10.1.1 复数的概念(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第四册（人教B版）

本高中数学讲义聚焦“复数的概念”核心知识点，从数系扩充的必要性切入，系统梳理复数定义（a+bi）、实部虚部表示、分类（实数、虚数、纯虚数）及复数相等充要条件，构建连贯知识脉络与学习支架。 以数系扩充历史问题链引入，培养数学眼光，通过分类讨论参数求解例题发展数学思维，结合即时练与教材改编题强化数学语言表达。课中助力教师互动教学，课后便于学生巩固查漏。

10．1　复数及其几何意义 10．1.1　复数的概念 1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数系的扩充过程．　2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念．　3.掌握复数的表示方法，理解复数相等的充要条件． 　 数系的扩充过程，也可以从方程是否有解的角度来理解： 因为类似x＋4＝3的方程在自然数范围内无解，所以人们引入了负数并将自然数扩充成整数，使得类似x＋4＝3的方程在整数范围内有解； 因为类似2x＝5的方程在整数范围内无解，所以人们引入了分数并将整数扩充成有理数，使得类似2x＝5的方程在有理数范围内有解； 因为类似x2＝7的方程在有理数范围内无解，所以人们引入了无理数并将有理数扩充成实数，使得类似x2＝7的方程在实数范围内有解． 思考　我们已经知道，类似x2＝－1的方程在实数范围内无解．那么，能否像前面一样，引入一种新的数，使得这个方程有解并将实数进行扩充呢？ 提示：能．引入虚数单位i，使i2＝－1，则方程x2＝－1的解为x＝±i. 1．定义：一般地，当a与b都是实数时，称a＋bi为复数．其中称i为________，满足i2＝________． 2．表示方法：复数一般用小写字母z表示，即________________，其中________称为z的实部，________称为z的虚部，分别记作Re(z)＝a，Im(z)＝b. 3．复数集：所有复数组成的集合称为复数集，复数集通常用大写字母C表示，因此C＝{z|z＝a＋bi，a，b∈R}． [答案自填] 虚数单位　－1　z＝a＋bi(a，b∈R)　a　b 【即时练】 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)复数z＝1－i的实部是1，虚部是－i.(　　) (2)方程x2＋1＝0的解为x＝±i.(　　) 答案：(1)×　(2)√ 2．复数z＝1－2i的虚部是(　　) A．2　　　B．－2 C．2i D．－2i 解析：选B.虚部不带i，z＝1－2i的虚部是－2. 3．若复数z＝(2a－1)＋(3＋a)i(a∈R)的实部与虚部相等，则a＝________． 解析：由题意知2a－1＝3＋a，解得a＝4. 答案：4 在复数a＋bi(a，b∈R)中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部，特别注意，b连同它的符号叫做复数的虚部． 1．复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以分类如下： 2．复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 [答案自填] 实数　虚数　a＝0　a≠0 　(对接教材例1)当实数m取何值时，复数z＝＋(m2－2m－15)i是下列数？ (1)虚数；(2)纯虚数． 【解】　(1)当即m≠5且m≠－3时，复数z是虚数． (2)当即m＝3或m＝－2时，复数z是纯虚数． 【变式探究】 (设问变式)本例条件不变，则当z＞0时，m的值为(　　) A．1 B．5 C．－2 D．3 解析：选B.因为z＞0，所以z为实数，需满足解得m＝5. 利用复数的分类求参数的方法及注意事项 (1)利用复数的分类求参数时，首先应将复数化为标准的代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，得到实部与虚部，再求解． (2)要注意确定使实部、虚部的式子有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解． [跟踪训练1] (1)已知i是虚数单位，复数z＝(x2－4)＋(x＋2)i是纯虚数，则实数x的值为(　　) A．2 B．－2 C．±2 D．4 解析：选A.由z＝(x2－4)＋(x＋2)i是纯虚数，得解得x＝2.故选A. (2)(2024·北京市东城区期中)复数z＝(a＋1)＋(a2－3)i，若z＜0，则实数a的值是(　　) A． B．－ C．－1 D．1 解析：选B.能比较大小的两个数一定都是实数，故a2－3＝0，解得a＝±，又z＜0，即a＋1＜0，所以a＜－1，故a＝－. 两个复数z1与z2，如果实部与虚部都对应相等，我们就说这两个复数相等，记作z1＝z2. 这就是说，如果a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔____________． 特别地，当a，b都是实数时，a＋bi＝0的充要条件是____________． [答案自填] a＝c且b＝d　a＝0且b＝0 　(1)若xi－2i2＝y＋2yi，x，y∈R，则复数x＋yi＝(　　) A．－2＋i B．4＋2i C．1－2i D．1＋2i (2)(2024·丹东月考)若a，b∈R，i是虚数单位，且b＋(a－2)i＝1＋i，则a＋b的值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】　(1)由i2＝－1，得xi－2i2＝2＋xi， 则2＋xi＝y＋2yi， 根据复数相等的充要条件得 解得故x＋yi＝4＋2i. (2)因为b＋(a－2)i＝1＋i， 所以 所以a＝3，b＝1.所以a＋b＝4. 【答案】　(1)B　(2)D 复数相等问题的解题技巧 (1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解； (2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现． [跟踪训练2] (1)(多选)下列说法正确的是(　　) A.如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等 B．ai是纯虚数(a∈R) C．如果复数x＋yi(x，y∈R)是实数，那么x＝0，y＝0 D．复数a＋bi(a，b∈R)可能是实数 解析：选AD.若两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，则它们的实部、虚部分别相等，即这两个复数相等，故A正确； 当a＝0时，ai＝0是实数，故B错误； 要使复数x＋yi(x，y∈R)是实数，只需y＝0，所以C错误；当b＝0时，复数a＋bi是实数，故D正确． (2)已知x－2y＋3＋(x＋y)i＝0，x，y∈R，则x＝________，y＝________． 解析：因为x－2y＋3＋(x＋y)i＝0， 所以所以 答案：－1　1 1．设i是虚数单位，若复数z＝3＋2a＋(2－3a)i的实部与虚部互为相反数，则实数a＝(　　) A．5　　　　 B．－5 C．3 D．－3 解析：选A.因为复数z＝3＋2a＋(2－3a)i的实部与虚部互为相反数，所以3＋2a＝－(2－3a)，解得a＝5. 2．(教材P28练习AT4改编)若实数x，y满足x＋y＋(x－y)i＝2，则xy的值是(　　) A．－2　　 B．2 C．1　　 D．－3 解析：选C.依题意得得x＝y＝1，则xy＝1. 3．若4－3a－a2i＝a2＋4ai，则实数a＝____________． 解析：由题意得解得a＝－4. 答案：－4 4．(教材P28练习BT2改编)当实数m取什么值时，复数z＝(m2＋m－6)＋(m2－m－2)i(m∈R)是下列数？ (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数． 解：(1)若z是实数，则m2－m－2＝0， 解得m＝2或m＝－1. (2)若z是虚数，则m2－m－2≠0， 解得m≠2且m≠－1. (3)若z是纯虚数，则解得m＝－3. 1．已学习：数系的扩充、复数的概念及分类、复数相等的充要条件． 2．须贯通：两个复数一般不能比较大小，如有大小关系，则它们一定是实数；两个复数相等的充要条件是实部与虚部分别相等；复数问题实数化是求解复数的基本方法，体现了转化与化归的数学思想． 3．应注意：(1)复数代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)是否规范； (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)是纯虚数的充要条件是b≠0且a＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $