10.2.2 复数的乘法与除法(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第四册（人教B版）

本讲义聚焦高中数学复数的乘法与除法运算，通过类比多项式乘法引入复数乘法法则，明确交换律、结合律和分配律，再以分母实数化讲解除法运算，最终延伸至复数范围内解方程，构建从运算到应用的完整学习支架。 资料通过“思考”引导类比迁移，培养学生抽象能力与创新意识，运算律猜想验证环节发展推理思维，例题结合具体计算与方程求解（如实系数方程虚根成对）体现模型应用。课中助力教师引导探究，课后跟踪训练与总结助学生巩固知识、查漏补缺。

10．2.2　复数的乘法与除法 1.掌握复数代数形式的乘、除运算．　2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律． 我们知道，两个一次式相乘，有(ax＋b)·(cx＋d)＝acx2＋(bc＋ad)x＋bd，复数的加、减法也可以看作多项式相加、减，类比多项式的乘法，能否得到复数的乘法法则？ 思考1　怎样定义复数的乘法？ 提示：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. 思考2　猜想复数的乘法满足哪些运算律？ 提示：猜想，对于任意z1，z2，z3∈C，有： (1)交换律：z1z2＝z2z1； (2)结合律：(z1z2)z3＝z1(z2z3)； (3)分配律：z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3. 1．运算法则：一般地，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，称z1z2(或z1×z2)为z1与z2的积，并规定z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝______________． 2．运算律：对于任意复数z1，z2，z3，有 交换律 z1z2＝__________ 结合律 (z1z2)z3＝__________ 乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝__________ [答案自填] (ac－bd)＋(ad＋bc)i　z2z1 z1(z2z3)　z1z2＋z1z3 　计算： (1)(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)； (2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i； (3)(a＋bi)(a－bi)(－a＋bi)(－a－bi)，其中a，b∈R. 【解】　(1)(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝1－2i＋i2－(4－9i2)＝－13－2i. (2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i＝(3＋11i)(3－4i)＋2i＝(9－12i＋33i－44i2)＋2i＝53＋21i＋2i＝53＋23i. (3)(a＋bi)(a－bi)(－a＋bi)(－a－bi) ＝(a2＋b2)(a2＋b2)＝a4＋2a2b2＋b4. (1)两个复数代数形式乘法运算的一般方法 首先按多项式的乘法展开，再将i2换成－1，然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式． (2)常用公式 ①(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R). ②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R). ③(1±i)2＝±2i. [跟踪训练1] (1)复数z＝(－1＋3i)(1－i)在复平面内对应的点位于(　　) A．第一象限　　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选A.z＝(－1＋3i)(1－i)＝2＋4i，所以复数z在复平面内对应的点位于第一象限． (2)(1－i)(－＋i)(1＋i)＝________________. 解析：原式＝(1－i)(1＋i)(－＋i)＝(1－i2)(－＋i)＝2(－＋i)＝－1＋i. 答案：－1＋i 1．一般地，给定复数z≠0，称为z的倒数． 2．设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)， 则＝＝＋i. 　(1)(对接教材例3)已知z＝，i为虚数单位，则|z|＝(　　) A． B． C． D． (2)(多选)(2024·德州阶段考)若复数z满足(1－i)z＝i2 024，为z的共轭复数，则(　　) A．z在复平面内对应的点位于第二象限 B．|z|＝ C.z·z＝ D．是纯虚数 【解析】　(1)z＝＝＝＝＋i，|z|＝＝.故选C. (2)i2 024＝i506×4＝(i4)506＝1， 则z＝＝＝＝＋i，则z在复平面内对应的点为(，)，位于第一象限，A错误； |z|＝＝，B正确； ＝－i，z·＝()2－(i)2＝，C正确； ＝＝＝－i，D正确． 【答案】　(1)C　(2)BCD (1)两个复数代数形式的除法运算步骤 ①首先将除式写为分式； ②再将分子、分母同乘以分母的共轭复数； ③然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式． (2)常用公式 ＝－i，＝i， in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N). [跟踪训练2] (1)在复平面内，复数z1，z2对应的点分别是(2，－1)，(0，5)，则复数的虚部为(　　) A．2 B．－2 C．－2i D．2i 解析：选A.由题可知z1＝2－i，z2＝5i，则＝＝＝－1＋2i，所以复数的虚部为2.故选A. (2)(2024·新课标Ⅰ卷)若＝1＋i，则z＝(　　) A．－1－i B．－1＋i C．1－i D．1＋i 解析：选C.方法一(解方程法)：因为＝1＋i，所以z＝(z－1)(1＋i)，即z＝z－1＋zi－i，即zi＝1＋i，所以z＝＝＝1－i，故选C. 方法二(取倒数法)：因为＝1＋i，所以＝，即1－＝＝－i，即＝＋i＝，所以z＝＝1－i，故选C. 　(对接教材例4)(1)设z1，z2是方程x2＋x＋1＝0在复数范围内的两个解，则(　　) A．|z1－z2|＝ B．|z1|＝ C．z1＋z2＝1 D．z1z2＝1 (2)已知x＝－1＋i是方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的一个根，则ab＝________． 【解析】　(1)由方程x2＋x＋1＝0 得Δ＝1－4＝－3＜0， 由求根公式得x＝， 不妨设z1＝－＋i，z2＝－－i. |z1－z2|＝|i|＝，A错误； |z1|＝ ＝＝1，B错误； z1＋z2＝－1，C错误； z1z2＝1，D正确． (2)方法一：把x＝－1＋i代入方程x2＋ax＋b＝0， 得(－a＋b)＋(a－2)i＝0， 所以 解得所以ab＝4. 方法二：由一个根是－1＋i，可知另一个根是－1－i， 则 所以ab＝4. 【答案】　(1)D　(2)4 (1)复数范围内解方程的方法 ①配方法求根：将方程左边配成完全平方的形式，再开方求根； ②公式法求根：当Δ≥0时，x＝；当Δ<0时，x＝(此时，两根互为共轭复数). ③利用复数相等的定义求解 设方程的根为x＝m＋ni(m，n∈R)，将此根代入方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，化简后利用复数相等的定义求解． (2)注意在复数范围内，一元二次方程中根与系数的关系仍然成立． [跟踪训练3] (1)已知2i－3是关于x的方程x2＋6x＋q＝0(q∈R)的一个根，则该方程的另一个根为(　　) A．2i＋3 B．－2i－3 C．2i－3 D．－2i＋3 解析：选B.根据题意，方程的另一个根为－6－(2i－3)＝－3－2i.故选B. (2)若关于x的方程x2－kx＋3＝0有虚数根，则实数k的取值范围是_______________________________________________． 解析：因为一元二次方程x2－kx＋3＝0有虚数根， 则Δ＝k2－4×1×3<0，解得－2<k<2. 答案：(－2，2) [学生用书P32] 1．(1＋i)(2－4i)＝(　　) A．4＋4i B．2＋4＋(2－4)i C．2－4i D．4－2＋(4－2)i 解析：选B.(1＋i)(2－4i)＝2＋4＋(2－4)i. 2．若z＝－1＋i，则＝(　　) A．－1＋i B．－1－i C．－＋i D．－－i 解析：选C. ＝－1－i，z＝(－1＋i)(－1－i)＝1＋3＝4.＝＝－＋i.故选C. 3．(多选)(教材P41练习AT4改编)已知－3＋4i是关于x的方程x2＋px＋q＝0(p，q∈R)的一个根，则(　　) A．方程的另一个根为－3－4i B．pq＝120 C．p－q＝－19 D．方程x2＋q－p＝0的根为±3i 解析：选AC.易知两个虚数根的实部相等，虚部互为相反数，所以另一个根为－3－4i，A正确；又(－3＋4i)(－3－4i)＝25＝q，即q＝25，又－6＝－p，解得p＝6，所以pq＝150，p－q＝－19，B错误，C正确；x2＋25－6＝0，即x2＝－19，故x2＋q－p＝0的根为±i，D错误． 4．若z＝为纯虚数，则复数z的虚部为__________． 解析：z＝＝ ＝， 因为复数z为纯虚数， 所以2－2m＝0，且4＋m≠0， 解得m＝1， 得z＝＝＝i， 所以虚部为1. 答案：1 5．已知2i＋a(a∈R)是方程2x2－12x＋b＝0的一个虚数根，则实数b＝________． 解析：2i＋a(a∈R)是方程2x2－12x＋b＝0的一个虚数根，则另一个虚数根是a－2i，由根与系数的关系， 得 解得 答案：26 1．已学习：复数代数形式的乘、除运算及复数范围内解方程． 2．须贯通：复数的乘法运算类似于多项式的乘法运算；复数的除法运算要“分母实数化”，类似于实数运算的“分母有理化”；与复数方程有关的问题，一般是利用复数相等把复数问题转化为实数问题求解，根与系数的关系仍然成立． 3．应注意：(1)在复数的运算中忽视i2＝－1造成运算失误； (2)实系数一元二次方程的虚数根成对出现，且互为共轭复数． 学科网（北京）股份有限公司 $