培优1 三角形中的特殊线段(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第四册（人教B版）

本高中数学讲义聚焦三角形中的特殊线段，系统梳理中线、角平分线、高线问题的求解思路，涵盖中线长定理、向量法、等面积法等核心方法，并结合正弦定理、余弦定理构建解题支架，通过例题解析与训练题形成完整学习链。 资料以“问题情境—方法提炼—实例应用”为主线，通过中线问题中向量法的逻辑推理培养数学思维，角平分线问题中等面积法的几何直观发展数学眼光，高线问题中向量与余弦定理的综合运用提升数学语言表达能力。例题步骤详尽助力课中教学，训练题分层设计便于课后查漏补缺。

　三角形中的特殊线段 类型一 三角形的中线问题 求解三角形中的中线问题，主要有两种思路： 在△ABC中，AD是边BC上的中线，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. (1)中线长定理：AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2)； (2)向量法：2＝(b2＋c2＋2bc cos A). 　在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b cos ＝a sin B． (1)求A； (2)若a＝，·＝3，AD是△ABC的中线，求AD的长． 【解】　(1)因为cos ＝cos (－)＝sin ，所以b sin ＝a sin B， 由正弦定理得sin B sin ＝sin A sin B， 因为B∈(0，π)，所以sin B≠0，所以sin ＝sin A， 所以sin ＝2sin cos ，因为A∈(0，π)，∈(0，)，所以sin ≠0， 得cos ＝，即＝，所以A＝. (2)因为·＝3， 所以bc cos (π－A)＝3，得bc＝6， 由余弦定理得b2＋c2＝a2＋2bc cos A＝13， 因为＝(＋)， 所以||2＝(＋)2＝(c2＋b2＋2bc cos A)＝， 所以||＝，即AD的长为. 类型二 三角形的角平分线问题 求解三角形的角平分线问题，主要有以下常用解法： 在△ABC中，AD为△ABC的内角∠BAC的平分线，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. (1)利用角度的倍数关系：∠BAC＝2∠BAD＝2∠CAD； (2)内角平分线定理：＝； (3)等面积法：S△ABD＋S△ACD＝S△ABC，AD＝(角平分线长公式). 　(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B＝，b＝2，b2＋c2－a2＝bc.若∠BAC的平分线与BC交于点E，则AE＝(　　) A． B． C．2 D．3 (2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c(a≠c)，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，BD＝2，则 (　　) A．ac＝a＋c B．ac＝2a＋c C．ac＝a＋2c D．ac＝2a＋2c 【解析】　(1)因为b2＋c2－a2＝bc， 所以cos ∠BAC＝＝， 因为B＝，所以∠BAC∈(0，)，所以∠BAC＝，所以C＝，所以＝，所以c＝×＝2.因为AE平分∠BAC，所以∠BAE＝∠BAC＝，所以∠AEB＝π－－＝， 所以＝，所以AE＝＝×sin ＝×＝. (2) 如图所示，因为S△ABC＝S△BCD＋S△ABD，所以ac·sin 120°＝×2×a sin 60°＋×2×c sin 60°， 即ac＝a＋c， 所以ac＝2a＋2c. 【答案】　(1)A　(2)D 类型三 三角形的高线问题 　在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝sin A tan . (1)求C； (2)若a＝8，b＝5，CH是边AB上的高，且＝m＋n，求. 【解】　(1)在△ABC中，＝sin A tan ，由正弦定理和同角三角函数的关系， 得＝， 由倍角公式得＝. 又因为A，C为△ABC的内角， 所以A∈(0，π)，∈(0，)， 所以sin A≠0，cos ≠0. 所以sin2＝，sin＝， 则有＝，得C＝. (2)方法一：a＝8，b＝5，∠ACB＝，·＝||·||·cos ∠ACB＝ab cos ∠ACB＝8×5×cos ＝20， 所以2＝b2＝25，2＝a2＝64， 由题意知CH⊥AB，所以·＝0， 即(m＋n)·(－)＝(m－n)(·)－m2＋n2＝20(m－n)－25m＋64n＝0. 所以5m＝44n，所以＝. 方法二：在△ABC中，由余弦定理得 c2＝a2＋b2－2ab cos ∠ACB＝82＋52－2×8×5×＝49， 所以c＝7. 由题意，S△ABC＝ab sin ∠ACB＝c·CH， 所以CH＝＝＝. 所以AH＝＝，＝. 所以＝＋＝＋(－)＝＋. 由平面向量基本定理知，m＝，n＝， 所以＝. 【尝试训练】 1．已知△ABC的面积为，C＝120°，c＝2b cos B，则AC边上的中线长为(　　) A． B．3 C． D．4 解析：选C.由题意结合正弦定理得sin C＝2sin B cos B，即sin C＝sin 2B，因为B，C为△ABC的内角，所以C＝2B或C＋2B＝180°，当C＝2B时，B＝60°，不符合三角形内角和定理，当C＋2B＝180°时，B＝30°，故A＝30°，因此a＝b，因为△ABC的面积为，所以a·a·＝，解得a＝2(负值已舍去)，即a＝b＝2.由余弦定理可知AB＝＝ ＝2.设AC边的中点为D，则＝(＋)，因此||＝ ＝ ＝×＝.故选C. 2．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝60°，b＝3c，角A的平分线交BC于点D，且BD＝，则cos ∠ADB＝(　　) A．－ B． C． D．± 解析：选B.因为A＝60°，角A的平分线交BC于点D，所以∠CAD＝∠BAD＝30°.又b＝3c，所以＝＝＝＝3.因为BD＝，所以CD＝3，a＝CB＝4.由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bc cos 60°，所以112＝9c2＋c2－2×3c·c·，解得c＝4(负值已舍去).在△ABD中，由正弦定理得＝，即＝，所以sin ∠ADB＝.因为b>c，所以B>C.又因为∠ADB＝30°＋C，∠ADC＝30°＋B，所以∠ADB<∠ADC，所以∠ADB为锐角，所以cos ∠ADB＝.故选B. 3．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a＝2，b＝3，cos C＝－.求： (1)△ABC的周长； (2)AB边上的高． 解：(1)在△ABC中，由余弦定理的推论得 cos C＝＝＝－， 解得c＝4(负值已舍去)， 所以△ABC的周长为a＋b＋c＝2＋3＋4＝9. (2)因为cos C＝－，C∈(0，π)， 所以sin C＝＝. 设AB边上的高为h， 则ab sinC＝ch， 即×2×3×＝×4h， 解得h＝， 所以AB边上的高为. 学科网（北京）股份有限公司 $