足为G， ∴CG∥OD， ∴∠COD=∠GCO， ∵四边形ABCO是矩形， ∴BC=AO，∠BCO=90°， ∴∠BCG+∠GCO=90°，∠AOE+∠COD=90°， ∴∠BCG=∠AOE， ∴△BCG≌△AOE， ∴AE=BG， ∴BF-CD=BG=AE， ∴3-(-2m)=， 整理得，， 解得， 所以其纵坐标分别为， 其和为2+1=3， 故选D． 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，反比例函数的几何意义和性质，熟练掌握矩形的性质，三角形相似的性质是解题的关键． 第II卷 注意事项： 1．用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上作答，答案无效． 2．作图可先用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点中心对称的点的坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查中心对称，掌握若点关于原点中心对称的点的坐标是，即可解题． 【详解】解：点关于原点中心对称的点的坐标是， 故答案为：． 12. 一个圆锥的底面圆的半径为 2，母线长为 4，则它的侧面积为______． 【答案】8π 【解析】 【分析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2． 【详解】解：底面半径为2，则底面周长=4π，圆锥的侧面积=×4π×4=8π， 故答案为8π． 【点睛】本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解，解题的关键是了解圆锥的侧面积的计算方法，难度不大． 13. 已知，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是比例的基本性质，由条件可得，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为： 14. 如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作轴，垂足为B，点C为y轴上的一点，连接，．若的面积为6，则k的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，连接，如图，利用三角形面积公式得到，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到 ，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值． 【详解】如图，连接， ∵轴， ∴， ∴， 而， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 用适当方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）先把常数项移到方程右边，再两边加上一次项系数的一半的平方进行配方，据此解方程即可； （2）先移项，然后利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 16. 在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，小正方形的边长均为1，的三个顶点都在格点上． （1）将绕点顺时针旋转得到（旋转角小于）使得点落在x轴正半轴上，画出； （2）在（1）的条件下，求线段所扫过的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了作图-旋转变换，扇形的面积，解决本题的关键是掌握旋转的性质． （1）绕点顺时针旋转得到使得点落在x轴正半轴上，可得旋转角，根据旋转的性质即可画出； （2）根据旋转可知，线段所扫过的图形为圆心角为，半径为的扇形，根据扇形面积公式，可得答案． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求． 【小问2详解】 解：∵小正方形的边长均为1， ∴， ∵在（1）的条件下， ∴线段所扫过的部分是一个扇形， ∴. 17. 如图，在ABC中，D为AC边上一点，∠DBC＝∠A，如果BC＝，AC＝3，求CD的长． 【答案】2 【解析】 【分析】根据题意，结合图形中公共角，推出，从而利用相似三角形的对应边成比例列出式子进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， 解得2， 故CD长为2． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟练掌握并运用相似三角形的判定与性质是解决本题的关键． 18. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小明同学购买了“二十四节气”主题邮票，他将（春分）、（小暑）、（立秋）、（寒露）四张纪念邮票（除正面不同外，其余均相同）背面朝上洗匀． A. B. C. D. （1）小明从中随机抽取一张邮票，抽中是（寒露）的概率是_____； （2）小明先从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面朝下放回，重新洗匀后再随机抽取一张邮票．请用树状图或列表的办法求小明两次抽取的邮票中至少有一张是（立秋）的概率． 【答案】（1） （2）两次抽取的邮票中至少有一张是C（立秋）的概率为 【解析】 【分析】本题考查简单事件的概率，掌握好用画树状图或列表法计算概率是解题关键． （1）根据概念计算公式进行求解即可； （2）先将所有可能结果用表格形式列出，根据表格计算概率． 【小问1详解】 解：小明从四张邮票中随机抽取一张，抽中是（寒露）的概率是； 【小问2详解】 解：列表如下： 第二次 第一次 A B C D A B C D 共有16种等可能的结果，其中两次抽取的邮票中至少有一张是C（立秋）的结果有7种， ∴两次抽取的邮票中至少有一张是C（立秋）的概率为． 19. 俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售量为y本，销售单价为x元． （1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围； （2）当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？ （3）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）y=﹣10x+740（44≤x≤52）；（2）当每本足球纪念册销售单价是50元时，商店每天获利2400元；（3）将足球纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大，最大利润是2640元． 【解析】 【分析】（1）售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，则售单价每上涨（x﹣44）元，每天销售量减少10（x﹣44）本，所以y=300﹣10（x﹣44），然后利用销售单价不低于44元，且获利不高于30%确定x的范围； （2）利用每本的利润乘以销售量得到总利润得到（x﹣40）（﹣10x+740）=2400，然后解方程后利用x的范围确定销售单价； （3）利用每本的利润乘以销售量得到总利润得到w=（x﹣40）（﹣10x+740），再把它变形为顶点式，然后利用二次函数的性质得到x=52时w最大，从而计算出x=52时对应的w的值即可． 【详解】（1）y=300﹣10（x﹣44）， 即y=﹣10x+740（44≤x≤52）； （2）根据题意得（x﹣40）（﹣10x+740）=2400， 解得x1=50，x2=64（舍去）， 答：当每本足球纪念册销售单价是50元时，商店每天获利2400元； （3）w=（x﹣40）（﹣10x+740） =﹣10x2+1140x﹣29600 =﹣10（x﹣57）2+2890， 当x＜57时，w随x的增大而增大， 而44≤x≤52， 所以当x=52时，w有最大值，最大值为﹣10（52﹣57）2+2890=2640， 答：将足球纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大，最大利润是2640元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，解决二次函数应用类问题时关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后利用二次函数的性质确定其最大值；在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． 20. 综合与实践 如本题图1，在左边托盘中放置一个固定的重物，在右边托盘中放置一定质量的砝码（可左右移动），可使得仪器左右平衡．改变托盘与点的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表： 托盘与点的距离 10 15 20 25 30 托盘中的砝码质量 30 20 15 12 10 （1）依据实验得出，与的对应点，请您在本题图2中画出函数图像，并求出函数表达式； （2）当砝码质量为时，求托盘与点的距离； （3）当托盘向左移动时，为使得仪器在移动前后均保持左右平衡，托盘中的砝码质量需增加至移动前的两倍，求在移动前托盘中的砝码质量． 【答案】（1） 描点并连线，函数图像如图所示． （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用、描点法画函数图像，正确得出反比例函数解析式是解题的关键． （1）根据表格中的数据，描点，连线即可得函数图像．根据图象可得是关于的反比例函数，利用待定系数法求解即可； （2）当时，，求解即可； （3）设移动前托盘B中的砝码质量为，托盘B与点O的距离，利用反比例函数的性质建立方程，求解即可得出答案． 【小问1详解】 解：描点并连线，函数图像略 由图像可得y与x之间是反比例函数关系， ∴设， ∵当时，， ∴， 解得， ∴y与x的函数关系式为：． 【小问2详解】 解：当时，代入得，， 解得， ∴当砝码质量为时，托盘B与点O的距离是． 【小问3详解】 解：设移动前托盘B中的砝码质量为，托盘B与点O的距离， 由题意得：， 解得． ∴在移动前托盘B中的砝码质量为． 21. 如图，是的直径，点C为上一点，连接，点D在的延长线上，点E在上，过点E作的垂线分别交的延长线于点F，交于点G，且． （1）求证：是的切线； （2）求证：． （3）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接，可知，得，进而可证得，证明，进而可证得结论； （2）根据切线的性质得出，根据已知得出，又，则，证明，进而可证得结论； （3）由（1）得，勾股定理求得，进而证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 证明：连接，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵点C在上， ∴是的切线； 【小问2详解】 证明：由题意知，， ∵， ∴， 又∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴，， ∴， 由（1）得，， ∵，， ∴， ∴， 设， 由（2）可得， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定及性质，相似三角形的性质与判定，等角对等边，勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 22. 设拋物线（为常数）经过点． （1）求二次函数表达式． （2）过点与x轴平行的直线交抛物线于两点，若，求t的值． （3）若点在抛物线上，且始终满足，求的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的综合问题，待定系数法求解析式，二次函数的性质． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）由（1）知，根据点在轴上，过点与轴平行的直线交抛物线于，两点，得到，关于对称轴对称，，的纵坐标均为，根据，得，于是求得或，分别代入，即可求解． （3）把点分别代入得到，，根据，得到，即可求得的取值范围． 【小问1详解】 解：把代入， 得：， 解得：， ∴二次函数表达式为； 【小问2详解】 解：由（1）知：， ∵点在y轴上，过点与轴平行的直线交抛物线于，两点， ，关于对称轴对称，，的纵坐标均为 又， ， 由对称性知， 或， 代入，或代入， 或； 【小问3详解】 解：∵点在抛物线上， ∴， ∵， ∴， ∴． 23. （1）问题 如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：． （2）探究 若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由． （3）应用 如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长． 【答案】（1）证明：如图1， ， ， ， 又 ， ； （2）成立；理由：如图2， ， 又， ， ， ， 又， ， ； （3）5 【解析】 【分析】（1）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题； （2）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题； （3）证明,求出，再证,可求,进而解答即可． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）, , , 是等腰直角三角形 是等腰直角三角形 又 即 解得． 【点睛】本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似，正切值的求法，能够通过构造角将问题转化为一线三角是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $