精品解析：广东省深圳市福田区2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

2025-2026学年第一学期期末检测 八年级数学 说明：全卷共6页．考试时间90分钟，满分100分．答题前，请将姓名、学校和准考证号用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定位置，并粘贴好条形码．考试结束后，请将答题卡交回． 第一部分选择题 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．每小题给出4个选项，其中只有一个是正确的） 1. 如图是某校在教学楼天台打造的“空中农场”的平面图，以天井中心为原点建立平面直角坐标系，则八（1）班种植区域所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 下列各组数中，能作为直角三角形三边长度的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 5，5，6 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于，的方程组的解为（ ） A. B. C. D. 5. 某校科创社对新成员的考查包括创新能力、写作能力、动手能力、协作能力四项，并规定各项成绩依次按，，，的比例计入总成绩，则该社团最看重（ ） A. 创新能力 B. 写作能力 C. 动手能力 D. 协作能力 6. 如图，已知某水银体温计的水银柱长度与温度的关系为（，为常数），且在的标准量程内，水银柱长度随温度的增加而均匀增加．关系式中的（ ） A. 小于0 B. 等于0 C. 大于0 D. 以上都有可能 7. 数学社团课上，学习小组从我国古代数学家刘徽设计的“青朱出入图”受到启发，开展“剪拼正方形”活动，将如图所示两个边长不等的正方形纸片，剪拼成一个大正方形纸片，过程要求无损耗、无重叠．若，，则等于（ ） A. B. C. D. 3 8. 甲、乙两人从地分别驾车前往地，、两地距离．甲因临时处理事务，比乙晚小时出发，两人都匀速行驶，甲、乙两人距B地的距离（单位：）与乙行驶时间（单位：）的关系如图所示，甲的行驶速度为（ ） A. B. C. D. 第二部分非选择题 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 体积为8的正方体的棱长为__________． 10. 判断命题“如果，那么”是假命题，只需举一个反例，反例中的的值可以是__________． 11. 点P（1，2）关于x轴的对称点P1的坐标是 ___________． 12. 一个长方体形盒子的长、宽、高分别为8cm，8cm，12cm，一只蚂蚁想从盒底的点爬到盒顶的点，蚂蚁要爬行的最短行程是______cm． 13. 如图，在四边形中，已知，平分，．若，，则的长为__________． 三、解答题（本题共7小题，其中第14题8分，第15题8分，第16题8分，第17题8分，第18题8分，第19题10分，第20题11分，共61分） 14. 计算： （1）； （2）． 15. 解方程组： （1）； （2）． 16. 传统跳绳是某校体育特色课程，老师记录了八（3）班传统跳绳两组各10位同学跳绳的次数． 【数据收集】 A组 112 126 128 130 136 146 146 150 152 158 B组 127 131 134 135 145 148 150 152 152 155 【数据整理】老师对上面表格数据进行了简单的统计． 1min跳绳的次数 最小值 下四分位数 中位数 上四分位数 最大值 A组 112 141 150 158 B组 127 134 152 155 （1）求表中的数据： ， ． （2）两组同学跳绳次数绘制成箱线图，如图所示，则 （填“>”、“<”或“=”）． 【数据应用】 （3）试评价本次测试中A组，B组同学整体的跳绳水平． 17. 如图，长方形边上有平面镜，边上有平面镜．边上的点处有一个光源，入射光线经过镜面反射后，恰好经过平面镜上的点，经过平面镜的反射，得到反射光线．图中，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 18. 为推进校园智慧体育建设，某校计划采购体育测训一体机（A型机）和智能划船机（B型机），相关数据如下：采购2台A型机和4台B型机，总费用为6万元；采购3台A型机和1台B型机，总费用为万元． （1）求每台A型机和每台B型机的价格分别是多少万元？ （2）学校计划用7万元采购A型机和B型机（两种设备均需采购），若采购资金全部用完，学校共有多少种符合条件的采购方案？并列出所有方案． 19. 加密就是将一组明文通过加密规则变成对应的一组密文，密文通过破译也可以得到唯一一组明文．课外小组尝试设计一款加密游戏，明文是从0到9中选取4个互不相等的整数组成的有序数组，加密规则如下： 【感悟与理解】 （1）若明文为，按上述规则，求出对应密文中，的值． 【探究与交流】 （2）小圳认为按照上述规则，一组明文可以得到唯一的一组密文，但破译时，一个密文却可以对应多组明文，不能完成解密．他举出了与（1）中密文对应的另一组明文，请你帮忙补充完整（1， ，2， ）． 【反思与拓展】 （3）小圳分析不能完成破译的原因． ①例如，在已知密文为的情况下，明文中， （用含的代数式表示）， （用含的代数式表示）．消元后，明文中仍含有，两个未知数，没有足够条件确定这两个未知数的值． ②他在原本的加密规则下，定义两个数据：（第一个数与第三个数的差），（第二个数与第四个数的和），结合原本加密规则中的，，组成新的密文（k，b，t，s）： 思考：若密文为，与这组密文对应的明文是否唯一?若唯一，还原出对应的明文，若不唯一，请再举出一组符合要求的明文． 20. 在平面直角坐标系中，点的坐标为． （1）当在轴上时，此时点坐标为 ． （2）①下面关于点的四个判断中，只有一个正确，正确的是（ ） A．点可能是原点 B．随着的变化，点在直线上运动 C．点可能出现在第二象限 D．线段没有最小值 ②如图-1，直线与轴交于点，与轴交于点，的面积是否发生变化?若不变，求出的面积． （3）如图-2，在平面直角坐标系中，，轴上方有一点使得边上的高为，求此时点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期期末检测 八年级数学 说明：全卷共6页．考试时间90分钟，满分100分．答题前，请将姓名、学校和准考证号用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定位置，并粘贴好条形码．考试结束后，请将答题卡交回． 第一部分选择题 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．每小题给出4个选项，其中只有一个是正确的） 1. 如图是某校在教学楼天台打造的“空中农场”的平面图，以天井中心为原点建立平面直角坐标系，则八（1）班种植区域所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系．根据平面直角坐标系的定义即可求解． 【详解】解：由图形知，八（1）班种植区域所在的象限是第四象限， 故选：D． 2. 下列各组数中，能作为直角三角形三边长度的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 5，5，6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的三边关系，熟练掌握勾股定理的逆定理是关键． 根据勾股定理的逆定理，三角形的三边关系，逐一验证即可． 【详解】解：A、因为，所以不能组成三角形，故选项A不符合题意； B、在2，3，4中，最长边为4，因为，所以不能作为直角三角形三边，故选项B不符合题意； C、在3，4，5中，最长边为5，因为，所以能作为直角三角形三边，故选项C符合题意； D、在5，5，6中，最长边为6，因为，所以不能作为直角三角形三边，故选项D不符合题意． 故选：C． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算法则和性质．根据二次根式的加减法、乘法、除法运算法则，分别对选项中的式子进行计算，判断其正确性． 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D符合题意． 故选：D． 4. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于，的方程组的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组．根据由两个一次函数的解析式组成的二元一次方程组的解为两条直线交点的横纵坐标，即可得出结果． 【详解】解：∵直线与直线交于点， ∴关于x，y的二元一次方程组的解为； 故选：A． 5. 某校科创社对新成员的考查包括创新能力、写作能力、动手能力、协作能力四项，并规定各项成绩依次按，，，的比例计入总成绩，则该社团最看重（ ） A. 创新能力 B. 写作能力 C. 动手能力 D. 协作能力 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有理数大小的比较，比较各项成绩所占比例，比例最高的能力即为最看重的能力． 【详解】解：∵ 创新能力占，写作能力占，动手能力占，协作能力占，且， ∴ 创新能力比例最高，故最看重创新能力． 故选：A． 6. 如图，已知某水银体温计的水银柱长度与温度的关系为（，为常数），且在的标准量程内，水银柱长度随温度的增加而均匀增加．关系式中的（ ） A. 小于0 B. 等于0 C. 大于0 D. 以上都有可能 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质．利用一次函数的增减性质即可判断的正负． 【详解】解：对于函数， ∵水银柱长度随温度的增加而均匀增加， ∴， 故选：C． 7. 数学社团课上，学习小组从我国古代数学家刘徽设计的“青朱出入图”受到启发，开展“剪拼正方形”活动，将如图所示两个边长不等的正方形纸片，剪拼成一个大正方形纸片，过程要求无损耗、无重叠．若，，则等于（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及正方形的性质．根据题意求得，，再利用勾股定理计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，四边形是正方形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 故选：B． 8. 甲、乙两人从地分别驾车前往地，、两地距离．甲因临时处理事务，比乙晚小时出发，两人都匀速行驶，甲、乙两人距B地的距离（单位：）与乙行驶时间（单位：）的关系如图所示，甲的行驶速度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用．利用待定系数法求得乙所在直线的解析式，求得点，据此求解即可． 【详解】解：设乙所在直线的解析式为， ∵乙过点和， ∴， 解得， ∴乙所在直线的解析式为， 设甲所在直线、乙所在直线交于点， ∵， ∴， ∴点， ∴甲的行驶速度为， 故选：B． 第二部分非选择题 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 体积为8的正方体的棱长为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查立方根的应用．根据立方根的定义求解． 【详解】解：设正方体的棱长为a，则， 因此， 故答案为：2． 10. 判断命题“如果，那么”是假命题，只需举一个反例，反例中的的值可以是__________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．反例中的满足，使，据此求解即可． 【详解】解：当时，满足，但， 所以判断命题“如果，那么”是假命题，举出． 故答案为：（答案不唯一）． 11. 点P（1，2）关于x轴的对称点P1的坐标是 ___________． 【答案】（1，-2）． 【解析】 【详解】试题分析：根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”即可求解． 试题解析：∵关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数 ∴点P（1，2）关于x轴的对称点P1的坐标为（1，-2）． 考点：关于x轴、y轴对称的点的坐标． 12. 一个长方体形盒子的长、宽、高分别为8cm，8cm，12cm，一只蚂蚁想从盒底的点爬到盒顶的点，蚂蚁要爬行的最短行程是______cm． 【答案】20 【解析】 【分析】如图所示，将长方体各个顶点标上字母，然后可分①情况一：经过前侧和右侧，②情况二：经过前侧和上侧，然后根据长方体展开图及勾股定理可求解路线长，最后进行比较即可． 【详解】解：如图所示，将长方体各个顶点标上字母， ①情况一：经过前侧和右侧，如图所示， ∴； ②情况二：经过前侧和上侧，如图所示， ∴， ∴， 故蚂蚁爬行的最短路程为20cm； 故答案为20． 【点睛】本题主要考查立体几何展开图、实数的大小比较及勾股定理，熟练掌握立体几何展开图、实数的大小比较及勾股定理是解题的关键． 13. 如图，在四边形中，已知，平分，．若，，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，角平分线的性质．作，，垂足分别为，，利用勾股定理求得，设，，利用等积法求得，在中，利用勾股定理求得，再证明，得到，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：作，，垂足分别为，， ∵平分，，， ∴， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， 设，， ∵，即， ∴， 在中，由勾股定理得， 即， 解得，即， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本题共7小题，其中第14题8分，第15题8分，第16题8分，第17题8分，第18题8分，第19题10分，第20题11分，共61分） 14. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，实数混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据二次根式混合运算法则，进行计算即可； （2）根据二次根式性质，二次根式混合运算法则，立方根定义，进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 15. 解方程组： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的一般方法，是解题的关键． （1）用代入消元法解二元一次方程组即可； （2）用加减消元法解二元一次方程组即可． 【小问1详解】 解：， 把①代入②得：， 解得：， 把代入①得：， ∴原方程组的解为：； 【小问2详解】 解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． 16. 传统跳绳是某校体育特色课程，老师记录了八（3）班传统跳绳两组各10位同学跳绳的次数． 【数据收集】 A组 112 126 128 130 136 146 146 150 152 158 B组 127 131 134 135 145 148 150 152 152 155 【数据整理】老师对上面表格数据进行了简单的统计． 1min跳绳的次数 最小值 下四分位数 中位数 上四分位数 最大值 A组 112 141 150 158 B组 127 134 152 155 （1）求表中的数据： ， ． （2）两组同学跳绳次数绘制成箱线图，如图所示，则 （填“>”、“<”或“=”）． 【数据应用】 （3）试评价本次测试中A组，B组同学整体的跳绳水平． 【答案】（1）128；；（2）>；（3）见解析 【解析】 【分析】本题考查中位数、四分位数、方差，箱线图等知识，掌握四分位数、箱线图的定义是正确解答的关键． （1）根据中位数和四分位数的定义即可解答； （2）根据箱线图、方差的定义求解即可； （3）从上四分位数、中位数、下四分位数、方差以及箱线图等评价． 【详解】解：（1）A组下四分位数； B组中位数； 故答案为：128；； （2）观察箱线图，A组的“箱子”长，数据分散，说明A组同学的跳绳次数波动大，则， 故答案为：>； （3）①B组的上四分位数、中位数、下四分位数均高于A组，可以估计B组同学整体跳绳水平高于A组； ②基于箱线图，A组的“箱子”长，数据分散，说明A组同学的跳绳次数波动大，B组同学的跳绳次数更稳定． ③B组的方差比A组的方差小说明A组同学的跳绳次数波动更大，B组同学的跳绳次数更稳定． 17. 如图，长方形边上有平面镜，边上有平面镜．边上的点处有一个光源，入射光线经过镜面反射后，恰好经过平面镜上的点，经过平面镜的反射，得到反射光线．图中，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2）． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理． （1）求得，计算求得，利用平行线的判定定理即可得到； （2）求得，推出，再利用平行线的性质即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴ ， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， 由（1）知， ∴． 18. 为推进校园智慧体育建设，某校计划采购体育测训一体机（A型机）和智能划船机（B型机），相关数据如下：采购2台A型机和4台B型机，总费用为6万元；采购3台A型机和1台B型机，总费用为万元． （1）求每台A型机和每台B型机的价格分别是多少万元？ （2）学校计划用7万元采购A型机和B型机（两种设备均需采购），若采购资金全部用完，学校共有多少种符合条件的采购方案？并列出所有方案． 【答案】（1）每台A型机的价格为2万元，每台B型机的价格为万元 （2）共有3种采购方案：方案1为采购1台A型机和10台B型机；方案2为采购2台A型机和6台B型机；方案3为采购3台A型机和2台B型机 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程和二元一次方程组的应用，根据等量关系列出方程是解题的关键． （1）设每台A型机x万元，每台B型机的价格y万元，根据采购2台A型机和4台B型机，总费用为6万元；采购3台A型机和1台B型机，总费用为万元，列出方程组，解方程组即可； （2）设采购A型机m台，采购B型机n台，根据A型机和B型机总费用为7万元，列出二元一次方程，求出二元一次方程的正整数解，即可得出答案． 【小问1详解】 解：设每台A型机x万元，每台B型机的价格y万元，根据题意得： ， 解得：， 答：每台A型机的价格为2万元，每台B型机的价格为万元； 【小问2详解】 解：设采购A型机m台，采购B型机n台，根据题意得： ， ∵m、n为正整数， ∴，，， 答：共有3种采购方案：方案1为采购1台A型机和10台B型机；方案2为采购2台A型机和6台B型机；方案3为采购3台A型机和2台B型机． 19. 加密就是将一组明文通过加密规则变成对应的一组密文，密文通过破译也可以得到唯一一组明文．课外小组尝试设计一款加密游戏，明文是从0到9中选取4个互不相等的整数组成的有序数组，加密规则如下： 【感悟与理解】 （1）若明文为，按上述规则，求出对应密文中，的值． 【探究与交流】 （2）小圳认为按照上述规则，一组明文可以得到唯一的一组密文，但破译时，一个密文却可以对应多组明文，不能完成解密．他举出了与（1）中密文对应的另一组明文，请你帮忙补充完整（1， ，2， ）． 【反思与拓展】 （3）小圳分析不能完成破译的原因． ①例如，在已知密文为的情况下，明文中， （用含的代数式表示）， （用含的代数式表示）．消元后，明文中仍含有，两个未知数，没有足够条件确定这两个未知数的值． ②他在原本的加密规则下，定义两个数据：（第一个数与第三个数的差），（第二个数与第四个数的和），结合原本加密规则中的，，组成新的密文（k，b，t，s）： 思考：若密文为，与这组密文对应的明文是否唯一?若唯一，还原出对应的明文，若不唯一，请再举出一组符合要求的明文． 【答案】（1）；（2）3，5；（3）①，；②唯一，对应的明文． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，理解明文和密文的关系是解题的关键． （1）依题意得，，利用待定系数法求解即可； （2）由（1）得，求得当和时，的值即可； （3）①由密文为，得到，分别求解即可； ②唯一，利用待定系数法求解即可． 【详解】解：（1）依题意得，，代入， 得， 解得； （2）由（1）得， 当时，，当时，， ∴另一组明文为， 故答案为：3，5； （3）①∵密文为， ∴， ∴明文中， 当时，，当时，， 故答案为：，； ②唯一，理由如下： 由题意知：，，，， 则， 解得， 将代入，， 解得，， ∴对应的明文． 20. 在平面直角坐标系中，点的坐标为． （1）当在轴上时，此时点坐标为 ． （2）①下面关于点的四个判断中，只有一个正确，正确的是（ ） A．点可能是原点 B．随着的变化，点在直线上运动 C．点可能出现在第二象限 D．线段没有最小值 ②如图-1，直线与轴交于点，与轴交于点，的面积是否发生变化?若不变，求出的面积． （3）如图-2，在平面直角坐标系中，，轴上方有一点使得边上的高为，求此时点的坐标． 【答案】（1） （2）①B；②不变， （3）点的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）由题意得，解得，据此求解即可； （2）①当时，求得点的坐标为，可判断选项A；由点可得到点在直线上运动，可判断选项B；当时，，此时点在第三象限，可判断选项C；由勾股定理得到，可判断选项D； ②过点作轴交直线于点，点的坐标为，根据，利用三角形面积公式计算即可求解； （3）判断点在直线上运动，过点作并交的延长线于点，得到是等腰直角三角形，过点作轴于点，求得点的坐标为或，再求得直线的解析式，据此求解即可． 【小问1详解】 解：∵点在轴上， ∴， 解得， ∴点的坐标为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①当时，，此时点的坐标为， ∴点不可能是原点，选项A不符合题意； 随着的变化，点在直线上运动，选项B符合题意； 当时，，此时点在第三象限，点不可能在第二象限，选项C不符合题意； ∵点的坐标为， ∴， ∵， ∴当时，有最小值，最小值为，选项D不符合题意； 故选：B； ②的面积不变，理由如下： ∵直线与轴交于点，与轴交于点， ∴， 过点作轴交直线于点， 则点的坐标为， ∴， ∴ ； 【小问3详解】 解：∵点， ∴点在直线上运动， 过点作并交的延长线于点， 则， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 过点作轴于点， 则， ∴点的坐标为或， 设直线的解析式为， 将和代入得，解得， 或将和代入得，解得， ∴直线的解析式为或， 联立得或， 解得或， 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题是一次函数综合题，涉及到一次函数解析式，一次函数与二元一次方程组，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $