6.1.3 基本初等函数的导数 课后达标检测(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

1．若f(x)＝2π，则f′(x)＝ (　　)

A．π2π－1 B．2πln π

C．1 D．0

解析：选D．由f(x)＝2π，所以函数f(x)是常函数，所以f′(x)＝0.故选D．

2．函数y＝ (x>0)的导数为(　　)

A． B．

C． D．

解析：选B．y＝x，则y′＝x＝.故选B．

3．已知函数f(x)＝logax(a>0且a≠1)，若f′(1)＝1，则a＝(　　)

A．e B．

C． D．

解析：选A．f(x)＝logax(a>0且a≠1)，

则f′(x)＝，

所以f′(1)＝＝1，所以a＝e.故选A．

4．已知函数f(x)＝cos x，则曲线y＝f(x)在x＝处的切线的倾斜角为(　　)

A． B．

C． D．

解析：选B．f′(x)＝－sin x，则f′＝－sin ＝－1，则切线斜率为－1，因为倾斜角范围是[0，π)，则倾斜角为.故选B．

5．已知幂函数f(x)＝(m2－m－1)x2m－1在(0，＋∞)上单调递减，则曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为(　　)

A．3x－y－2＝0 B．x－y－2＝0

C．3x＋y－4＝0 D．x＋y－2＝0

解析：选C．由于f(x)为幂函数，则m2－m－1＝1，解得m＝－1或m＝2，又f(x)在(0，＋∞)上单调递减，得2m－1<0，即m<，故m＝－1，则f(x)＝x－3，可得f(1)＝1，f′(x)＝－3x－4，则f′(1)＝－3，故曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y－1＝－3(x－1)，即3x＋y－4＝0.故选C．

6．(多选)下列函数中，其图象在某点处的切线与直线y＝x＋b平行的是(　　)

A．f(x)＝ B．f(x)＝x4

C．f(x)＝cos x D．f(x)＝ln x

解析：选BCD．对于A，由f(x)＝，

可得f′(x)＝－<0，f′(x)＝无解，所以A不符合题意；

对于B，由f(x)＝x4，可得f′(x)＝4x3，f′(x)＝有解，所以B符合题意；

对于C，由f(x)＝cos x，可得f′(x)＝－sin x，

f′(x)＝有解，所以C符合题意；

对于D，由f(x)＝ln x，可得f′(x)＝，f′(x)＝有解，所以D符合题意．

故选BCD．

7．在曲线C：y＝x3的切线中，斜率最小的切线的方程为________________．

解析：因为y＝x3，所以y′＝3x2≥0，

所以当x＝0时，斜率最小为0，切点为(0，0)，

此时切线方程为y＝0.

答案：y＝0

8．曲线y＝f(x)＝ex的倾斜角为的切线的切点坐标为________．

解析：由已知得f′(x)＝ex，

切线的斜率k＝tan ＝.

设切点坐标为(x0，y0)，则ex0＝，

所以x0＝－ln 3.

又y0＝f(x0)＝ex0＝，

所以切点坐标为(－ln 3，).

答案：(－ln 3，)

9．设曲线f(x)＝xn＋1(n∈N＋)在点(1，1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·x2·x3·x4·…·x2 024＝________．

解析：因为f′(x)＝(n＋1)xn，所以f′(1)＝n＋1，

所以f(x)在点(1，1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，

令y＝0得，xn＝－＋1＝，

所以x1·x2·x3·x4·…·x2 024＝××××…×＝.

答案：

10．求下列函数的导数．