强化课 解三角形(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第四册（人教B版）

本讲义聚焦解三角形核心知识点，系统梳理利用正弦定理、余弦定理解决面积计算、多边形问题、最值范围及与向量、三角函数交汇问题的方法，构建从基础应用到综合拓展的学习支架。 资料以高考真题为例题，搭配跟踪训练，通过逻辑推理培养数学思维，用符号公式精准表达数学关系提升数学语言能力，课中辅助教师高效授课，课后助力学生巩固知识、查漏补缺，提升解题能力。

　解三角形 题型一　与三角形面积有关的计算 　(2024·新课标Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin C＝cos B，a2＋b2－c2＝ab. (1)求B； (2)若△ABC的面积为3＋，求c. 【解】　(1)由余弦定理得cos C＝＝， 又0<C<π，所以C＝. 所以cos B＝sin C＝，所以cos B＝， 又0<B<π，所以B＝. (2)由(1)得A＝π－B－C＝，sin A＝sin ＝sin (＋)＝sin cos ＋cos sin ＝. 由正弦定理＝，得＝， 所以a＝c. 所以△ABC的面积S＝ac sin B＝c2×＝3＋，得c＝2. 求三角形面积的解题思路 在应用三角形面积公式S＝ab sin C＝bc sin A＝ac sin B求解时，一般是已知哪个角就使用哪一个相应的公式． [跟踪训练1] (1)在△ABC中，已知a＝1，c＝2且△ABC的面积为，则B＝(　　) A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120° 解析：选D.由面积公式S△ABC＝ac sin B＝×1×2×sin B＝，解得sin B＝，所以B＝60°或120°.故选D. (2)(2024·抚顺月考)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a＝2，b＝3，sin A＝2sin B cos C，则△ABC的面积为_______________________________________________． 解析：依题意sin A＝2sin B cos C，由正弦定理得a＝2b cos C，2＝2×3×cos C，cos C＝>0，所以0<C<，所以sin C＝＝，所以△ABC的面积为ab sin C＝×2×3×＝2. 答案：2 　如图，在平面四边形ABCD中，∠CAD＝∠BAC＝，∠BCD＝，BD＝，BC＝2.求： (1)sin ∠CBD； (2)AC的长． 【解】　(1)在△DCB中，由余弦定理得cos ∠BCD＝，即－＝，所以CD＝(负值已舍去). 由正弦定理可得＝， 即sin ∠CBD＝＝＝. (2)在△ACD中，由正弦定理得 ＝， 所以sin ∠ADC＝. 在△ABC中，由正弦定理得 ＝， 所以sin ∠ABC＝AC. 因为∠CAD＝∠BAC＝，∠BCD＝， 所以∠ADC＋∠ABC＝， 所以sin2∠ADC＋sin2∠ABC＝cos2∠ABC＋sin2∠ABC＝1， 所以＋＝1，所以AC＝. 多边形中计算问题的解题思路 (1)正确挖掘图形中的几何条件，简化运算是解题要点，还要善于应用正弦定理、余弦定理．只需通过解三角形，一般问题便能很快解决． (2)解决此类问题的关键是仔细观察，发现图形中较隐蔽的几何条件． [跟踪训练2] (2024·大连期中)如图，在圆内接四边形ABCD中，B＝120°，AB＝2，AD＝2，△ABC的面积为.求： (1)AC的长； (2)∠ACD. 解：(1)因为△ABC的面积为， 所以AB·BC sin B＝. 又因为B＝120°，AB＝2，所以BC＝2. 由余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos B＝22＋22－2×2×2cos 120°＝12，所以AC＝2. (2)因为四边形ABCD为圆内接四边形， 且B＝120°， 所以D＝60°. 又AD＝2，由正弦定理可得＝， 故sin ∠ACD＝＝＝. 因为AC＞AD，所以0°＜∠ACD＜60°， 所以∠ACD＝45°. 题型三　三角形中的最值(范围)问题 　已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若c＝a sin B＋b cos A，b＝2，则△ABC面积的最大值为________． 【解析】 因为a cos B＋b cos A＝2R(sin A cos B＋sin B cos A)＝2R sin C＝c， 所以c＝a cos B＋b cos A＝a sin B＋b cos A， 即tan B＝，B＝.所以△ABC的面积S＝ac sin B＝ac，又cos B＝＝， 所以a2＋c2－4＝ac， 所以2ac－4≤ac，ac≤4(＋2)， 即S≤＋2. 【答案】 ＋2 三角形的面积(或周长)与三边及角是密切相关的，因此解决此类问题时，往往都是找到三边的关系式，减少变量，利用均值不等式求解． [跟踪训练3] (多选)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足b sin A＝a cos (B－)，则(　　) A．B＝ B．若b＝3，则△ABC周长的最大值为3＋2 C．若D为AC的中点，且BD＝1，则△ABC的面积的最大值为 D．若角B的平分线BD与边AC相交于点D，且BD＝，则a＋4c的最小值为9 解析：选ACD.由b sin A＝a cos (B－)及正弦定理可得sin B sin A＝sin A(cos B＋sin B)，又A∈(0，π)，所以sin A≠0，所以sin B＝cos B＋sin B，则tan B＝，因为B∈(0，π)，所以B＝，故A正确； 若b＝3，则△ABC的外接圆直径2R＝＝2，所以a＋c＝2R(sin A＋sin C)＝2R[sin A＋sin (－A)]＝2R(sin A＋cos A)＝6sin (A＋)，由A∈(0，)，得A＋∈(，)，所以a＋c∈(3，6]，所以△ABC周长的最大值为9，故B错误；若D为AC的中点，且BD＝1， 则2＝＋， 则4＝a2＋c2＋2·＝a2＋c2＋ac≥3ac，所以ac≤，当且仅当a＝c时，等号成立，所以S△ABC＝ac sin B＝ac≤×＝，故C正确； 由题意得S△ABD＋S△BCD＝S△ABC，即c×BD×sin ＋a×BD×sin ＝c×a×sin ，即a＋c＝ac，即＋＝1， 所以a＋4c＝(a＋4c)(＋)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当a＝2c＝3时，等号成立，故D正确．故选ACD. 题型四　解三角形与向量、三角函数交汇 　在锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足·＝b2－ab. (1)求角C的大小； (2)求sin A＋sin B＋sin C的取值范围． 【解】 (1)·＝bc cos A＝＝b2－ab， 整理得a2＋b2－c2＝ab， 故cos C＝＝， 又0＜C＜，所以C＝. (2)由△ABC为锐角三角形知A∈， B＝π－－A∈， 得A∈， 故sin A＋sin B＋sin C＝sin A＋sin ＋ ＝sin A＋sin A cos ＋cos A sin ＋ ＝sin A＋cos A＋ ＝sin ＋， 因为A∈，A＋∈， 得sin ∈， 所以sin A＋sin B＋sin C∈. 解决此类问题，往往通过平面向量的运算、三角恒等变换把三角形中的边角关系转化为三角函数关系，结合三角函数的图象与性质来求解，此时应密切关注三角函数中角的范围，特别注意对题目隐含条件的应用，如锐角三角形、钝角三角形等． [跟踪训练4] 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，m＝(2a，2b)，n＝(cos B，cos A)，且m·n＝. (1)求C； (2)若c＝3，求当函数f(B)＝cos 2B－4cos C sin B取得最小值时△ABC的周长． 解：(1)由题意可得m·n＝2a cos B＋2b cos A＝，由正弦定理可得 2sin A cos B＋2sin B cos A＝， 则2sin (A＋B)＝， 所以2sin C＝，因为sin C≠0， 因此cos C＝，又C∈(0，π)，所以C＝. (2)因为f(B)＝cos 2B－4cos C sin B＝1－2sin2B－2sinB＝－2＋， 由C＝可得0＜B＜， 因此0＜sin B≤1，所以当且仅当sin B＝1时， f(B)＝－2＋取得最小值， 此时B＝，A＝. 因为c＝3，所以b＝＝2，a＝＝， 则△ABC的周长为a＋b＋c＝3＋3. 学科网（北京）股份有限公司 $