9.1.2 余弦定理 课后达标检测(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第四册（人教B版）

1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝5，b＝8，C＝，则c＝(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 解析：选C.由余弦定理知c2＝a2＋b2－2ab cos C＝25＋64－2×5×8×cos ＝49，得c＝7(负值已舍去). 2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a∶b∶c＝2∶∶(＋1)，则B＝(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 解析：选C.由a∶b∶c＝2∶∶(＋1)可设a＝2t，b＝t，c＝(＋1)t(t>0)，由余弦定理的推论得cos B＝＝＝，又0°<B<180°，则B＝60°. 3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知cos A＝，则B＝(　　) A． B． C． D． 解析：选C.由题意cos A＝＝，化简得a2＋c2＝b2，所以B＝.故选C. 4．(2024·营口期中)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若＝－1，则A＝(　　) A．120° B．45° C．60° D．30° 解析：选A.因为＝－1，所以a2－(b＋c)2＝－bc，即a2－b2－c2－2bc＝－bc，所以a2＝b2＋c2＋bc，由余弦定理的推论得cos A＝＝－.因为0°<A<180°，所以A＝120°.故选A. 5．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2＋c2－bc，且A＝2B，则△ABC一定为(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 解析：选B.因为a2＝b2＋c2－bc，所以bc＝b2＋c2－a2，则cos A＝＝，又因为0<A<π，所以A＝，又因为B＝A＝，所以C＝π－A－B＝，所以△ABC一定为直角三角形．故选B. 6．(多选)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b2＋c2－a2＝bc，且b＝a，则下列关系可能成立的是(　　) A．a＝c B．b＝c C．2a＝c D．a2＋b2＝c2 解析：选ACD.由余弦定理的推论，得cos A＝＝＝，又0°<A<180°，得A＝30°，联立解得c＝2a或c＝a.当c＝2a时，cos B＝＝＝，则B＝60°，此时△ABC为直角三角形，所以A，C，D可能成立． 7．设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a＝2，c＝2，A＝，且b<c，则b＝__________． 解析：由余弦定理得 a2＝b2＋c2－2bc cos A， 即4＝b2＋12－6b，即有b2－6b＋8＝0， 解得b＝2或b＝4，又b<c，所以b＝2. 答案：2 8．在△ABC中，sin ＝，BC＝2，AC＝5，则AB＝____________． 解析：由已知及二倍角公式可得cos C＝1－2sin2＝－，在△ABC中，设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则有a＝2，b＝5，由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2ab cosC＝22＋52－20×(－)＝41，则c＝，即AB＝. 答案： 9．在△ABC中，AB＝3，BC＝，AC＝4，则A＝________，AC边上的高为_______________________________________________． 解析：由余弦定理的推论，可得cos A＝＝＝，又0<A<π，所以A＝，所以sin A＝.故AC边上的高为h＝AB sin A＝3×＝. 答案：　 10．(2024·大连月考)已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos2＋cosA＝0. (1)求A的大小； (2)若a＝2，b＝2，求c的值. 解：(1)因为cos A＝2cos2－1， 2cos2＋cosA＝0， 所以2cos A＋1＝0， 所以cos A＝－， 又0°<A<180°，所以A＝120°. (2)由余弦定理， 知a2＝b2＋c2－2bc cos A， 又a＝2，b＝2，cos A＝－， 所以(2)2＝22＋c2－2×2×c×(－)， 化简，得c2＋2c－8＝0， 解得c＝2或c＝－4(舍去). 11．在△ABC中，AB＝3，cos ∠BAC＝－，AD⊥AC，且AD交BC于点D，AD＝3，则sin C＝(　　) A． B． C． D． 解析：选B. 由cos ∠BAC＝－，AD⊥AC， 得sin ∠BAD＝sin (∠BAC－) ＝－cos ∠BAC＝， 而∠BAD为锐角， 则cos ∠BAD＝＝， 在△ABD中，由余弦定理得 BD＝＝， 所以sin C＝cos ∠ADC＝－cos ∠ADB＝－＝.故选B. 12．(多选)一个锐角三角形的三边长分别为a，b，c，则a，b，c 的值可能为(　　) A．a＝4，b＝5，c＝6 B．a＝log64，b＝log69，c＝21.1 C．a＝3，b＝5，c＝6 D．a＝4，b＝6，c＝5 解析：选AD.锐角三角形的三边长为a，b，c，其充要条件为最大角的余弦值大于零．结合三角形大边对大角可知，较小两边的平方和大于第三边的平方即可判断三角形为锐角三角形．所以对于A，42＋52>62，符合题意；对于B，log64＋log69＝2<21.1，不能构成三角形的三条边，不符合题意；对于C，32＋52<62，不符合题意；对于D，42＋62>(5)2，符合题意．故选AD. 13．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝x，b＝2，B＝45°，若符合条件的三角形有两个，则实数x的取值范围是______________． 解析：在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，由余弦定理得4＝c2＋x2－2cx×，即c2－cx＋x2－4＝0.因为符合条件的三角形有两个，所以关于c的方程有两个正根，所以 解得2<x<2. 答案：(2，2) 14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. (1)证明：a cos B＋b cos A＝c； (2)若a＝7，b＝5，＝.求△ABC的周长． 解：(1)证明：由题意得 a cos B＋b cos A＝a·＋b·＝＝c， 所以a cos B＋b cos A＝c，得证． (2)因为＝， 所以2c cos A＝b cos A＋a cos B， 结合(1)可知 ，2c cos A＝c，即cos A＝， 因为A∈(0，π)，所以A＝. 在△ABC中，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，得49＝25＋c2－10c×，即c2－5c－24＝0，解得c＝8或c＝－3(舍去)， 所以a＋b＋c＝7＋5＋8＝20，即△ABC的周长为20. 15．《九章算术》是中国古代一部数学专著，其中的“邪田”为直角梯形，上、下底称为“畔”，高称为“正广”，非高腰边称为“邪”．如图所示，邪长为4，东畔长为2，在A处测得C，D两点处的俯角分别为49°和19°，则正广长约为(注：sin 41°≈0.66)(　　) A．6.6 B．3.3 C．4 D．7 解析：选A.在A处测得C，D两点处的俯角分别为49°和19°，则∠DAC＝49°－19°＝30°， 在△ACD中，由余弦定理可得DC2＝AC2＋AD2－2AC·AD·cos 30°，即28＝AC2＋48－12AC， 解得AC＝2或AC＝10，由题图可知AC>AD，AC>CD，所以AC＝10，又∠BAC＝90°－49°＝41°， 所以BC＝AC·sin ∠BAC＝10sin 41°≈6.6. 16．(2024·葫芦岛月考)在△ABC中，BC＝4，AC＝6，cos C＝. (1)求证：B＝2A； (2)若＝λ，BD＝，求实数λ的值． 解：(1)证明：在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos C＝36＋16－27＝25，所以AB＝5， 又cos B＝＝＝， cos A＝＝＝，所以cos 2A＝2cos2A－1＝2×()2－1＝，所以cosB＝cos 2A， 由题意知0<A<B<π，所以0<A<，0<2A<π，0<B<π，所以B＝2A. (2) 因为＝λ，BD＝<4，所以点D在AC上，即0<λ<1. 由(1)知cos A＝，设AD＝x，在△ABD中，由余弦定理知BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD cos A， 化简得2x2－15x＋22＝0，得x＝或x＝2. 当x＝2时，AD＝2，λ＝； 当x＝时，AD＝，λ＝. 综上所述，λ＝或λ＝. 学科网（北京）股份有限公司 $