9.1.2 余弦定理(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第四册（人教B版）

该高中数学课件聚焦余弦定理及推论，通过千岛湖岛屿距离的实际问题导入，利用向量法推导定理，搭建向量知识与解三角形的学习支架，帮助学生理解定理来源及应用脉络。 其亮点在于以问题驱动学习，通过例题、变式及跟踪训练强化定理应用，结合余弦定理判断三角形形状渗透转化思想。融入数学眼光（实际问题抽象）、数学思维（推理运算）、数学语言（符号表达），助力学生提升解题能力与逻辑思维，为教师提供结构化教学素材，提高课堂效率。

9．1.2　余弦定理 1.了解用向量法推导余弦定理的过程．　2.掌握余弦定理及其推论，会利用它们求解三角形中的边角问题．　3.能运用余弦定理判断三角形的形状． 学 习 目 标 返回导航 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内容 索引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 4 千岛湖位于我国浙江省淳安县境内，因湖内有星罗棋布的一千多个岛屿而得名，现有三个岛屿A，B，C，岛屿A与B之间的距离因A，B之间有另一个小岛而无法直接测量，但可测得AC，BC的距离分别为6 km和4 km，且AC，BC的夹角为120°. 思考　如何计算岛屿A，B之间的距离？ 新知学习 探究 返回导航 一　余弦定理及应用 文字语言 三角形任何一边的平方，等于其他两边的______________减去这两边与它们夹角________的积的2倍 符号语言 a2＝____________________ b2＝____________________ c2＝____________________ 平方和 余弦 b2＋c2－2bc cos A c2＋a2－2ca cos B a2＋b2－2ab cos C 新知学习 探究 返回导航 √ 新知学习 探究 返回导航 3 新知学习 探究 返回导航 【变式探究】 1．(综合变式)将本例(1)中的条件“a＝1，b＝2，C＝60°”变为“若a，b，c是三个连续奇数，最大角为120°”，则△ABC的周长为(　　) A．13 B．15 C．17 D．19 解析：不妨设a<b<c，则C＝120°，且b＝a＋2，c＝a＋4.所以(a＋4)2＝a2＋(a＋2)2－2a(a＋2)cos 120°，即a2－a－6＝0，所以a＝3或a＝－2(舍去). 因此，△ABC的周长为a＋a＋2＋a＋4＝3a＋6＝3×3＋6＝15.故选B. √ 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 已知两边及一角解三角形的两种思路 (1)若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程求解． (2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，再用余弦定理和三角形内角和定理求其他角． 新知学习 探究 返回导航 √ 新知学习 探究 返回导航 √ √ 新知学习 探究 返回导航 二　余弦定理的推论及应用 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则cos A＝__________，cos B＝_____________，cos C＝__________________． 新知学习 探究 返回导航 √ 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 (2)若a，a＋1，a＋2是锐角三角形的三边长，则a的取值范围是(　　) A．1＜a＜3 B．a＞1 C．a＞3 D．0＜a＜1 √ 新知学习 探究 返回导航 已知三角形的三边解三角形的方法 先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦值，从而求出第一个角；再利用余弦定理的推论求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角． [注意]　若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为“已知三边解三角形”的问题． 新知学习 探究 返回导航 √ 新知学习 探究 返回导航 √ 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 三　判断三角形的形状 　(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A＝60°，a2＝bc，则△ABC一定是(　　) A．等腰直角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【解析】　在△ABC中，因为A＝60°，a2＝bc，所以由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝b2＋c2－bc，所以bc＝b2＋c2－bc，即(b－c)2＝0，所以b＝c.结合A＝60°可得△ABC一定是等边三角形．故选D. √ 新知学习 探究 返回导航 (2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若2a－b＝2c cos B，cos A＋cos B＝1，则△ABC一定是(　　) A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 √ 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 判断三角形形状的基本思想和两条思路 新知学习 探究 返回导航 [跟踪训练3] (1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2a cos B＝c，则该三角形一定是(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 √ 新知学习 探究 返回导航 (2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝a sin C，c＝a cos B，则△ABC的形状为__________________． 等腰直角三角形 新知学习 探究 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 28 √ 课堂巩固 自测 返回导航 √ 课堂巩固 自测 返回导航 √ 课堂巩固 自测 返回导航 √ 课堂巩固 自测 返回导航 课堂巩固 自测 返回导航 课堂巩固 自测 返回导航 1．已学习：余弦定理及推论、余弦定理的简单应用． 2．须贯通：在解三角形的过程中，余弦定理及推论可以做到“知三求一”，应用转化与化归、数形结合的思想方法． 3．应注意：三角形的隐含条件，如内角和为180°，两边之和大于第三边． 课堂巩固 自测 返回导航 $