强化课 数列求和 课后达标检测(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

一、选择题 1．化简式子＋＋＋…＋，得(　　) A．　　　　　 B． C． D． 解析：选D． ＋＋＋…＋ ＝×(1－)＋×(－)＋×(－)＋…＋×(－)＝×(1－)＝.故选D． 2．若数列{an}的前n项和为Sn，且an＋1＋an＝2n，则S10＝(　　) A．684 B．682 C．342 D．341 解析：选B．a2＋a1＝21，a4＋a3＝23， a6＋a5＝25，a8＋a7＝27，a10＋a9＝29， 所以S10＝21＋23＋25＋27＋29＝＝682.故选B． 3．已知数列{an}为等差数列，首项为1，公差为2，数列{bn}为等比数列，首项为1，公比为2，设cn＝abn，Tn为数列{cn}的前n项和，则当Tn<2 024时，n的最大值为(　　) A．8 B．9 C．10 D．11 解析：选B．依题意得，an＝1＋2(n－1)＝2n－1，bn＝2n－1，cn＝abn＝2·2n－1－1＝2n－1， 则数列{cn}为递增数列，其前n项和Tn＝(21－1)＋(22－1)＋(23－1)＋…＋(2n－1)＝(21＋22＋…＋2n)－n＝－n＝2n＋1－2－n， 当n＝9时，Tn＝1 013<2 024， 当n＝10时，Tn＝2 036>2 024， 所以n的最大值为9.故选B． 4．记正整数m，n的最大公约数为(m，n)，例如，(2，5)＝1，(6，15)＝3.已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＝(n，n＋2)，则S50＝(　　) A．50 B．75 C．100 D．1 275 解析：选B．依题意，a1＝(1，3)＝1，a2＝(2，4)＝2， a3＝(3，5)＝1，a4＝(4，6)＝2， 以此类推，可知当1≤n≤50，n∈N＋时， 当n为奇数时，an＝1；当n为偶数时，an＝2， 所以S50＝25×1＋25×2＝75.故选B． 5．已知函数f(x)＝xα的图象过点(4，2)，令an＝，n∈N＋.记数列{an}的前n项和为Sn，则S120＝(　　) A．10 B．11 C．2－1 D．－1 解析：选A．由f(4)＝2，可得4α＝2，解得α＝， 则f(x)＝x＝. 所以an＝＝＝－ ， S120＝(－1)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＋(－)＝－1＝10.故选A． 6．数列{an}满足a1＝1，对任意的n∈N＋都有an＋1＝a1＋an＋n，则＋＋…＋＝(　　) A． B． C． D． 解析：选C．由an＋1＝a1＋an＋n，得an＋1－an＝n＋1， 当n≥2，n∈N＋时，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝n＋n－1＋…＋2＋1＝， 显然a1＝1也适合上式，所以an＝，于是有＝＝2×(－)， 因此＋＋…＋＝2×(1－＋－＋…＋－)＝2×＝.故选C． 7．已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＝，若Sn≤k恒成立，则k的最小值是(　　) A． B．4 C． D．5 解析：选B．Sn＝＋＋＋…＋， Sn＝＋＋＋…＋， 两式相减可得， Sn＝＋＋＋＋…＋－＝＋－＝2－，所以Sn＝4－，因为>0，所以4－<4，即Sn<4恒成立，故k≥4.故选B． 8．(多选)已知数列{an}：2，－4，6，－8，10，…，记{an}的前n项和为Sn，下列说法正确的是(　　) A．an＝(－2)n＋1 B．{a2n－1－a2n}是等差数列 C．S17>S19 D．S39＝40 解析：选BD．对于A，数列{an}：2，－4，6，－8，10，…的通项公式an＝(－1)n＋12n，故A错误； 对于B，a2n－1－a2n＝(－1)2n2(2n－1)－(－1)2n＋14n＝4n－2＋4n＝8n－2，故{a2n－1－a2n}是等差数列，故B正确； 对于C，S19＝S17＋a18＋a19＝S17－36＋38＝S17＋2>S17，故C错误； 对于D，S39＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a37＋a38)＋a39＝(2－4)＋(6－8)＋…＋(74－76)＋78＝19×(－2)＋78＝40，故D正确．故选BD． 9．(多选)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n，Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，则(　　) A．an＝n·2n－1 B．an＝n·2n C．Sn＝n·2n－1 D．Sn＝(n－1)·2n＋1 解析：选AD．因为an＋1＝2an＋2n，所以＝＋1，所以为等差数列，且首项为＝1，公差为1， 所以＝1＋(n－1)×1＝n，所以an＝n·2n－1， 所以Sn＝1×20＋2×21＋…＋n·2n－1， 两边同乘以2，得2Sn＝1×21＋2×22＋…＋n·2n， 两式相减，得－Sn＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n ＝－n·2n＝(1－n)·2n－1， 所以Sn＝(n－1)·2n＋1.故选AD． 10．(多选)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则f(x)＝[x]称为高斯函数．已知数列{an}满足a2＝2，且(n＋1)an＋1－nan＝2n＋1，令bn＝[lg an]，且数列{bn}的前n项和为Tn，则(　　) A．a4＝4 B．b6＝1 C．T100＝91 D．T2 024＝4 965 解析：选AD．由(n＋1)an＋1－nan＝2n＋1，且a2＝2， 所以2a2－a1＝3，可得a1＝1， 根据累加法可得： 当n≥2时，nan＝nan－(n－1)an－1＋…＋2a2－a1＋a1＝2(n－1)＋1＋…＋2×1＋1＋1＝2(1＋2＋…＋n－1)＋n＝2×＋n＝n2， 所以an＝n(n≥2)，又a1＝1也适合上式，所以an＝n(n∈N＋). 所以a4＝4，a6＝6，则lg a6＝lg 6∈(0，1)， 则b6＝[lg a6]＝[lg 6]＝0，A正确，B错误； 当1≤n≤9时，bn＝0；当10≤n≤99时，bn＝1； 当100≤n≤999时，bn＝2；当1 000≤n≤2 024时，bn＝3.所以T100＝0×9＋1×90＋2＝92，T2 024＝0×9＋1×90＋2×900＋3×1 025＝4 965，C错误，D正确．故选AD． 二、填空题 11．已知数列{an}满足anan＋1＝3n，a1＝1，则{an}的前10项和为__________． 解析：由于anan＋1＝3n，则an＋1an＋2＝3n＋1，所以＝3， 又a1＝1，则a2＝3， 则S10＝(a1＋a3＋…＋a9)＋(a2＋a4＋…＋a10) ＝(1＋3＋…＋34)＋(3＋32＋…＋35) ＝＋＝484. 答案：484 12．已知数列{an}，a1＝1，且an＋1＝an－，n∈N＋，则数列{an}的通项公式为____________． 解析：因为an＋1＝an－， 所以an＋1－an＝－＝－， 当n≥2时，a2－a1＝－，a3－a2 ＝－，…，an－an－1＝－，相加得an－a1＝－， 所以an＝，当n＝1时，a1＝1也符合上式，所以数列{an}的通项公式为an＝. 答案：an＝ 13．已知函数f(x)＝，则f()＋f()＋…＋f()＋f(1)＋f(2)＋…＋f(8)＋f(9)＝________． 解析：因为f(x)＝，所以f(x)＋f()＝＋＝＋＝1，设f()＋f()＋…＋f()＋f(1)＋f(2)＋…＋f(8)＋f(9)＝m，① 则f(9)＋f(8)＋…＋f(2)＋f(1)＋f()＋…＋f()＋f()＝m，② ①＋②得17×1＝2m，所以m＝. 答案： 14．设C1，C2，…，Cn，…是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在x轴的正半轴上，且都与直线y＝x相切，对每一个正整数n，圆Cn都与圆Cn＋1相互外切，以rn表示圆Cn的半径，已知{rn}为递增数列，若r1＝1，则数列{n·rn}的前n项和为____________． 解析：y＝x的倾斜角为α＝，设圆Cn，Cn＋1与直线y＝x的切点分别为E，F，连接CnE，Cn＋1F，过Cn作CnD⊥Cn＋1F，垂足为D， 则CnCn＋1＝rn＋1＋rn，Cn＋1D＝rn＋1－rn. 因为＝＝， 整理得＝3. 数列{rn}是以r1＝1为首项，3为公比的等比数列， 即rn＝1×3n－1＝3n－1， 所以n·rn＝n·3n－1 ，设数列{n·rn}的前n项和为Sn，则 Sn＝1×30＋2×31＋3×32＋…＋n·3n－1， 3Sn＝1×31＋2×32＋3×33＋…＋n·3n， 两式相减得：－2Sn＝30＋31＋32＋…＋3n－1－n·3n＝－n·3n＝－， 即Sn＝. 答案： 三、解答题 15．已知数列满足：a1＝3，an＋1＝3an－4n＋2，n∈N＋. (1)证明：是等比数列； (2)求数列的前n项和Sn. 解：(1)证明：由an＋1＝3an－4n＋2得， an＋1－2＝3an－6n＝3， 又a1－2＝1， 故是以1为首项，3为公比的等比数列． (2)由(1)知，an－2n＝3n－1，则an＝3n－1＋2n， 故Sn＝＋＋…＋(3n－1＋2n)＝＋2＝＋n2＋n. 16．已知等差数列满足a1＝－5，a4＝1，等比数列满足b1＝a5，b2＝9. (1)求数列，的通项公式； (2)设数列满足cn＝an·bn，求数列的前n项和Tn. 解：(1)设等差数列的公差为d. 由a1＝－5，a4＝1，可得－5＋3d＝1，解得d＝2， 则an＝－5＋2＝2n－7. 由b1＝a5＝3，b2＝9＝3b1， 可得是首项为3，公比为3的等比数列，则bn＝3n. (2)由(1)得cn＝×3n， Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝－5×31＋×32＋…＋×3n－1＋×3n， 3Tn＝－5×32＋×33＋…＋×3n＋×3n＋1， 所以－2Tn＝－5×3＋2－×3n＋1 ＝－21＋2－×3n＋1＝－21＋2×－×3n＋1＝－24－×3n＋1， 故Tn＝×3n＋1＋12. 17．已知数列{an}满足：a1＋＋＋…＋＋＝n. (1)求数列{an}的通项公式； (2)记bn＝，数列{bn}的前n项和Tn.若对于任意的n∈N＋，不等式Tn<λ2＋λ恒成立，求实数λ的取值范围． 解：(1)因为a1＋＋＋…＋＋＝n，① 当n＝1时，a1＝1， 当n≥2时，有a1＋＋＋…＋＝n－1，② ①－②得＝1，所以an＝n， 经检验a1＝1符合上式，所以an＝n，n∈N＋. (2)bn＝＝＝(－)， 所以Tn＝(1－＋－＋…＋－＋－)＝(1＋－－)， 因为Tn＝(1＋－－)<×(1＋)＝， 所以若对于任意的n∈N＋，不等式Tn<λ2＋λ恒成立，则≤λ2＋λ， 解得λ≤－或λ≥.故实数λ的取值范围为∪. 学科网（北京）股份有限公司 $