强化课 数列求和 课后达标检测(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

一、选择题

1．化简式子＋＋＋…＋，得(　　)

A．　　　　　   B．

C．    D．

解析：选D．  ＋＋＋…＋

＝×(1－)＋×(－)＋×(－)＋…＋×(－)＝×(1－)＝.故选D．

2．若数列{an}的前n项和为Sn，且an＋1＋an＝2n，则S10＝(　　)

A．684    B．682

C．342    D．341

解析：选B．a2＋a1＝21，a4＋a3＝23，

a6＋a5＝25，a8＋a7＝27，a10＋a9＝29，

所以S10＝21＋23＋25＋27＋29＝＝682.故选B．

3．已知数列{an}为等差数列，首项为1，公差为2，数列{bn}为等比数列，首项为1，公比为2，设cn＝abn，Tn为数列{cn}的前n项和，则当Tn<2 024时，n的最大值为(　　)

A．8    B．9

C．10    D．11

解析：选B．依题意得，an＝1＋2(n－1)＝2n－1，bn＝2n－1，cn＝abn＝2·2n－1－1＝2n－1，

则数列{cn}为递增数列，其前n项和Tn＝(21－1)＋(22－1)＋(23－1)＋…＋(2n

－1)＝(21＋22＋…＋2n)－n＝－n＝2n＋1－2－n，

当n＝9时，Tn＝1 013<2 024，

当n＝10时，Tn＝2 036>2 024，

所以n的最大值为9.故选B．

4．记正整数m，n的最大公约数为(m，n)，例如，(2，5)＝1，(6，15)＝3.已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＝(n，n＋2)，则S50＝(　　)

A．50    B．75

C．100    D．1 275

解析：选B．依题意，a1＝(1，3)＝1，a2＝(2，4)＝2，

a3＝(3，5)＝1，a4＝(4，6)＝2，

以此类推，可知当1≤n≤50，n∈N＋时，

当n为奇数时，an＝1；当n为偶数时，an＝2，

所以S50＝25×1＋25×2＝75.故选B．

5．已知函数f(x)＝xα的图象过点(4，2)，令an＝，n∈N＋.记数列{an}的前n项和为Sn，则S120＝(　　)

A．10    B．11

C．2－1    D．－1

解析：选A．由f(4)＝2，可得4α＝2，解得α＝，

则f(x)＝x＝.

所以an＝＝＝－ ，

S120＝(－1)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＋(－)＝－1＝10.故选A．

6．数列{an}满足a1＝1，对任意的n∈N＋都有an＋1＝a1＋an＋n，则＋＋…

＋＝(　　)

A．    B．

C．    D．

解析：选C．由an＋1＝a1＋an＋n，得an＋1－an＝n＋1，

当n≥2，n∈N＋时，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝n＋n－1＋…＋2＋1＝，

显然a1＝1也适合上式，所以an＝，于是有＝＝2×(－)，

因此＋＋…＋＝2×(1－＋－＋…＋－)＝2×＝.故选C．

7．已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＝，若Sn≤k恒成立，则k的最小值是(　　)

A．    B．4

C．    D．5

解析：选B．Sn＝＋＋＋…＋，

Sn＝＋＋＋…＋，

两式相减可得，

Sn＝＋＋＋＋…＋－＝＋－＝2－，