第5章 二次函数（单元测试·基础卷）数学苏科版九年级下册

2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第5章 二次函数·基础通关 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．下列各式中，y是x的二次函数的是（　　） A． B． C． D． 2．下表给出了二次函数（）的自变量与函数的一些对应值，则下列说法正确的是（   ） … 0 1 2 … … 0 3 4 3 … A．对称轴为直线 B．当时， C．当时，随的增大而增大 D．此函数有最小值4 3．已知二次函数，当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．如图，点A是抛物线与y轴的交点，轴交抛物线另一点于B，点C为该抛物线的顶点．若为等边三角形，则a的值为（ ） A． B． C． D．1 5．如图是一个长、宽的矩形花园，现要将它的长缩短，宽增加，则修改后花园的最大面积为（   ） A． B． C． D． 6．已知二次函数的图象如图所示，则①；②；③；④，其中正确的个数有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7．抛物线的顶点坐标是 ． 8．二次函数的一次项系数是 ． 9．已知是二次函数，则实数 ． 10．将抛物线先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线的表达式为 ． 11．已知，，是抛物线上的点，则、、的大小关系，用“”连接： ． 12．已知二次函数的图象如图所示，则一元二次方程的解是 ． 13．如图，二次函数的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是 ． 14．函数的图象与x轴只有一个公共点，则m的值为 ． 15．某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型拱门，现把这个方案中的抛物线型拱门图形放入平面直角坐标系中（如图所示），拱门的跨度，拱高．其中点在轴上，，，要在拱门中设置矩形框架，当时，矩形框架的周长为 ． 16．珍珍利用计算机软件设计了一个函数动画．如图，抛物线C：经过原点，与x轴正半轴交于点． （1）抛物线C的表达式为 ． （2）珍珍利用软件程序将抛物线C复制后，向下平移5个单位长度得到抛物线，抛物线与x轴正半轴交于点B，则的长是 ． 三、解答题（本大题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．已知二次函数． (1)当时，求函数的值； (2)当函数值为2时，求自变量x的值． 18．已知二次函数图象的顶点坐标为，且经过点． (1)求该二次函数表达式； (2)直接写出y随x的增大而减小时x的取值范围． 19．如图，已知抛物线与交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线顶点D的坐标，及对称轴． (3)根据图像回答：当x为何值时，函数值大于0． 20．已知二次函数． (1)在所给的平面直角坐标系中画出它的图象； (2)若三点，，且，则，，的大小关系为 ． (3)把所画的图象如何平移，可以得到函数 的图象?请写出一种平移方案． 21．已知二次函数与轴有两个交点． (1)求实数的取值范围． (2)若此二次函数有最小值，求的值． 22．某商店销售一批水果，已知成本为10元，销售单价不低于成本价，且不高于成本价的2倍，在销售过程中发现，每天的销售量与销售单价（元）之间满足的一次函数关系如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当这批水果的销售单价为多少元时，该商家获得的利润最大？最大利润为多少？ 23．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)判断的形状，证明你的结论； (3)点是轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标． 24．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求该抛物线的对称轴（用含a的式子表示）； (2)，为该抛物线上的两点，若，且，求a的取值范围． 25．某校数学智慧社团研究“城市广告牌照明优化项目”中的数学问题． 项目背景 在城市繁华的商业街道，有一块大型广告牌，如图①，其顶部为抛物线拱形，拱高为4m，底部是长方形，长方形的长为，宽为． 任务一：建立数学模型 以长方形的边的中点O为原点，以所在的直线为x轴，竖直方向为y轴，建立如图②所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式． 任务二：确定射灯位置 为保证整个广告牌照明效果最优，经测算，需要在广告牌顶部边缘（抛物线拱形边缘）安装4个射灯，其间的水平距离相等，两端射灯距离广告牌左右两侧边缘线的水平距离均为，在图②的平面直角坐标系中，请用坐标表示这4个射灯的位置． 26．如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线．动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式和直线的解析式： (2)当点在线段上运动时，连接，求面积的最大值； (3)当时，抛物线的最大值为3，求的值． 27．已知抛物线：与x轴的交点为，，与y轴的交点为C，且． (1)求点C的坐标以及抛物线的表达式； (2)将抛物线绕坐标平面内的某一点P旋转，得到的新抛物线与y轴的交点为点E，若新抛物线上存在一点F，使得以B，C，E，F为顶点的四边形是以为边的菱形，求点F的坐标； (3)将（2）中点E在y轴正半轴时的新抛物线记为． ①直接写出此时旋转中心P的坐标； ②再将向右平移至与只有一个公共点Q，请直接写出点Q的坐标． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第5章 二次函数·基础通关 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．下列各式中，y是x的二次函数的是（　　） A． B． C． D． 2．下表给出了二次函数（）的自变量与函数的一些对应值，则下列说法正确的是（   ） … 0 1 2 … … 0 3 4 3 … A．对称轴为直线 B．当时， C．当时，随的增大而增大 D．此函数有最小值4 3．已知二次函数，当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．如图，点A是抛物线与y轴的交点，轴交抛物线另一点于B，点C为该抛物线的顶点．若为等边三角形，则a的值为（ ） A． B． C． D．1 5．如图是一个长、宽的矩形花园，现要将它的长缩短，宽增加，则修改后花园的最大面积为（   ） A． B． C． D． 6．已知二次函数的图象如图所示，则①；②；③；④，其中正确的个数有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7．抛物线的顶点坐标是 ． 8．二次函数的一次项系数是 ． 9．已知是二次函数，则实数 ． 10．将抛物线先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线的表达式为 ． 11．已知，，是抛物线上的点，则、、的大小关系，用“”连接： ． 12．已知二次函数的图象如图所示，则一元二次方程的解是 ． 13．如图，二次函数的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是 ． 14．函数的图象与x轴只有一个公共点，则m的值为 ． 15．某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型拱门，现把这个方案中的抛物线型拱门图形放入平面直角坐标系中（如图所示），拱门的跨度，拱高．其中点在轴上，，，要在拱门中设置矩形框架，当时，矩形框架的周长为 ． 16．珍珍利用计算机软件设计了一个函数动画．如图，抛物线C：经过原点，与x轴正半轴交于点． （1）抛物线C的表达式为 ． （2）珍珍利用软件程序将抛物线C复制后，向下平移5个单位长度得到抛物线，抛物线与x轴正半轴交于点B，则的长是 ． 三、解答题（本大题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．已知二次函数． (1)当时，求函数的值； (2)当函数值为2时，求自变量x的值． 18．已知二次函数图象的顶点坐标为，且经过点． (1)求该二次函数表达式； (2)直接写出y随x的增大而减小时x的取值范围． 19．如图，已知抛物线与交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线顶点D的坐标，及对称轴． (3)根据图像回答：当x为何值时，函数值大于0． 20．已知二次函数． (1)在所给的平面直角坐标系中画出它的图象； (2)若三点，，且，则，，的大小关系为 ． (3)把所画的图象如何平移，可以得到函数 的图象?请写出一种平移方案． 21．已知二次函数与轴有两个交点． (1)求实数的取值范围． (2)若此二次函数有最小值，求的值． 22．某商店销售一批水果，已知成本为10元，销售单价不低于成本价，且不高于成本价的2倍，在销售过程中发现，每天的销售量与销售单价（元）之间满足的一次函数关系如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当这批水果的销售单价为多少元时，该商家获得的利润最大？最大利润为多少？ 23．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)判断的形状，证明你的结论； (3)点是轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标． 24．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求该抛物线的对称轴（用含a的式子表示）； (2)，为该抛物线上的两点，若，且，求a的取值范围． 25．某校数学智慧社团研究“城市广告牌照明优化项目”中的数学问题． 项目背景 在城市繁华的商业街道，有一块大型广告牌，如图①，其顶部为抛物线拱形，拱高为4m，底部是长方形，长方形的长为，宽为． 任务一：建立数学模型 以长方形的边的中点O为原点，以所在的直线为x轴，竖直方向为y轴，建立如图②所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式． 任务二：确定射灯位置 为保证整个广告牌照明效果最优，经测算，需要在广告牌顶部边缘（抛物线拱形边缘）安装4个射灯，其间的水平距离相等，两端射灯距离广告牌左右两侧边缘线的水平距离均为，在图②的平面直角坐标系中，请用坐标表示这4个射灯的位置． 26．如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线．动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式和直线的解析式： (2)当点在线段上运动时，连接，求面积的最大值； (3)当时，抛物线的最大值为3，求的值． 27．已知抛物线：与x轴的交点为，，与y轴的交点为C，且． (1)求点C的坐标以及抛物线的表达式； (2)将抛物线绕坐标平面内的某一点P旋转，得到的新抛物线与y轴的交点为点E，若新抛物线上存在一点F，使得以B，C，E，F为顶点的四边形是以为边的菱形，求点F的坐标； (3)将（2）中点E在y轴正半轴时的新抛物线记为． ①直接写出此时旋转中心P的坐标； ②再将向右平移至与只有一个公共点Q，请直接写出点Q的坐标． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第5章 二次函数·基础通关 建议用时：110分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．下列各式中，y是x的二次函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数定义，解题关键是掌握二次函数的形式：一般地，形如（a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数． 根据二次函数的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、是一次函数，不符合题意； B、是一次函数，不符合题意； C、是二次函数，符合题意； D、是一次函数，不符合题意； 故选：C． 2．下表给出了二次函数（）的自变量与函数的一些对应值，则下列说法正确的是（   ） … 0 1 2 … … 0 3 4 3 … A．对称轴为直线 B．当时， C．当时，随的增大而增大 D．此函数有最小值4 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据题意可得函数的对称轴为：直线，从而得到抛物线开口向下，当时，y随x的增大而增大，函数有最大值4，即可求解． 【详解】解：由表格数据可得：当和2时，对应y的值相等， ∴函数的对称轴为：直线，故A错误； ∵，当时，， ∴当时，，故B错误； ∵数据从到1对应的y值不断增大， ∴抛物线开口向下，当时，y随x的增大而增大， ∴当时，随的增大而增大，故C正确； ∴函数有最大值4，故D错误． 故选：C． 3．已知二次函数，当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是二次函数的性质，先根据二次函数的解析式判断出函数的开口方向，再由当时，函数值y随x的增大而减小可知二次函数的对称轴解答即可． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线，开口向上， ∵时，随的增大而减小， ∴， 故选：A． 4．如图，点A是抛物线与y轴的交点，轴交抛物线另一点于B，点C为该抛物线的顶点．若为等边三角形，则a的值为（ ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，等边三角形的性质．过点C作于点D，根据等边三角形的性质得出，，，，将点代入抛物线解析式，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作于点D， ∵抛物线的对称轴为，为等边三角形，且轴， ∴，，． ∵当时，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 5．如图是一个长、宽的矩形花园，现要将它的长缩短，宽增加，则修改后花园的最大面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是根据题意列出修改后的花园面积与x之间的关系式． 先根据长方形的面积公式列出函数关系式，再根据二次函数的性质即可求得结果． 【详解】解：由题意得修改后的花园面积 ， ∵， ∴当时，修改后的花园面积达到最大，为． 故选：D． 6．已知二次函数的图象如图所示，则①；②；③；④，其中正确的个数有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据抛物线的对称轴的位置判断的符号，再根据抛物线与轴的交点，判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：∵抛物线对称轴是轴的右侧，开口向上， ∴，， ∵与轴交于负半轴， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴， ∴，故②正确； ∵抛物线与轴有两个交点， ∴，故③正确； 当时，， 即，故④正确； 综上可得：正确的结论为：①②③④，有4个． 故选：D 【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解本题的关键是要明确：对于二次函数来说，①二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；②一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时（即），对称轴在轴的左边； 当与异号时（即），对称轴在轴的右边．（简称：左同右异）③常数项决定抛物线与轴交点，抛物线与轴交于．④抛物线与轴交点个数：时，抛物线与轴有2个交点；时，抛物线与轴有1个交点；时，抛物线与轴无交点． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7．抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的一般式与顶点式之间的转换是解题的关键，利用配方法将二次函数的一般式转换成顶点式，根据顶点式的特点即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标是． 故答案为：． 8．二次函数的一次项系数是 ． 【答案】9 【分析】本题考查二次函数的一般形式、多项式的乘法运算法则，先进行多项式的乘法运算，再合并同类项化成一般形式即可． 【详解】解：， ， ∴一次项系数是9， 故答案为：9． 9．已知是二次函数，则实数 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键． 根据二次函数的定义可得且，即可求解． 【详解】解：∵是二次函数， ∴且， 解得， 故答案为：． 10．将抛物线先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了函数图象的平移，根据图象的平移规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式即可． 【详解】解：将抛物线先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的新抛物线的解析式为． 故答案为：． 11．已知，，是抛物线上的点，则、、的大小关系，用“”连接： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．求出抛物线的对称轴为直线，然后根据二次函数的增减性解答即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，y随x的增大而增大，当时，函数有最大值， ∵关于对称点为，， ∴． 故答案为：． 12．已知二次函数的图象如图所示，则一元二次方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．先根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为，然后根据抛物线与x轴的交点问题可得到方程的解． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点坐标为， 抛物线与x轴的一个交点坐标与对称轴距离为：． 则据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标：． ∴抛物线与x轴的一个交点坐标为． 即或2时，． ∴一元二次方程的解为，． 故答案为：，． 13．如图，二次函数的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．依据题意，由二次函数的顶点坐标知对称轴是直线，又图象与x轴的一个交点的横坐标是，从而根据对称性可得，二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标． 【详解】解：由题意，二次函数的顶点坐标为， 对称轴是直线． 又图象与x轴的一个交点的横坐标是， 二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标为：． 故答案为：1． 14．函数的图象与x轴只有一个公共点，则m的值为 ． 【答案】2或 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，利用根的判别式的意义得到，然后解方程即可． 【详解】解：∵函数的图象与x轴只有一个公共点， ∴， 解得或． 故答案为：2或． 15．某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型拱门，现把这个方案中的抛物线型拱门图形放入平面直角坐标系中（如图所示），拱门的跨度，拱高．其中点在轴上，，，要在拱门中设置矩形框架，当时，矩形框架的周长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的抛物线解析式．根据题意可知：点的坐标为，点为该抛物线的顶点坐标，点在该抛物线上，从而可以求出该抛物线的解析式，在矩形框架，，，可得，，即可求得矩形框架的周长． 【详解】解：由题意可得，点的坐标为，点为该抛物线的顶点坐标， ∴可设该抛物线的解析式为， ∵点在该抛物线上， ∴， 解得， ∴该抛物线的解析式为， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴点，点的纵坐标都为，且都在抛物线上， ∴， 解得，， 即，， ∴， ∴矩形框架的周长为 故答案为：． 16．珍珍利用计算机软件设计了一个函数动画．如图，抛物线C：经过原点，与x轴正半轴交于点． （1）抛物线C的表达式为 ． （2）珍珍利用软件程序将抛物线C复制后，向下平移5个单位长度得到抛物线，抛物线与x轴正半轴交于点B，则的长是 ． 【答案】 1 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的表达式即可； （2）先根据函数图象平移规则“上加下减”求得抛物线的表达式，再令求得点B的坐标，进而可求解． 【详解】解：（1）将点代入抛物线 C：， 得， 解得， ∴抛物线C的表达式为； 故答案为：； （2）将抛物线C向下平移5个单位长度得抛物线的解析式为， 令，则， 解得，， ∴点， ∴． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象的平移、二次函数图象与x轴的交点问题，正确求出抛物线的表达式是解答的关键． 三、解答题（本大题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．已知二次函数． (1)当时，求函数的值； (2)当函数值为2时，求自变量x的值． 【答案】(1)2 (2)或 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数上点的坐标特征，解题的关键是代入后正确的计算， （1）将给定的自变量值代入函数表达式，通过计算即可得到对应的函数值； （2）把给定的函数值代入函数表达式，得到一个关于自变量的一元二次方程，然后通过因式分解等方法求解方程的根，即自变量的值即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴当时，函数的值为2； （2）解：当时，即， 解得，或， ∴当函数值为2时，自变量x的值为或． 18．已知二次函数图象的顶点坐标为，且经过点． (1)求该二次函数表达式； (2)直接写出y随x的增大而减小时x的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】主要考查的是二次函数的性质，求二次函数解析式． （1）把代入中求出a即可得到抛物线解析式； （2）根据抛物线的对称轴即可得到结论； 【详解】（1）解：∵二次函数图象的顶点坐标为， ∴设二次函数表达式为， 把代入， 得， 解得， 所以二次函数表达式为； （2）∵，抛物线的开口向下， 抛物线的对称轴为， ∴当y随x的增大而减小时x的取值范围． 19．如图，已知抛物线与交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线顶点D的坐标，及对称轴． (3)根据图像回答：当x为何值时，函数值大于0． 【答案】(1) (2)，对称轴为直线 (3) 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式，将二次函数解析式化为顶点式． （1）根据抛物线与轴交于，两点，设抛物线的解析式为，把代入，求出a的值即可； （2）将（1）的得到的函数解析式化为顶点式，即可解答． （3）结合图象即可得到当时，函数值大于0． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， 设抛物线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，． （3）∵抛物线与轴交于，两点， ∴当时，函数值大于0． 20．已知二次函数． (1)在所给的平面直角坐标系中画出它的图象； (2)若三点，，且，则，，的大小关系为 ． (3)把所画的图象如何平移，可以得到函数 的图象?请写出一种平移方案． 【答案】(1)见解析 (2) (3)先向左平移2个单位，再向上平移1个单位可以得到函数的图象 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，画二次函数图象，二次函数的平移特点，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）根据列表、描点、连线，画出函数图象即可； （2）根据二次函数的增减性，求出结果即可； （3）根据平移的特点，得出答案即可． 【详解】（1）解：列表： x 0 1 2 3 4 3 0 0 3 描点，连线，如图所示： （2）解：∵二次函数， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴在对称轴的右侧y随x的增大而增大， ∵， ∴； （3）解：∵， ∴先向左平移2个单位，再向上平移1个单位可以得到函数的图象． 21．已知二次函数与轴有两个交点． (1)求实数的取值范围． (2)若此二次函数有最小值，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二次函数与一元二次方程的关系，二次函数与轴有两个交点，则对应的二次方程有两个解； （2）掌握二次函数最值求解方法，二次函数，当时，二次函数开口向上有最小值，最小值为；当时，二次函数开口向下，有最大值，最大值为． 【详解】（1）解：二次函数与轴有两个交点， 对应的一元二次方程， ，即， 解得． （2）由题意可知，， ，，， ，函数开口向上，有最小值， 最小值利用公式可求得， ， ， 解得：． 【点睛】求解本题重点是掌握两点一元二次函数与一元二次方程得关系；一元二次函数的最值求解公式，即顶点的纵坐标． 22．某商店销售一批水果，已知成本为10元，销售单价不低于成本价，且不高于成本价的2倍，在销售过程中发现，每天的销售量与销售单价（元）之间满足的一次函数关系如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当这批水果的销售单价为多少元时，该商家获得的利润最大？最大利润为多少？ 【答案】(1) (2)当这批水果的销售单价为20元时，该商家获得的利润最大，最大利润为360元 【分析】本题考查了利用待定系数法求一次函数解析式，以及二次函数的应用，正确利用总利润 销量每件的利润得出函数关系式是解题关键． （1）设y与x之间的函数关系式为，利用待定系数法求解即可； （2）设利润为z，列出z与x之间的关系式，利用二次函数增减性，结合x的范围即可求出z的最值． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， ∵图象过，， ∴， 解得． 与x之间的函数关系式为． （2）解：设利润为z，由题意得， ． ， 故当时，z随x的增大而增大， 由题意得， ∴当时，z有最大值， 此时， 故销售单价定为20元时，该商家获得的利润最大，最大利润为360元． 23．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)判断的形状，证明你的结论； (3)点是轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标． 【答案】(1)，顶点的坐标为 (2)是直角三角形，理由见解析 (3) 【分析】（1）把点的坐标代入抛物线解析式，列出关于系数的方程，通过解方程求得的值；利用配方法把抛物线解析式转化为顶点式方程，根据该解析式直接写出顶点的坐标； （2）利用点、、的坐标来求线段、、的长度，得到，则由勾股定理的逆定理推知是直角三角形； （3）作出点关于轴的对称点，则，连接，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，当的值最小，即当三点共线时，的周长最小．利用待定系数法求得直线的解析式，然后把代入直线方程，求得． 本题综合考查了待定系数法求二次函数、一次函数解析式，抛物线的性质，勾股定理的逆定理以及轴对称--最短路线等重要知识点，综合性强，能力要求极高．考查学生数形结合的数学思想方法． 【详解】（1）解：∵点在抛物线上， ， ∴， 抛物线的解析式为， 顶点的坐标为； （2）解：是直角三角形，证明如下： 在中，当时，， ， ∴； 在中，当时，， 解得，， ∴， ，， ∵，，， ， 是直角三角形； （3）解：如图所示，作点关于轴的对称点，连接，则， 由轴对称的性质可得， ∴的周长， ∵点C和点D都是定点， ∴的长为定值， ∴当有最小值时，的周长有最小值， ∵两点之间线段最短， ∴当三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 在中，当时，，解得， ∴． 24．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求该抛物线的对称轴（用含a的式子表示）； (2)，为该抛物线上的两点，若，且，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的性质，正确理解相关知识点是解题关键． （1）根据配方法化为顶点式，即可求解； （2）分和，分别讨论，根据列出不等式，进而即可求解． 【详解】（1）解：将抛物线化为顶点式可得：， ∴对称轴为直线； （2）解：∵对称轴为直线， 当时，抛物线开口向上，对称轴在y轴的右侧， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时，抛物线开口向下，对称轴在y轴的左侧，在对称轴的右侧y随x的增大而减小， ∵，， ∴，即， ∵， ∴不成立， 此情况不存在； 综上所述，． 25．某校数学智慧社团研究“城市广告牌照明优化项目”中的数学问题． 项目背景 在城市繁华的商业街道，有一块大型广告牌，如图①，其顶部为抛物线拱形，拱高为4m，底部是长方形，长方形的长为，宽为． 任务一：建立数学模型 以长方形的边的中点O为原点，以所在的直线为x轴，竖直方向为y轴，建立如图②所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式． 任务二：确定射灯位置 为保证整个广告牌照明效果最优，经测算，需要在广告牌顶部边缘（抛物线拱形边缘）安装4个射灯，其间的水平距离相等，两端射灯距离广告牌左右两侧边缘线的水平距离均为，在图②的平面直角坐标系中，请用坐标表示这4个射灯的位置． 【答案】任务一：；任务二： 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，将实际的广告牌照明问题转化为数学模型，运用了二次函数的顶点式，通过已知顶点设出表达式，求出二次函数的顶点式是解决本题的关键． 任务一：利用待定系数法解答即可求解； 任务二：分别求出当和时的函数值，即可求解． 【详解】解：任务一：设抛物线解析式为 ∵抛物线经过和， ，解得：， ∴抛物线的解析式为； 任务二：， 当和时，， 当和时，， 即四个射灯的位置坐标分别为． 26．如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线．动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式和直线的解析式： (2)当点在线段上运动时，连接，求面积的最大值； (3)当时，抛物线的最大值为3，求的值． 【答案】(1)， (2)的面积最大值为 (3)的值为或 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质、求直线解析式及分类讨论思想等知识点，熟练掌握其性质并能灵活运用是解决此题的关键． （1）利用待定系数法，将已知点代入抛物线和直线的解析式中求解系数即可； （2）先用表示出，然后用含m的式子表示出 的面积，再通过二次函数的性质即可求出最大值； （3）先将抛物线解析式化为顶点式，然后分情况讨论对称轴与给定区间的位置关系，从而确定最大值的情况，进而求出的值． 【详解】（1）解：抛物线过、两点， ，解得， 抛物线解析式为， 令可得，，解得：， 点在点右侧， 点坐标为， 设直线解析式为， ，解得， 直线解析式为； （2）解：轴，点的横坐标为， ， 在线段上运动， 点在点上方， ， 当时，的面积有最大值，最大值为； （3）解：抛物线，其对称轴为， 当，即时，在上，随的增大而增大， ∴当时，有最大值3， ∴，解得， ， ； 当，即时，在上，随的增大而减小， ∴当时，有最大值3， ∴，解得或， ； 当，即时，当时，有最大值，这种情况不存在； 综上的值为或． 27．已知抛物线：与x轴的交点为，，与y轴的交点为C，且． (1)求点C的坐标以及抛物线的表达式； (2)将抛物线绕坐标平面内的某一点P旋转，得到的新抛物线与y轴的交点为点E，若新抛物线上存在一点F，使得以B，C，E，F为顶点的四边形是以为边的菱形，求点F的坐标； (3)将（2）中点E在y轴正半轴时的新抛物线记为． ①直接写出此时旋转中心P的坐标； ②再将向右平移至与只有一个公共点Q，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1),抛物线的表达式为； (2)，， (3)①；② 【分析】（1）由勾股定理可得，可得，设，将代入，即可求得抛物线的表达式为； （2）设，，根据菱形性质即可求得∶ ，，，再运用菱形性质即可求得答案； （3）①当点在轴正半轴时，，设新抛物线的表达式为，将，代入，即可求得新抛物线的顶点坐标为，运用旋转的性质即可求得旋转中心的坐标； ②设抛物线向右平移个单位得抛物线：，根据抛物线与只有一个公共点，可得方程的根的判别式为0，即可求得答案． 【详解】（1）解：，， ，， ， ， ， ， ， ∵抛物线与轴的交点为，， ∴设，将代入得：， 解得：， ， ∴点的坐标为，抛物线的表达式为； （2）解：设，，如图1， ∵以，，，为顶点的四边形是以为边的菱形， 或， ∵点在轴上， ，，， ，，或，， ，，； （3）解：①当点在轴正半轴时，， ∵原抛物线的表达式为，顶点坐标为， 设新抛物线的表达式为，将，代入，得： ， 解得：， ∴新抛物线的表达式为， ∴顶点坐标为， 设旋转中心为， ∵点为的中点， ， ， ∴旋转中心的坐标为； ②设抛物线向右平移d个单位得抛物线：， ∵抛物线与只有一个公共点Q， ∴关于的一元二次方程有两个相等的实数根， 整理得：， ， ， 解得：（舍去），， ∴抛物线的解析式为， 由， 解得：， ， ． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数图象和性质，平移变换的性质，旋转变换的性质，菱形的性质，一元二次方程根的判别式应用等知识，综合性强，难度较大，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，从而求出点的坐标． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www .zxxk .com 上好每一堂课 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第5章二次函数·基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项 是符合题目要求的) 题号 1 3 5 6 答案 C A A D D 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分) 7.(1,2 8.9 9.-3 10.y=3x-4)2-1 11.y3<y<y2 12.x1=-8,x2=2 13.1 14.2或-2 15.18m 16. y=x2-4x 1 三、解答题（本大题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小 题9分，共88分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. 【详解】(1)解：当x=-2时，y=(-2)+5×-2)+8=4-10+8=2, .当x=-2时，函数的值为2；3分 (2)解：当y=2时，即x2+5x+8=2, 解得x=-2,或x=-3, .当函数值为2时，自变量x的值为-2或-3.…7分 18. 1/11 可学科网·上好课 www .zxxk .com 上好每一堂课 【详解】(1)解：：二次函数图象的顶点坐标为1,4)， .设二次函数表达式为y=ax-1)+4, 把(4，-5)代入y=a(x-1)2+4, 得a4-1)2+4=-5, 解得a=-1, 所以二次函数表达式为y=-(x-1)2+4;4分 (2):a=-1<0,抛物线的开口向下， 抛物线的对称轴为x=1, .当y随x的增大而减小时x的取值范围x>1.7分 19. 【详解】(1)解：：抛物线与x轴交于A-1,0),E(3,0)两点， 设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3, 把B(0,3代入得：3=a(0+1(0-3), 解得：a=-1, .抛物线的解析式为y=-x+1(x-3)=-x2+2x+3;…4分 (2)解：：y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4, ∴.抛物线的对称轴为直线x=1,D(1,4. (3):抛物线与x轴交于A(-1,0),E(3,0)两点， .当-1<x<3时，函数值大于0.8分 20. 【详解】(1)解：列表： X … 0 2 3 y=x2-4x+3 0 -1 0 描点，连线，如图所示： 2/11 可学科网·上好课 www .zxxk .com 上好每一堂课 YA 5 31 4分 -3-2-10 345x -2 (2)解：：二次函数y=x2-4x+3=(x-2)2-1, ∴抛物线的对称轴为直线x=2, 1>0, ∴.在对称轴的右侧y随x的增大而增大， 2<x1<x2<x3, .<y2<y3;6分 (3)解：y=x2-4x+3=x-22-1, ∴先向左平移2个单位，再向上平移1个单位可以得到函数y=x的图象.8分 21. 【详解】(1)解：：二次函数与x轴有两个交点， :对应的一元二次方程x2+2x+2k-4=0, △>0，即22-4(2k-4)>0, 解得k< 八2·…4分 (2):由题意可知，y=x2+2x+2k-4, a=1,b=2,c=2k-4, a>0,函数开口向上，有最小值， 最小值利用公式可求得， y他-4ac6_42-9-4_84:20-2k-5, 4a 4 4 2k-5=-3, 解得：k=1.8分 22. 3/11 可学科网·上好课 www .zxxk .com 上好每一堂课 【详解】(1)解：设y与x之间的函数关系式为y=c+b, :图象过(12,52)，(18,40)， [12k+b=52 18k+b=40' 「k=-2 解得b=76 y与x之间的函数关系式为y=-2x+76.3分 (2)解：设利润为z,由题意得， z=x-10)-2x+76 =-2x2+96x-760 =-2(x-24)2+392. 片-2<0， 故当x≤24时，z随x的增大而增大， 由题意得10≤x≤20， 当x=20时，z有最大值， 此时z=-2(20-24)2+392=360, 故销售单价定为20元时，该商家获得的利润最大，最大利润为360元.8分 23 【详解】(1)解：：点A-1,0)在抛物线y=三x2+bx-2上， :2x-12+bx-1-2=0, 2 b-3 2 2 2 21 325) 顶点D的坐标为282分 (2)解：ABC是直角三角形，证明如下： 123 在y=2-2-2中，当x=0时，y=2, 4/11 可学科网·上好课 www .zxxk .com 上好每一堂课 C(0,-2), .0C=2; 在y-2中，当0时， 2 x-2=0, 解得x=-1,x2=4, .B(4,0), AB=4--1=5,0B=4, AB2=25,AC2=OA2+OC2=12+22=5,BC2=0C2+0B2=22+42=20, .AC2+BC2 AB2, △ABC是直角三角形；5分 (3)解：如图所示，作点C关于x轴的对称点C,连接C'M,则C'(0,2), A c B D 由轴对称的性质可得C'M=CM, .△DCM的周长=CM+CD+DM=CM+DM+CD, :点C和点D都是定点， .CD的长为定值， .当CM+DM有最小值时，△DCM的周长有最小值， ·两点之间线段最短， .当D、M、C'三点共线时，C'M+DM有最小值，即此时△DCM的周长有最小值， k+6=-25 设直线CD的解析式为y=kx+b'(k≠0)，则2 8, b=2 解得 12, b'=2 5/11 可学科网·上好课 www .zxxk .com 上好每一堂课 41 .直线C'D的解析式为y= 12+2, 在y= 41 41 12 +2中，当=0时，2+2=0，解得x4 41’ ∴.M 24 8分 24. 【详解】(1)解：将抛物线y=ax2-2a2x-3(a≠0)化为顶点式可得：y=a(x-a)-3-a3, .对称轴为直线x=a;2分 (2)解：：对称轴为直线x=a, 当a>0时，抛物线开口向上，对称轴在y轴的右侧， x1=-2a,x2=a+1, .x1<a<x2, :>y2>-3, :+3<a, 2 即-2a+a+1<a, 2 1 a>3' y2>-3, aa+12-2a2(a+1-3>-3,即aa+11-a>0, a>0, ∴.1-a>0, ∴.a<1, 1, 当a<0时，抛物线开口向下，对称轴在y轴的左侧，在对称轴的右侧y随x的增大而减小， y1>2>-3,x1=-2a,x2=a+1, a(-2a)}2-2a2(-2a-3>-3n8a3>0 aa+1r-2oa+l-3>-3即aa+101-o1>0 a<0, 6/11 可学科网·上好课 www .zxxk .com 上好每一堂课 .8a3>0不成立， 此情况不存在； 综上所述，青a<1.…8分 25. 【详解】解：任务一：设抛物线解析式为y=kx2+b :抛物线经过F(0,10)和C(4,6), 「b=10 16k+b=6'解得： b=10 抛物线的解析式为y=-一x2+10;4分 4 任务二：8-1-1=6,6÷3=2， :当x=1和-1时，y=4 9 31 当x=3和-3时，y= 4, 即四个射灯的位置坐标分别为-31）.3.到)8分 26. 【详解】(1)解：抛物线过A、C两点， [-1-b+c= b=2 c=3 0,解得 c=3' :抛物线解析式为y=-x2+2x+3, 令y=0可得，-x2+2x+3=0,解得：x1=-1、x2=3, B点在A点右侧， .B点坐标为3,0， 设直线BC解析式为y=kx+s, 3k+S= k=-1 s=3 0,解 5=3’ .直线BC解析式为y=-x+3;3分 (2)解：：PM⊥x轴，点P的横坐标为m, 7/11 可学科网·上好课 www .zxxk .com 上好每一堂课 .Mm,-m2+2m+3、N(m,-m+3), P在线段OB上运动， M点在N点上方， a0w=-m2+2m+3-m+3-m+3m=m-+ :.S.Mmc -xMNxOB=3MN=-3m-3+27 2 -m- 2 2 8 当时，△M8C的面积有受大值，最大值为名：6分 3 (3)解：抛物线y=-x2+2x+3=-(x-1)+4,其对称轴为x=1, ①当m+1<1,即m<0时，在m-1≤x≤m+1上，y随x的增大而增大， 当x=m+1时，y有最大值3， .-(m+1+2(m+1)+3=3,解得m=士1， :m<0, m=-1; ②当m-1≥1，即m≥2时，在m-1≤x≤m+1上，y随x的增大而减小， .当x=m-1时，y有最大值3， .-(m-1)2+2(m-1+3=3,解得m=1或m=3, .m=3; ③当m-1<1<m+1,即0<m<2时，当x=1时，y有最大值4≠3，这种情况不存在； 综上m的值为3或-1.9分 27. 【详解】(1)解：A-1,0),B(4,0), 0B=4,AB=5, AB BC BC=5, .∠B0C=90°， 0C=√BC2-0B2=V52-42=3, 8/11 可学科网·上好课 www .zxxk .com 上好每一堂课 C(0,3, :抛物线G与x轴的交点为A(-1,0),B(4,0), ∴设y=ax+1(x-4),将C(0,3)代入得：-4a=3, 舒得：a=子 3 9 ∴y=- x+3, 4 点C的坐标为0,3，抛物线G的表达式为=-三x2+9 x+3;2分 4 (2)解：设E(0,,F(m,n,如图1， ! E、 F3 F 图1 :以B,C,E,F为顶点的四边形是以BC为边的菱形， .CE=BC=5或BE=BC=5, :点E在y轴上， E(0,8),E20,-2,E30,-3, BF CE,BF=CE=5,或CF∥BE,CF=BE=5, ∴.F（4,5,F2（4,-5),F3（-4,0)；5分 (3)解：①当点E在y轴正半轴时，E(0,8), :原能物线G的表达式为子+？+3=-x-+,顶点坐标为A(37得) 375 44 -4x-2+16 9/11 可学科网·上好课 www .zxxk .com 上好每一堂课 3 设新抛物线C,的表达式为y=二(x-h+k,将E(0,8),F(4,5)代入，得： 8=30-2+k 4 5 3(4-A2+k 5 h=- 解得： 53’ k= 16 “新抛物线C,的表达式为y= 3.5)2 3 4x-2+16 :顶点坐标为D2'16 553 设旋转中心为P(m,n, :点P为D,D2的中点， 35 21m= 22 7553 2n= 1616 m=2 (n=4 .旋转中心P的坐标为2,4)；7分 D B 图2 12 ②设抛物线C,向右平移d个单位得抛物线C:y= 10/11