培优3 空间角的求法(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第四册（人教B版）

本讲义聚焦高中数学空间角的求法这一核心知识点，系统梳理异面直线所成的角（含直接平移、中位线平移、补形平移法）、直线与平面所成的角（作射影、证明、计算步骤）、二面角（定义法、垂面法、垂线法）的求解方法，通过例题解析与尝试训练构建学习支架，帮助学生形成完整的空间角求解知识脉络。 该资料以具体例题为载体，引导学生从空间图形中抽象位置关系与数量关系（数学眼光），通过逻辑推理证明角的存在性与大小（数学思维），规范的解题步骤培养用数学语言表达推理过程的能力。课中辅助教师清晰呈现解题思路，课后学生可借助例题回顾与训练题强化，有效查漏补缺，提升空间几何问题解决能力。

　空间角的求法 类型一 异面直线所成的角 求异面直线所成的角，可通过多种方法平移产生三角形，主要有三种方法：(1)直接平移法(可利用图中已有的平行线)；(2)中位线平移法；(3)补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线). 　如图，在每个面都为等边三角形的四面体S­ABC中，若点E，F分别为SC，AB的中点，试求异面直线EF与SA所成的角． 【解】　如图，连接CF，SF， 设四面体S­ABC的棱长为a， 则SF＝CF＝a. 因为E为SC的中点， 所以EF⊥SC. 在Rt△SEF中，SE＝SC＝a， 所以EF＝＝a. 取SB的中点为D，连接ED，FD，则FD∥SA，所以∠DFE(或其补角)为异面直线EF与SA所成的角．因为BC＝SA＝a， 而FD∥SA，且FD＝SA，ED∥CB， 且ED＝CB， 所以FD＝ED＝a， 所以FD2＋ED2＝EF2. 故△DEF是等腰直角三角形，可得∠DFE＝45°， 即异面直线EF与SA所成的角是45°. 类型二 直线与平面所成的角 求斜线和平面所成的角的步骤： (1)作(或找)：作(或找)出斜线在平面上的射影，作射影要过斜线上斜足以外的一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与题目中已知量有关，这样才能便于计算． (2)证：证明某平面角就是斜线和平面所成的角． (3)算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算． 　(1)《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马．已知在阳马P­ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝AB＝AD＝1，则直线PD与平面PAC所成的角的正弦值为(　　) A．　　　 B．　　　 C．　　　 D． (2)(多选)已知正方体ABCD­A1B1C1D1，则下列说法正确的是(　　) A．直线BC1与DA1所成的角为90° B．直线BC1与CA1所成的角为90° C．直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45° D．直线BC1与平面ABCD所成的角为45° 【解析】　(1)如图，连接BD，AC交于点O，由题知，四边形ABCD为正方形，则DO⊥AC.连接PO，因为PA⊥平面ABCD，DO⊂平面ABCD，所以PA⊥DO，而PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，则DO⊥平面PAC，于是∠DPO即为直线PD与平面PAC所成的角．因为PA＝AD＝1，PA⊥AD，所以PD＝＝.易得DO＝DB＝×＝，所以sin ∠DPO＝＝，即直线PD与平面PAC所成的角的正弦值为. (2)如图，连接AD1，在正方形A1ADD1中，AD1⊥DA1，因为AD1∥BC1，所以BC1⊥DA1，所以直线BC1与DA1所成的角为90°，故A正确； 在正方体ABCD­A1B1C1D1中，CD⊥平面BCC1B1，又BC1⊂平面BCC1B1，所以CD⊥BC1.连接B1C，则B1C⊥BC1.因为CD∩B1C＝C，CD，B1C⊂平面DCB1A1，所以BC1⊥平面DCB1A1，又CA1⊂平面DCB1A1，所以BC1⊥CA1，所以直线BC1与CA1所成的角为90°，故B正确； 连接A1C1，与B1D1交于点O，则易得OC1⊥平面BB1D1D，连接OB.因为OB⊂平面BB1D1D，所以OC1⊥OB，∠OBC1为直线BC1与平面BB1D1D所成的角．设正方体的棱长为a，则易得BC1＝a，OC1＝，所以在Rt△BOC1中，OC1＝BC1，所以∠OBC1＝30°，故C错误； 因为C1C⊥平面ABCD，所以∠CBC1为直线BC1与平面ABCD所成的角，易得∠CBC1＝45°，故D正确． 【答案】　(1)A　(2)ABD 类型三 二面角 角度1　定义法 在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图，∠AOB为二面角α­l­β的平面角． 　如图，在三棱锥V­ABC中，VA＝AB＝VB＝AC＝BC＝2，VC＝，求二面角V­AB­C的大小． 【解】　取AB的中点D，连接VD，CD， 因为在△VAB中， VA＝VB＝AB＝2， 所以△VAB为等边三角形， 所以VD⊥AB且VD＝， 同理CD⊥AB，CD＝， 所以∠VDC为二面角V­AB­C的平面角，且VD＝CD＝VC＝， 所以△VDC是等边三角形，∠VDC＝60°， 所以二面角V­AB­C的大小为60°. 角度2　垂面法 过二面角的棱上一点作二面角的棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面各有一条交线，这两条交线所成的角即二面角的平面角．如图，∠AOB为二面角α­l­β的平面角． 　如图，将正方形A1BCD折成直二面角A­BD­C，则二面角A­CD­B的余弦值为(　　) A． B． C． D． 【解析】　由题知平面ABD⊥平面BCD.如图，连接A1C交BD于点O，连接AO，则AO⊥BD， 因为平面ABD∩平面BCD＝BD，AO⊂平面ABD， 所以AO⊥平面BCD，CD⊂平面BCD， 所以AO⊥CD. 取CD的中点M，连接OM，AM， 则OM∥BC， 所以OM⊥CD，OM，AO⊂平面AOM， OM∩AO＝O， 所以CD⊥平面AOM， 所以∠AMO即为二面角A­CD­B的平面角． 不妨设正方形A1BCD的边长为2， 则AO＝，OM＝1， 所以AM＝＝. 所以cos ∠AMO＝＝. 【答案】　B 角度3　垂线法 过二面角的一个面内异于棱上的点A向另一个平面作垂线，垂足为B，由点B向二面角的棱作垂线，垂足为O，连接AO，则∠AOB为二面角的平面角或其补角．如图，∠AOB为二面角α­l­β的平面角． 　如图，平面β内一条直线AC与平面α所成的角为30°，AC与棱BD所成的角为45°，求二面角α­BD­β的大小． 【解】　如图，过点A作AE⊥平面α，E为垂足，作EF⊥BD，F为垂足，连接AF，CE，因为BD⊂平面α，所以AE⊥BD， 因为EF∩AE＝E，EF，AE⊂平面AEF， 所以BD⊥平面AEF，AF⊂平面AEF， 所以BD⊥AF， 所以∠AFE为二面角α­BD­β的平面角． 依题意知∠ACF＝45°，∠ACE＝30°， 设AC＝2，所以AF＝CF＝，AE＝1， 所以sin ∠AFE＝＝＝， 易知∠AFE∈(0，)，所以∠AFE＝45°. 所以二面角α­BD­β的大小为45°. 【尝试训练】 1．在三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1⊥AB，AA1⊥AC.若AB＝AC＝AA1＝1，BC＝，则异面直线A1C与B1C1所成的角为(　　) A．60° B．30° C．90° D．45° 解析：选A.因为几何体是棱柱，BC∥B1C1，则异面直线A1C与BC所成的角就是异面直线A1C与B1C1所成的角． 在三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1⊥AB，AA1⊥AC，连接BA1(图略)，因为AB＝AC＝AA1＝1， 所以BA1＝，CA1＝，又BC＝. 所以△BCA1是等边三角形， 所以异面直线A1C与B1C1所成的角为60°. 2．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，BB1和平面ACD1所成角的余弦值为(　　) A． B． C． D． 解析：选D.如图，不妨设正方体的棱长为1，上、下底面的中心分别为O1，O，连接OD1，OO1，O1D1，则OO1∥BB1，O1O和平面ACD1所成的角就是BB1和平面ACD1所成的角，即∠O1OD1，在Rt△OO1D1中，cos ∠O1OD1＝＝＝. 3．(2023·全国乙卷)已知△ABC为等腰直角三角形，AB为斜边，△ABD为等边三角形．若二面角C­AB­D为150°，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为(　　) A． B． C． D． 解析：选C.如图，取AB的中点O，连接OC，OD，则AB⊥OC，AB⊥OD，∠DOC＝150°，过D作DE⊥OC，交CO的延长线于点E，易知DE⊥平面ABC，设OA＝2，则OC＝2，OD＝2，OE＝3，DE＝，所以tan ∠DCE＝＝.所以直线CD与平面ABC所成角的正切值为.故选C. 4．如图1所示，∠ABC＝∠ACD＝90°，AB＝BC＝，∠CAD＝30°，如图2所示，把△ABC沿AC折起，使平面ABC⊥平面ACD，E为AD的中点，连接BD，BE，EC. (1)求证：平面ABD⊥平面BCD； (2)求二面角E­BC­D的正弦值． 解：(1)证明：因为平面ABC⊥平面ACD，平面ABC∩平面ACD＝AC, CD⊥AC，CD⊂平面ACD， 所以CD⊥平面ABC，又AB⊂平面ABC， 所以AB⊥CD. 又AB⊥BC，BC∩CD＝C，BC，CD⊂平面BCD， 所以AB⊥平面BCD，又AB⊂平面ABD， 所以平面ABD⊥平面BCD. (2)如图，分别取BD，BC的中点F，G，连接EF，FG，EG. 因为E为AD的中点， 所以EF∥AB. 因为AB⊥平面BCD， 所以EF⊥平面BCD， 又BC⊂平面BCD，所以EF⊥BC. 易知FG∥CD，又CD⊥平面ABC， 所以FG⊥平面ABC， 又BC⊂平面ABC，所以FG⊥BC. 又EF∩FG＝F，EF，FG⊂平面EFG，所以BC⊥平面EFG， 又EG⊂平面EFG，所以BC⊥EG， 所以∠EGF是二面角E­BC­D的平面角． 因为∠ABC＝90°，AB＝BC＝， 所以AC＝＝2， 又因为∠ACD＝90°，∠CAD＝30°， 所以tan ∠CAD＝＝，所以CD＝2. 在Rt△EFG中，EF＝AB＝，FG＝CD＝1， 则EG＝＝， 所以sin ∠EGF＝＝， 即二面角E­BC­D的正弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $