第10章 复数 章末复习提升(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第四册（人教B版）

本讲义聚焦高中数学复数章节复习，系统梳理复数的概念（虚数、纯虚数、复数相等、模）、运算（代数运算策略）、几何意义（复平面内点与向量对应）及综合应用（与方程、函数交汇），搭建从基础概念到综合应用的递进式学习支架。 该资料以核心素养为导向，通过分层训练题（如纯虚数判断、复数模计算、复平面图形面积求解）培养数学抽象、数学运算与逻辑推理能力，课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识理解与应用。

章末复习提升 [学生用书P37] 要点一　复数的概念 1．复数的概念是掌握复数的基础，如虚数、纯虚数、复数相等、复数的模等．有关复数的题目不同于实数，应注意根据复数的相关概念解答． 2．掌握复数的相关概念，培养数学抽象素养． 训练1　已知i是虚数单位，若复数a＋(a∈R)是纯虚数，则a＝(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 解析：选C.因为a＋＝a＋＝a＋＝a－2－4i是纯虚数，所以a－2＝0，即a＝2.故选C. 训练2　已知i是虚数单位，复数z＝a＋i(a∈R)满足z2＋z＝1－3i，则|z|＝(　　) A．或 B．2或5 C． D．5 解析：选C.因为z2＋z＝(a＋i)2＋a＋i＝a2－1＋a＋(2a＋1)i＝1－3i， 所以解得a＝－2. 所以z＝－2＋i， 故|z|＝ ＝.故选C. 训练3　若复数z＝1＋i(i为虚数单位)，是z的共轭复数，则z2＋2的虚部为(　　) A．0 B．－1 C．1 D．－2 解析：选A.因为z＝1＋i，所以＝1－i，所以z2＋2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2i＋(－2i)＝0.故选A. 训练4　已知z1＝m2－3m＋m2i，z2＝4＋(5m＋6)i，其中m为实数，i为虚数单位，若z1－z2＝0，则m＝ ________． 解析：由z1－z2＝0，可得解得m＝－1. 答案：－1 要点二　复数的运算 1．进行复数代数运算的策略 (1)复数的运算的基本思路就是应用运算法则进行计算． (2)复数的运算中含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把i的幂写成最简单的形式． 2．通过复数的运算，可以提升数学运算和逻辑推理的数学素养． 训练5　(2024·辽阳期末)设(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a＝(　　) A．－3 B．－2 C．2 D．3 解析：选A.因为(1＋2i)(a＋i)＝(a－2)＋(2a＋1)i，所以a－2＝2a＋1，解得a＝－3.故选A. 训练6　已知a∈R，i是虚数单位．若z＝a＋i，z＝4，则a＝(　　) A．1或－1 B．或－ C．－ D． 解析：选A.因为z＝a＋i，所以＝a－i，又因为z＝4，所以(a＋i)(a－i)＝4，所以a2＋3＝4，所以a2＝1，所以a＝±1.故选A. 训练7　设z＝＋2i，则|z|＝(　　) A．0 B． C．1 D． 解析：选C.因为z＝＋2i＝＋2i＝i，所以|z|＝1.故选C. 训练8　若＝ci(a，b，c∈R)，则当a2－2b取得最小值时，(a＋bi)10＝________． 解析：由题意得a＋bi＝ci(1－i)＝c＋ci， 所以a＝c，b＝c，a2－2b＝c2－2c＝(c－1)2－1， 当c＝1时，a2－2b取得最小值－1. 此时a＝b＝1， 所以(1＋i)10＝[(1＋i)2]5＝(2i)5＝25·i5＝32i. 答案：32i 要点三　复数的几何意义 1．由复数确定有序实数对，即z＝a＋bi(a，b∈R)确定有序实数对(a，b)，由有序实数对(a，b)确定复平面内的点Z(a，b)与向量＝(a，b).　 2．复数的加减运算与复数的模有明确的几何意义，利用几何意义，借助几何直观解题，体现数形结合思想． 训练9　若m∈Z，且复数z＝(m－1)＋(m－3)i表示的点Z在第四象限，则|z|＝(　　) A．1 B． C． D．2 解析：选B.由题意得 所以1＜m＜3， 又m∈Z，所以m＝2，此时z＝1－i， 所以|z|＝＝.故选B. 训练10　(多选)已知非零复数z1，z2分别对应复平面内的向量，，且|z1＋z2|＝|z1－z2|，线段AB的中点M对应的复数为4＋3i，则(　　) A．⊥ B．＝ C．|z1|2＋|z2|2＝10 D．|z1|2＋|z2|2＝100 解析：选AD. 如图，由向量的加法及减法法则可知，＝＋，＝－. 由复数加法及减法的几何意义可知，|z1＋z2|对应的模，|z1－z2|对应的模． 又|z1＋z2|＝|z1－z2|，所以四边形OACB是矩形， 则⊥. 又因为线段AB的中点M对应的复数为4＋3i，所以||＝2||＝10，所以|z1|2＋|z2|2＝||2＋||2＝||2＝100. 训练11　若复数z满足|z|≤，则z在复平面内所对应的图形的面积为________． 解析：满足|z|≤的点Z的集合是以原点O为圆心，以为半径的圆及其内部所有的点构成的集合，所以所求图形的面积为S＝2π. 答案：2π 训练12　若复数z满足|z＋3－i|＝，则|z|的最大值是____________，|z|的最小值是 __________． 解析： |z＋3－i|＝表示以点P(－3，)为圆心，以为半径的圆，如图所示， 则|OP|＝＝＝2， 显然|z|max＝|OA|＝|OP|＋＝3， |z|min＝|OB|＝|OP|－＝. 答案：3　 要点四　复数的综合应用 1．复数具有代数形式，且复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)之间建立了一一对应关系，复数又是数形结合的桥梁，要注意复数与向量、方程、函数等知识的交汇． 2．复数的综合应用培养学生的数学应用意识和变通能力，提升逻辑推理，数学建模等素养． 训练13　(2024·北京市东城区期中)若复数z满足2z＋＝3－2i，其中i为虚数单位，则z＝(　　) A．1＋2i B．1－2i C．－1＋2i D．－1－2i 解析：选B.方法一：设z＝a＋bi(a，b∈R)， 则＝a－bi. 故2z＋＝2(a＋bi)＋a－bi＝3a＋bi＝3－2i， 所以解得 所以z＝1－2i. 方法二：设z＝a＋bi(a，b∈R)， 由复数的性质可得z＋z＝2a， 则2z＋＝(z＋)＋z＝3a＋bi＝3－2i， 所以解得 所以z＝1－2i. 训练14　设函数f(z)(z为复数)满足f(f(z))＝(z－z－)2.若f(1)＝0，则|f(i)－1|＝____________． 解析：因为f(f(i))＝(i－i－)2＝1， 所以f(f(f(i)))＝f(1)＝0. 又f(f(f(i)))＝(f(i)－f(i)－)2， 所以f(i)－f(i)－＝0， 即(f(i)－1)(－1)＝1， 即|f(i)－1|＝1. 答案：1 训练15　已知关于x的一元二次方程x2＋ax＋4＋3i＝0有实根，a为复数．求|a|的最小值． 解：设x0为方程的实根，则x＋ax0＋4＋3i＝0，显然x0＝0时方程不成立，所以x0≠0，则a＝－x0－－i⇒|a|2＝(x0＋)2＋()2＝x＋＋8≥18，当且仅当x＝，即x0＝±时，等号成立，所以|a|min＝3. 学科网（北京）股份有限公司 $