第10章 复数 章末综合检测(二)(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第四册（人教B版）

章末综合检测(二) (时间：120分钟，满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.的虚部为(　　) A．－i　　　B．i C． D．－ 解析：选C.＝＝＝＝－1＋i，故其虚部为. 2．已知复数(1＋xi)i＝2－yi，x，y∈R，则x－y＝(　　) A．3 B．1 C．－1 D．－3 解析：选C.因为(1＋xi)i＝2－yi，所以－x＋i＝2－yi，所以所以x－y＝－1. 3．复数z＝1－i(i为虚数单位)，则在复平面内对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选A. ＝1＋i，它在复平面内对应的点为(1，1)，该点在第一象限．故选A. 4．已知a为正实数，i为虚数单位，||＝2，则a＝(　　) A．2 B． C． D．1 解析：选B.因为＝＝1－ai，则||＝|1－ai|＝＝2，所以a2＝3.又a为正实数，所以a＝. 5．已知点A(2，－1)，B(1，2)，O(0，0)，复数z1，z2在复平面内对应的向量分别是，，O为坐标原点，则复数z1z2＝(　　) A．3i B．3＋4i C．4＋3i D．4－3i 解析：选C.由题意可知，z1＝2－i，z2＝1＋2i，所以z1z2＝(2－i)(1＋2i)＝2＋4i－i＋2＝4＋3i. 6．在复平面内，O为坐标原点，复数z1＝i(－4＋3i)，z2＝7＋i对应的点分别为Z1，Z2，则∠Z1OZ2的大小为(　　) A． B． C． D． 解析：选C.因为z1＝i(－4＋3i)＝－3－4i，z2＝7＋i，所以＝(－3，－4)，＝(7，1)，所以·＝－21－4＝－25，所以cos ∠Z1OZ2＝＝－＝－.又∠Z1OZ2∈[0，π]，所以∠Z1OZ2＝. 7．已知i是虚数单位，1＋i是关于x的方程x2－2x－m＝0(m∈R)的一个根，则m＝(　　) A．4 B．－4 C．2 D．－2 解析：选D.因为1＋i是方程x2－2x－m＝0(m∈R)的一个根，所以1－i是方程的另一个根，所以－m＝(1＋i)(1－i)＝2，解得m＝－2.故选D. 8．已知复平面内复数z1对应向量＝(1，－)，复数z2满足|z2|＝2，z1是z1的共轭复数，则下列选项中错误的是(　　) A．|z1|＝|| B．＝(1)2 C．＝4 D．|z1z2|＝4 解析：选C.依题意知，z1＝1－i，则|z1|＝|OZ1|＝2，故A正确； 又1＝1＋i，(1)2＝－2＋2i，z＝－2－2i，＝－2＋2i，即＝(1)2，故B正确； 设z2＝a＋bi(a，b∈R)，由|z2|＝2得，a2＋b2＝4，则＝＝＝， ＝ ＝ ＝ ＝＝＝1，故C错误； z1z2＝(1－i)(a＋bi) ＝(a＋b)＋(b－a)i， |z1z2|＝|(a＋b)＋(b－a)i| ＝ ＝ ＝＝＝4， 故D正确．故选C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数z1＝2－i，z2＝1＋ai(a∈R)，若z1z2是纯虚数，则(　　) A．a＝2 B．|z1|＝|z2| C．z的实部是－3 D．z1＋z2的实部与虚部互为相反数 解析：选BCD.z1z2＝(2－i)(1＋ai)＝(2＋a)＋(2a－1)i，因为z1z2是纯虚数， 所以解得a＝－2，故A错误； z1＝2－i，z2＝1－2i，|z1|＝|z2|＝，故B正确； z＝(1－2i)2＝－3－4i，故z的实部是－3，故C正确； z1＋z2＝2－i＋1－2i＝3－3i，故z1＋z2的实部与虚部互为相反数，故D正确．故选BCD. 10．已知复数z1，z2是关于x的方程x2＋bx＋1＝0(－2<b<2，b∈R)的两根，则下列说法中正确的是(　　) A．1＝z2 B．∈R C．|z1|＝|z2|＝1 D.若b＝1，则z＝z＝1 解析：选ACD.由题易知b2－4<0，所以方程的根为x＝，不妨设z1＝－＋i，z2＝－－i，易知1＝z2，A正确； |z1|＝|z2|＝＝1，C正确； 因为z1z2＝1，所以＝＝z＝－i，当b≠0时，∉R，B错误； 当b＝1时，z1＝－＋i，z2＝－－i，计算得z＝－－i＝z2，所以z＝z1z2＝1，同理得z＝1，D正确．故选ACD. 11．设z1，z2为复数，则下列命题正确的是(　　) A．若|z1－z2|＝0，则z1＝z2 B．若|z1|＝|z2|，则z＝z C．若z1＋z2>0，则z2＝1 D．若z1z2＝0，则z1＝0或z2＝0 解析：选AD.对于A，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，则|z1－z2|＝＝0， 所以即所以z1＝z2，A正确； 对于B，令z1＝1，z2＝i，则|z1|＝|z2|＝1， 此时z≠z，B错误； 对于C，令z1＝1＋i，z2＝－i，则z1＋z2＝1>0，此时z2≠z1，C错误； 对于D，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，则z1z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i＝0， 所以即则a2cd＝－b2cd， 若c＝d＝0，则a2cd＝－b2cd成立，此时z2＝0； 若c＝0，d≠0，由ac＝bd知b＝0，由ad＝－bc 知a＝0，此时z1＝0； 同理可知，当c≠0，d＝0时，z1＝0； 若c≠0，d≠0，由a2cd＝－b2cd得a2＝－b2，所以a＝b＝0，此时z1＝0. 综上，若z1z2＝0，则z1＝0或z2＝0，D正确．故选AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若z1＝1－i，z2＝3－5i，在复平面内，z1，z2对应的点分别为Z1，Z2，则Z1，Z2间的距离为__________． 解析：由z1＝1－i，z2＝3－5i知Z1(1，－1)，Z2(3，－5)，由两点间的距离公式得Z1Z2＝＝2. 答案：2 13．已知i为虚数单位，若复数z＝<1，则实数a的值为________． 解析：z＝＝＝ ＝， 由z<1，所以复数z为实数，则a＋2＝0，a＝－2，此时z＝，满足z<1. 答案：－2 14．已知复数ω满足ω－4＝(3－2ω)i(i为虚数单位)，z＝＋|ω－2|.写出一个以z为根的实系数一元二次方程为______________． 解析：由题知ω(1＋2i)＝4＋3i，即ω＝＝2－i，故z＝＋|－i|＝3＋i.若实系数一元二次方程有虚根z＝3＋i，则必有共轭虚根＝3－i，因为z＋＝6，z＝10，所以所求的一个一元二次方程可以是x2－6x＋10＝0. 答案：x2－6x＋10＝0(答案不唯一) 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分13分)已知复数z1＝－2＋i，z1z2＝－5＋5i(i为虚数单位). (1)求复数z2； (2)若复数z3＝(3－z2)[(m2－2m－3)＋(m－1)i]在复平面内所对应的点在第四象限，求实数m的取值范围． 解：(1)因为z1z2＝－5＋5i， 所以z2＝＝＝3－i. (2)z3＝(3－z2)[(m2－2m－3)＋(m－1)i] ＝i[(m2－2m－3)＋(m－1)i] ＝－(m－1)＋(m2－2m－3)i， 因为z3在复平面内所对应的点在第四象限， 所以解得－1<m<1， 故实数m的取值范围是(－1，1). 16．(本小题满分15分)已知复数z的实部为正数，|z|＝，z2的虚部为2. (1)求复数z； (2)若－z2在复平面内对应的向量为，求向量的模． 解：(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则由|z|＝， 可得a2＋b2＝2.① 因为z2＝a2－b2＋2abi，所以2ab＝2.② 联立①②，解得a＝b＝1或a＝b＝－1. 又复数z的实部为正数，所以a>0， 所以a＝b＝1，于是z＝1＋i. (2)由(1)可知z＝1＋i，则－z2＝－(1＋i)2＝1－3i，则＝(1，－3)，所以向量的模为＝. 17．(本小题满分15分)已知复数z1＝a＋i，z2＝1－i，a∈R. (1)当a＝1时，求z12的值； (2)若z1－z2是纯虚数，求a的值； (3)若在复平面上对应的点在第二象限，求实数a的取值范围． 解：(1)当a＝1时，z12＝(1＋i)(1＋i)＝1＋2i＋i2＝2i. (2)由题意z1－z2＝a－1＋2i为纯虚数， 则a－1＝0，所以a＝1. (3)＝＝＝＝＋i，该复数在复平面上对应的点在第二象限， 则解得－1<a<1. 故实数a的取值范围是(－1，1). 18．(本小题满分17分)关于x的方程x2＋mx＋13＝0(m∈R)的两个根为x1，x2. (1)若x1＝－3＋2i，求实数m的值； (2)若|x1－x2|＝3，求实数m的值． 解：(1)由题意知，方程有一对共轭复数根， 所以x2＝－3－2i， 所以x1＋x2＝－3＋2i＋(－3－2i)＝－6＝－m，所以m＝6. (2)①当Δ＝m2－4×1×13≥0，即m2≥52时，方程有两个实数根， 所以x1＋x2＝－m，x1x2＝13， 则|x1－x2|＝＝＝3，解得m＝±； ②当Δ＝m2－4×1×13<0， 即m2<52时，方程有两个虚数根， 即x＝， 不妨设x1＝， x2＝， 则|x1－x2|＝ ＝|i|＝3， 解得m＝±. 综上，实数m的值为±或±. 19．(本小题满分17分)设z是虚数，μ＝，ω＝z＋是实数，且－1<ω<2. (1)求|z|的值及z的实部的取值范围； (2)求证：μ为纯虚数； (3)求ω－μ2的最小值． 解：因为z是虚数， 所以可设z＝x＋yi，x，y∈R，且y≠0， (1)ω＝z＋＝x＋yi＋ ＝x＋yi＋ ＝x＋＋(y－)i， 可得⇒x2＋y2＝1⇒|z|＝1，此时，ω＝2x，又－1<ω<2，所以－<x<1， 即z的实部的取值范围为(－，1). (2)证明：μ＝＝＝＝i， 因为y≠0，所以μ为纯虚数． (3)ω－μ2＝2x－(－i)2，又－<x<1，x2＋y2＝1，化简得ω－μ2＝2(x＋1)＋－3≥2－3＝1. 当且仅当x＋1＝，即x＝0时，ω－μ2取得最小值，最小值为1. 学科网（北京）股份有限公司 $