强化课 平行与垂直的综合应用(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第四册（人教B版）

　平行与垂直的综合应用 题型一　平行、垂直关系的相互转化 　如图，在四棱锥P­ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，E，F分别是CD，PC的中点．求证： (1)BE∥平面PAD； (2)CD⊥平面BEF. 【证明】　(1)因为CD＝2AB，E为CD的中点， 所以AB＝DE，又AB∥CD， 所以四边形ABED为平行四边形，则AD∥BE. 因为AD⊂平面PAD，BE⊄平面PAD， 所以BE∥平面PAD. (2)由AB∥CD，AB⊥AD，得CD⊥AD， 因为平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD＝AD，CD⊂底面ABCD， 所以CD⊥平面PAD. 因为E，F分别为CD，PC的中点，所以EF∥PD， 又EF⊄平面PAD，PD⊂平面PAD， 所以EF∥平面PAD. 由(1)得BE∥平面PAD，又因为BE∩EF＝E，BE，EF⊂平面BEF， 所以平面BEF∥平面PAD， 所以CD⊥平面BEF. (1)平行、垂直关系的相互转化 (2)证明空间线面平行或垂直的三个注意点 ①由已知想性质，由求证想判定． ②适当添加辅助线(或面)是常用的解题方法之一． ③用定理时要先明确条件，再由定理得出相应结论． [跟踪训练1] 已知在直三棱柱ABC­A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点． 求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1； (2)直线A1F∥平面ADE. 证明：(1)因为ABC­A1B1C1是直三棱柱， 所以CC1⊥平面ABC. 又AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD. 又因为AD⊥DE，CC1，DE⊂平面BCC1B1， CC1∩DE＝E，所以AD⊥平面BCC1B1. 又AD⊂平面ADE， 所以平面ADE⊥平面BCC1B1. (2)因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点， 所以A1F⊥B1C1. 因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F⊂平面A1B1C1， 所以CC1⊥A1F. 又因为CC1，B1C1⊂平面BCC1B1， CC1∩B1C1＝C1， 所以A1F⊥平面BCC1B1. 由(1)知AD⊥平面BCC1B1， 所以A1F∥AD. 又AD⊂平面ADE，A1F⊄平面ADE， 所以A1F∥平面ADE. 题型二　翻折问题 　如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，线段AD上有一点E，满足CD＝DE＝1，AE＝BC＝2.现将△ABE，△CDE分别沿BE，CE折起，使AD＝，BD＝，得到如图2所示的几何体，求证：AB∥CD. 【证明】　在Rt△EDC中，CD＝DE＝1，所以EC＝，∠DEC＝∠ECB＝45°.在△BEC中，EC＝，BC＝2，∠ECB＝45°，由余弦定理得BE＝ ＝，所以EC2＋BE2＝BC2，所以BE⊥EC.同理可得，在△ABE中，AB＝，且AB⊥BE.在△ABD中，因为AB2＋BD2＝AD2，所以AB⊥BD.因为BD∩BE＝B，BD，BE⊂平面BDE，所以AB⊥平面BDE.在Rt△EDC中，ED⊥CD.在△BDC中，因为BD2＋CD2＝BC2，所以BD⊥CD.又ED∩BD＝D，ED，BD⊂平面BDE，所以CD⊥平面BDE，所以AB∥CD. 求解翻折问题的步骤 [跟踪训练2] (1)如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，在△BCD中，∠BCD＝90°且BC＝3.将△ABC沿BC边翻折，设点A在平面BCD内的射影为点M.若AM＝，则(　　) A．平面ABD⊥平面BCD B．平面ABC⊥平面ABD C．AB⊥CD D．AC⊥BD 解析：选C.因为AM＝，△ABC是等腰直角三角形且BC＝3，所以点M是BC边上的中点，则翻折后如图所示．因为点A在平面BCD内的射影为点M，所以AM⊥平面BCD.又CD⊂平面BCD，所以AM⊥CD.因为∠BCD＝90°，所以CD⊥BC.又AM∩BC＝M，AM，BC⊂平面ABC，所以CD⊥平面ABC.又AB⊂平面ABC，所以AB⊥CD. (2)若E，F分别是正三角形A′BC的边A′B，A′C 的中点，沿EF把正三角形折成60°的二面角(如图)，则∠ABC的正切值为(　　) A．　 B． C．　 D． 解析：选B.如图所示，取BC的中点M，连接A′M，交EF于点N，连接AN，AM，AC.因为△A′BC为正三角形，则A′M⊥BC，又点E，F分别是△A′BC的边A′B，A′C的中点，则MN⊥EF，A′N⊥EF，所以AN⊥EF，可证得EF⊥平面AMN，又AM⊂平面AMN，则EF⊥AM，所以AM⊥BC，所以二面角A­EF­B的平面角为∠ANM＝60°，而A′N＝MN＝AN，所以△AMN为等边三角形．设等边三角形A′BC的边长为2a，则AM＝AN＝A′M＝a，所以tan ∠ABC＝＝. 题型三　探索性问题 　如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝2，AA1＝，E，F分别为棱AB和BC的中点． (1)求直线BC1与平面ABB1A1所成的角的正弦值； (2)在线段CC1是否存在一点M，使得平面MEF∥平面A1BC1？若存在，请指出点M的位置并证明；若不存在，请说明理由． 【解】　(1)如图1，取A1B1的中点D，连接BD，C1D.在正三棱柱ABC­A1B1C1中，C1D⊥A1B1，AA1⊥平面A1B1C1. 因为C1D⊂平面A1B1C1，所以AA1⊥C1D. 因为AA1∩A1B1＝A1，AA1，A1B1⊂平面ABB1A1，所以C1D⊥平面ABB1A1， 所以∠C1BD即直线BC1与平面ABB1A1所成的角． 因为AB＝2，AA1＝， 所以C1D＝，BC1＝＝， 所以sin ∠C1BD＝＝， 即直线BC1与平面ABB1A1所成的角的正弦值为. (2)当M为CC1的中点时，平面MEF∥平面A1BC1. 证明如下： 取CC1的中点为M，连接ME，MF，如图2， 因为E，F分别是AB和BC的中点，所以MF∥BC1，EF∥AC. 因为MF⊄平面A1BC1，BC1⊂平面A1BC1， 所以MF∥平面A1BC1. 因为AC∥A1C1，所以EF∥A1C1， 因为EF⊄平面A1BC1，A1C1⊂平面A1BC1， 所以EF∥平面A1BC1. 又EF∩MF＝F，EF，MF⊂平面MEF， 所以平面MEF∥平面A1BC1. 探索性问题的一般解题方法 先假设其存在，然后把这个假设作为已知条件，和题目的其他已知条件一起进行推理论证和计算．在推理论证和计算无误的前提下，如果得到了一个合理的结论，则说明存在；如果得到了一个不合理的结论，则说明不存在． [跟踪训练3] 如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AA1＝，D是A1B1的中点． (1)求证：C1D⊥平面AA1B1B； (2)当点F在BB1上的什么位置时，会使得AB1⊥平面C1DF？证明你的结论． 解：(1)证明：因为ABC­A1B1C1是直三棱柱， 所以A1C1＝B1C1＝1且∠A1C1B1＝90°， AA1⊥平面A1B1C1. 因为C1D⊂平面A1B1C1，所以AA1⊥C1D. 因为D是A1B1的中点，所以C1D⊥A1B1. 又A1B1∩AA1＝A1，A1B1，AA1⊂平面AA1B1B， 所以C1D⊥平面AA1B1B. (2)如图，作DE⊥AB1于点E，延长DE交BB1于点F，连接C1F， 则AB1⊥平面C1DF，此时点F为BB1中点． 证明如下：由(1)知C1D⊥平面AA1B1B， AB1⊂平面AA1B1B，所以C1D⊥AB1. 又AB1⊥DF，DF∩C1D＝D，DF，C1D⊂平面C1DF，所以AB1⊥平面C1DF. 易知AA1＝A1B1＝， 所以四边形AA1B1B为正方形． 又D为A1B1的中点，DF⊥AB1， 所以F为BB1的中点． 所以当点F为BB1的中点时， AB1⊥平面C1DF. 学科网（北京）股份有限公司 $