6.1.2 第2课时 导数的几何意义 课后达标检测(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

1．已知曲线y＝x2＋6上一点A(2，10)，则在点A处的切线斜率为(　　) A．4 B．16 C．8 D．2 解析：选A．斜率k＝ ＝4.故选A． 2．已知函数f(x)的图象与直线4x－y－4＝0相切于点(2，f(2))，则f(2)＋f′(2)＝(　　) A．4 B．8 C．0 D．－8 解析：选B．直线4x－y－4＝0的斜率为4，直线与函数f(x)的图象相切于点(2，f(2))，所以f′(2)＝4，又点(2，f(2))在函数的图象上，同时也在切线上，所以4×2－f(2)－4＝0，所以f(2)＝4.则f(2)＋f′(2)＝8.故选B． 3．已知函数f(x)满足f′(x1)>0，f′(x2)<0，则在x1和x2附近符合条件的f(x)的图象大致是　(　　) 解析：选D．由f′(x1)>0，f′(x2)<0可知，f(x)的图象在x1处切线的斜率为正，在x2处切线的斜率为负． 4．若曲线y＝f(x)在其上一点(1，3)处的切线过点(0，2)，则(　　) A．f′(1)>0 B．f′(1)＝0 C．f′(1)<0 D．f′(1)不存在 解析：选A．由题意知切线过点(1，3)，(0，2)， 所以切线的斜率k＝f′(1)＝＝1>0.故选A． 5．已知函数f(x)在R上可导，其部分图象如图所示，设＝a，则下列不等式正确的是(　　) A．a＜f′(2)＜f′(4) B．f′(2)＜a＜f′(4) C．f′(4)＜f′(2)＜a D．f′(2)＜f′(4)＜a 解析：选B．设M(2，f(2))，N(4，f(4))， 则f′(2)为曲线在点M处切线的斜率， f′(4)为曲线在点N处切线的斜率，kMN＝＝a，则a为直线MN的斜率，结合图象可得f′(2)＜a＜f′(4).故选B． 6．(多选)曲线f(x)＝x3－3x2＋1在点P处的切线平行于直线y＝9x－1，则切线方程为(　　) A．y＝9x B．y＝9x－26 C．y＝9x＋26 D．y＝9x＋6 解析：选BD．设P(x0，x－3x＋1)， f′(x0)＝ ＝ ＝3x－6x0＝9， 即x－2x0－3＝0， 解得x0＝－1或x0＝3. 所以点P的坐标为(－1，－3)或(3，1).所以切线方程为y＋3＝9(x＋1)或y－1＝9(x－3)， 即y＝9x＋6或y＝9x－26. 7．曲线f(x)＝x－在(1，0)处的切线方程为________． 解析：因为f′(1)＝ ＝2， 所以切线的斜率k＝2. 所以切线的方程为y＝2(x－1)＝2x－2. 答案：y＝2x－2 8．已知f(x)＝x2＋ax，f′(1)＝4，曲线f(x)在x＝1处的切线在y轴上的截距为－1，则实数a的值为________． 解析：由导数的几何意义，得切线的斜率为k＝f′(1)＝4. 又切线在y轴上的截距为－1， 所以曲线f(x)在x＝1处的切线方程为y＝4x－1， 从而可得切点坐标为(1，3)， 所以f(1)＝1＋a＝3，即a＝2. 答案：2 9．若曲线y＝2x2－4x＋p与直线y＝1相切，则p＝________． 解析：设切点坐标为(x0，1)， 则f′(x0)＝ ＝4x0－4＝0， 所以x0＝1，即切点坐标为(1，1). 所以2－4＋p＝1，即p＝3. 答案：3 10．已知抛物线y＝x2＋4与直线y＝x＋10.求： (1)抛物线与直线的交点； (2)抛物线在交点处的切线方程． 解：(1)由得或 所以抛物线与直线的交点坐标为(－2，8)或(3，13). (2)因为y＝f(x)＝x2＋4， 所以f′(x)＝ ＝ ＝(Δx＋2x)＝2x. 所以f′(－2)＝－4，f′(3)＝6， 即在点(－2，8)处的切线斜率为－4，在点(3，13)处的切线斜率为6. 所以在点(－2，8)处的切线方程为4x＋y＝0； 在点(3，13)处的切线方程为6x－y－5＝0. 11．已知抛物线y＝f(x)＝2x2＋1在某点处的切线的倾斜角为45°，则该切点的坐标为(　　) A．(0，1) B．(1，3) C．(－1，3) D． 解析：选D．设切点坐标为(x0，y0)， 则Δy＝[2(x0＋Δx)2＋1]－(2x＋1)＝4x0·Δx＋2(Δx)2， 所以＝4x0＋2Δx，所以f′(x0)＝ ＝4x0. 又因为切线的斜率为k＝tan 45°＝1， 所以4x0＝1，即x0＝. 所以y0＝2×＋1＝， 所以切点坐标为.故选D． 12．(多选)已知函数y＝f(x)(x∈R)图象上任一点(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x0－2)(x0＋4)(x－x0)，那么下列结论正确的有(　　) A．f′(1)＝－5 B．在x＝2处的切线平行或重合于x轴 C．切线斜率的最小值为1 D．f′(4)＝12 解析：选AB．由题意，可得f′(x0)＝(x0－2)(x0＋4). 对于A，f′(1)＝－5，故A正确； 对于B，当x＝2时，f′(2)＝0， 故在x＝2处的切线平行或重合于x轴，故B正确； 对于C，f′(x0)＝(x0－2)(x0＋4)＝x＋2x0－8＝(x0＋1)2－9≥－9，则切线斜率的最小值为－9，故C错误； 对于D，f′(4)＝(4－2)×(4＋4)＝16，故D错误． 故选AB． 13．曲线f(x)＝x3在点(1，1)处的切线与x轴，直线x＝2所围成的三角形的面积为________． 解析：因为f′(1)＝＝3，所以曲线f(x)＝x3在点(1，1)处的切线方程为y－1＝3(x－1)，即y＝3x－2，联立方程则y＝4，令y＝3x－2＝0，则x＝，故切线与x轴，直线x＝2所围成的三角形面积为××4＝. 答案： 14．已知曲线y＝2x2－7，求： (1)曲线在哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0? (2)曲线过点P(3，9)的切线方程． 解：设切点坐标为(x0，y0)， 则 ＝ ＝(4x0＋2Δx)＝4x0. (1)令4x0＝4，则x0＝1，y0＝－5， 所以曲线在点(1，－5)处的切线平行于直线4x－y－2＝0. (2)易知点P(3，9)不在曲线上． 因为切线的斜率k＝4x0， 故所求的切线方程为y－y0＝4x0(x－x0). 将P(3，9)及y0＝2x－7代入上式， 得9－(2x－7)＝4x0(3－x0). 解得x0＝2或x0＝4，所以切点为(2，1)或(4，25). 从而所求切线方程为8x－y－15＝0或16x－y－39＝0. 15．若曲线y＝f(x)＝x＋上任意一点P处的切线斜率为k，则实数k的取值范围是(　　) A．(－∞，－1) B．(－1，1) C．(－∞，1) D．(1，＋∞) 解析：选C．y＝x＋上任意一点P(x0，y0)处的切线斜率为k＝f′(x0)＝ ＝ ＝1－＜1. 即k＜1.故选C． 16．点P在曲线f(x)＝x2＋1上，且曲线在点P处的切线与曲线y＝－2x2－1相切，求点P的坐标． 解：设P(x0，y0)，则y0＝x＋1， f′(x0)＝ ＝2x0， 所以f(x)＝x2＋1在点P处的切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)， 即y＝2x0x＋1－x， 而此直线与曲线y＝－2x2－1相切， 所以切线与曲线y＝－2x2－1只有一个公共点， 由 得2x2＋2x0x＋2－x＝0， 则Δ＝4x－8(2－x)＝0， 解得x0＝±，则y0＝， 所以点P的坐标为(，)或(－，). 学科网（北京）股份有限公司 $